MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI

KATA PENGANTAR Segala puji syukur bagi Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat dan karunia-Nya. Sebaik-baiknya shalawat serta salam semoga Allah SWT limpahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW, beserta seluruh keluarga dan sahabatnya. Apapun yang tergelar dialam semesta ini adalah rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Peluang. Modul ini membahas mengenai materi Peluang. Penulis menuliskannya dengan mengambil dari beberapa sumber baik dari buku maupun dari internet dan membuat gagasan dari beberapa sumber yang ada tersebut. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian modul ini, sehingga tersusun makalah yang sampai di hadapan pembaca pada saat ini dan semoga modul ini mampu menjadi salah satu acuan dalam

memberikan

kemudahan

untuk

memahami

maupun

mengimplementasikannya. Atas segala kebaikan yang diberikan, mudah-mudahan Allah SWT menganugrahi pahala yang besar pada hari ketika harta atau pun keturunan tidak bermanfaat, kecuali mereka yang datang menghadap Allah SWT dengan kalbu yang bersih. Penulis menyadari sepenuhnya modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karenanya sangat diharapkan bagi pembaca untuk menyampaikan saran atau kritik yang bersifat membangun demi tercapainya makalah yang lebih baik untuk selanjutnya.

Yogyakarta, Desember 2016

Penyusun

MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI

1

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ........................................................................................................ 1 DAFTAR ISI....................................................................................................................... 2 GLOSARIUM ..................................................................................................................... 3 PETA KONSEP .................................................................................................................. 4 BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................... 5 A.

Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar ................................................................. 5

B.

Deskripsi ................................................................................................................. 6

C.

Pengalaman Belajar ................................................................................................ 6

D.

Waktu ...................................................................................................................... 7

E.

Prasyarat.................................................................................................................. 7

F.

Petunjuk Penggunaan Modul .................................................................................. 7

G.

Tujuan Akhir ........................................................................................................... 8

H.

Cek Penguasaan Kompetensi Inti ........................................................................... 8

BAB II PEMBELAJARAN ................................................................................................ 9 A.

Peluang suatu Kejadian ........................................................................................... 9

B.

Kejadian Majemuk ................................................................................................ 12

1.

Peluang komplemen suatu kejadian ...................................................................... 13

2.

Peluang Dua Kejadian Saling Lepas ..................................................................... 14

3.

Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas ............................................................ 16

4.

Peluang Kejadian Bersyarat .................................................................................. 19

BAB III EVALUASI ........................................................................................................ 22 RANGKUMAN ................................................................................................................ 27 KUNCI JAWABAN ......................................................................................................... 29 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 35


2

GLOSARIUM Frekuensi

Hasil bagi antara banyak hasil kejadian dari banyaknya

Relatif

percobaan

Kejadian

Sembarang himpunan bagian dari ruang sampel

Kejadian

Munculnya

Bersyarat

munculnya kejadian kedua

Kejadian

Munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang

Saling Bebas

munculnya kejadian kedua

Kejadian

Kejadian yang tidak mempengaruhi kejadian lainnya

kejadian

pertama

mempengaruhi

peluang

Saling Lepas kejadian

Kejadian yang hanya memuat satu titik sampel

sederhana Komplemen Percobaan

Kegiatan atau proses yang dilakukan hingga memperoleh suatu hasil pengukuran, perhitungan, atau pengamatan.

Ruang

Himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu

Sampel

percobaan, yang dilambangkan dengan huruf S.

Titik sampel

Setiap anggota pada ruang sampel


3

PETA KONSEP

Masalah otentik

Peluang

Peluang kejadian majemuk Peluang komplemen suatu kejadian

Peluang kejadian saling bebas

Peluang kejadian saling lepas

Peluang kejadian bersyarat

KATA KUNCI:  Frekuensi Relatif  Titik Sampel  Percobaan  Kejadian  Titik Sampel Ruang Sampel


4

BAB I PENDAHULUAN A. Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Kompetensi Inti: 3. Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, menyaji, dan mencipta dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri serta bertindak secara efektif dan kreatif, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. Kompetensi Dasar: 3.4 Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian

majemuk (peluang, kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat)


5

B. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari tentang materi Peluang. Ketentuan belajar menggunakan modul ini tergantung dari disiplin dan ketekunan Anda dalam memahami dan mematuhi petunjuk penggunaan modul. Belajar dengan menggunakan modul ini dilakukan secara mandiri atau berkelompok dengan teman Anda ketika dalam jam pelajaran. Dalam modul ini tidak semua materi dijelaskan secara rinci, sehingga Anda disarankan untuk mencari sumber-sumber lain untuk mempelajari modul ini karena modul ini bukan satu-satunya sumber belajar. Penyajian modul ini diawali dari mengaitkan materi dengan masalah dalam kontekstual kemudian dijelaskan dengan uraian materi yang disertai dengan gambar, latihan dan kesimpulan.

C. Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi peluang, siswa memperoleh pengalaman belajar: 1. Berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip peluang melalui pemecahan masalah autentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan. 2. Berkolaborasi memecahkan masalah otentik dengan pola interaksi edukatif. 3. Berpikir

tingkat

tinggi

dalam

menyelidiki,

memanipulasi,

dan

mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip peluang dalam memecahkan masalah otentik.


6

D. Waktu Waktu penggunaan modul ini digunakan pada saat materi Peluang yang ajarkan di kelas XI SMA/MA. Waktu pelaksanaannya membutuhkan 2× pertemuan.

E. Prasyarat Untuk mempelajari materi barisan dan deret, Anda harus terlebih dahulu menguasai materi aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.

F. Petunjuk Penggunaan Modul 1. Perhatikan

langkah-langkah

dalam

setiap

contoh

sehingga

mempermudah dalam memahami konsep pola bilangan, barisan maupun deret. 2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai latihan untuk persiapan evaluasi. 3. Jawablah tes formatif dengan jelas sesuai dengan kemampuan Anda. Jika Anda masih ragu-ragu dengan jawaban yang Anda peroleh, Anda bisa melihat kunci jawaban formatif yang sesuai. 4. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi.


7

G. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Siswa mampu Mendeskripsikan dan menentukan peluang kompelemen suatu kejadian. 2. Siswa mampu Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadiankejadian saling bebas 3. Siswa mampu Mendeskripsikan dan menentukan saling lepas 4. Siswa mampu Mendeskripsikan dan menentukan kejadian bersyarat) 5. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kompelemen suatu kejadian. 6. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian-kejadian saling bebas 7. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan saling lepas. 8. Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan kejadian bersyarat.

H. Cek Penguasaan Kompetensi Inti Apakah siswa sudah memahami materi ini? Jika siswa sudah memahami materi ini maka siswa bisa mengerjakan latihan soal menentukan peluang kejadian majemuk (peluang, kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat), Menyelesaikan masalah yang berkaitan dalam kehidupan sehari-hari. Jika siswa sudah bisa mengerjakan latihan soal maka pembelajaran bisa dilanjutkan ke materi selanjutnya.


8

BAB II PEMBELAJARAN

Masalah Bu Mumun, seorang guru matematika di Sleman. Suatu ketika dia ingin memberikan tugas kepada siswa yang sangat rajin dan memiliki daya tangkap di atas ratarata teman satu kelasnya. Dia mempersiapkan 15 soal matematika berbentuk essai. Namun dari 15 soal itu, Bu Mumun hanya meminta si anak mengerjakan 10 soal, tetapi harus mengerjakan soal nomor 7, 12, dan 15.

Berapa banyak pilihan yang dimiliki anak itu? Alternatif Penyelesaian Siswa Bu Mumu harus memilih 7 soal lagi dari 12 soal sisa (mengapa) dan untuk mengetahui banyak cara memilih soal tersebut ditentukan dengan menggunakan kombinasi (beri alasannya), yaitu: 𝐶712 =

12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7! = = 729 𝑐𝑎𝑟𝑎 (12 − 7)! 7! (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × 7!

A. Peluang suatu Kejadian Kita telah membahas suatu hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan, bukan? Himpunan dari semua hasil tersebut disebut dengan ruang sampel dan hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan disebut dengan kejadian. Jadi, jelas bahwa kejadian adalah anggota dari ruang sampel. Berikutnya, kita akan mencoba menemukan konsep peluang dengan mengamati kaitannya dengan frekuensi relatif setiap kemungkinan hasil yang


9

terjadi pada percobaan. Dengan demikian, kamu dianjurkan melakukan beberapa percobaan pada kegiatan di bawah ini.

Mari Berkegiatan! Lakukanlah kegiatan melempar sebuah koin sebanyak 120 kali bersama dengan temanmu. Lakukanlah kegiatan ini secara bertahap, dan tuliskan hasil percobaan dalam tabel berikut: Tahap

Banyak Pelemparan

BMSG

BMSA

𝐵𝑀𝑆𝐺 𝐵𝑃

𝐵𝑀𝑆𝐴 𝐵𝑃

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(iv)

I

20

8

12

8 20

12 20

II

40

III

60

IV

80

V

100

VI

120

Keterangan: BMSG adalah Banyak Muncul Sisi Gambar BMSA adalah Banyak Muncul Sisi Angka BP adalah Banyak Percobaan

Diskusikan dengan temanmu beberapa pertanyaan berikut: a) Sebelum melakukan percobaan, buatlah dugaanmu, apakah banyak (frekuensi) muncul sisi gambar relatif sama (frekuensi) muncul sisi angka? b) Jika pelemparan koin tersebut dilakukan 20 sampai 120 kali, buatlah dugaanmu terhadap perbandingan frekuensi muncul gambar dan angka? c) Benarkah dugaan bahwa data pada kolom iii dan iv, diperoleh hasil yang relatif sama?


10

d) Benarkah dugaan bahwa data pada kolom v dan vi, diperoleh hasil yang relatif sama, dan nilai perbandingan banyak muncul gambar atau angka dengan banyak percobaan mendekati

1 2

?

Misalkan banyak percobaan melambungkan sebuah koin adalah 20 kali dan diperoleh hasil frekuensi muncul gambar adalah 8 kali dan muncul angka adalah 12 kali. Dalam percobaan ini, frekuensi relatif muncul sisi gambar adalah 8 dari 20 kali 8

percobaan, ditulis fr (G) = 20. Frekuensi muncul sisi angka adalah 12 dari 20 kali 12

percobaan, ditulis fr (A) = 20. Berdasarkan pengamatan terhadap frekuensi relatif suatu kejadian pada subbab 2 dan kegiatan 1 dan kegiatan 2 di atas, peluang suatu kejadian adalah pendekatan nilai frekuensi relatif dari kejadian tersebut, dapat dirumuskan sebagai berikut: Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali. Jika kejadian E muncul sebanyak k kali (0 < k < n), maka frekuensi relatif kejadian E ditentukan dengan rumus: 𝑓𝑟 (𝐸) =

𝑘 𝑛

Jika nilai n mendekati tak-hingga maka nilai

𝑘 𝑛

cenderung konstan mendekati

nilai tertentu. Nilai tertentu ini adalah nilai peluang munculnya kejadian E.


11

DEFINISI 1 1. Titik sampel atau hasil yang mungkin terjadi peda sebuah percobaan. 2. Kejadian (E) adalah hasil yang mungkin terjadi atau kumpulan hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. 3. Ruang sampel (S) adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. 4. Kejadian (𝐸𝑐 ) adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang tidak memuat kejadian E. (𝐸𝑐 dibaca komplemen E)

DEFINISI 2 Peluang suatu kejadian E adalah hasil bagi banyak hasil dalam E dengan banyak anggota ruang sampel S dari suatu percobaan, ditulis: 𝑃(𝐸) =

𝑛(𝐸) 𝑛(𝑆)

n (E) : banyak anggota E. n (S) : banyak anggota ruang sampel.

B. Kejadian Majemuk Jika beberapa kejadian-kejadian dasar dihubungkan, maka kejadian-kejadian majemuk yang meliputi komplemen, gabungan, dan irisan dapat dibentuk.


12

1. Peluang komplemen suatu kejadian Untuk memahami pengertian komplemen suatu kejadian, simaklah percobaan berikut ini. Setumpuk kartu yang berjumlah 8 kartu diambil sebuah kartu secara acak. Ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Jika kejadian terambilnya kartu bernomor ganjil dinyatakan dengan A, yaitu A = {1, 3, 5, 7}, maka kejaidan terambilnya kartu bukan bernomor ganjil dinyatakan dengan Ac yaitu Ac = {2, 4, 6, 8}. Kejadian terambilnya kartu bernomor ganjil. Dapat disimpulkan:

Komplemen suatu kejadian A adalah kejadian dari tidak terjadinya kejadian A.

Bila anda perhatikan percobaan di atas, himpunan komplemen suatu kejadian A adalah himpunan anggota S yang tidak termasuk himpunan A yang dinyatakan dengan Ac=S-A. sehingga peluang Ac dapat dihitung dengan P ( Ac ) 

n( Ac ) n( S )

Hubungan antara A, komplemen A, dan S adalah: A + Ac = S n(A) + (Ac) = S n(A) + (Ac) = n(S) P(A) + P(Ac) = 1


13

Jika Ac adalah komplemen dari A, maka peluang kejadian Ac ditentukan dengan P(Ac) = 1 – P(A) Dimana P(A) = peluang kejadian A P(Ac)= peluang komplemen kejadian A

Contoh 1 Lima belas kartu diberi nomor 1, 2, 3, … 15, kemudian diambil kartu secara acak. Tentukan bahwa kartu yang terambil adalah bukan kartu bilangan prima! Jawab : Ruang sampel 𝑆 = {1, 2, 3, 4, … , 15}, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑛(𝑆) = 15 E

=

Kejadian

terambil

kartu

dengan

bilangan

prima

=

{2, 3, 5, 7, 11, 13}, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑛(𝐸) = 6. 𝑃(𝐸) =

𝑛(𝐸) 6 2 = = 𝑛(𝑆) 15 5

𝑃(𝐸 𝐶 ) = 1 −

2 3 = 5 5

Jadi, peluang terambilnya kartu bukan bilangan prima adalah

3 5

.

2. Peluang Dua Kejadian Saling Lepas Dalam diagram venn, dua kejadian A dan B saling lepas jika kejadian ini tidak memiliki irisan atau ditulis A ∩ B = ∅ atau n(A ∩ B)=0. Peluang gabungan dua kejadian A atau B ditulis P(A ∪ 𝐵) diturunkan sebagai berikut.


14

n( A  B ) n( S ) n( A)  n( B)  n( A  B)  n( S ) n( A) n( B) n( A  B )    n( S ) n( S ) n( S )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )

P( A  B) 

Dua kejadian saling lepas, A ∩ 𝐵 = ∅ atau n(A ∩ B)=0

Dua kejadian saling lepas, A ∩ 𝐵 ≠ ∅ atau n(A ∩ B) ≠ 0

Gambar Kedudukan dua buah himpunan Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas, maka A ∩ 𝐵 = ∅ adalah kejadian saling lepas, maka A ∩ 𝐵 = ∅ atau n(A ∩ B)=0 sehingga diperoleh P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B). untuk kejadian tidak saling lepas, P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B) - P(A∩ 𝐵)

Peluang dari dua kejadian A atau B : a. Untuk kejadian A dan B saling lepas : P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B) b. Untuk kejadian A dan B tidak saling lepas : P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B) - P(A ∩ 𝐵)


15

Contoh 2 Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu bridge. Tentukan peluang yang terambil adalah kartu skop atau kartu As! Jawab: Jumlah kartu dari seperangkat kartu bridge adalah 52, maka 𝑛(𝑆) = 52 A = Kejadian terambilnya satu kartu sekop → 𝑛(𝐴) = 13 B = Kejadian terambilnya satu kartu As→ 𝑛(𝐵) = 4 Kejadian terambilnya kartu As skop, maka n(A ∩ B) = 1 Peluang terambilnya kartu skop atau As adalah : P(A ∪ 𝐵)=P(A) + P(B) - P(A ∩ 𝐵) 13 4 1 + − 52 52 52 16 4 = = 52 13 =

3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas Dua kejadian yang saling bebas artinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain, atau kejadian yang satu tidak bergantung dengan kejadian yang lain. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut.

Mari Berkegiatan! Sekeping mata uang dan sebuah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Berapa kali peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan genap pada mata dadu? Jawab: Misal C : kejadian munculnya angka D : kejadian munculnya bilangan genap Sc : ruang sampel mata uang


16

Sd : ruang sampel mata dadu

C

= {A}, n(C) = 1

Sc

= {A, G}, n(Sc) = 2

P(C)

=

D

= {2, 4, 6}, n(D) = 3

Sd

= {1,2,3,4,5,6}, n(Sd) = 6

P(D)

=

P(C ∩ 𝐷)

=P(C)×P(D)

n(C ) 1  n( Sc) 2

n( D ) 3 1   n( Sd ) 6 2

1 1 =  2 2

=

1 2

Alternative penyelesaian Untuk menentukan ruang sampelnya, dapat digunakan tabel berikut ini. Tabel 1. Tabel ruang sampel. Mata uang 1

2

3

4

5

6

Mata dadu A

(A, 1)

(A, 2)

(A, 3)

(A, 4)

(A, 5)

(A, 6)

G

(G, 1)

(G, 2)

(G, 3)

(G, 4)

(G, 5)

(G, 6)

Banyak anggota ruang sampel, n(S) = 12 Sehingga (C  D) 

n(C  D) 3 1    0, 25 n( S ) 12 4

Jadi, peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan genap pada mata dadu adalah 0,25.


17

Berdasarkan contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa: Kejadian C dan D disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian C tidak terpengaruhi oleh kejadian D atau kejadian D tidak terpengaruh oleh kejadian C. Peluang antara dua kejadian saling bebas dapat ditentukan dengan: Jika kejadian C dan kejadian D saling bebas maka berlaku P(C ∩ 𝐷) =P(C) × P(D) Dimana P(C ∩ 𝐷) : peluang irisan kejadian C dan D P(C) :peluang kejadian C P(D) :peluang kejadian D Jika P(C ∩ 𝐷) ≠ P(C) × P(D), maka kejadian C dan D tidak saling bebas.

Contoh 3 Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam dan sebuah dadu bersamasama satu kali, tentukan peluang munculnya gambar pada uang logam dan munculnya mata dadu satu pada dadu! Jawab : 𝐴 = kejadian munculnya gambar pada percobaan melempar mata uang logam 𝐵 = kejadian munculnya mata dadu satu pada percobaan melempar dadu Kejadian 𝐴 dan 𝐵 adalah kejadian yang saling bebas karena kejadian pertama tidak memengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Ruang

sampel

𝑆 = {(𝐺, 1), (𝐺, 2), … , (𝐺, 6), (𝐴, 1), (𝐴, 2), … , (𝐴, 6)} →

𝑛(𝑆) = 12 𝐴 = {(𝐺, 1), (𝐺, 2), … , (𝐺, 6)} → 𝑛(𝐴) = 6 𝐵 = {(𝐺, 1), (𝐴, 1)} → 𝑛(𝐵) = 2


18

𝐴 ∩ 𝐵 = {(𝐺, 1)} → 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 6 1 = 12 2 2 1 𝑃(𝐵) = = 12 6 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(𝑆) 𝑃(𝐴) =

= 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) =

1 1 1 × = 2 6 12

Jadi, peluang munculnya gambar pada uang logam dan munculnya mata dadu satu pada dadu adalah

1 . 12

4. Peluang Kejadian Bersyarat Pengertian kejadian bersyarat dapat anda pahami melalui percobaab berikut. Misalkan pada percobaan melempar dadu bersisi enam sebanyak satu kali, akan ditentukan kejadian munculnya mata dadu angka ganjil jika disyaratkan kejadian munculnya mata dadu prima terlebih dulu. Mula-mula ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6}. Dengan syarat bahwa kejadian munculnya mata dadu angka prima terjadi dulu, ruang sampelnya menjadi {2, 3, 5}. Dalam ruang sampel yang baru tersebut, kejadian munculnya mata dadu angka ganjil adalah {3, 5}. Kejadian ini disebut kejadian bersyarat. Secara umum dapat dinyatakan bahwa: Kejadian bersyarat adalah kejadian munculnya suatu kejadian A jika disyaratkan kejadian munculnya kejadian B terlebih dahulu. Dari contoh percobaan di atas, kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi terlebih dahulu dapat ditulis 𝐴|𝐵. Sebaliknya, jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu, maka ditulis 𝐵|𝐴.


19

Bagaimana cara menghitung peluang kejadian bersyarat? Untuk mengetahuinya simaklah penjelasan berikut. a. Dalam ruang sampel mula-mula S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan n(S) = 6. Diketahui kejadian munculnya mata dadu angka ganjil, missal A, adalah {1, 3, 5} dengan n(A) = 3 maka P ( A) 

n( A) 3  . n( S ) 6

Kejadian munculnya mata dadu prima, misal B adalah {2, 3, 5} dengan n(B) = 3 maka P ( B ) 

n( A) 3  . n( S ) 6

b. Diperoleh ruang sampel yang baru, B = {2, 3, 5} dengan n(B) = 3. Kejadian bersyarat A B = {3, 5} mana n( A B ) = 2. Peluang kejadian bersyarat A B adalah: P( A B) 

n( A B ) n( S )



2 3

c. Dari hasil-hasil perhitungan diatas dapat diketahui bahwa: P( A  B)  P( B)  P( A B) 2 3 2   6 6 3

Berdasarkan uraian percobaan di atas, secara umum dapat disimpulkan bahwa Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi terlebih dulu ditentukan oleh P( A B) =

P( A  B) dengan P(B) ≠ 0. P( B)

Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi terlebih dulu ditentukan dengan P( B A) =

P( A  B) P ( A)


20

Contoh 4 Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 2 bola satu per satu tanpa dikembalikan, tentukan peluang bola yang terambil itu berturut-turut bolat merah dan putih! Jawab : 𝐴 = kejadian terambilnya bola merah. 𝐵 = kejadian terambilnya bola putih. Jumlah bola sebelum pengambilan pertama adalah 4 bola merah + 2 bola putih = 6 bola. Peluang terambilnya 1 bola merah pada pengambilan pertama adalah : 𝑃(𝐴) =

4 2 = 6 3

Jumlah bola sebelum pengambilan kedua adalah 3 merah + 2 putih = 5 bola. Peluang terambilnya 1 bola putih dengan syarat bola merah sudah diambil ditulis 𝑃(𝐵|𝐴) =

2 . 5

Jadi, peluang terambilnya berturut-turut bola merah dan putih adalah 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵|𝐴) =

2 2 4 × = 3 5 15


21

BAB III EVALUASI

Test Kognitif 1. Di sebuah kelas di SMA PGRI, terdiri dari 30 orang siswa. Pada kelas tersebut akan dipilih 3 orang sebagai pengurus kelas yang menjabat sebagai ketua kelas, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa banyak cara pemilihan yang mungkin terjadi? 2. Ada 4 orang anak laki-laki dan 2 orang anak perempuan duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk yang dapat disusun? 3. Dalam sebuah acara terdapat 10 orang yang saling berjabat tangan, berapa kali jabat tangan yang terjadi dalam acara tersebut? 4. Seorang siswa diminta mengerjakan 8 dari 10 soal ulangan, tetapi nomor 1 sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Berapa banyaknya pilihan yang dapat diselesaikan siswa tersebut? 5. Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, jika A adalah kejadian munculnya bilangan genap dan B munculnya bilangan prima, nyatakan berikut ini dalam sebuah himpunan: a. Ruang sampel b. Kejadian A c. Kejadian B 6. Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 6 bola putih. Dari kantong itu diambil dua buah bola secara acak. Hitunglah peluang yang terambil itu kedua-duanya bukan bola merah?


22

7. Sebuah kantong terdiri 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, tentukan peluang terambil bola merah atau hitam? 8. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya mata dadu prima lebih dahulu? 9. Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahan adalah 0,75. Jika seorang lulusan mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan? 10. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak satu kali. Pada pelemparan tersebut S adalah ruang sampel A adalah kejadian muncul mata dadu angka ganjil B adalah kejadian muncul mata dadu kurang dari 3 Tentukan 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵)!


23

Test Psikomotorik

LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)

Nama Anggota : 1.

…………………………

2. ………………………… 3. ………………………… 4. …………………………

1. Petunjuk kerja a. Diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok masingmasing dan tulis jawaban dari masing-masing soal pada tempat yang telah disediakan. b. Jika ada yang kurang jelas tanyakan kepada guru 2. Soal Ambil kartu yang ada di atas meja kemudian catat pada tabel kartu apa saja yang terambil dengan menuliskan nomor kartunya pada kolom merah atau hitam! No.

Percobaan ke-

1

Percobaan ke-1

2

Percobaan ke-2

3

Percobaan ke-3

4

Percobaan ke-4

5

Percobaan ke-5

Kartu yang Terambil Merah


Hitam

24

6

Percobaan ke-6

7

Percobaan ke-7

8

Percobaan ke-8

9

Percobaan ke-9

10

Percobaan ke-10

11

Percobaan ke-11

12

Percobaan ke-12

13

Percobaan ke-13

14

Percobaan ke-14

15

Percobaan ke-15

16

Percobaan ke-16

17

Percobaan ke-17

18

Percobaan ke-18

19

Percobaan ke-19

20

Percobaan ke-20 Misalkan: Kejadian terambilnya kartu merah = 𝐴 Kejadian terambilnya kartu berangka ganjil = 𝐵 i. Ruang sampel (𝑆) = {… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … } ii. Banyak ruang sampel = 𝑛(𝑆) = ⋯ iii. Banyak kejadian 𝐴 = 𝑛(𝐴) = ⋯ iv. Banyak kejadian 𝐵 = 𝑛(𝐵) = ⋯ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) =

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝐴 𝑛(𝐴) … = = =⋯ 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑛(𝑆) …

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝐵 𝑛(𝐵) … = = =⋯ 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑛(𝑆) …

 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =

… … … + = = 𝑃(𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) … … …


25

Diagram Venn:

𝐴

𝐵

Inilah yang disebut dengan kejadian saling lepas. … … … 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) = × = = 𝑃(𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵) … … … = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Diagram Venn:

𝐴

𝐵

Inilah yang disebut dengan kejadian saling bebas.


26

RANGKUMAN 1. Peluang suatu Kejadian Peluang suatu kejadian E adalah hasil bagi banyak hasil dalam E dengan banyak anggota ruang sampel S dari suatu percobaan, ditulis:

P( E ) 

n( E ) n( S )

n (E) : banyak anggota E. n (S) : banyak anggota ruang sampel.

2. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Jika diketahui kejadian A maka komplemen kejadian A dinotasikan dengan A1 atau Ac dan peluang dari Ac ditulisP (Ac) dengan rumus: P (Ac) = 1 – P (A) Catatan: 

P (Ac) = peluang kejadian Komplemen A



P (A) = peluang kejadian A

3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Lepas Dua kejadian dengan tidak ada satu pun elemen dari keduanya sama (tidak mungkin terjadi secara bersamaan) disebut kejadian saling lepas. Dalam notasi himpunan dua kejadian saling lepas jika dipenuhi: 𝐴⋂𝐵 = ∅ atau 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 0

Catatan: 

P  A  B   Peluang kejadian

A atau B yang saling lepas


27



P (A)

= peluang kejadian A



P (B)

= peluang kejadian B

4. Peluang Dua Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan Bdisebut bebas jika dan hanya jika:

P( A  B)  P  C   P  D  Catatan: 

P  A  B   Peluang kejadian



P (A)

= peluang kejadian A



P (B)

= peluang kejadian B

A dan B

5. Peluang Kejadian Bersyarat Kejadian bersyarat adalah kejadian munculnya

suatu kejadian A jika

disyaratkan kejadian munculnya kejadian B terlebih dahulu Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi terlebih dulu ditentukan oleh P( A B) =

P( A  B) dengan P(B) ≠ 0. P( B)

Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi terlebih dulu ditentukan dengan P( B A) =

P( A  B) P ( A)


28

KUNCI JAWABAN

Test Kognitif 1. Diketahui: 𝑛 = 30 orang 𝑘 = 3 (Ketua kelas, wakil ketua, dan sekretaris) Ditanyakan: Banyaknya cara pemilihan yang mungkin terjadi Jawab: 𝑃(𝑛, 𝑘) =

𝑛! (𝑛 − 𝑘)!

𝑃(30,3) = =

30! (30 − 3)! 30 × 29 × 28 × 27! 27!

= 24.360 cara Jadi, banyaknya cara memilih yang mungkin terjadi ada 24.360 cara. 2. Diketahui: 𝑛 = 6 orang (4 anak laki-laki dan 2 anak perempuan) Ditanyakan: Banyak cara duduk yang dapat disusun Jawab: Dengan menggunakan permutasi siklis: 𝑃 = (𝑛 − 1)! 𝑃 = (6 − 1)! = 5! = 120 cara


29

3. Diketahui: 𝑛 = 10 𝑘 = 2 (setiap jabat tangan pasti 2 orang) Ditanyakan: Berapa kali jabat tangan yang terjadi Jawab: 𝐶(𝑛, 𝑘) =

𝑛! (𝑛 − 𝑘)! 𝑘!

𝐶(8,2) =

10! (10 − 2)! 2!

10! 8! 2! 10 × 9 × 8! = 8! 2! =

= 45 kali Jadi, banyaknya jabat tangan yang terjadi sebanyak 45 kali. 4. Diketahui: 𝑛 = 5 (nomor 1-5 harus dikerjakan) 𝑘=3 Ditanyakan: Banyaknya pilihan soal yang dapat dipilih siswa Jawab: 𝐶(𝑛, 𝑘) =

𝑛! (𝑛 − 𝑘)! 𝑘!

𝐶(5,3) =

5! (5 − 3)! 3!

5! 2! 3! 5 × 4 × 3! = 2! 3! =

= 10 Jadi, banyaknya pilihan yang dapat diselesaikan siswa ada 10.


30

5. Diketahui: Sebuah dadu dilempar A munculnya bilangan genap B munculnya bilangan prima Jawab: a. 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. 𝐴 = {2, 4, 6} c. 𝐵 = {2, 3, 5} 6. Diketahui: Misalkan 𝐸 adalah kejadian terambilnya 2 bola merah Misalkan 𝐸 𝑐 adalah kejadian yang terambil kedua-duanya bukan bola merah. Ditanyakan: Peluang yang terambil kedua bukan bola merah Jawab: 𝑃(𝐸) =

𝐶(4,2) 𝐶(10,2)

4!  2!2! 10! 2!8! 

2 5

Sehingga untuk 𝐸 𝐶 berlaku: 𝑃(𝐸 𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐸) 𝑃(𝐸 𝑐 ) = 1 − =

2 15

13 15

Jadi, banyaknya peluang yang terambil kedua-duanya bukan bola merah yaitu 13 . 15


31

7. Diketahui: 𝑛 = 4 + 3 + 3 = 10 Dari 10 bola diambil 1 bola. A = kejadian terambil bola merah. B = kejadian terambil bola hitam. Ditanyakan: Peluang terambil bola merah atau hitam? Jawab: Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil bola merah 𝑃(𝐴) =

4 10

Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil bola hitam 𝑃(𝐵) =

3 10

Peluang terambil bola merah atau hitam; 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴) 4 3 + 10 10 7 = 10 =

Jadi, peluang terambilnya bola merah atau hitam yaitu

7 . 10

8. Diketahui: Misalkan A adalah kejadian munculnya angka prima 𝐴 = {2, 3, 5} Misalkan B adalah kejadian munculnya angka ganjil 𝐵 = {1, 3, 5} 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝑛(𝑆) = 6 Ditanyakan: Peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya mata dadu prima lebih dahulu


32

Jawab: Peluang munculnya mata dadu angka prima P( A) 

n( A) n( S )



3 6



1 2

Sehingga irisannya 𝐴 ∩ 𝐵 = {3, 5} dengan 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 2 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = =

𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑛(𝑆) 2 1 = 6 3

Menentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima terlebih dahulu; 𝑃(𝐴|𝐵) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴)

1  3 1 2 

1 2

Jadi, peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya mata dadu prima lebih dahulu yaitu

2 . 3

9. Diketahui: 𝑃(𝐴) = 0,75 𝑛 = 24 𝐹ℎ(𝐴) = 𝑛 × 𝑃(𝐴) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan


33

10. Diketahui: Sampel 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} 𝑛(𝑆) = 6 Ditanyakan: 𝑃(𝐴)𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) =

2 3 dan 𝑃(𝐵) = 6 6


34

DAFTAR PUSTAKA


35

MODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI

Recommend Documents