Aturan Pencacahan MATERI MATEMATIKA SMA KELAS XI MIA Sub-pokok Bahasan:
PERMUTASI
Penyusun :
SAPTANA SURAHMAT
1
Target Kompetensi *) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.
Kompetensi Inti Pengetahuan (KI-3) : Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Target Kompetensi *) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.
Kompetensi Inti Keterampilan (KI-4) : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
Target Kompetensi *) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.
Kompetensi Dasar Pengetahuan : 3.13 Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya. 3.14 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata. 3.15 Mendeskripsikan konsep ruang sampel dan menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu percobaan. 3.16 Mendeskripsikan dan menerapkan aturan/ rumus peluang dalam memprediksi terjadinya suatu kejadian dunia nyata serta menjelaskan alasan-alasannya. 3.17 Mendeskripsikan konsep peluang dan harapan suatu kejadian dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.
Target Kompetensi *) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.
Kompetensi Dasar Keterampilan : 4.10 Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasanya. 4.11 Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah tersebut. 4.12 Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menentutukan peluangdan harapan suatu kejadian dari masalah kontektual.
Indikator Karakter peserta didik yang diharapkan terbentuk : • Rasa ingin tahu, • Mandiri, • Kreatif, • Kerja keras, • Pantang menyerah, • Disiplin, • Demokratis.
Indikator Pencapaian Kompetensi : a. b. c.
Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Menentukan koefisien suku banyak menggunakan rumus binomial.
Tujuan Pembelajaran Karakter peserta didik yang diharapkan terbentuk : • Rasa ingin tahu, • Mandiri, • Kreatif, • Kerja keras, • Pantang menyerah, • Disiplin, • Demokratis.
Tujuan Pembelajaran : 1) Dapat menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi secara induktif. 2) Dapat menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kejadian dengan menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. 3) Dapat menentukan koefisien suatu suku banyak secara tepat dengan menggunakan rumus binomial.
Peta Konsep Peluang Berhubungan dengan
Terdiri atas
Pencacahan Kejadian Majemuk
Terdiri atas
Aturan Perkalian
Kejadian Sederhana Menggunakan
Permutasi
Kombinasi
Perkalian Peluang
Terdiri atas
Teori Peluang
Peluang Komplemen
Peluang Gabungan Jenisnya
Jenisnya
Saling Bebas Rumus
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Saling Bergantung Rumus
P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A)
Saling Lepas Rumus
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Tidak Saling Lepas Rumus
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kegiatan pembelajaran 1
Kaidah pencacahan Notasi Faktorial
Notasi faktorial akan digunakan dalam perhitungan permutasi dan kombinasi.
Untuk setiap n bilangan asli, didefinisikan:
Notasi ini menggunakan lambang “!” sebagai simbolnya. n! didefinisikan sebagai perkalian n bilangan asli pertama.
n! = n × (n ‒ 1) × (n ‒ 2) × ... × 2 × 1 Untuk n = 0 didefinisikan 0! = 1 Contoh 1 : a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 b. 3!6! = (3 x 2 x 1)(6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 6 x 720 = 4320 c.
7! 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 5! × 6 × 7 = = = 6 × 7 = 42 5! 1× 2×3× 4×5 5!
Kaidah pencacahan Contoh 2 : Diketahui
(n − 1)! = 8. Tentukan nilai n. (n − 2)!
Jawab: (n − 1)! 1 × 2 × 3 × ... × (n − 2) × (n − 1) = (n − 2)! 1 × 2 × 3 × ... × (n − 2) =
n–1=8
(n − 2)!× (n − 1) =n–1 (n − 2)!
n=8+1=9
Kaidah pencacahan Contoh 3 : Ubah perkalian berikut ke dalam notasi faktorial a. 6 x 5 x 4 b. 7 x 8 x 9 x 10 x 11 Jawab: a. 6 x 5 x 4 =
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 6! = 3× 2×1 3!
b.= 7 x 8 x 9 x 10 x 11
6 ! × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 11! = 6! 6!
Kaidah pencacahan
Dalam rapat para pemegang saham di suatu perusahaan akan dipilih tiga orang direktur, terdiri dari Direktur Utama, Direktur Produksi dan Direktur Pemasaran. Bila terdapat 10 orang yang memenuhi syarat, berapa banyak susunan direktur yang mungkin dapat dibuat ?
Kaidah pencacahan
2
Permutasi Susunan berbeda yang dibentuk dari n unsur yang diambil baik secara keseluruhan atau sebagian tanpa ada pengulangan disebut Permutasi. Contoh: 1. Permutasi dari unsur-unsur dalam ABC jika diambil keseluruhan akan terdiri dari : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. 2. Permutasi dari huruf ABC jika diambil dua-dua akan terdiri dari : AB, AC, BA, BC, CA, CB.
Kaidah pencacahan Untuk mengetahui banyak permutasi dari n unsur dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah filling slot. Jika dari n unsur akan diambil r unsur, maka menurut kaidah filling slot banyaknya susunan berbeda tanpa ada pengulangan ditentukan dengan cara sbb. : Unsur Ke - 1
Unsur Ke - 2
Unsur Ke - 3
?
?
?
Dapat diisi : n unsur
Dapat diisi : (n – 1) unsur
Dapat diisi : (n – 2) unsur
...
...
Unsur Ke - r
?
Dapat diisi: (n – r + 1) unsur
Banyaknya susunan berbeda : P(n, r) = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – r + 1)
Kaidah pencacahan Jika bentuk P(n, r) = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – r + 1) diubah ke bentuk notasi faktorial akan diperoleh : n × (n – 1 ) × (n – 2) × ... × (n – r + 1 ) × (n − r)! P(n, r) = (n − r)! n! = (n − r)! Kesimpulan : Banyaknya susunan berbeda (permutasi) dari n unsur jika diambil r unsur adalah : n! P(n, r) = ; dengan r < n (n − r)!
Jika r = n, maka banyaknya susunan berbeda adalah P(n) = n!
Kaidah pencacahan Contoh 1: Tentukan banyak permutasi yang disusun dari unsur-unsur yang terdapat dalam “ABC”, jika : 1. Diambil keseluruhan 2. Diambil dua-dua Jawab: 1. Diambil keseluruhan (n = 3) Banyak permutasi : P(3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 susunan, yaitu : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. 2. Diambil dua-dua (n = 3, r = 2) Banyak permutasi : = P(3, 2)
3! 3× 2×1 = = 6 susunan (3 − 2)! 1!
yaitu : AB, AC, BA, BC, CA, CB.
Kaidah pencacahan Contoh 2: Dari 10 orang calon pengurus sebuah organisasi, akan dipilih dua orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua. Tentukan banyaknya pasangan berbeda yang dapat dipilih. Jawab: Dalam masalah ini, susunan AB dan BA dianggap berbeda. AB diartikan A sebagai ketua dan B sebagai wakil. Sedangkan BA diartikan B sebagai ketua dan A sebagai wakil. Dengan demikian masalah ini merupakan masalah permutasi. Banyak pasangan : P(10, 2) =
10! 8!× 9 × 10 10! = = = 9 x 10 = 90 8! 8! (10 − 2)!
Kaidah pencacahan Contoh 3: Tentukan n jika diketahui P(n, 4) = 8 P(n – 1, 3). Jawab: (n − 4)! × (n − 3) × (n − 2) × (n − 1) × n n! = • P(n, 4) = (n − 4)! (n − 4)! = (n – 3)(n – 2)(n – 1)n
• P(n – 1, 3) =
(n − 1)! (n − 1)! = (n − 1 − 3)! (n − 4)!
(n − 4)! ⋅ (n − 3) ⋅ (n − 2) × (n − 1) = = (n – 3)(n – 2)(n – 1) (n − 4)!
• P(n, 4) = 8 P(n – 1, 3) (n – 3)(n – 2)(n – 1)n = 8(n – 3)(n – 2)(n – 1) n=8
Kaidah pencacahan Permutasi Dengan
Beberapa Unsur Sama Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai m1 unsur jenis pertama, m2 unsur jenis kedua, m3 unsur jenis ketiga, dan mk unsur jenis ke-k yang sama adalah: P(n, m1 ,m2 ,m3 ,...,mk ) =
n! m1 ! × m2 !× m3 !× ... × mk !
Contoh 1: Tentukan permutasi semua unsur dalam kata “BUKU”.
Kaidah pencacahan Jawab : Dalam kata “BUKU” terdapat satu unsur yang sama, yaitu huruf “U”. Dalam hal ini terdapat dua huruf “U”. Sehingga banyak permutasi semua unsur dalam kata “BUKU” adalah : 4! 2!× 3 × 4 P(4, 2) = = = 12 2! 2! Permutasi unsur-unsur dari kata “BUKU” selengkapnya adalah : 1. 2. 3. 4. 5.
BUKU BUUK BKUU BKUU BUKU
6. 7. 8. 9. 10.
BUUK UKBU UKUB UUBK UUKB
11. 12. 13. 14. 15.
UBUK UBKU KUBU KUUB KBUU
16. 17. 18. 19. 20.
KBUU KUUB KUBU UBUK UBKU
21. 22. 23. 24.
UUBK UUKB UKBU UKUB
Jumlah permutasi seluruhnya 24 susunan, namun yang berbeda hanya 12 susunan.
Kaidah pencacahan Contoh 2: Tentukan permutasi semua unsur yang terdapat dalam kata “LUMBALUMBA”. Jawab : Dalam kata “LUMBALUMBA” terdapat 10 unsur yang mengandung beberapa unsur yang sama, yaitu huruf “L“ ada 2, huruf “U“ ada 2, huruf “M“ ada 2, huruf “B“ ada 2 dan huruf “A“ ada 2. Banyak permutasi : P(10, 2,2,2,2,2) =
10! 2!× 2!× 2!× 2!× 2! 2
=
3
4
2! ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
5
2! × 2 × 2 × 2 × 2
= 3 x 2 x 5 x 3 x 7 x 4 x 9 x 5 = 113400
Kaidah pencacahan Susunan 3 buah huruf ABC yang diletakan secara melingkar
Permutasi Siklis Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut Permutasi Siklis. Misalkan 3 buah huruf ABC diletakan secara melingkar. (perhatikan gambar di samping ini). Bila pembacaan dimulai dari huruf paling atas, akan diperoleh 6 susunan berbeda, yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CBA dan CAB. Namun bila pembacaan menggunakan acuan tetap, misal dimulai dari huruf “A”, maka akan diperoleh susunan ABC, ACB, ABC, ACB, ACB dan ABC. Dari susunan itu hanya dua buah saja yang berbeda, yaitu ABC dan ACB. Ketentuan inilai yang digunakan dalam permutasi siklis.
Kaidah pencacahan Definisi : Misalkan terdapat n unsur yang disusun secara melingkar. Bila satu unsur dijadikan acuan, maka banyaknya permutasi siklis dihitung dari sisanya, yaitu sebanyak (n – 1)! susunan. PS(n) = (n – 1)! Contoh 1: Enam orang guru tengah mengadakan rapat. Mereka duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak cara agar guru-guru tersebut dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda? Jawab : PS(6) = (6 – 1)! = 5! = 120 cara
Kaidah pencacahan Contoh 2: Dengan berapa cara empat anak laki-laki dan empat anak perempuan dapat duduk mengelilingi sebuah meja bundar, jika: a. Anak laki-laki dan perempuan duduk secara berselang seling. b. Anak-anak duduk berkelompok sesuai jenis kelaminnya. Jawab : a. Banyak cara anak laki-laki duduk mengelilingi meja bundar adalah PS(4)A = (4 – 1)! = 3! = 6 cara. Banyak cara anak perempuan duduk mengelilingi meja bundar adalah PS(4)B = (4 – 1)! = 6 cara. Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk mengelilingi meja bundar secara berselang-seling adalah : PS(4)A x PS(4)B = 6 x 6 = 36 cara.
Kaidah pencacahan
Kaidah pencacahan b. Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk mengelilingi meja bundar dengan tetap berada dalam kelompoknya ditentukan sbb. : • Susunan berbeda anak laki-laki duduk dalam kelompoknya dapat dilakukan dalam PL(4) = 4! = 24 cara. • Susunan berbeda anak perempuan duduk dalam kelompoknya dapat dilakukan dalam PP(4) = 4! = 24 cara. • Susunan berbeda kelompok laki-laki dan perempuan duduk mengelilingi meja bundar dapat dilakukan dalam Ps(2) = (2 – 1)! = 1 cara. Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk mengelilingi meja bundar dengan tetap berada dalam kelompoknya adalah:
P = Ps(2) x P(4) x (P4) = 1 x 24 x 24 = 1152 cara
Penutup
Anda sudah mempelajari teori tentang kaidah-kaidah pencacahan. Agar pemahaman anda semakin baik, berlatihlah menyelesaikan beragam soal. Bila sudah siap, anda bisa melanjutkan pembelajaran ke bagian-2 yang membahas tentang teori peluang.
Jauh lebih terhormat anda melakukan banyak kesalahan setelah mencoba, daripada yakin bisa dan benar tanpa melakukan apapun.
