BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS
Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika: 1. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B 2. Setiap elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, aij = bij (untuk semua nilai i dan j) 1. Penjumlahan dua matriks Salah satu contoh dalam kehidupan nyata yang berhubungan dengan penjumlahan matriks adalah sebagai berikut. Hasil panen jagung dan kedelai (dalam ton) Pak Adi dan Pak Budi pada tahun 2011 dan 2012 adalah sebagai berikut : Hasil Panen Tahun 2011 Pak Adi Pak Budi Jagung 4 6 Kedelai 7 5
Hasil Panen Tahun 2012 Pak Adi Pak Budi Jagung 6 5 Kedelai 5 6
Jumlah hasil panen jagung dan kedelai Pak Adi dan Pak Budi tahun 2012 dan 2013 dapat disajikan pada tabel sebagai berikut: Jumlah Hasil Panen Tahun 2011 & 2012 Pak Adi Pak Budi Matematika 10 11 Fisika 12 11 Jika dari tabel diatas ditulis dalam bentuk matriks, maka beralasan untuk menulis :
4 6 6 5 10 11 7 5 5 6 12 11 Kesimpulan dari contoh di atas adalah: Jika A dan B matriks yang ordonya sama, maka jumlah matriks A dan B (tulis: A + B) adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Contoh:
a11 a12 a 21 a 22
Jika A
b b a13 b dan B 11 12 13 , a 23 b21 b22 b23
a11 b11
maka A B a 21 b21
a12 b12 a 22 b22
a13 b13 a 23 b23
2. Pengurangan dua matriks Telah kita ketahui bahwa jika a dan b dua bilangan nyata (real) maka a – b = a + (-b). Karena setiap matriks mempuyai lawan, maka dengan cara yang sama A + (-B) dituliskan sebagai A – B.
Jadi jika A dan B masing-masing suatu matriks yang berordo sama, maka: A – B = A + (-B)
a11 a12 a 21 a 22
Misal, jika A
a11 A B A ( B) a 21
a13 b b b dan B 11 12 13 , maka a 23 b21 b22 b23 a12 a 22
a13 b11 b12 a 23 b21 b22
a12 b12 a b 11 11 a 21 b21 a 22 b22
b13 b23
a13 b13 a 23 b23
Pengurangan dua matriks dapat juga dilakukan dengan mengurangkan langsung elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks, yaitu: A – B = [aij] – [bij]. Beberapa pertanyaan penggugah: Apakah sifat komutatif berlaku pada penjumlahan matriks? Apakah sifat komutatif berlaku pada pengurangan matriks? Dapatkah kita menemukan sifat-sifat lain pada operasi penjumlahan matriks? 3. Perkalian bilangan real dengan matriks Telah kita ketahui bahwa untuk bilangan nyata n berlaku n+n = 2n n + n + n = 3n Misal hasil panen jagung dan kedelai (dalam ton) Pak Adi dan Pak Budi pada tahun 2012 dinyatakan pada tabel berikut.
Jagung Kedelai
Hasil Panen Tahun 2011 Pak Adi Pak Budi 4 6 7 5
Jika pada tahun 2013 hasil panen jagung dan kedelai pak Adi dan Pak Budi meningkat dua kali hasil panen tahun 2011, maka hasil panen jagung dan kedelai tahun 2013 dinyatakan pada tabel berikut.
Jagung Kedelai
Hasil Panen Tahun 2013 Pak Adi Pak Budi 8 12 14 10
Jika dari tabel diatas ditulis dalam bentuk matriks, maka beralasan untuk menulis :
8 12 2 4 2 6 14 10 2 7 2 5 4 4 6 6 7 7 5 5 4 6 4 6 7 5 7 5 4 6 2 7 5 Selanjutnya dari penjabaran diatas dapat pula dinyatakan, bahwa:
4 6 4 6 4 6 8 12 2 7 5 7 5 7 5 14 10 atau
4 6 2 4 2 6 8 12 2 7 5 2 7 2 5 14 10 Kesimpulan Jika k suatu bilangan real (nyata) dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengalikan setiap elemen A dengan k. 4. Perkalian matriks dengan matriks Bagaimanakah mengalikan sebuah matriks dengan matriks lain? Untuk menjawab pertanyaan itu simaklah contoh berikut ini. Harga satu pensil dan bolpoin di Koperasi Sekolah berturut-turut adalah Rp1.000,00 dan Rp2.000,00. Desy membeli 2 pensil dan 3 bolpoin, sedangkan Sinta membeli 1 pensil dan 4 bolpoin. Berapa rupiah uang yang harus dibayarkan Desy dan Sinta masing-masing? Contoh di atas dapat diselesaikan dengan berbagai cara/pendekatan, salah satunya matriks, bagaimana cara mengunakan konsep matriks untuk masalah di atas? Untuk menyederhanakan masalah kita dapat menyatakannya dalam bentuk tabel, sebagaimana ketiga tabel berikut. Tabel 1 adalah daftar buku tulis dan pensil yang dibeli oleh dua anak yaitu Desy dan Sinta di sebuah toko. Tabel 2 adalah daftar harga kedua barang itu Tabel 3 adalah daftar yang menunjukkan jumlah uang yang harus dibayar oleh Desi dan Sinta Tabel 1 Pensil
Bolpoin
Tabel 2 Harga
Desy Sinta
2 1
3 4
Pensil Bolpoin
Desy Sinta
Tabel 3 Uang yang harus dibayar 2×1000 + 3×2000 = 8000 1×1000 + 4×2000 = 9000
1000 2000
Bila tabel diatas dituliskan dalam bentuk matriks, maka kita peroleh :
2 3 1000 2 1000 3 2000 8000 1 4 2000 11000 4 2000 9000 pengerjaan atau operasi matriks seperti diatas dinamakan perkalian matriks.
x a b Jika A = dan B = maka hasil perkalian A dan B didefinisikan sebagai : y c d ax by a b x AB = = c d y cx dy Aturan pengerjaan perkalian matriks seperti di atas sering disebut cara pengerjaan baris pada kolom, dengan syarat jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Untuk menguji apakah hasil perkalian dua matriks ada atau tidak dan juga untuk menentukan ordo matriks hasil perkalian, maka akan sangat membantu jika kedua matriks dibandingkan dengan perpasangan menyerupai 2 kartu domino seperti gambar berikut ini. 3
2
sama
2
Ordo matriks hasil perkalian = 3 x 1
1
LEMBAR KERJA SISWA Mata Pelajaran Kelas/Semester Topik Sub Topik Tahun Pelajaran
: : : : :
Matematika XI/1 Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Matriks 2016/2017
1. Operasi Penjumlahan Dua Matriks
Masalah 1
Baca dan pahamilah ilustrasi berikut ini. Hotel Abadi memiliki fasilitas kolam renang untuk pengunjungnya. Pada hari tertentu, yaitu Senin, Selasa, dan Rabu melayani pengunjung umum, yaitu selain tamu hotel. Tiket pengunjung umum dikategorikan menurut usia, yaitu dewasa dan anak-anak.
Banyaknya pengunjung yang berkunjung pada minggu pertama bulan Mei 2014 sebagai berikut : Pada hari Senin banyak pengunjung dewasa 6 orang dan anak-anak 3 orang Pada hari Selasa banyak pengunjungdewasa 2 orang dan anak-anak 5 orang Pada hari Rabu banyak pengunjung dewasa 8 orang dan anak-anak 1 orang
Banyak pengunjung yang berkunjung pada minggu kedua bulan Mei 2014 sebagai berikut : Pada hari Senin banyak pengunjung dewasa 4 orang dan anak-anak tidak ada Pada hari Selasa banyak pengunjung dewasa 7 orang dan anak-anak 3 orang Pada hari Rabu banyak pengunjung dewasa 1 orang dan anak-anak 6 orang Dari data di atas, manager hotel ingin mengetahui berapa banyak pengunjung di kolam renangnya selama dua minggu tersebut berdasarkan hari dan katagori usianya. Dapatkah kalian membantunya?
Pemecahan Masalah Isikan data dari masalah di atas pada tabel berikut ini Hari
Banyak Pengunjung Minggu Pertama
Senin
Selasa
Dewasa Anak-anak Banyak Pengunjung
Hari
Rabu
Minggu Kedua
Senin
Selasa
Rabu
Dewasa Anak-anak Coba kalian isikan banyak pengunjung kolam renang selama dua minggu (jumlah pengunjung minggu pertama dan hari kedua) Hari
Jumlah Pengunjung Minggu Pertama dan Kedua
Senin
Selasa
Kamis
Dewasa Anak-anak Dari masalah di atas nyatakan dalam bentuk matriks : Misalkan matriks A menyatakan data banyak pengunjung minggu pertama, maka:
A
Misalkan matriks B menyatakan data banyak pengunjung minggu kedua, maka
B
Sehingga:
A B
Masalah 1
Baca dan pahamilah ilustrasi berikut ini. Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10% dari harga perolehan sebagai berikut: Jenis Aktiva Mesin A Mesin B Mesin C
Harga Perolehan (Rp) 25.000.000 65.000.000 48.000.000
Penyusutan Tahun I (Rp) 2.500.000 6.500.000 4.800.000
Harga Baku (Rp)
Untuk melengkapi tabel tersebut, hitunglah harga baku masing-masing mesin dengan menggunakan matriks ! ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Dapat disimpulkan bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan dua matriks A dan B diperoleh dengan cara ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Adakah syarat yang harus dipenuhi penjumlahan dan pengurangan dua matriks? …… Jika ada, sebutkan syarat yang Anda ketahui! …………………………………………………………………………………………………
TES TERTULIS Mata Pelajaran Kelas/Semester Topik Sub Topik Tahun Pelajaran
: : : : :
Matematika XI/1 Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Matriks 2016/2017
2 3 2 2 5 6 dan B . 3 0 4 3 2 1
Diketahui matriks A
Tentukan matriks yang diwakili oleh: 1. A + B 2. B – A
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KETERAMPILAN MELALUI UNJUK KERJA (PROJEK) Mata Pelajaran Kelas/Semester Topik Sub Topik Tahun Pelajaran
: : : : :
Matematika XI/1 Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Matriks 2016/2017
Tugas Keterampilan Seorang pengusaha properti membangun perumahan tipe 45 dan tipe 60 di tiga kota, yaitu Bontang dan Samarinda. Pada triwulan pertama tahun 2013, pengusaha mendapat laporan bahwa sebanyak terjual 5 unit rumah tipe 45 dan 4 rumah tipe 60 di Kota Bontang, dan 6 unit rumah tipe 45 dan 3 unit rumah tipe 60 terjual di Samarinda. Pada triwulan kedua tahun 2013 terjual terjual 3 unit rumah tipe 45 dan 5 rumah tipe 60 di Kota Bontang, dan 4 unit rumah tipe 45 dan 4 unit rumah tipe 60 terjual di Samarinda. Bersama dengan anggota kelompokmu, analisilah masalah di atas, jawablah pertanyaan di bawah ini! a. Nyatakan data penjualan rumah pada masalah di atas dalam bentuk tabel! b. Nyatakan data penjualan rumah pada masalah di atas dalam bentuk matriks dan tentukan banyaknya rumah yang terjual pada triwulan I dan II! c. Simpulkan jawabanmu tentang penjualan kedua tipe rumah di dua kota tersebut!
