Modul Matematika SMA i

Modul Matematika SMA

i

Tim Penyusun : Liya Nur Qori‟ah (1724143141) Lusiana Dian Silviani (1724143146) Masdain Rifa‟I (1724143153) Muchamad Misbakhudin (1724143158) Muhammad Eko Budi Rismanto (172143170) Naela Nur Azizah (1724143178) Niken Nur Fadilla (1724143182) Nurma Ekyta Sari (1724143195) Neti Wahyu H (1724143278) Nurul Qomaria (1724143198) Retno Fadilah (1724143207) Roisatun Nisak (1724143218) Sinta Kumalasari (1724143226) Titis Nurul Hanifah (1724143245) Ulfa Lailatu Khusnia (1724143250) Ummiy Mitsla Khusnika (1724143257) Ulil Hikmah (1724143253) Yulya Elfrida Achmad (1724143269) Yuyun Ridhowati (1724143272)

Tim Editor : Muhammad Eko Budi Rismanto (1724143170) Mochamad Misbakhudin (1724143158)


i

KATA PENGANTAR Matematika itu sebagai ilmu dasar yang dipakai di segala bidang ilmu pengetahuan pada saat ini, yang telah berkembang sangat amat pesat baik dari materi maupun kegunaannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba membuat sebuah modul, yang mana modul ini kami kaji dari bebrbagai buku-buku Matematika SMA/MA kurikulum 2013. Yang mana tujuan dari pembuatan modul ini adalah: 1. Mempersiapkan siswa agar mampu/berkompeten dalam menghadapi perubahan kehidupan dan mempertahankan

budaya bangsa dan era

globalisasi di masa yang akan datang 2. Menanamkan sifat dasar pola berfikir logis, sistematis, rasional, kritis, cermat, tekun, jujur, efisien, dan efektif. pada kesempatan ini penulis menyampaikam terima kasih yang sebesarbesarnya kepada : 1. Ibu Dian Septi Nur Afifah, selaku dosen mata kuliah Kajian & Pengembangan Bahan Ajar Matematika yang telah membimbing dalam pelaksanaan dan penyusunan modul ini. 2. Kedua orang tua serta semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian pembuatan modul ini. Kami menyadari bahwa penyusunan modul ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kami sebagai penyusun sangat menghargai kritik dan saran kepada pembaca modul ini. Semoga apa yang kami samapaikan dari modul ini bisa bermanfaat bagi para siswa sekalian. Selamat belajar, para siswa! Pahami dan kuasailah semua konsep dasar hingga dapat menjawab semua soal yang ada dalam modul ini. Jadi, kalian dapat merasakan bahwa matematika itu indah, mudah, dan menyenangkan. Tulungagung, Desember 2015

Penyusun


ii

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ................................................................................... ii DAFTAR ISI .................................................................................................. iii BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ................... 1 1.1 Pendahuluan ................................................................................. 2 1.2 Pembahasan .................................................................................. 7 1.2.1

Rencana Belajar Siswa .............................................. 7

1.2.2

Kegiatan Belajar 1...................................................... 7

1.2.3


1.2.4


1.2.5


1.2.6


1.3 Evaluasi ......................................................................................... 30 BAB II FUNGSI KUADRAT ....................................................................... 32 2.1 Pendahuluan ....................................................................................... 33 2.2 Pembahasan ........................................................................................ 38 2.2.1

Rencana Belajar Siswa ............................................... 38

2.2.2

Kegiatan Belajar 1 ...................................................... 38

2.2.3


2.3 Evaluasi ............................................................................................... 52 BAB III SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER . 54 3.1.Pendahuluan ....................................................................................... 55 3.2.Pembelajaran ...................................................................................... 59 3.2.1

Rencana Belajar Siswa ............................................... 59

3.2.2


3.2.2


3.2.3


3.2.4


3.3.Evaluasi ............................................................................................... 83 BAB IV TRIGONOMETRI ......................................................................... 90 4.1 Pendahuluan ...................................................................................... 91 4.2 Pembahasan ....................................................................................... 96 Modul Matematika SMA

iii

4.2.1

Rencana Belajr Siswa ................................................ 96

4.2.2

Kegiatan Belajar 1 ..................................................... 96

4.2.3


4.2.4


4.2.5


4.3 Evaluasi .............................................................................................. 125 BAB V LOGIKA ............................................................................................ 127 5.1 Pendahuluan ..................................................................................... 128 5.2 Pembahasan ...................................................................................... 133 5.2.1

Rencana Belajar Siswa............................................. 133

5.2.2

Kegiatan Belajar 1 .................................................... 133

5.2.3


5.2.4


5.3 Evaluasi ............................................................................................. 153 BAB VI DIMENSI TIGA .............................................................................. 156 6.1 Pendahuluan ..................................................................................... 157 6.2 Pembahasan ...................................................................................... 162 6.2.1


6.2.2


6.2.3


6.2.4


6.2.5


6.3 Evaluasi ............................................................................................. 188 BAB VII STATISTIKA ................................................................................. 191 7.1 Pendahuluan ..................................................................................... 192 7.2 Pembahasan ...................................................................................... 199 7.2.1


7.2.2


7.2.3


7.2.4


7.2.5


7.2.6



iv

7.3 Evaluasi ............................................................................................. 238 BAB VIII LINGKARAN ............................................................................... 243 8.1 Pendahuluan ..................................................................................... 244 8.2 Pembahasan ...................................................................................... 249 8.2.1


8.2.2


8.2.3


8.2.4


8.2.5


8.3 Evaluasi ............................................................................................. 283 BAB IX SUKUBANYAK............................................................................... 285 9.1 Pendahuluan ..................................................................................... 286 9.2 Pembahasan ...................................................................................... 291 9.2.1 Rencana Belajar Siswa............................................. 291 9.2.2 Kegiatan Belajar 1 .................................................... 291 9.2.3 Kegiatan Belajar 2 .................................................... 307 9.3 Evaluasi ............................................................................................. 314 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 316 LAMPIRAN


v

BAB


1 1

1.1 PENDAHULUAN

1.1.1 Deskripsi Dalam modul ini akan dipelajari tentang bilangan bulat pangkat positif, negatif, pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut bentuk akar, dan logaritma, dimana di dalam modul ini akan dijelaskan mengenai materi tersebut serta membantu siswa-siswi lebih memahami akan materi itu. 1.1.2 Prasyarat Dalam mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai kompetensi sebelumnya yaitu dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real. 1.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu diperhatikan antara lain adalah: a. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti. Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain. b. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki. c. Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat score (nilai) 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak mencapai

nilai

70,

maka

anda

harus

mengikuti

kegiatan

pembelajaran dalam modul ini. d. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. e. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakan semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi terkait.


2

f. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi maka kembalilah mempelajari materi terkait. g. Jika anda menemui kesulitan yang sulit dipecahkan, maka catatlah dan kemudian tanyakan kepada guru saat kegiatan belajar mengajar atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi yang terkait. 1.1.4 Tujuan Akhir Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini diharapkan anda dapat : a. Memahami bilangan bulat pangkat positif , negatif dan nol b. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat bulat c. Memahami bentuk akar d. Memahami sifat-sifat bentuk akar e. Menyederhanakan bentuk akar f. Menghitung operasi aljabar bentuk akar g. Merasionalkan penyebut bentuk akar h. Memahami bilangan berpangkat pecahan i. Mengenal pengertian logaritma j. Mengenal penulisan dan cara membaca logaritma k. Mengenal sifat-sifat logaritma l. Menentukan nilai logaritma m. Menyederhanakan bentuk logaritma dengan sifat logaritma n. Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan kalkulator


3

1.1.5 Kompetensi Kode Unit : Judul Unit : Pangkat dan Akar Uraian Unit : Uraian ini berlaku untuk materi tentang pangkat dan akar Sub Kompetensi Indikator 1. Bilangan bulat pangkat 1.1 Pengertian pangkat bulat positif positif, negatif, nol, 1.2 Sifat-sifat operasi pangkat bulat positif dan pecahan 1.3 Pangkat bulat negatif dan nol 1.4 Pengertian bilangan pangkat pecahan 1.5 Penyelesaian operasi aljabar bilangan pangkat pecahan 2. Bentuk akar 2.1 Mengenal dan memahami bentuk akar 2.2 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar 2.3 Operasi perkalian dan pembagian bentuk akar 2.4 Merasionalkan penyebut bentuk akar 2.5 Menyederhanakan bentuk akar 3. Logaritma

3.1 Mengenal pengertian logaritma 3.2 Mengenal penulisan dan cara membaca logaritma 3.3 Mengenal dan memahami sifat-sifat logaritma 3.4 Menentukan nilai logaritma 3.5 Penyederhanaan bentuk loaritma dengan menggunakan sifat logaritma 3.6 Menentukan logaritma suatu bilngan dengan menggunakan kalkulator

Acuan Penilaian 1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta didik di kelas 2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai Mengenal bilangan pangkat positif, negatif, dan nol Mengenal bentuk akar Mampu menyelesaikan operasi aljabarnya Mengenal dan memahami pengertian logaritma Dapat menyederhanakan bentuk logaritma dengan sifat logaritma 3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya yaitu operasi aljabar 4. Sikap yang dituntut: Mengerjakan dengan rapi dan bersih Mengerjakan dengan ketelitian Efisien dan optimal dalam mengerjakan Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh atasan


4

1.1.6 Cek Kemampuan Petunjuk: Berilah tanda (  ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban yang anda pilih. Jawaban Ya Tidak

No

Pertanyaan

1.

Apakah anda mengetahui apa itu bilangan berpangkat bulat positif, negatif, dan nol ?

2.

Apakah anda mengetahui sifat-sifat bilangan berpangkat bulat ?

3.

Apakah anda mengetahui bentuk akar ?

4.

Apakah anda mengetahui sifat-sifat bentuk akar ?

5.

Apakah anda mengetahui cara penyederhanaan bentuk akar ?

6.

Apakah anda dapat menyelesaikan operasi aljabar bentuk akar ?

7.

Apakah anda dapat merasionalkan penyebut bentuk akar ?

8.

Apakah anda memahami bilangan berpangkat pecahan ?

9.

Apakah anda mengetahui pengertian logaritma ?

10.

Apakah anda mengenal dan memahami sifat-sifat logaritma ? Skor (nilai)

....................,............... 20......


5

PETA KONSEP Eksponen dan Logaritma

Pangkat Bulat Positif, Negatif, Nol, dan Pecahan

Bentuk Akar

Logaritma

Sifat-Sifat

Operasi

Bentuk

Aljabar

Akar

Sifat-sifat Pangkat Bulat

Sifat Logaritma

Operasi

Nilai

Aljabar

Logaritma


6

1.2 PEMBAHASAN

1.2.1 Rencana Belajar Siswa a. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar, agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan. b. Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan. c. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan kepada guru/instruktur. d. Kerjakanlah

setiap

latihan

dengan

bersungguh-sungguh

agar

kemampuan anda yang sebenarnya diketahui

1.2.2 Kegiatan Belajar I

1.2.2.1 Bilangan Berpangkat Bulat A. Definisi Pangkat Bulat Positif Perhatikan bentuk perkalian berikut. 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 34 Bentuk perkalian tersebut menurut perkalian faktor-faktor yang berulang. Perkalian faktor-faktor yang berulang dapat dituliskan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif. Definisi bilangan berpangkat bulat positif Untuk ɑ bilangan real dan n bilangan bulat positif berlaku ɑn = ɑ x ɑ x ɑ x ... x ɑ , dimana ɑ > 0, n > 0, dan ɑ € R. ɑn dibaca “ɑ pangkat


7

n” disebut bilangan berpangkat (bilangan eksponen), ɑ disebut bilangan pokok (basis), dan n disebut pangkat (eksponen). B. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif Sifat pertama bilangan berpangkat adalah tentang pekalian bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama. Untuk ɑ bilangan real, m dan n bilangan bulat positif berlaku sifat: ɑm x ɑn = ɑm+n Untuk

mengalikan

bilangan-bilangan

berpangkat

dengan

bilangan pokok yang sama, tambahkan pangkatnya dan gunakan bilangan pokok bersama. Contoh: 65 x 63 = 68 65 x 63 = (6.6.6.6.6) x (6.6.6) = (6.6.6.6.6.6.6.6) 65 x 63 = 68 Sifat kedua bilangan berpangkat adalah tentang pembagian bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama. Untuk ɑ bilangan real, m dan n bilangan bulat positif berlaku ɑ𝑚

sifat: ( ɑ𝑛 ) = ɑm-n dengan ɑ ≠ 0 Untuk membagi bilangan-bilangan berpangkat, dengan bilangan pokok yang sama, kurangkan pangkatnya dan gunakan bilangan pokok bersama. Contoh: 𝑥7 𝑥3

=

𝑥.𝑥.𝑥.𝑥.𝑥.𝑥.𝑥 𝑥 .𝑥.𝑥

= 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥 𝑥7 𝑥3

= 𝑥4 Sifat ketiga adalah tentang suatu pernyataan yang mengandung

bilangan berpangkat diberi pangkat lain. Untuk ɑ bilangan real, m dan n bilangan bulat positif berlaku sifat: (ɑm)n = ɑmxn


8

Contoh: (53)2 = (53) (53) = 53+3 = 56 Sifat keempat adalah tentang suatu perkalian yang diberi pangkat. (ɑ x b)m = ɑ𝑚 b𝑚 Misalnya: (2 x 3)5 = (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) = (2 x 2 x 2 x 2 x 2) . (3 x 3 x 3 x 3 x 3) = 25 x 35 Sifat kelima adalah tentang suatu pembagian yang diberi pangkat. Untuk ɑ dan b bilangan real, b ≠ 0, dan m adalah bilangan bulat 𝑎

𝑎𝑚

(𝑏 )m = 𝑏 𝑚 dengan b ≠ 0

positif berlaku sifat:

Suatu pembagian yang dipangkatkan adalah sama dengan pembagian

bilangan-bilangan

itu

setelah

masing-masing

dipangkatkan. Definisi bilangan berpangkat nol Untuk ɑ ≠ 0, berlaku a0 = 1 Contoh: 80 = 1, (ab)0 = 1 untuk ɑ ≠ 0 dan b ≠ 0 Definisi bilangan berpangkat bulat negatif Jika ɑ adalah bilangan real, ɑ ≠ 0, dan n bilangan bulat positif 1

1

maka ɑ-n = 𝑎 𝑛 atau 𝑎 −𝑛 = ɑn Contoh: 1

2−1 = 2 1

1

3−2 = 32 = 9


9

1.2.2.2 Rangkuman

1. Jika 𝒂 bilangan real dan n bilangan bulat positif maka ɑ𝒏 ditentukan oleh: ɑ𝒏 = 𝒂 × 𝒂 × … × 𝒂, dengan 𝒂 disebut bilangan pokok dan 𝒏 disebut pangkat. 2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat Untuk sebarang bilangan real 𝒂 dan 𝒃 serta sebarang bilangan bulat m dan n berlaku :  ɑ𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏  (𝒂𝒃)𝒎 = 𝒂𝒎 × 𝒃𝒎  𝒂𝒎  

ɑ𝒎 ɑ𝒏

𝒏

= 𝒂𝒎×𝒏

= 𝒂𝒎−𝒏 , 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒎 > 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0 0

𝒂 𝒎 𝒃

𝒂𝒎

= 𝒃𝒎 , 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒃 ≠ 𝟎

 𝒂𝟎 = 𝟏, 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎  𝒂−𝒏 =

𝟏 𝒂𝒏

, 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎

1.2.2.3 Tes Formatif

1. Sederhanakan hasil operasi bilangan berpangkat berikut : 4 5 ×4 3

b. 35 × 36 a. 25 × 29 c. 4 3 2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakan bentuk berikut: a.

4 −3 4 −2


b. 3−4

c.

𝑥3 𝑥3

10

1.2.2.4 Lembar Penilaian Nama

:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.

Benar cara maupun hasilnya

0 – 60

2.

Benar cara, hasil salah

0 – 20

3.

Benar hasil, cara salah

0 - 20

Jumlah

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%

Jumlah Nilai Akhir

Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus

…………….,………………..20…


11

1.2.3 Kegiatan Belajar 2

1.2.3.1 Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan a. Pemahaman Bentuk Akar Pernyataan bentuk akar

𝑛

𝑥, dengan 𝑛 bilangan bulat yang lebih

besar daripada 1. Adapun n disebut indeks dan notasi tanda akar. Notasi untuk akar pangkat tiga ditulis notasi untuk akar kuadrat ditulis

2

3

disebut

𝑥, sedangkan

𝑥 atau lebih sering disingkat

dengan 𝑥 . selanjutnya akan dipelajari tentang bentuk akar kuadrat. Suatu bilangan dikatakan sebagai bentuk akar kuadrat jika bilangan yang terdapat di dalam tanda

bukan bilangan kuadrat.

Beberapa bilangan kuadrat ditunjukkan pada tabel berikut. Bilangan kuadrat N


Akar positif dari N 𝑁

0,16

0,4

0,36

0,6

1 4 1 64 0

1 2 1 8 0

1

1

4

2

9

3

16

4

25

5

36

6

49

7

64

8

81

9

100

10

12

b. Sifat-Sifat Bentuk Akar Sifat-sifat bentuk akar memudahkan Anda untuk menyelesaikan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar. Perhatikan sifat-sifat bentuk akar berikut : 1.

𝑎2 = ɑ; ɑ ≥ 0

2.

𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎 x 𝑏; ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0 𝑎

3.

𝑏 𝑚

4.

=

𝑛

𝑎 𝑏

; ɑ ≥ 0 dan b > 0

𝑎=

𝑚𝑛

𝑎

c. Menyederhanakan Bentuk Akar Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi aljabar, sebaiknya bentuk aljabar dituliskan dalam bentuk yang paling sederhana. Penulisan bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut : 1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu. Contoh: 𝑥 ,x>0 𝑥5

dan 𝑥 3

bukan bentuk sederhana, bentuk sederhananya

adalah 𝑥 2 𝑥 dan x 𝑥 2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut Contoh: 1 𝑥 1 𝑥

bukan bentuk sederhana = =

1 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥

𝑥 𝑥

bentuk sederhana

3. Tidak mengandung pecahan Contoh: 5 2

bukan bentuk sederhana


13

10 2

bentuk sederhana

d. Operasi Aljabar Bentuk Akar  Penjumlahan dan pengurangan Bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan pada

variabel-variabel

yang

sejenis.

Begitupula

dengan

penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, variabel-variabelnya juga sejenis. Jika p, q € R dan ɑ ≥ 0 maka: p 𝑎 + q 𝑎 = (p + q) 𝑎 p 𝑎 - q 𝑎 = (p - q) 𝑎 contoh : 7𝑐 - 2 5 + 5 = (7-2+1) 5  Perkalian bentuk akar Sebelumnya telah diketahui bahwa tersebut tentu dapat dibalik menjadi

𝑎𝑥𝑏 = 𝑎 x

𝑏 . sifat

𝑎 x 𝑏 = 𝑎𝑥𝑏

Untuk p, q € R dan ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0, berlaku: p 𝑎 x q 𝑎 = (pq) 𝑎𝑥𝑏 Contoh: 2 2 x 5 3 = (2 x 5) 2 𝑥 3 = 10 6  Pembagian bentuk akar Untuk ɑ, b € R dan ɑ ≥ 0 dan b > 0, berlaku : 𝑎 𝑏

=

𝑎 𝑏

Misal: 18 6

=


18 6

= 3

14

1.2.3.2 Rangkuman 𝑛

1. Bentuk akar

𝑥 , dengan n bilangan bulat yang lebih besar daripada

1. Adapun n disebut indeks dan notasi

disebut tanda akar.

2. Sifat-sifat bentuk akar sebagai berikut : 𝑎.

𝑎2 = ɑ ; ɑ ≥ 0

b.

𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎 x 𝑏 ; ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0 𝑎

𝑐. 𝑑.

=

𝑏 𝑚

𝑛

𝑎 𝑏

𝑎=

; ɑ ≥ 0 dan b > 0 𝑚𝑛

𝑎

3. Syarat-syarat penyederhanaan bentuk akar, sebagai berikut : 1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu. 2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut 3. Tidak mengandung pecahan 4. Operasi Aljabar Bentuk Akar  Penjumlahan dan pengurangan Jika p, q € R dan ɑ ≥ 0 maka : p 𝑎 + q 𝑎 = (p + q) 𝑎 p 𝑎 - q 𝑎 = (p - q) 𝑎  Perkalian bentuk akar Untuk p, q € R dan ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0, berlaku : p 𝑎 x q 𝑎 = (pq) 𝑎𝑥𝑏  Pembagian bentuk akar Untuk ɑ, b € R dan ɑ ≥ 0 dan b > 0, berlaku : 𝑎 𝑏

=


𝑎 𝑏

15


Untuk menguji pemahaman Anda kerjakan soal latian berikut. 1. Tentukan bentuk akar atau bukan. 𝑎. 8

b.

16 25

2. Sederhanakan bentuk akar berikut : a.

12

b.

48 𝑥 4 𝑦 13

3. Selesaikan operasi aljabar pada bentuk akar berikut a. 5 2 + 32 - 3 8 b.

18 6


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Jumlah

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%

Jumlah Nilai Akhir Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus ……………….,……………..20…


16


1.2.4.1 Merasionalkan Penyebut  Merasionalkan penyebut

𝑎 𝑏

;b>0 𝑎

Untuk merasionalkan penyebut dalam bentuk pecahan 𝑏

pecahan tersebut harus dikalikan dengan merasionalkan penyebut dalam pecahan

𝑏 𝑎 𝑏

𝑏

,

. dengan demikian proses adalah

𝑎 𝑏

=

𝑎 𝑏

x

𝑏 𝑏

=

𝑎 𝑏

𝑏 𝑐

 Merasionalkan penyebut 𝑎±

𝑐

𝑏

atau 𝑎±

𝑏

Anda telah menggunakan sifat perkalian istimewa 𝑎 + 𝑏 𝑎 −

𝑏=𝑎2−𝑏2 atau 𝑎−𝑏𝑎+𝑏=𝑎2−𝑏2. Bentuk (𝑎−𝑏) disebut kawan dari (𝑎 + 𝑏) dan (𝑎 + 𝑏) adalah kawan dari (𝑎 − 𝑏). Anda telah melihat bahwa hasil kali dari pasangan sekawan seperti ini selalu menghasilkan bilangan rasional. Sebagai contoh : (ɑ + 𝑏) (ɑ - 𝑏) = (ɑ)2 - ( 𝑏 )2 = ɑ2 – b ( 𝑎 + 𝑏) ( 𝑎 - 𝑏) = ( 𝑎)2 - ( 𝑏 )2 = ɑ – b Sekarang akan dijelaskan tentang merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah atau selisih dari dua bilangan. Caranya dengan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dari pecahan tersebut dengan pasangan bentuk sekawan. Contoh:  

𝑐

𝑐

𝑎+ 𝑏 𝑐

= 𝑎+

𝑏

𝑐

𝑎− 𝑏

= 𝑎−

𝑏

𝑥 𝑥

𝑎− 𝑏

𝑐 (𝑎− 𝑏)

𝑎−

𝑎2

= 𝑏

−(

= 𝑏 )2

𝑎+ 𝑏

𝑐 (𝑎+ 𝑏)

𝑎+

𝑎2

= 𝑏

−(

= 𝑏 )2

𝑐 (𝑎− 𝑏) 𝑎 2 −𝑏 𝑐 (𝑎+ 𝑏) 𝑎 2 −𝑏

1.2.4.2 Pangkat Pecahan  Definisi bilangan berpangkat pecahan Untuk mengetahui definisi bilangan berpangkat pecahan, pelajarilah uraian berikut. Misalnya : 3

= 3𝑎


17

( 3)2 = (3𝑎 )2 3

= 32a

31

= 32𝑎

1

=2𝑎

𝑎

=2

1 1

Jadi, 3 = (3)2 Hasil

akhir

tersebut

menggambarkan

definisi

bilangan

berpangkat pecahan sebagai berikut: Jika 𝑎 ≥ 0, m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli) maka, 𝑚

𝑎𝑛 =

𝑛

𝑎𝑚 atau

𝑛

𝑚

𝑎𝑚 =𝑎 𝑛

Catatan : 𝑎 boleh negatif jika n bilangan ganjil, sebagai contoh: 3

−1 =

5

−32 =

3

(−1)3 = -1 3

(−2)5 = -2

Akan tetapi, untuk bilangan genap diperoleh 2

−1 = −1 Sebelum mempelajari beberapa contoh soal, perlu Anda ketahui

bahwa sifat-sifat pada bilangan berpangkat bulat juga berlaku bagi bilangan berpangkat pecahan. Contoh: 1

Sifat 𝑎−𝑛 = 𝑎 𝑛 berlaku untuk pangkat pecahan, −1

𝑎3 =

1 1

𝑎3 −2

𝑎5 =

1 2

𝑎5 1

Demikian juga dengan sifat 𝑎 −𝑛 = 𝑎𝑛 Contoh: 1

1 −1

= 𝑎2 ,

𝑎2

1

3

−3 = 𝑎 5

𝑎5

 Merasionalkan penyebut

𝑛

𝑎𝑚 , n bulat > 2

Pada bagian sebelumnya, Anda telah mempelajari cara merasionalkan penyebut suatu pecahan yang memiliki bentuk Modul Matematika SMA

𝑎 , 18

(𝑎 ±

𝑏 ), dan ( 𝑎 ±

𝑏 ). Bagaimanakah merasionalkan pecahan 𝑛

yang penyebutnya memiliki bentuk ,

7 3

𝑥

, atau

7 3

1+𝑥

𝑎𝑚 (n bulat > 2), seperti

1 3

2

,

4 5

𝑥

?

Pada prinsipnya, langkah-langkah merasionalkan pecahan yang penyebutnya berbentuk 𝑛

1. Ubah penyebut

𝑛

𝑎𝑚 ; n > 2 adalah sebagai berikut: 𝑚

𝑎𝑚 ke pangkat 𝑎 𝑛

Contoh: 1 3

2

=3

1 21

1

=

1

23 𝑝

𝑎𝑛

2. Kalikan pecahan tersebut dengan

sehingga penyebutnya

𝑝

𝑎𝑛 𝑚

memiliki pangkat bulat positif terdekat ke 𝑎 𝑛 Contoh: 1

Pangkat bulat positif terdekat ke 23 adalah 21 . Supaya penyebut 1

3

1

2

23 menjadi 23 = 21 maka 23 harus dikalikan dengan 23 Jadi,

1 1 23

=

1 1 23

x

2

2

2

23

23

23

2 23

=

1 2 + 23 3

=

21

3

=

2

2

1 3

=2

4

Contoh soal: Sederhanakan

pecahan

berikut

dengan

merasionalkan

penyebutnya. 7 5

𝑥

=


7 1

𝑥5

=

7 1

𝑥5

𝑥

4

4

4

𝑥5

75

75

4

𝑥5

=

1 4 = 1 = + 𝑥

𝑥5 5

5

7 𝑥4 𝑥

19

1.2.4.3 Rangkuman

1. Merasionalkan Penyebut a. Merasionalkan penyebut 𝑎

=

𝑏

𝑎 𝑏

x

𝑏

𝑎

;b>0

𝑏

𝑎

=𝑏 𝑏

𝑏

𝑐

b. Merasionalkan penyebut 𝑎± 𝑐



𝑐

𝑎+ 𝑏 𝑐



𝑎− 𝑏

= 𝑎+ =

𝑥

𝑏

𝑐

𝑥

𝑎− 𝑏

𝑎− 𝑏 𝑎− 𝑏 𝑎+ 𝑏 𝑎+ 𝑏

= =

𝑐

𝑏

atau 𝑎±

𝑐 (𝑎− 𝑏) 𝑎 2 −( 𝑏 )2 𝑐 (𝑎+ 𝑏) 𝑎 2 −( 𝑏 )2

𝑏

= =

𝑐 (𝑎− 𝑏) 𝑎 2 −𝑏 𝑐 (𝑎+ 𝑏) 𝑎 2 −𝑏

2. Pangkat Pecahan Jika 𝑎 ≥ 0, m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli) maka, 𝑚

𝑎𝑛 =

𝑛

𝑎𝑚 atau

𝑛

𝑚

𝑎𝑚 =𝑎 𝑛

Catatan : 𝑎 boleh negatif jika n bilangan ganjil 3. Merasionalkan penyebut Langkah-langkah berbentuk

𝑛

𝑛

𝑎𝑚 , n bulat > 2

merasionalkan

pecahan

yang

penyebutnya

𝑎𝑚 ; n > 2 adalah sebagai berikut :

a. Ubah penyebut

𝑛

𝑚

𝑎𝑚 ke pangkat 𝑎 𝑛

𝑝

b. Kalikan pecahan tersebut dengan

𝑎𝑛 𝑝

sehingga penyebutnya

𝑎𝑛 𝑚

memiliki pangkat bulat positif terdekat ke 𝑎 𝑛


20


1) Sederhanakan

pecahan-pecahan

berikut

dengan

merasionalkan

penyebutnya 𝑎.

6

b. 5

10 2− 3

2) Jika p = 2+

3

4 3𝑥

; x>0

2+ 3

dan q = 2−

3

, hitunglah operasi berikut :

p+q 3) Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar paling sederhana. 2

1.2.5

123

−3

b. ɑ 2

4) Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya. 7 5

𝑥


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Jumlah

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%

Jumlah Nilai Akhir Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus

………………,……………. 20… Modul Matematika SMA

21


1.2.5.1 Pengertian dan konsep logaritma Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui ax = b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang berbentuk X = alog b ↔ b = ax dimana: a disebut basis (0 < a < 1 atau a > 1) b disebut numerus (b > 0) x disebut hasil logaritma Diskusi Contoh: 𝑦

Jika alog x = 3 dan 3alog y = 3, tentukan nilai 𝑥 Penyelesaian: Pada definisi logaritma diperoleh a

log x = 3 maka x = a3

3a

log y = 3 maka y = (3a)3 = 27a3 𝑥

Jadi, 𝑦 =

27𝑎 3 𝑎3

= 27

1.2.5.2 Sifat-sifat logaritma Sifat dasar logaritma: Logaritma merupakan invers dari perpangkatan. Oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma, yaitu: Misalkan a dan n bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka : 1. alog a = 1 2. alog 1 = 0 3. alog an = n Contoh: 1. alog a = x ⇔ ax = a sehingga x = 1 atau alog a = 1 2. alog 1 = y ⇔ ay = 1. Karena a0 = 1, maka y = 0 3. alog an = z ⇔ ax = an sehingga z = n serta alog an = n


22

 Sifat 1 Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, dan b > 0, berlaku a

log (b×c) = alog b + alog c

(Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma masing-masing bilangan) Bukti: Berdasarkan definisi, maka diperoleh : a

log b = x ↔ b = ax

a

log c = y ↔ c = ay

Dengan mengalikan nilai b dan c maka : b × c = ax × ay ↔ b × c

= 𝑎 𝑥 +𝑦

↔ alog (b×c) = x + y substitusi x dan y ↔ alog (b×c) = alog b + alog c terbukti Contoh: Jika 4log 3 = p, 4log 5 = q, 4log 8 = r, hitunglah: 4

log 15 + 4log 64

Penyelesaian: 4

log 15 + 4log 64

= 4log (3×5) + 4log (8×8) = 4log 3 + 4log 5 + 4log 8 + 4log8 =p+q+r+r = p + q + 2r

 Sifat 2 Untuk a, b, dan c bilangan real dengan a > 0, a ≠ 1, dan b > 0, berlaku: a

𝒃

log 𝒄 = alog b – alog c

(Logaritma dari pembagian dua bilangan sama dengan logaritma bilangan yang dibagi dikurangi logaritma bilangan pembagi) Bukti: Berdasarkan definisi, maka diperoleh : Modul Matematika SMA

23

a


a

log c = y ↔ c = ay

Dengan membagi b dan c, maka diperoleh : 𝑏 𝑐

𝑎𝑥

= 𝑎𝑦 ↔

𝑏

= ax-y

𝑐

↔ alog

𝑏

↔ alog

𝑏

𝑐 𝑐

= alog ax-y =x–y

substitusi x dan y

𝑏

↔ alog 𝑐 = alog b – alog c

terbukti

Contoh: Jika log 2 = 0,3010 hitunglah log 5! Penyelesaian: log 5 =

10 2

= log 10−log 2 = 1−0,3010 = 0,6990

 Sifat 3 Untuk a, b, dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a ≠ 1, berlaku a

log bn = n alog b

(Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan hasil kali pangkat bilangan tersebut dengan logaritma bilangan itu sendiri) Bukti: a

log bn

= alog 𝑏 × 𝑏 × 𝑏 × … × 𝑏 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

↔ alog bn = 𝑎log b + 𝑎 log

𝑎

𝑎 log b + … + log 𝑏 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

b+

↔ alog bn = n alog b

sifat 2 terbukti

Contoh: 5

1

log 122 + 5log 2

Penyelesaian: 5

1

log 122 + 5log 2

1

= 5log 12 2 × 2 = 5log 25 = 5log 52 = 2


24


1. Nyatakan dalam bentuk logaritma yang ekuivalen : a. 𝑎𝑛 = 𝑏

b. 3𝑥 = 𝑦

2. Nyatakan bentuk berikut menjadi bentuk pangkat : a.

2

c.

10

log 𝑥 = 𝑛 log 100 = 2

b.

3

d.

2

log 𝑎 = 𝑦

log 𝑎 = 5

3. Hitunglah nilai logaritma berikut : a.

5

b. 5log 0,2

log 625

4. Sederhanakan ! a.

6

log 4 + 6log 54

c.

2

b. log 25 + log 4

log 7 − 2log 28

d.

2

log 16 − 2log 4

f. 2 log 5 − log 25

e. 2 log 2 + 2 log 3


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%

Jumlah Jumlah Nilai Akhir Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus

……………….,…………….20… Modul Matematika SMA

25


1.2.6.1 Lanjutan Kegiatan Belajar 1, Mengenai Sifat-Sifat Logaritma:  Sifat 1 Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, dan c ≠ 1, berlaku 1. 2.

a

𝒄

log b = 𝒄𝒍𝒐𝒈 𝒃 atau 𝒍𝒐𝒈 𝒂

a

log b = 𝒃

𝟏

𝒍𝒐𝒈 𝒂

Bukti: Berdasarkan definisi: a


Ambil sebarang c bilangan real dan c ≠ 1 sedemikian sehingga: c

log b = clog ax ↔ clog b

= x clog a 𝑐

↔x

= 𝑐 log 𝑏

↔ alog b

=

ingat sifat 3

log 𝑎

𝑐 log 𝑏 𝑐 log 𝑎

terbukti

Karena c bilangan real dan c ≠ 1, maka dengan ketentuan diatas dapat dipenuhi c = b sehingga diperoleh: ↔ alog b

𝑏

= 𝑏 log 𝑏

log 𝑎

=𝑏

1

terbukti

log 𝑎

Contoh: 1

Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa : 5log 3 = p Penyelesaian: 5

3

log 3 = 3log 3 = log 5

1 p

ambil 3 sebagai bilangan pokok baru.

 Sifat 2 Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠ 1 dan b≠1, a


log b × blog c = alog c 26

Bukti: Berdasarkan definisi, maka diperoleh : a


b a

log c = y ↔ c = by

log b × blog c = alog ax × blog by

↔ alog b × blog c = alog b × blog by

ingat c = by

↔ alog b × blog c = y alog b × blog b

sifat dasar log

a

b

a

↔ log b × log c = y log b

ingat sifat 3

↔ alog b × blog c = alog by

ingat c = by

↔ alog b × blog c = alog c

terbukti

Contoh: Hitunglah 2log 5 × 5log 16 Penyelesaian: 2

log 5 × 5log 16

= 2log 16 = 2log 24

=4

 Sifat 3 Untuk a dan b bilangan real positif dengan a ≠ 1, berlaku a. b.

𝒏

𝒂𝒎

log bn = 𝒎 × alog b

𝒂𝒎

log bn = alog b

Dimana m, n bilangan real dan m ≠ 1 Contoh: Hitunglah 8log 16 ! Penyelesaian: 8

log 16 = 2 4

3log 2 4

=3 ×

2

4

=3 ×1=

log 2 4 3

1.2.6.2 Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan logaritma Untuk menentukan nilai logaritma, pastikan kalkulator yang anda

gunakan

adalah

kalkulator

Scientific.

Berikut

akan

dicontohkan cara menentukan nilai 2log 35 dengan menggunakan Modul Matematika SMA

27

kalkulator Scientific Casio fx-82ES. Anda cukup menekan tombol berikut secara berurutan. Tombol yang ditemukan

Hasil Layar

log▪□

log□ (□)

2

Log

Replay

3

5

log2 (35) log2 2,564641508

=

Contoh: Tentukan nilai dari log 7,8 Penyelesaian: Untuk menentukan hasil logaritma dari log 7,8 maka tomboltombol yang ditekan adalah sebagai berikut: Tombol yang ditekan log

7

.

Hasil layar

log (□ 8

) log2 (7.8)

=

log (7.8) 0,892094602


28

1.2.6.3 Tes Formatif 1. Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma berikut dalam bentuk a a.

8

log 3

b.

4

log 81

c.

8

log 27

2. Sederhanakan ! a.

p

log 5 × 5log y × ylog p

b.

2

log 25 × 5log 16

c.

3

log 16 × (4log 9 + 4log 3)

d.

9

log 3 × 3log 27

3. Diketahui 2log 3 = a, nyatakan dalam bentuk a dari logaritma berikut: a.

2

log 27

b.

8

log 9

c.

4

log 9

4. Dengan menggunakan kalkulator tentukanlah! a. log 4,186

b. log 4,2

c. log 0,096

d. log 103


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


Tulungagung, Desember 2015 Modul Matematika SMA

29

1.3 EVALUASI

1.3.1 Soal Evaluasi 1.

Tentukan operasi dari bilangan-bilangan berikut: a. 3𝑥 4 x 𝑥 2 ɑ2 𝑏 3 𝑐 −1

2.

Nilai dari

3.

Bentuk sedehana dari bentu akar

ɑ−2 𝑏 𝑐 2

𝑥6

b. (3ɑ3 𝑏 2 )4

c. (𝑥 2 )3

untuk a = 2, b = 3, dan c = 5 adalah... (3𝑥 + 5)9 , dengan 3𝑥 + 5 ≥ 0

adalah... 1− 2 2 ) 1+ 2

4.

Bentuk sederhana dari (

5.

Ubahlah bentuk akar berikut ke bentuk pangkat

adalah...

4

a. 2𝑥 𝑥 3 6.

Sederhanakan bentuk akar berikut:

7.

a. 8 + 2 15 Hitunglah: a. log 21 − log 210

8.

c. 3log 4,5 + 3log 6 1 e. log 2 + log 10 – log 5 g. log 2 + 2 log 3 – log 18 Sederhanakan! a. 2 log 3 + 2 log 3

9.

3𝑥 2

b.

3

𝑥2

,𝑥>0

9−4 5

b.

5

b. log 25 − log 2 d. 6log 9 + 6log 8 – 6log 2 f. 3log 45 – 9log 25

1

1

b. 2 2log 16 − 3 2log 8 d. 2log 24 – 8log 27 f. 5 log 5 + 2 log 2 – log 25

c. 5log 320 – 3 5log 4 e. 5log 9 × 9log 625 g. 8 log 8 – 2 log 2 1 5 Jika log 25 + 5log 125 = x, maka nilai x adalah...

10. Diketahui 3log 7 = a, 5log 2 = b, dan 2log 3 = c. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk a, b, dan c a. 7log 3 b. 4log 5 11. Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa 9log 5 =

c. 1 4

3

log 2

p

12. Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 adalah... 13. Diketahui 3log 4 = p dan 3log 5 = q, maka nilai dari 3log 80 adalah... 14. Dengan menggunakan kalkulator, tentukan nilai logaritma berikut: a. log 4,6 Modul Matematika SMA

b. log 5,2

c. log 69,4

d. log 0,17 30

1.3.2 Lembar Penilaian Nama

:

Kelas

:

No. Absen

:

Judul Tugas

: Nilai Prestasi

No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.

Benar cara hasilnya

maupun

2.


0 – 20

3.


0 – 20

Tes Formatif

Evaluasi

Jumlah x 60 %

Jumlah x 40%

0 – 60

Jumlah Jumlah Jumlah Nilai Akhir

Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus

...................., ......................Th.......


31

BAB


2 32

2.1 PENDAHULUAN

2.1.1 Deskripsi Modul

ini

berisi

tentang

Fungsi

Kuadrat

yang meliputi

menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat, membentuk fungsi kuadrat. 2.1.2 Prasyarat Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul sebelumnya yaitu koordinat kartesius, sistem linier dua variabel. 2.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul a. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti. Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain. b. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki. c. Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat nilai 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak mencapai nilai 70, maka anda harus mengikuti kegiatan pembelajaran dalam modul ini. d. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. e. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. f. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. g. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / instruktur. h. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/instruktur pada saat kegiatan tatap muka.


33

Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 2.1.4 Tujuan akhir Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini diharapkan anda dapat memiliki kemampuan: 1. Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat, 2. Membentuk suatu fungsi kuadrat. 2.1.5 Kompetensi Kode Unit: MAT.FGS.SMA.1 Judul Unit: Menggambar dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat Uraian Unit: Unit ini berlaku untuk pekerjaan menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat menggunakan peralatan dan perlengkapan gambar manual Sub Kompetensi

Kriteria Unjuk Kerja

1. Melakukan persiapan pekerjaan menggambar grafik fungsi kuadrat.

1.1. Macam-macam bentuk grafik fungsi kuadrat dan istilah dikenali dan dipahami. 1.2. Peralatan dan perlengkapan gambar yang dibutuhkan dipilih dan disiapkan. 1.3. Media gambar yang dibutuhkan dipilih dan disiapkan. 1.4. Peralatan dan perlengkapan gambar diperiksa kondisinya, apabila ada kerusakan diperbaiki. 1.5. Sumber gambar dipahami, apabila tidak jelas tanyakan kepada atasan.

2. Menggambar titik potong grafik dengan sumbu koordinat

2.1. Sebuah garis lurus (vertikal) Y dan sebuah garis tegak lurus pada Y (horisontal) disebut X yang membagi dua Y di sebuah titik (titik O) digambar. 2.2. Garis X dibagi dengan ukuran yang sama besar pada bagian kiri dan bagian kanan. 2.3. Garis Y dibagi dengan ukuran yang sama besar pada bagian atas dan bagian bawah. 2.4. Garis X diberi tanda dengan beberapa titik tambahan (misalnya titik P, Q, R,


34

dan seterusnya) pada bagian kanan. 2.5. Garis Y diberi tanda dengan beberapa titik tambahan (misalnya titik 1, 2, 3, dan seterusnya) pada bagian atas. 2.6. Buat pola (titik-titik) pada (P,4), (Q,1), (,RO), (S,1), dan (T,4). 2.7. Pola (titik-titik) dihubungkan sehingga membentuk sebuah kurva. 3. Membereskan pekerjaan

4. Melakukan memahami kuadrat.

3.1. Hasil gambar diperiksa kesesuaian dengan perintah. 3.2. Perakalatan dan perlengkapan gambar dibersihkan dan disimpan pada tempatnya. 3.3. Hasil gambar disimpan pada tempatnya.

persiapan 4.1 Mengenali istilah fungsi kuadrat dan fungsi dipahami. 4.2 Memahami bentuk-bentuk dan cara penyelesaian fungsi kuadrat. 4.3 Memahami dipaparkan.

gambar

yang

telah

4.4 Sumber materi dipahami, apabila tidak jelas ditanyakan kepada atasan. 5. Menyelesaikan latihan 5.1. Menyusun fungsi kuadrat jika soal bentuk-bentuk grafiknya memotong sumbu 𝑿 di fungsi kuadrat. 𝒙𝟏 , 𝟎 dan 𝒙𝟐 , 𝟎 serta melalui sebuah titik tertentu 5.2. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memiliki titik puncak 𝒙𝒑 , 𝒚𝒑 dan melalui sebuah titik tertentu 5.3. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui tiga buah titik 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒅𝒂𝒏 𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 5.4. Menyusun fungsi kuadrat jika sketsa grafiknya diketahui 6. Membereskan pekerjaan.

6.1. Hasil pekerjaan diperiksa kesesuaiannya dengan perintah 6.2. Hasil pekerjaan disimpan pada tempatnya

Prasyarat Untuk Kerja 1. Unit ini berlaku untuk menggambar sebuah sketsa grafik fungsi kuadrat menggunakan peralatan dan perlengkapan gambar manual Modul Matematika SMA

35

yang dilakukan di studio gambar atau tempat lain. 2. Tersedia acuan untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat 3. Tersedia peralatan gambar yang meliputi: Pensil atau rapido Penggaris Meja atau papan gambar Media gambar berbagai jenis ukuran 4. Tersedia sumber informasi yang berupa: Gambar dan sketsa grafik berbagai jenis fungsi 5. Unit ini berlaku untuk pekerjaan memahami fungsi kudrat dengan penjelasan materi yang dilakukan didalam kelas atau di tempat lain. 6. Tersedia contoh dari fungsi kuadrat. 7. Tersedia rumus-rumus fungsi kuadrat. Acuan Penilaian 1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji di studio gambar maupun di tempat lain dengan standar peralatan gambar yang sesuai. 2. Aspek kritikal yang dinilai: Mengenali jenis-jenis fungsi dan grafiknya Memahami cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat Mampu menggambar menggunakan peralatan dan perlengkapan gambar manual 3. Kompetensi yang sebelumnya harus dikuasai 4. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan: Menghitung titik potong grafik dengan sumbu koordinat Menghitung sumbu simetri Menghitung nilai maksimum dan minimum fungsi Menghitung koordinat titik puncak Berbagai dan jenis ukuran media gambar Memahami fungsi kuadrat Memahami bentuk-bentuk dan penyelesaian fungsi kuadrat Memahami contoh fungsi kuadrat Memahami gambar fungsi kuadrat Berbagai dan jenis soal fungsi kuadrat 5. Sikap yang dituntut: Bekerja dengan rapi dan bersih Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan ukuran Menghargai produktifitas dalam bekerja Efisien dan optimal dalam bekerja Menghargai mutu hasil pada setiap langkah kerjanya Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh atasan


36

2.1.6

Cek Kemampuan Petunjuk: Berilah tanda (), pada kolom jawaban: Ya atau Tidak pada jawaban yang anda pilih Jawaban

No.

Pertanyaan

1.

Apakah anda mengenal bidang datar?

2.

Apakah anda dapat menggambar bidang datar?

3.

Apakah anda mengetahui tentang koordinat kartesius?

4.

Apakah anda mengetahui tentang absis?

5.

Apakah anda mengetahui tentang ordinat?

6.

Apakah anda mengenal fungsi?

7.

Apakah anda dapat memahami fungsi?

8.

Apakah anda mengenal fungsi kuadrat?

9.

Apakah anda dapat memahami fungsi kuadrat?

10.

Apakah anda mengetahui tentang bentuk-bentuk fungsi

Ya

Tidak

kuadrat? 11.

Apakah anda dapat memahami gambar bentuk-bentuk fungsi kuadrat?

Nilai

......................,................. 20...


37

2.2 PEMBAHASAN

2.2.1 Rencana Belajar Siswa

1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar, agar kamu mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan. 2. Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan. 3. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan kepada guru/instruktur. 4. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan anda yang sebenarnya diketahui.


2.2.2.1 Domain, Kodomain, dan Range a. Pengertian Domain, Kodomain, Range Misalkan fungsi 𝑓 memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. 1) Himpunan A disebut dengan daerah asal atau domain atau prapeta fungsi 𝑓. 2) Himpunan B disebut dengan daerah kawan atau kodomain fungsi 𝑓. 3) Himpunan yang beranggotakan himpunan B yang dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut dengan daerah hasil atau range atau peta fungsi 𝑓.


38

Perhatikan kembali pemetaan pada gambar ini   

   

1 2 3

A B C D

2.2.2.2 Rumus dan Bentuk Umum Fungsi Kuadrat a. Pengertian Fungsi Kuadrat Fungsi 𝑓 pada himpunan bilangan real ℝ yang ditentukan oleh rumus

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

dengan

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0

dinamakan fungsi kuadrat dengan peubah 𝑥. Grafiknya dinamakan parabola dan persamaannya adalah 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. b. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎 2.2.2.3 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat a. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 secara umum dapat ditempuh dengan langkah-langkah berikut: 1) Titik potong grafik dengan sumbu koordinat a) Titik potong dengan sumbu X Titik potong dengan sumbu 𝑋 diperoleh jika 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 0. Dengan demikian, dapat didapatkan 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Absis titik potong dengan sumbu 𝑋 diperoleh dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Banyaknya titik potong dengan sumbu 𝑋 tergantung pada nilai diskriminannya, yaitu 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. i.

Jika 𝐷 > 0, maka grafik memotong sumbu 𝑋 di dua titik yang berbeda.

ii.

Jika 𝐷 = 0, maka grafik menyinggung sumbu 𝑋.

iii.

Jika 𝐷 < 0, maka grafik tidak memotong atau menyinggung sumbu 𝑋.


39

b) Titik potong dengan sumbu Y Titik potong dengan sumbu 𝑌 diperoleh jika 𝑥 = 0. Dengan demikian, didapatkan 𝑦 = 𝑎(0)2 + 𝑏 0 + 𝑐 = 𝑐. Jadi, tititk potong grafik 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan sumbu 𝑌 adalah (0,c) dan posisi titik potongnya dengan sumbu 𝑌 secara otomatis bergantung pada nilai c. (1)Jika 𝑐 > 0, maka grafik memotong sumbu 𝑌 positif. (2)Jika 𝑐 = 0, maka grafik melalui titik pusat (0,0). (3)Jika 𝑐 < 0, maka grafik memotong sumbu 𝑌 negatif. 2) Sumbu simetri Sumbu simetri dari parabola 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah 𝑥 =

−𝑏 2𝑎

.

3) Nilai maksimum atau minimum fungsi Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 mempunyai nilai minimum jika 𝑎 > 0 dan mempunyai nilai maksimum jika 𝑎 < 0. Nilai maksimum atau minimum 𝑓(𝑥) ditentukan oleh rumus 𝑦 =

−𝐷 4𝑎

.

4) Koordinat titik puncak Koordinat titik puncak parabola yang ditentukan oleh fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah 𝑃

−𝑏 −𝐷 2𝑎

,

4𝑎

Contoh: Gambarlah grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 Jawab: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 → nilai koefisien 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 5 1) Titik potong dengan sumbu koordinat 1. Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0 𝑥−1 𝑥−5 =0 𝑥 = 1 atau 𝑥 = 5 Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (1,0) dan (0,5). 2. Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka 𝑦 = 𝑓 0 = 02 − 6 0 + 5 = 5 Modul Matematika SMA

40

Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,5). 2) Persamaan sumbu simetri 𝑥 =

−𝑏 2𝑎

=

−(−6) 2(1)

= 3.

3) Nilai maksimum atau minimum fungsi 𝑦=

−𝐷 4𝑎

=

−(𝑏 2 −4𝑎𝑐 ) 4𝑎

−( −6 2 −4(1)(5)

=

4(1) −16 4

= −(36−20) 4

=

= −4

4) Koordinat titik puncak 𝑥𝑝 , 𝑦𝑝

−𝑏 −(𝑏 2 − 4𝑎𝑐) = , 2𝑎 4𝑎 = − −6 2 1

=

,

− −6 2 −4 1 5 4 1

6 −16 2

,

4

= (3, −4) b. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat secara Sederhana Sketsa sederhana dari grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1: Tentukan beberapa anggota fungsi 𝑓, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi 𝑓. Titik-titik ini dapat kita tentukan dengan memilih beberapa nilai 𝑥 bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya. Kemudian kita hitung nilai fungsi 𝑓, sehingga terdapat beberapa pasangan koordinat titik (𝑥, 𝑓 𝑥 ). Titik-titik pada fungsi 𝑓 itu biasanya akan lebih mudah jika kita sajikan dengan menggunakan tabel atau daftar. Langkah 2: Gambarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh pada Langkah 1 pada sebuah bidang Cartecius.


41

Langkah 3: Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang Cartecius pada Langkah 2 dengan menggunakan kurva. Untuk lebih jelas lagi mengenai sketsa grafik fungsi kuadrat secara sederhana, berikut contoh-contohnya: Contoh: Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3, jika daerah asalnya adalah 𝐷 = 𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ ℝ . Jawab: Grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 adalah sebuah parabola dengan persamaan 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3. Langkah 1: Kita buat tabel atau daftaruntuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi 𝑓, yaitu beberapa pasangan koordinat titik 𝑥, 𝑓(𝑥) . 𝑥

-1

0

1

2

3

4

5

𝑓(𝑥)

8

3

0

-1

0

3

8

Langkah 2: Gambarkan titik-titik (-1,8), (0,3), (1,0), (2,-1), (3,0), (4,3), dan (5,8) pada bidang Cartesius. Langkah 3: Hubungkan titik-titik pada langkah 2 tersebut dengan kurva, sehingga diperoleh sketsagrafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3, seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Grafik fungsi

kuadrat

ini

berbentuk

parabola. 1) Daerah asal fungsi tersebut 𝐷𝑓 = 𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ ℝ . 2) Daerah hasil fungsi tersebut adalah 𝐷𝑓 = 𝑦 −1 ≤ 𝑥 ≤ 8, 𝑦 ∈ ℝ . Modul Matematika SMA

42

3) Pembuat nol fungsi itu adalah 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 3. 4) Persamaan sumbu simetrinya 𝑥 = 2. 5) Nilai maksimum fungsi tersebut adalah -1, yaitu untuk 𝑥 = 2, titik puncak minimum fungsi itu adalah (2,-1). c. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat secara Umum Dengan memerhatikan tanda nilai 𝑎 dan nilai diskriminan 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐, maka sketsa grafik fungsi kuadrat dapat dibagi dalam dua kelompok seperti di bawah ini.

1) Untuk 𝑎 > 0, parabola terbuka ke atas (memiliki titik puncak minimum). (a) Jika 𝐷 < 0, parabola tidak memotong atau menyinggung sumbu 𝑋. Secara aljabar dapat dikatakan nilai 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan nilai 𝑎 > 0 dan 𝐷 < 0, selalu positif untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ atau 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓. (b) Jika 𝐷 = 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di satu titik. Dengan kata lain, parabola menyinggung sumbu 𝑋. Secara aljabar dapat dikatakan bahwa nilai 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan nilai 𝑎 > 0 dan 𝐷 = 0, tidak pernah negatif untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.


43

(c) Jika 𝐷 > 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di dua titik yang berlainan. 2) Untuk 𝑎 < 0, parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum (a) Jika 𝐷 > 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di dua titik yang berlainan. (b) Jika 𝐷 = 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di satu titik.dengan kata lain, parabola menyinggung sumbu 𝑋. Secara aljabardapat dikatakan bahwa nilai 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan nilai 𝑎 < 0 dan 𝐷 = 0, tidak pernah positifuntuk setiap 𝑥 ∈ ℝ. (c) Jika 𝐷 < 0parabola tidak memotong atau menyinggung sumbu

𝑋. Secara aljabar dapat dikatakan nilai 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan nilai 𝑎 < 0 dan 𝐷 < 0, selalu negatif untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ atau 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓.


44

2.2.2.4 Naskah Tes Formatif 1) Lukislah sketsa grafik dari fungsi 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 dengan terlebih dahulu menentukan titik potong terhadap sumbu koordinat, sumbu simetri, nilai maksimum atau minimum fungsi, dan titik puncak fungsi! 2) Lukislah sketsa grafik dari fungsi 𝑦 = −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 dengan menggunakan sketsa sederhana!


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%

Jumlah Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…


45


2.2.3.1 Membentuk Fungsi Kuadrat a. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu 𝑿 di 𝒙𝟏 , 𝟎 dan 𝒙𝟐 , 𝟎 serta melalui sebuah titik tertentu Jika suatu grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c memotong sumbu X di titk 𝑥1 , 0 dan 𝑥2 , 0 , maka x1 dan x2 disebut pembuat nol fungsi. Dengan demikian, fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 Nilai 𝑎 dapat dinyatakan dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 dari satu titik ke titik lain yang diketahui ke dalam persamaan di atas. Contoh: Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu 𝑋 di (2,0) dan (4,0), serta melalui titik (3,6)! Jawab: Grafik memotong sumbu 𝑋 di titik (2,0) dan (4,0), maka rumus fungsi uadratnya adalah 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 =𝑎 𝑥−2 𝑥−4 Karena grafik melalui titik (3,6), maka 6=𝑎 3−2 3−4 6 = 𝑎 1 −1 ⟹ 𝑎 = −6 Jadi, rumus fungsi kuadratnya 𝑦 = −6 𝑥 − 2 𝑥 − 4 𝑦 = −6𝑥 2 + 36𝑥 − 48 b. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memiliki titik puncak 𝒙𝒑 , 𝒚𝒑 dan melalui sebuah titik tertentu Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak 𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 , maka rumus fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut. 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝


2

+ 𝑦𝑝

46

Nilai 𝑎 dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 dari titik lain yang dilalui grafik ke dalam rumus tersebut. Contoh: Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak (-2,3) dan melalui titik (1,-6). Jawab: Dengan menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝

2

+ 𝑦𝑝 untuk 𝑥𝑝 = −2

dan 𝑦𝑝 = 3, maka diperoleh 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝

2

= 𝑎 𝑥 − −2

+ 𝑦𝑝 2

+3

= 𝑎 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 3 Karena grafik melalui titik (1,-6) maka −6 = 𝑎 12 + 4 1 + 4 + 3 −6 = 𝑎 9 + 3 𝑎 = −1 c. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui tiga buah titik 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒅𝒂𝒏 𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 Rumus fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut. 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 dari ketiga titik tersebut ke rumus di atas sedemikian sehingga diperoleh tiga buah persamaan dengan tiga variabel dan melakukan operasi substitusi dan eliminasi pada persamaan-persamaan tersebut. Contoh: Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik (1,3), (4,0), dan (2,-2)! Jawab: Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Melalui titik (1,3), maka

3=𝑎+𝑏+𝑐

Melalui titik (4,0), maka

0 = 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐


47

Melalui titik (2,-2), maka

−2 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐

Dengan metode eliminasi atau substitusi diperoleh 𝑎 = 2, 𝑏 = −11, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 12. Sehingga rumus kuadrat yang dicari adalah 𝑦 = 2𝑥 2 − 11𝑥 + 12. d. Menyusun fungsi kuadrat jika sketsa grafiknya diketahui Untuk menyusun fungsi kuadrat dari sebuah grafik yang diketahui, caranya adalah dengan menerjemahkan data yang dapat dibaca dari tampilan grafik. Contoh: Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya ditunjukkan pada gambar di samping! Jawab: Dari gambar di samping terlihat bahwa

grafik

mempunyai

titik

puncak (4,0) dan melalui titik (0,2). Dengan demikian, kita dapat menggunakan rumus fungsi kuadrat berikut. 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 =𝑎 𝑥−4

2

=𝑎 𝑥−4

2

2

+𝑦𝑝

+0

Karena grafik melalui titik (0,-2), maka −2 = 𝑎 0 − 4

2

−2 = 16𝑎 1

𝑎 = −8 Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah 1

𝑦 = −8 𝑥 − 4

2

1

𝑦 = − 8 𝑥2 + 𝑥 − 2 2.2.3.2 Penggunaan Fungsi Kuadrat Banyak masalah nyata yang mempunyai model bebentuk nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi kuadrat. Sebagian Modul Matematika SMA

48

dari masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari yang brbentuk demikian telah dibahas pada awal unit ini. Berikut ini adalah contoh penggunaan fungsi kuadrat dalam pemecahan masalah. Contoh: Dua buah titik materi terletak dititik P dan Q pada sumbu x dengan titik asal O diantara P dan Q. Jika titik P dan Q bergerak sepanjang sumbu x sehingga untu setiap saat t, PO = t2 – 6t + 10 dan PQ = 3r2 – 14r +19, tentukqn jarak terdekat dari O ke Q. jawab P

Q O

x

𝑡 2 − 6𝑡 + 10 3𝑡 2 − 14𝑡 + 19 Perhatikan bahwa PO dan PQ definit positif karena menyatakan jarak dua titik. Jarak dari O ke Q adalah: 𝑂𝑄 = 𝑃𝑄 − 𝑃𝑂 = 3𝑡 2 − 14𝑡 + 19 − 𝑡 2 − 6𝑡 + 10 = 2𝑡 2 − 8𝑡 + 9, yang merupakan fungsi kuadrat. Kita akan menentukan nilai minimum fungsi 𝑂𝑄 = 𝑓 𝑡 = 2𝑡 2 − 8𝑡 + 9 = 2 𝑡 − 2

2

+ 1.

Fungsi kuadrat ini mencapai minimum sebesar 1 satuan, yang tercaai jika 𝑡 = 2. Jadi, jarak trdekat dari 𝑂 ke 𝑄 adalah 1 satuan jarak.


49

2.2.3.3 Naskah Test Formatif

(1) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak (1,5) dan melalui titik (-1,1)! (2) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (3,0) dan (1,0) serta melalui titik (0,6)! (3) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik (1,2), (2,9), dan (3,22)! (4) Nyatakan rumus fungsi kuadrat dari grafik berikut dalam bentuk baku 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(5) Untuk menarik minat, biro perjalanan Diamond menawarkan paket wisata ke Bali dengan biaya Rp 800.000 per orang jika pesertanya tidak lebih dari 100 orang. Jika pesertanya lebih dari 100 orang, maka setiap peserta akan mendapat potongan harga sebesar banyaknya kelebihan peserta dikalikan Rp 5.000,00. Tentukan pemasukan terbesar biro perjalanan itu.


50


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


………………,……………20…


51

2.3 EVALUASI

2.3.1 Soal evaluasi 1. Gambarlah sketsa grafik 𝐿 = 9 + 6𝑥 + 𝑥 2 pada kertas berpetak, dengan daerah asal 𝑥 −5 ≤ 𝑥 ≤ −1, 𝑥 ∈ ℝ a. Tentukan terlebih dahulu titik potong terhadap sumbu koordinat, sumbu simetri, nilai maksimum dan minimum fungsi, dan titik puncak fungsi! b. Gambar menggunakan sketsa sederhana! 2. Tentukan rumus fungsi kuadrat yang memenuhi ketentuan-ketentuan berikut! a. Memiliki titik puncak (-1,1) dan melalui (1,6) b. Melalui titik (1,3), (2,3), dan (4,2) 3. Sebuah kebun berbentuk persegipanjang ingin dipagari dengan 100 meter pagar kawat yang siap dipasang. Jika salah satu sisi kebun adalah tembok yang tidak perlu dipagari, tentukan luas kebun terbesar yang dapat dipagari kawat tersebut.


52

2.3.2 Lembar penilaian Nama

:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

No. Tugas

:..........................

Judul Tugas

:........................... Nilai Prestasi

No.

Kriteria

Rentang Nilai

1.

Kebenaran Cara

0 – 50

2.

Kebenaran Hasil

0 - 30

3.

Kebenaran gambar

0 - 10

4.

Kerapian Gambar

0 - 10

JUMLAH

Tes Formatif

Evaluasi

(jumlah X 60%)

(jumlah X 40%)

0 – 100

JUMLAH Jumlah Nilai Akhir


...................., ......................Th........


53

BAB


3 54

3.1 PENDAHULUAN

3.1.1 Deskripsi Modul ini berisi tentang Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear, akan diuraikan mengenai sistem persamaan linear dua variabel, tiga variabel, sistem pertidaksamaan linier, dan matematika

yang

berkaitan

dengan

sistem

merancang model persamaan

dan

pertidaksamaan linear. 3.1.2 Prasyarat Dalam melaksanakan modul ini, siswa diharapkan telah menguasai

operasi

penjumlahan,

pengurangan,

perkalian,

dan

pembagian bilangan real. 3.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Pelajari daftar isi dengan cermat, karena daftar isi akan menuntun anda dalam mempelajari materi ini. 2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului

merupakan

prasyarat

untuk

mempelajari

materi

berikutnya. 3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.


55

3.1.4 Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat: 1. Siswa dapat mengerti definisi dan macam-macam persamaan linear. 2. Siswa dapat memahami sistem persamaan linear dua variabel dan aplikasinya 3. Siswa dapat memahami sistem persamaan linear tiga variabel dan aplikasinya 4. Siswa dapat memahami sistem pertidaksamaan linier dua variabel dan aplikasinya 5. Mengetahui metode untuk menyelesaikan SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV 6. Mengetahui ciri- ciri SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV 7. Mengetahui perbedaan antara SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV 8. Mengetahui definisi variabel 9. Siswa dapat menggambar grafik 3.1.5 Kompetensi Kode Unit

:

Judul Unit

: Sistem Persamaan Linear

Uraian Unit

:

Unit ini berlaku untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.

Sub Kompetensi 1. Memahami konsep sistem persamaan linear dua dan tiga variabel dan sistem pertidaksamaan linier dua variabel dan mampu menerapkan strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabnya dalam penyelesaian soal matematika. 2. Menggunakan SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV untuk menyajikan masalah kontekstual dan menjelaskan makna tiap besaran secara lisan maupun tulisan. Modul Matematika SMA

Indikator 1.1. Menjelaskan karakteristik masalah otentik yang penyelesaiannya terkait dengan model matematika sebagai SPLDV, SPLTV, atau SPtLDV 1.2. Menemukan ciri-ciri SPLDV, SPLTV dan SPtLDV dari model matematika.

2.1 Merancang model matematika dari permasalahan otentik yang merupakan SPLDV, SPLTV, atau SPtLDV 2.2 Menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang 56

diberikan. 2.3 Menentukan jawaban serta menganalisis model matematika 3. Membuat model matematika 3.1. Menuliskan konsep SPLDV, SPLTV, dan berupa persamaan dua SPtLDV berdasarkan ciri yang ditemukan variabel atau tiga variabel dan dengan bahasanya sendiri. sistem pertidaksamaan linier dua variabel yang melibatkan nilai mutlak dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya. 3.1.6 Cek Kemampuan Petunjuk : Berilah tanda (  ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban yang anda pilih N No

Jawaban Pertanyaan Ya

1.

Apakah anda mengenal sistem persamaan linear?

2.

Apakah anda mengenal macam-macam persamaan linear?

3.

Apakah anda mengenal sistem persamaan linear dua variabel?

4.

Apakah anda mengenal sistem persamaan linear tiga variabel?

5.

Apakah anda mengenal sistem pertidaksamaan linier dua variabel?

6.

Apakah anda mengetahui metode untuk menyelesaikan SPLDV, SPLTV, atau SPtLDV?

7.

Apakah anda mengetahui ciri- ciri SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV?

8.

Apakah anda memahami operasi bilangan?

9.

Apakah anda mengetahui perbedaan antara SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV?

10.

Apakah anda mengetahui definisi variabel? Skore ( Nilai ) Tulungagung, November 2015


57

Tidak

PETA KONSEP

Masalah

Persamaan

Otentik Persamaan Linear

Pertidaksamaan Linear

Sistem Persaamaan Linear

Sistem Pertidaksamaan Linear

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) Grafik SPtLDV

Eliminasi Subsitusi Himpunan Eliminasi & Subsitusi Metode Grafik Determinan

Penyelesaian SPLDV Grafik SPLDV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Eliminasi Subsitusi Eliminasi & Subsitusi

Himpunan Penyelesaian SPLTV

Determinan


58

3.2 PEMBAHASAN

3.2.1 RENCANA BELAJAR SISWA

1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah tujuan kegiatan belajar, untuk mengetahui kemampuan siswa sejauh mana materi yang harus dicapai. 2. Pada setiap kegiatan belajar buku panduan dan modul selalu dibawa sebagai panduan siswa. 3. Sebelum dimulai mengerjakan latihan soal siswa harus memahami secara baik konsep sistem persamaan linear. 4. Kerjakanlah latihan soal dengan baik dan sungguh-sungguh, jika mengalami kesulitan mintalah bantuan guru maupun mentor anda.


3.2.5.1 Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-permasalahan tersebut kita jadikan bahan inspirasi dan menyusun model-model matematika yang ditemukan dari proses penyelesaian. Model matematika tersebut kita jadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear dua variabel. Cermatilah masalah berikut! Kartu bergambar dapat dijadikan bahan inspirasi menemukan konsep dan aturang yang terkait dengan sistem persamaan linear melalui masalah yang dirancang. Anto bermain kartu bergambar bersama temannya. Ketika mereka selesai bermain, Budi, adiknya Anto mengumpulkaan Modul Matematika SMA

59

kartu-kartu tersebut. Kemudian ia asyik membangun rumah bertingkat yang diberi nama rumah kartu. Susunan kartu untuk setiap tingkatnya berbeda seperti gambar berikut:

Gambar 1.1 Rumah Kartu Bertingkat Setelah Budi menyusun rumah kartu bertingkat, ia bertanya dalam pikirannnya, bagaimnana hubungan antara banyak kartu dan banyak tingkat rumah. Berapa banyak kartu yang dibutuhkan untuk membangun rumah 30 tingkat? Dapatkah kamu membantu Budi menyelesaikan masalah tersebut? Sebelum kamu menyelesaikan masalah tersebut, kira-kira apakah tujuan masalah tersebut dipecahkan terkait dengan materi? Pikirkan strategi apa yang kamu gunakan. Agar pekerjaan kamu lebih efektif, renungkan dan pikirkan pertanyaan berikut: 1) Informasi apa saja yang kamu temukan dalam masalah tersebut 2) Konsep apa saja yang terkait untuk menemukan hubungan antara banyak tingkaat rumah dan banyak kartu yang digunakan untuk setiap tingkatannya. 3) Bagaimana strategi kamu untuk menemukan banyak tingkat rumah dan banyak kartu yang digunakan. 4) Misalkan t menyatakan banyak tingkat rumah dan k banyak kartu yang dipakai untuk setiap tingkat. Dapatkah kamu rumuskan aturan yang memasangkan banyak tingkat rumah dengan banyak kartu yang digunakan? 5) Adakah kesulitan yang harus didiskusikan dengan teman atau bertanya kepada guru untuk menentukan hubungan antara t dan k? 6) Apakah aturan pemasangan yang kamu rumuskan untuk memenuhi situasi penyusunan kartu pada gambar diatas. Modul Matematika SMA

60

7) Adakah sistem persamaan linear kamu temukan dari rumusan hubungan antara banyak kartu dan banyak tingkat? 8) Dapatkah kamu menjawab permasalahan Budi? Berapa banyak kartu yang digunakan untuk membangun rumaah kartu 30 tingkat? Alternatif Penyelesaian Berdasar gambar diatas, diperoleh informasi sebagai berikut: Rumah kartu bertingkat 1 menggunakan kartu sebanyak 2 buah Rumah kartu bertingkat 2 menggunakan kartu sebanyak 7 buah Rumah kartu bertingkat 3 menggunakan kartu sebanyak 15 buah Rumah kartu bertingkat 4 menggunakan kartu sebanyak 26 buah Sehingga

banyak

tingkat

dan

banyak

kartu

dapat

dikorespondensikan satu-satu membentuk suatu relasi sama dengan atau banyak kartu dapat dinyaatakan dalam banyak tingkat rumah. Temukan aturan yang memasangkan banyak tingkat (t) dengan banyak kartu (k) Banyak tingkat rumah (t) Banyak kartu (k)

Pola banyak kartu

1

2

1+1+0

2

7

4+2+1

3

15

9+3+3

4

26

16 + 4 + 6

Cermati pola bahwa bilangan 1,4,9,16 adalah kuadrat dari bilangan 1,2,3,4 dan bilangan 1,2,3,4 adalah banyaknya tingkat rumah. Apakah bilangan 0,1,3, dan 6 dapat dinyatakan dalam t2 dan t? Missal x dan y adalah bilangan yang akan ditentukan dikaitkan dengan banyak kartu dan banyak tingkat rumah yang dinyatakan dalam persamaan berikut: k = x t2 + y t …………………………………………… (persamaan-a)


61

Cermati kembali gambar 1.1! untuk mendapatkan model matematika berupa dua persamaan linear dengan variabel x dan y yang saling terkait. Untuk t = 1 dan k = 2 diperoleh persamaan x + y = 2 Untuk t = 2 dan k = 7 diperoleh persamaan 4x + 2y = 7 Dengan demikian kita peroleh dua buah persamaan linear dua variabel, yaitu: x + y =………………….………………………… (persamaan-1) 4x + 2y = ………………………………………… (persamaan-2) Cara menentukan himpunan penyelesaian dari dua persamaan linear tersebut dengan berbagai metode yaitu : eliminasi, subsitusi, eliminasi dan subsitusi, serta metode grafik) Nilai x dan y dapat ditentukan sebagai berikut x+y=2

x4

4x + 2y = 7 x 1

4x + 4y = 8 4x + 2y = 7 2y = 1

x+y=2

x2

2x + 2y = 4

4x + 2y = 7

x1

4x + 2y = 7 -2x = -2

1

y=2

3

x=2 1 3

Diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah {( 2, 2)} Evaluasi hasil yang diperoleh, apakah hasil yang diperoleh adalah solusi terbaik. 1

3

k = x t2 + y t dengan nilai x = 2 dan y = 2 3

1

3

1

2 = 2 (1)2 + 2 (1) (pernyataan benar) 7 = 2 (2)2 + 2 (2) (pernyataan benar) 3

1

3

1

15 = 2 (3)2 + 2 (3) (pernyataan benar) 26 = 2 (4)2 + 2 (4) (pernyataan benar)


62

Dapat disimpulkan, aturan pengaitan banyak tingkat dengan banyak kartu yang digunakan untuk membangun rumah kartu 1

3

adalah k = x t2 + y t dengan nilai konstanta x = 2 dan y = 2 Tentukan banyak kartu yang digunakan membuat rumah kartu dengan 30 tingkat! Untuk t = 30 diperoleh

k= k=

3 2+ 1 t 2t 2 3 2

3

1

= 2 (30)2 + 2(30)

(900) + 15 = 1365 cara

jadi, banyak kartu yang dibutuhkan membangun rumah kartu bertingkat dengan 30 tingkat adalah 1365 kartu. 3.2.5.2 Bentuk umum Sistem persamaan linear dengan Dua variabel / SPL 2 variabel

a1 x  b1 y  c1 a 2 x  b2 y  c 2 x dan y adalah variabel a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2  R

Cara menyelesaikannya dengan: a. Metode Eliminasi b. Metode Substitusi c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi d. Metode Grafik Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut x y 2 3x  7 y  2

1. Eliminasi x y 2 3x  7 y  2

x3 x1

3x  3 y  6 3x  7 y  2

4y = 8 y =2


63

x y 2 3x  7 y  2

7 x  7 y  14 3x  7 y  2

x7 x1

4x = 16 x= 4 2. Substitusi Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh 3x – 7(x – 2) = -2 3x – 7x + 14 = -2 -4x = -16 x=4 Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1) 4–y=2 y =4–2 =2 3. Campuran Eliminasi dan Substitusi x y 2 3x  7 y  2

x3 x1

3x  3 y  6 3x  7 y  2

4y = 8 y =2 y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1) x–2=2 x

= 4

4. Grafik 3x – 7y = -2

(4,2)

2 x–y=2 -2


64

Dengan grafik dapat dilihat : a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan penyelesainnya tepat satu anggota) b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan penyelesaian c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya mampunyai anggota tak terhingga)

3.2.5.3 Tes Formatif 1. Nilai x dan ya berturut-turut yang memenuhi persaman x + 3y = 1 dan 2x - y = 9 adalah… 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3x + 7y = -1 dan x - 3y = 5 dengan metode gabungan eliminasi dan subsitusi.


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

1.


Rentang Nilai 0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 – 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


………………,……………20… Modul Matematika SMA

65


3.2.5.1 Menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variabel Dengan cara analog kita akan menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variabel melalui penyelesaian masalahmasalah nyata. Perbedaan sistem persamaan linear dua variabel dengan sistem persamaan linear tiga variabel terletak pada banyak variabel yang akan ditentukan nilainya. Cermati masalah berikut! Suatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan membuat 3 ukiran patung dan 1 ornamen rumah dari seorang turis asal Belanda dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 bulan. Pak Wayan dan Putu dapat menyelesaikan keempat jenis ukiran di atas dalam waktu 7 bulan. Jika Pak Wayan bekerja bersama Gede, mereka dapat menyelesaikan pesanan dalam waktu 6 bulan. Karena Putu dan Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua membutuhkan waktu 8 bulan untuk menyelesaikan pesanan ukiran tersebut. Dapatkah pesanan ukiran diselesaikan, sesuai batas waktu yang diberikan? Sebelum

kamu

menyelesaikan

masalah,

manfaatkan

pengetahuan dan ketrampilan yang sudah kamu miliki untuk menemukan aturan, hubungan, dan struktur-struktur yang belum diketahui. Dalam menyelesaikan diatas langkah penyelesaiannya tersirat dalam beberapa pertanyaan berikut: 1. Bagaimana kamu menentukan kecepatan Pak Wayan, Putu, dan Gede bekerja menyelesaikan satu unit pesanan ukiran tersebut? 2. Dapatkah kamu menentukan hubungan tiap-tiap kecepatan untuk menyelesaikan pekerjaan dalam bentuk persamaan? 3. Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakah kaitannya dengan pengetahuan yang kamu miliki dengan melakukan manipulasi dengan aljabar?


66

4. Adakah

variabel

yang

harus

kamu

tentukan

nilainya?

Bagaimana caranya , apakah prinsip analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika kamu menentukan nilai variabel pada sistem persamaan dua variabel? 5. Bagaimana hubungan antara konsep jarak dan kecepatan dalam menentukan

lamanya

waktu

yang

digunakan

untuk

menyelesaikan suatu pekerjaan. 6. Adakah jawaban permasalahan yang kamu temukan? Alternatif Penyelesaian Diketahui Pesanan pembuatan ukiran patung dan ornamen rumah dengan batas waktu 5 bulan. Waktu yang dibutuhkan membuat patung dan ornamen : Pak Wayan dan putu : 7 bulan Pak Wayan dan Gede : 6 bulan Putu dan Gede

: 8 bulan

Ditanya

: waktu yang diperlukan bila

ketiganya

bekerja bersama-sama Misalkan: Waktu yang dibutuhkan (bulan) Pak Wayan adalah x Waktu yang dibutuhkan (bulan) Putu adalah y Waktu yang dibutuhkan (bulan) Gede adalah z Berarti pekerjaan yang dapat diselesaikan pak Wayan, Putu dan Gede dengan waktu x,y,z masing-masing

1 𝑥

,

1 𝑦

1

dan 𝑧 bagian pekerjaan.  Bila Pak Wayan dan Putu bekerja bersama dalam satu bulan dapat menyelesaikan

1 𝑥

1

+ 𝑦 bagian pekerjaan. Karena Wayan

dan Putu membutuhkan 7 bulan menyelesaikan pekerjaan, maka hal ini dapat di maknai 1

1

1

1

1

7 𝑥 + 7 𝑦 = 1 → 𝑥 + 𝑦 = 7 …………..………. (persamaan-1)


67

 Bila Pak Wayan dan Gede bekerja bersama dalam satu bulan dapat menyelesaikan

1 𝑥

1

+ 𝑧 bagian pekerjaan. Karena Wayan

dan Gede membutuhkan 6 bulan menyelesaikan pekerjaan. Maka hal ini dapat dimaknai 1

1

1

1

1

6 𝑥 + 6 𝑧 = 1 → 𝑥 + 𝑧 = 6………………….. (persamaan-2)  Bila Putu dan Gede bekerja bersama dalam satu bulan dapat menyelesaikan

1 𝑦

1

+ 𝑧 bagian pekerjaan. Karena putu dan Gede

membutuhkan 8 bulan menyelesaikan pekerjaan, maka hal ini dapat dimaknai 1

1

1

1

1

8 𝑦 + 8 𝑧 = 1 → 𝑦 + 𝑧 = 8…………………. (persamaan-3) a) Temukan tiga persamaan linear yang saling terkait dari persamaan 1,2 dan 3 di atas! 1

1

1

b) Misalkan p = 𝑥 , q = 𝑦 , dan r = 𝑧

c) Tentukan nilai p, q, dan r dengan memilih salah 1 metode yang telah dipelajari sebelumnya. Sebegai alternatif pilihan adalah metode campuran eliminasi dan subsitusi. Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-1 dan 2 diperoleh 7p + 7q = 1 x 6

42p + 42q = 6

6p + 6r = 1 x 7

42p + 42r = 7 42q – 42r = -1 ……(persamaan-4)

Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-3 dan 4 diperoleh 8p + 8r = 1

x 42

42q - 42r = -1 x 8

336q + 336r =42 336q – 336r = -8 672r = 50 50

r = 672 50

34

r = 672 disubsitusikan ke persamaan 8q + 8r = 1 diperoleh q = 672 34

62

q = 672 disubsitusikan ke persamaan 7p + 7q =1 diperoleh p = 672 Modul Matematika SMA

68

sebelumnya telah kita misalkan : 1

62

p = 𝑥 dan p = 672 → x = 1

34

672

q = 𝑦 dan q = 672 → y = 1

50

62

= 10,8

672 34

= 19, 76

672

r = 𝑧 dan r = 672 → z = 50 = 13,44 Karena x,y, dan z berturut-turut menyatakan waktu yang dibutuhkan Pak Wayan, Putu, Gede menyelesaikan 1 set pesanan ukiran. Jika bekerja secara individual, maka Pak Wayan dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 10,84 bulan, Putu dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 19,76 bulan, dan 1 Gede dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 13,44 bulan. Jadi waktu yang diperlukan Pak Wayan dan kedua anaknya untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran patung dan ornamen, jika mereka bekerja secara bersama-sama adalah t=

1 62 672

34

50

+ 672 + 672

672

t = 146 t = 4,6 karena waktu yang diberikan turis adalah 5 bulan, maka ternyata pekerjaan

(pesanan) tersebut dapat diterima atau

dipenuhi. 3.2.5.2 Bentuk Umum Sistem persamaan linear dengan Tiga variabel / SPL 3 variabel

a1 x  b1 y  c1 z  d1 a 2 x  b2 y  c 2 y  d 2 a3 x  b3 y  c3 z  d 3 x, y, z adalah variabel

a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 , d1 , d 2 , d 3  R


69

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut : x yz 3 2x  y  z  5 x  2y  z  7

Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi : Misal dimulai dengan mengeliminasi z (1) dan (2)

x y  z 3

+

2x  y  z  5

3x + 2y = 8 ..............................(4) (2) dan (3)

2x  y  z  5 x  2y  z  7 x-y

= -2 ............................(5)

(4) dan (5) 3x + 2y = 8

x1

3x + 2y = 8

x -y

x3

3x - 3y = -6

= -2

5y = 14 , 3x + 2y

=8

x1

3x + 2y = 8

x -y

= -2

x2

2x - 2y = -4 +

y=

5x = 4 , x = x=

4 5

dan y =

x+y–z 4 5

+

18 5

14 5

–z

–z

14 5

5

4 5

disubstitusi ke persamaan (1) :

=3 =3 =3

z

=

z

=


14

18 5 3 5

–3 4 14 3

,Jadi HP : {5,

5

,5} 70

3.2.5.3 Tes Formatif 1. Tentukan hubungan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. 2x – y + z = -1 3x + 2y – z = 10 -4x – y – 3z = -3


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai Nilai Prestasi

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


………………,……………20…


71


3.2.5.1 Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Tiga Variabel Banyak diselesaikan

permasalahan dengan

dalam

sistem

keseharian

persamaan

yang

linear.

dapat Untuk

menyelesaikannya terjemahkan soal-soal berupa cerita atau informasi ilmiah ke dalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan linear, baik dua variabel maupun tiga variable. Untuk memahaminya perhatikan contoh berikut. Contoh 1 Pak Yudi membeli tiket masuk tempat rekreasi sebanyak 2 lembar untuk dewasa dan tiga lembar untuk anak-anak dengan arga Rp 315.000,00. Joko membeli 3 lembar tiket untuk dewasadan 1 lembar untuk anak-anak dengan harga Rp 280.000,00. Jika Andhika membeli 1 lembar tiket untuk dewasa dan 2 lembar untuk anak-anak dengan menggunakan selembar uang Rp 100.000,00. Berapakah uang kembalian yang diterima Andhika? Penyelesaian Misalnya, harga 1 lembar tiket untuk dewasa = x rupiah harga 1 lembar tiket untuk anak-anak = y rupiah Maka diperoleh sistem persamaan 2x + 3y = Rp 315.000,00 …….. (1) 3x + y = Rp 280.000,00 …….. (2) Eliminasikan persamaan (1) dan (2): 2x + 3y = Rp 315.000,00 │x 3│→ 6x + 9y = 945.000 3x + y = Rp 280.000,00 │x 2│→ 6x + 2y = 560.000 Subsitusikan persamaan (3) ke 7y persamaan = 385.000 (1), , y = sehingga 55.000 ……. (3) diperoleh

2x + 3y = 315.000

2x + 2(55.000) = 560.000 Jadi, harga 1 lembar tiket untuk dewasa adalah Rp 75.000,00. Harga 1 lembar tiket untuk2xanak-anak = 150.000 adalah Rp 55.000,00. Modul Matematika SMA

x = 75.000

72

Uang kembalian yang diterima andhika adalah = 2(100.000) – 75.000 + 55.000 = 200.000 – (75.000 + 110.000) = 200.000 – 185.000 = 15.000 rupiah Contoh 2 Sepuluh tahun yang lalu, umur Ita adalah dua kali umur Tika. Lima tahun kemudian, umur Ita adalah satu setengah kali umur Tika. Berapakah umur Ita sekarang? Penyelesaian: Misalnya: umur ita sekarang

= x tahun

Umur Tika sekarang = y tahun Sistem persamaan dari permasalahan di atas adalah: x – 10 = 2(y-10) → x – 2y = -10 … (1) 3

x – 5 = 2 (y – 5) → 2x – 3y = -5 … (2) dengan metode eliminasi diperoleh : x – 2y = -10 │x 3│ → 3x – 6y = -30 2x – 3y = -5 │x 2│ → 4x - 6y = -10 -x = -20 x = 20 jadi umur Ita sekarang adalah 20 tahun.

3.2.5.2 Tes Formatif Sebuah toko kelontong menjual dua jenis beras sebanyak 50 kg. Harga 1 kg beras jenis I adalah Rp 6.000,00 dan jenis II adalah Rp 6.200,00/kg. Jika harga beras seluruhnya Rp 306.000,00 maka tentukan jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual.


73


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

1.



2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


………………,……………20…


74


3.2.5.1 Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel. a. Pengertian Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel. Gabungan dau atau lebih dari pertidaksamaan linier akan membentuk suatu sistem yang dikenal dengan istilah Sistem Pertidaksamaan Linier. Dalam hal ini tidak adannya ketentuan bahwa banyaknya

variabel

yang

harus

sama

dengan

banyaknya

pertidaksamaan. Pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masingmasing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Lambing pertidaksamaan yang sering digunakan seperti berikut: 1) >, berarti: lebih besar atau tidak kurang dari atau (+) 2) <, berarti: lebih kecil atau tidak lebih dari atau (-) 3) ≥, berarti: lebih besar sama dengan atau tidak kurang dari (+) 4) ≤, berarti, lebih kecil sama dengan atau tidak lebih dari (-) Contoh 1.1 Selidiki, apakah gabungan pertidaksamaan linier berikut merupakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel? 1. 8x + 4y ≤ 18 dan -2x + 4y ≥ -8 Penyelesaian: 1. 8x + 4y ≤ 18 dan -2x + 4y ≥ -8 merupakan pertidaksamaan linier dalam variabel x dan y, sehingga keduannya dapat membentuk sistem pertidaksamaan linier dua variabel. b. Garis Batas Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier Ada

langkah-langkah

yang

harus

diperhatikan

dalam

menggambar garis batas penyelesaian dari petridaksamaan linier dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan.


75

Garis batas daerah penyelesaikan pertidaksamaan linier sering berupa: a. Sumbu x (y = 0)

b. Sumbu y (x = 0)

y

Y (x = 0) X (y =

x

0)

0

0

c. Sumbu x (y = k) y

d. Sumbu y (x = k) y

y = k (k > 0)

x

0

y = k (k < 0)

e. y = mx ; m > 0

X = h (h < 0)

=

mx;

m>0

y Y=mx; m<0

x

0

h. ax + by = ab dengan a dan b berbeda tanda y

y a


x

0

g. ax + by = ab dengan a, b > 0 dan a, b < 0

0

X = h (h > 0 )

f. y = mx ; m < 0

y y

X

0

b

x

a>0, b<0

a

-b

0

x b -a

a>0, b<0

76

Untuk menentukan garis batas daerah penyelesaian pada diagram kartesius dilakukan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1 Menggambar garis dengan persamaan 4x + 3y = 400 dan garis x + y = 125. Agar kita lebih muda menggambar garis ini, lebih baik kita cari dahulu titik potong dengan sumbu x yang terjadi jika y = 0 dan titik potong dengan sumbu y yang terjadi jika x = 0. Untuk garis 4x + 3y = 400, jika y = 0, maka x = 100 jika x = 0, maka y = 133,3 maka garis 4x + 3y = 400 memotong sumbu y di titik (0, 133,3) dan memotong sumbu x di titik (100, 0). Untuk garis x + y = 125, jika y = 0 maka x = 125 jika x = 0 maka y = 125 maka garis x + y = 125 memotong sumbu y di titik (0, 125) dan memotong sumbu x di titik (125, 0) Langkah 2 Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400 dan x + y ≤ 125. Daerah penyelesaikan pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400. Jika garis 4x + 3y = 400 digambar pada diagram kartesius maka garis tersebut akan membagi dua daerah, yaitu 4x + 3y < 400 dan 4x + 3y > 400. Selanjutnya kita selidiki daerah mana yang menjadi daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400, dengan cara mengambil sembarang titik misalnya P(x,y) pada salah satu daerah, kemudian mensubtitusikan titik tersebut ke pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400. Jika pertidaksamaan terseut bernilai benar maka daerah yang memuat titik P(x,y) merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai salah maka daerah tersebut bukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x = 3y ≤ 400. Dengan cara yang sama maka daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 125 juga dapat diketahui.


77

Langkah 3 Mengarsir daerah yang merupakan daerah penyelesaian masingmasing pertidaksamaan. Daerah yang diarsir dua kali merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. Setelah melakukan langkah 1, 2 dan 3 diatas, maka daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai y berikut.

133,3 12 5

Contoh

10

12

0

5

x

Gambar 1.1 daerah penyelesaian untuk

sistem pertidaksamaan linier 1.2 Gambarlah garis bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari

sistem peryidaksamaan dibawah berikut, x≥0, y≥0, 2x+3y≤12, untuk x,y ∊ R. Penyelesaian: Gambarlah garis dengan persamaan x = y

0, y = 0, dan 2x + 3y = 12. Kemudian ambit titik (1,2) sebagai titik uji. Untuk x ≥ 0 maka 1 ≥ 0 adalah benar. Jadi,

4 2x + 3y = 12

belahan bidang yang memuat titik (1,2) merupakan himpunan penyelesaian x≥0.

0

6

x

Untuk y ≥ 0 maka 2 ≥ 0 adalah benar. Jadi, belahan bidang yang memuat titik

(1,2) merupakan himpunan penyelesaian y ≥ 0. Untuk 2x + 3y ≤ 12, maka 2(1) + 3(2) ≤ 12 ⇔ 8 ≤ 12 adalah benar. Jadi, belahan bidang Modul Matematika SMA

78

yag memuat titik (1,2) merupakan himpunan penyelesaian 2x + 3y ≤ 12. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x≥0, y≥0 dan 2x+3y≤12 adalah irisan dari himpunan penyelesaian x ≥ 0, dan himpunan penyelesaian y ≥ 0, dan himpunan penyelesaian 2x+3y≤12 sehingga himpunan penyelesaian diperlihatkan pada daerah yang direster pada gambar di samping.


79

3.2.5.2 Rangkuman

a. Sistem pertidaksamaan linier adalah himpunan petidaksamaan linier yang saling terkait dengan koefisien variabelnya bilanganbilangan real. b. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah satu sistem pertidaksamaan linier yang memuat dua variabel denga koefisien bilangan real. c. Penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua peubah adalah himpunan semua pasangan titik (x,y) yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier tersebut. d. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier adalah daerah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier tersebut. e. Menentukan garis pembatas suatu pertidaksamaan linier dua variabel. 1). Persamaan garis lurus yang memotong sumbu koordinat di titik (0,a) dan (b,0) adalah: ax + by = ab. y

a

0

b

X Ax + by = ab

2). Persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu A(x 1,y1) dab B(x2, y2) ditentukan oleh: y−y 1 y 2 −y 1


x− x 1

=𝑥

2 −𝑥 1

atau y =

𝑦 2 −𝑦 1 𝑥 2 −𝑥 1

𝑥 − 𝑥1 + 𝑦1

80

3.2.5.3 Tugas Latihan

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini dengan benar! 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier a. 2x + 5y ≥ 20 ! b. 4x – 3y < 12 ! c. 5x + 3y ≤ 15 ! 2.

Selidiki, apakah himpunan pertidaksamaan linier berikut merupakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel? a. a – 5b ≥ 9 dan 5a – b ≤ 5 ! b. x + y ≤ 12, y ≥ 4, dan x ≥ 0 ! c. x + 2y ≥ 10 dan m – p ≤ 8 !

3. Jika diberikan sistem pertidaksamaan linier seperti berikut ini, 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 ≥ 𝑐1 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ≥ 0, 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 ≥ 𝑐2 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≥ 0 a. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar sistem memiliki solusi tunggal? b. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar sistem tidak memiliki solusi?


81

3.2.5.3 Tes Formatif Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar dan tepat! 1. Selidiki, apakah pertidaksamaan berikut termasuk persamaan linier dua variabel. 2x + y ≤ 6 dan x – 2y ≥ -4! 2. Gambarah diagram cartesius dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x ≥ 2, y ≥ 3, 2x + y ≥ 8, untuk x, y ∊ R! 3. Arsirlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + y ≥ 3, x, y ∊ R pada sistem koordinat cartesius.


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


………………,……………20…


82

3.3 EVALUASI

3.3.1

Soal Evaluasi

1) Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah . . . a. 17

c. -1

b.

d. - 17

1

2) Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah . . . . a. {(-2, -4 )}

c. {(2, -4)}

b. {(-2 ,4)}

d. {(2, 4)}

3) Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x + 2y = 29 adalah . . a. {(7, 4)}

c. {(-4, 7)}

b. {(7,-4)}

d. {(4, 7)}

4) Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17, Maka nilai dari 2x – y = . . . . a. -7

c. 5

b. -5

d. 7

5) Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel? a. Rp 28.000

c. Rp 39.000

b. Rp 34.000

d. Rp 41.000

6) Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan datang. a. 37 tahun dan 11 tahun

c.

36 tahun dan 10 tahun

b. 35 tahun dan 11 tahun

d.

39 tahun dan 11 tahun

7) Asti dan Anton bekerja pada sebuah perusahaan sepatu. Asti dapat membuat tiga pasang sepatu setiap jam dan Anton dapat membuat Modul Matematika SMA

83

empat pasang sepatu setiap jam. Jumlah jam bekerja Asti dan Anton 16 jam sehari, dengan banyak sepatu yang dapat dibuat 55 pasang. Jika banyaknya jam bekerja keduanya tidak sama, tentukan lama bekerja Asti dan Anton. a. 9 jam dan 8 jam

c. 8 jam dan 9 jam

b. 9 jam dan 7 jam

d. 7 jam dan 9 jam

8) Tentukan himpunan penyelesaian dari: 3x + 4y – 3z = 3 2x – y + 4z = 21 5x + 2y + 6z = 46 a. {(2, 3, 5)}

c. {(4, 3, 5)}

b. {(1, 3, 5)}

d. {(3, 3, 5)}

9) Himpunnan penyelesaian sistem persamaan 2x + 5y + 4z = 28 3x – 2y + 5z = 19 6x + 3y – 2z = 4 adalah … a. {(1, 3, 4)}

c. {(1, 2, 4)}

b. {(2, 3, 4)}

d. {(1, 4, 5)}

10) Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2x + 3y – z = 20 3x + 2y + z = 20 x + 4y + 2z = 15 a. {(5, 3, -2)}

c. {(5, 2, -1)}

b. {(5, 3, -1)}

d. {(5, 1, -1)}

11) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari x – y ≥ 0, x + y ≥ 4 adalah…. a.

c. y

4

4

0


y

4

x

0

4

x

84

b.

d.

y

y

4

0

4 4

x

x

4

0

12) Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari x – y ≥ 0, x + y ≥ 4, y ≥ 0 adalah…. a.

c.

y

y

4

4

0

4

b.

d.

y

y

4

4

0

x

4

0

x

4

x

4

0

x

13) Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari x ≥ 0, y ≥ 0 …. A. x + y ≤ 6, y ≥ 2

y 6

B. x + y ≤ 6, y ≤ 2 C. x + y ≤ 6, y – 2 ≥ 0

2

D. x + y ≤ 6, y – 2 ≤ 0 0


6

x

85

14) Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari x ≥ 0, y ≥ 0 …. A. y ≤ 4, y – x ≥ 5, y – 2x ≤ 8

y 8

B. y ≤ 4, y + x ≤ 5, y + 2x ≤ 8 C. y ≤ 4, y + x ≥ 5, y + 2x ≤ 8

5

D. y ≤ 4, 5y + 5 x ≥ 0, y – 2x ≤ 8

4 x

0

4 5

15) Koordinat titik-titik di dalam dan sepanjang segitiga ABC pada gambar berikut ini memenuhi sistem pertidaksamaan…. A. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≥ 12 B. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≥ 24, x + 6y ≥ 12 C. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≤ 12 D. 4x + y ≤ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≥ 12

y 8 6 C

2

B

A 0 2

8

12

x

16) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 5x + 3y ≥ 15, x + 2y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 mempunyai …. Buah titik sudut. A. I B. II C. III D. IV 17) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 4, x + 3y ≥3, x, y ∊ C dinyatakan oleh daerah….

y

A. I B. II C. III D. IV

4 1

I I II

0I Modul Matematika SMA

I IV 2

3

x 86

18) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 40, x + 2y ≤ 40, x ≥ 0, dan y ≥ 0 brbentuk…. A. Persegi panjang B. Segi empat C. Trapezium D. segitiga 19) Makanan x mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B per kilogram. Makanan y mengandung 4 unit vitamin A dan 6 unit Vitamin B per kilogram. Makanan-makanan tersebut akan digunakan untuk membuat makanan campuran yang mengandung sekurang-kurangnya 28 unit vitamin A dan 24 unit vitamin B. model matematika yang dapat disusun dari masalah di atas adalah… A. x + y ≥ 7, x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C B. x + y ≥ 7, x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C C. x + y ≤ 7, x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C D. x + y ≤ 7, x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C 20) Seorang pedagang cat akan membeli barang dengan paling banyak 20 kaleng cat ukuran besar dan kecil. Harga sebuah cat kaleng besar Rp20.000,00 dan sebuah cat kaleng kecil Rp10.000,00, sedangkan uang yang tersedia adalah Rp250.000,00. Jika banyaknya cat kaleng besar yang dibeli dimisalkan x buah dan cat kaleng kecil dimisalkan y buah, maka model matematikanya adalah…. A. X + y ≥ 20, 2x + y ≤ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C B. X + y ≤ 20, 2x + y ≤ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C C. X + y ≥ 20, 2x + y ≥ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C D. X + y ≤ 20, 2x + y ≥ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C 21) Kotak tempat barang dengan seorang penjual minuman kaleng paling banyak membuat minuman sebanyak 60 kaleng. Ia membeli minuman jenis A seharga Rp1.500,00/kaleng dan minuman jenis B seharga Rp1.750,00/kaleng. Ia hanya mempunyai modal Rp200.000,00. Jika banyaknya minuman kaleng jenis A dinyatakan dengan x buah dan


87

minuman jenis B y buah, maka model minuman matematikanya adalah… A. X + y ≤ 60, 6x + 7y ≤ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C B. X + y ≤ 60, 6x + 7y ≥ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C C. X + y ≥ 60, 6x + 7y ≤ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C D. X + y ≥ 60, 6x + 7y ≥ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C 22) Jika x ≥ 0, y ≥ 0 dan daerah himpunan penyelesaian adalah daerah III, maka sistem pertidaksaman yang memenuhi adalah…. A. Y ≥ 2x, 2y ≥ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4

y

B. Y ≤ 2x, 2y ≥ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4

4

C. Y ≤ 2x, 2y ≤ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4

III

D. Y ≥ 2x, 2y ≤ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4

II

I I

x 0 2 V 4 23) Jika daerah himpunan penyelesaian adalah daerah I, maka daerah itu memenuhi sistem pertidaksamaan….

y

A. X – 2y ≥ -2, 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

4

B. X – 2y ≤ -2, 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

III

C. X – 2y ≥ -2, 4x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

I

I

D. X – 2y ≤ -2, 4x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

1V I

I

-2 0

3

x

24) Jika himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan daerah 1 dan III, maka sistempertidaksamaan itu adalah…. y 4 3

I II

1

V III

I x iii 4 6 V A. X ≥ 0, y ≤ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0 0

B. y ≥ 0, x ≥ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0 Modul Matematika SMA

88

C. X ≥ 0, y ≥ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0 D. y ≥ 0, x ≤ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0 25) Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari x + y ≥ 4, x + 2y ≤ 6, dan y ≥ 1 ditunjukkn oleh… y A. I 4 B. II 3

C. III

I

V

II

D. IV 1

III

0

I iii 4 V

6

x


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

No. Tugas

:..........................

Judul Tugas

:...........................

No. Kriteria

Rentang Nilai

1.

Kegiatan belajar 1

0 – 30

2.

Kegiatan belajar 2

0 – 30

3.

Kegiatan belajar 3

0 – 10

4.

Evaluasi

0 – 100

JUMLAH

Nilai Prestasi Tes Formatif

Evaluasi

(jumlah X 60%)

(jumlah X 40%)

0 – 100

JUMLAH Jumlah Nilai Akhir Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus

..............................,.......................20....


89

BAB


4 90

4.1 PENDAHULUAN

4.1.1 Deskripsi Dalam

modul

ini

anda

akan

mempelajari

perbandingan

trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penentuan luas segitiga, rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut 4.1.2 Prasyarat Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga, dan sudut-sudut istimewa. 4.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul 1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan skema akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modul-modul yang lain. 2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului

merupakan

prasyarat

untuk

mempelajari

materi

berikutnya. 3. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk memudahkan pemahaman dalam suatu proses pekerjaan. 4. Kerjakann soal-soal pada cek kemampuan intuk mengukur kemampuan anda sebelum mempelajari modul ini. 5. Apabila dari soal cek kemampuan yang telah anda kerjakan mendapat score ≥ 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban mendapat nilai < 70, maka anda harus mengikuti kegiatan pembelajaran dalam modul ini. 6. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. Modul Matematika SMA

91

7. Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam modul sesuai dengan kemampuan anda dalam memahami modul ini. 8. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 9. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. 4.1.4 Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1.

Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,

2.

Menggunakan perbandingan trigonometri,

3.

Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,

4.

Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,

5.

Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,

6.

Menentukan luas segitiga

7.

Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut,

8.

Menyelesaikan persamaan trigonometri

9.

Memahami pengertian koordinat kutub dan koordinat cartesius

10. Mengkonversikan koordinat cartesius ke koordinat kutub 11. Mengkonversikan koordinat kutub ke koordinat cartesius 12. Menentukan luas segitiga 13. Menyelesaikan masalah Menggunakan aturan sinus dan kosinus 14. Menyelesaikan masalah menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut


92

4.1.5 Kompetensi Kode Unit Judul Unit

:

Trigonometri (jam)

Uraian Unit : Sub Kompetensi Indikator 1. Menentukan dan 1.1 Perbandingan trigonometri suatu sudut ditentukan dari sisimenggunakan nilai sisi segitiga siku-siku. perbandingan trigonometri 1.2 Perbandingan trigonometri dipergunakan dalam suatu sudut. menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga siku-siku. 1.3 Sudut-sudut diberbagai kuadran ditentukan nilai perbandingan trigonometrinya. 2. Mengkonversi koordinat 2.1 Koordinat cartesius dan koordinat kutub dibedakan sesuai cartesius dan kutub pengertiannya. 2.2 Koordinat cartesius dikonversi ke koordinat kutub atau koordinat kutub ke koordinat cartesius sesuai prosedur dan rumus yang berlaku. 3. Menggunakan aturan sinus 3.1 Aturan sinus digunakan untuk menentukan panjang sisi dan cosines atau besar sudut pada suatu segitiga. 3.2 Aturan cosinus digunakan untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut pada suatu segitiga 4. Menentukan luas suatu 4.1 Luas segitiga dihitung dengan menggunakan rumus luas segitiga segitiga 5. Menggunakan rumus 5.1 Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut trigonometri jumlah dan digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang terkait selisih dua sudut 6. Menyelesaikan persamaan 6.1 Persamaan trigonometri dihitung penyelesaiannya trigonometri 7. Mengkonversi koordinat 7.1 Koordinat cartesius dan koordinat kutub dibedakan sesuai cartesius dan kutub pengertiannya 7.2 Koordinat cartesius dikonversi ke koordinat kutub atau koordinat kutub ke koordinat cartesius sesuai prosedur dan rumus yang berlaku 8. Menentukan luas suatu 8.1 Luas segitiga dihitung dengan menggunakan rumus luas segitiga segitiga Acuan Penilaian 1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji. 2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai:  Mampu mengkonversikoordinat cartesius dan kutub  Memahami rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut 3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya: Bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga, dan sudut-sudut istimewa 4. Pengetahuan yang harus dibutuhkan: Mengetahui rumus perbandingan Mampu menemukan kuadran Mengenal istilah unsur dalam trigonometri Modul Matematika SMA

93

Memahami sisi-sisi dalam segitiga 5. Sikap yang dituntut: Bekerja dengan ketelitian dan kecermatan Efisien dan optimal dalam bekerja Memperhatikan langkah-langkah dalam suatu proses Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian pekerjaan oleh atasan 4.1.6 Cek Kemampuan Berilah tanda (  ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban yang anda pilih Jawaban No

Pertanyaan Ya

1.

Apakah anda dapat menggunakan rumus perbandingan ?

2.

Apakah anda dapat mengukur sudut suatu segitiga ?

3.

Apakah anda mengenal atusan sinus dan cosinus ?

4.

Apakah anda dapat menentukan kuadran ?

5.

Apakah anda mengetahui luas segitiga ?

6.

Apakah anda dapat membedakan antara koordinat kutub dan cartesius ?

7.

Apakah anda dapat menghitung besar sudut ?

8.

Apakah anda dapat menghitung panjang sisi pada sebuah segitiga ?

9.

Apakah anda mengenal istilah unsur dalam trigonometri ?

10.

Apakah anda mengetahui yang dimaksud koordinat kutub ?

11.

Apakah anda mengetahui yang dimaksud koordinat cartesius ? Skore (Nilai) Tulungagung, 2 November 2015


94

Tidak

PETA KONSEP

Perbandingan Trigonometri suatu sudut

Koorinat Cartesius

Mengkonversi Koordinat Kutub Trigonometri

Aturan sinus dan cosinus

Luas Segitiga

Jumlah dan Selisih Dua Sudut


95

4.2 PEMBAHASAN

4.2.1 Rencana Belajar Siswa 1) Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar, agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan. 2) Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan. 3) Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan kepada guru/instruktur. 4) Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan anda yang sebenarnya diketahui

4.2.2 Kegiatan Belajar 1 4.2.2.1 Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku Gambar 1.1 merupakan gambar segitiga siku-siku di C, dengan panjang AB=c, panjang AC= b, panjang BC= a, ∠𝐵𝐶𝐴 = 𝑎, ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛽, dan ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°. Sisi AC dan BC merupakan sisi siku-siku, sedangkan sisi AB disebut sisi miring (hipotenusa). Gambar 1.1:

Bardasarkan ganbar diatas diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi segitiga berikut. 1)

𝐵𝐶 𝐴𝐵

=

𝑎 𝑐

= sin 𝛼 (sinus sudut 𝛼) dan

𝐴𝐶 𝐴𝐵

𝑏

= 𝑐 = sin 𝛽 (sinus sudut

𝛽) Modul Matematika SMA

96

BC dan AC masing-masing merupakan sisi-sisi didepan sudut 𝛼 dan sudut 𝛽, sedangkan AB merupakan sisi miring segitiga ABC. 2)

𝐴𝐶 𝐴𝐵

𝑏

= 𝑐 = cos 𝛼 (cosinus sudut 𝛼) dan

𝐵𝐶 𝐴𝐵

=

𝑎 𝑐

= cos 𝛽 (cosinus

sudut 𝛽) AC dan BC masing-masing merupakan sisi siku-siku yang mengapit sudut 𝑎 dan sudut 𝛽, sedangkan AB merupakan sisi miring segitiga ABC. 3)

𝐵𝐶 𝐴𝐶

=

𝑎 𝑐

= tan 𝑎 (tangen sudut 𝑎) dan

𝐴𝐶 𝐵𝐶

𝑎

= 𝑏 = tan 𝛽 (tangen

sudut 𝛽) BC dan AC masing-masig merupakan sisi-sisi didepan sudut 𝑎 dan sudut 𝛽, sedangkan AC dan BC masing-masing merupakan sisi siku-siku yang mengapit sudut 𝑎 dan sudut 𝛽. 4)

𝐵𝐶 𝐴𝐶

=

𝑎 𝑐

= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎 (cosecan sudut 𝑎) dan

𝐴𝐵 𝐴𝐶

𝑐

= 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛽

(cosecan sudut 𝛽). 1

1

Jadi, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎 = sin 𝑎 dan 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛽 = sin 𝛽 5)

𝐴𝐵 𝐴𝐶

𝑐

𝐴𝐵

= 𝑏 = sec 𝑎 (secan sudut 𝑎) dan 𝐵𝐶 = sec 𝛽 (secan sudut 𝛽). 1

1

Jadi, sec 𝑎 = cos 𝛼 dan sec 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 6)

𝐴𝐶 𝐵𝐶

𝑏

= 𝑎 = cot 𝑎

(cotangen

sudut

𝑎)

dan

𝐵𝐶 𝐴𝐶

𝑎

= 𝑏 = cot 𝛽

(cotangen sudut 𝛽) 1

1

Jadi, cot 𝑎 = tan 𝑎 dan cot 𝛽 = tan 𝛽 Contoh: Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri berikut.

a. sin 𝑎 e. cot 𝑎


b. tan 𝑎 f. cos 𝛽

c. cos 𝑎 g. sec 𝛽

d. cosec 𝑎 h. sin 𝛽

97

Penyelesaian: 𝐵𝐶

3

a) Sin 𝑎 = 𝐴𝐵 = 5 𝐵𝐶

b) Tan 𝑎 = 𝐴𝐶

AC= 52 − 32 = 16= 4. 3

Tan 𝑎 = 4 𝐴𝐶

4

c) Cos 𝑎 = 𝐴𝐵 = 5 1

𝐴𝐵

5

d) Cosec 𝑎 = sin 𝑎 = 𝐵𝐶 = 3 e) Cot 𝑎 =

1

=

tan 𝑎 𝐵𝐶

𝐴𝐶 𝐵𝐶

=

4 3

3

f) Cos 𝛽 = 𝐴𝐵 = 5 1

𝐴𝐵

5

g) Sec 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = 𝐵𝐶 = 3 𝐴𝐶

4

h) Sin 𝛽 = 𝐴𝐵 = 5 4.2.2.2 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa Sudut-sudut istimewa yang akan dijelaskan pada materi ini adalah sudut yang besarnya 0°, 30°, 45°, 60°, 𝑑𝑎𝑛 90°. Perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa adalah sebagai berikut: B. sudut Trigono

0°

30°

45°

sin 𝑎

0

1 2

cos 𝑎

1

1 1 3 2 2 2

tan 𝑎

0

1 3 3

60°

90°

1 1 2 3 2 2

1

1

1 2 3

0 Tak terdefinisi

4.2.2.3 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi Sumbu koordinat membagi bidang koordinat Cartesius menjadi empat bagian (kuadran). Suatu sudut 𝑎 pada bidang Cartesius dikelompokan menjadi empat kuadran yaitu:  Kuadaran I : 0° < 𝑎1 < 90° 𝑎𝑡𝑎𝑢 0 < 𝑎1 < Modul Matematika SMA

𝜋 2

98

 Kuadran II : 90° < 𝑎2 < 180° 𝑎𝑡𝑎𝑢

𝜋 2

< 𝑎2 < 𝜋

 Kuadran III : 180° < 𝑎3 < 270° 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋 < 𝑎3 <  Kuadran IV : 270° < 𝑎4 < 360° 𝑎𝑡𝑎𝑢

3𝜋 2

3𝜋 2

< 𝑎4 < 2𝜋

a) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran I

O Sebuah titik P(x,y) terletak pada kuadran I. Jika ∠𝐴𝑃𝑂 = 𝜃, maka sin 𝛼 = cos 𝑎 =

𝑦

sin 𝜃 =

𝑟 𝑥

cos 𝜃 =

𝑟 𝑦

𝑥 𝑟 𝑦 𝑟 𝑥

tan 𝑎 = 𝑥

tan 𝜃 = 𝑦

Karena 𝜃 = 90° − 𝑎, diperoleh sebagai berikut ini, sin 90° − 𝑎 = cos 𝑎 cos 90° − 𝑎 = sin 𝑎 tan 90° − 𝑎 = cot 𝑎 Modul Matematika SMA

99

b) Perbandingan trigonometri sudut di kuadarn II Pada kuadran II, relasi sudut 𝑎 dapat dinyatakan dengan (90° + 𝑎) atau (180° − 𝑎). Perhatikan gambar, titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga diperoleh titik P (-x,y) yang terletak di kuadran II. Jika ∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃 = 90° + 𝑎, maka Δ𝑃𝑂𝐵 diperoleh:

𝑥

sin 𝑎 = 𝑦

cos 𝑎 =

𝑦 𝑟

𝑥

tan 𝑎 = 𝑦

Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh : 𝑦 sin 90° + 𝑎 = 𝑟 −𝑥 cos 90° + 𝑎 = 𝑟 𝑦 𝑦 tan 90° + 𝑎 = =− −𝑟 𝑟 Sehingga, diperoleh hubungan sebagai berikut. 𝑦 sin 90° + 𝑎 = = cos 𝑎 𝑟 𝑥 cos 90° + 𝑎 = − = − sin 𝑎 𝑟 𝑦 tan 90° + 𝑎 = − = − cot 𝑎 𝑥


100

Perhatikan gambar, titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga diperoleh titik P(-x,y) yang terletak pada kuadran II. Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃 = (180° − 𝑎) , maka dari Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh: sin 𝑎 =

𝑦 𝑟

𝑥

cos 𝑎 = 𝑟

𝑦

tan 𝑎 = 𝑥

Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh: 𝑦 = sin 𝑎 𝑟 𝑥 cos 180 − 𝑎 = − = − cos 𝑎 𝑟 𝑦 tan 180 − 𝑎 = − = − tan 𝑎 𝑟 Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran II, 90° < 𝑎 < 180°, sin 180 − 𝑎 =

maka Trigonometri sin 𝑎 cos 𝑎 Tanda + − c) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran III

tan 𝑎 −

Perhatikan gambar, titik P(x,y) dicerminkan terhadap titik asal O(0,0) sehingga diperoleh titik P‟(-x,-y) yang terletak pada kuadran III. Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃′ = 180° + 𝑎, maka dari Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh: sin 𝑎 =

𝑦 𝑟

𝑥

cos 𝑎 = 𝑟

𝑦

tan 𝑎 = 𝑥

Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃′ diperoleh: −𝑦 𝑦 sin 180 + 𝑎 = =− 𝑟 𝑟 −𝑥 𝑥 cos 180 + 𝑎 = =− 𝑟 𝑟


101

tan 180 + 𝑎 =

−𝑦 𝑦 = −𝑥 𝑥

Sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut. 𝑦 sin 180 + 𝑎 = − = − sin 𝑎 𝑟 𝑥 cos 180 + 𝑎 = − = − cos 𝑎 𝑟 𝑦 tan 180 + 𝑎 = = tan 𝑎 𝑟 Selain menyatakan perbandingan trigonometri pada kuadran III sebagai (180° + 𝑎), juga dapat dinyatakan sebagai (270° + 𝑎). Perhatikan gambar, titik P‟(-x,-y) terletak pada kuadran III. Jika ∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃′ = 270° − 𝑎,

maka

dari

Δ𝑃𝑂𝐵

diperoleh:

sin 𝑎 =

𝑥 𝑟

cos 𝑎 =

𝑦 𝑟

𝑥

tan 𝑎 = 𝑦

Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃′ diperoleh: −𝑦 𝑦 sin 270° − 𝑎 = =− 𝑟 𝑟 −𝑥 𝑥 cos 270° − 𝑎 = =− 𝑟 𝑟 −𝑦 𝑦 tan 270 − 𝑎 = = −𝑥 𝑥 Sehingga, didapat hubungan sebagai berikut: 𝑦 sin 270° − 𝑎 = − = − cos 𝑎 𝑟 𝑥 cos 270° − 𝑎 = − = − sin 𝑎 𝑟 𝑦 tan 270° − 𝑎 = = cot 𝑎 𝑥


102

Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran III, 180° < 𝑎 < 270°, maka Trigonometri

sin 𝑎

cos 𝑎

tan 𝑎

−

−

+

Tanda

d) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran IV

Perhatikan gambar. Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X sehingga diperoleh titik P‟(x,-y) terletak pada kuadran IV. Jika ∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃′ = 270° + 𝑎,

maka

dari

Δ𝑃𝑂𝐵

diperoleh: 𝑥

sin 𝑎 = 𝑟

cos 𝑎 =

𝑦 𝑟

𝑥

tan 𝑎 = 𝑦

Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃′ diperoleh: −𝑦 𝑦 sin 270° + 𝑎 = =− 𝑟 𝑟 𝑥 cos 270° + 𝑎 = 𝑟 −𝑦 𝑦 tan 270° + 𝑎 = =− 𝑥 𝑟 Sehingga, di dapat hubungan sebagai berikut: 𝑦 sin 270 + 𝑎 = − = − cos 𝑎 𝑟 𝑥 cos 270 + 𝑎 = = sin 𝑎 𝑟 −𝑦 𝑦 tan 270 + 𝑎 = =− 𝑥 𝑥 Sehingga, didapat hubungan sebagai berikut. 𝑦 = − cos 𝑎 𝑟 cos 270° + 𝑎 = sin 𝑎 tan 270° + 𝑎 = − cot 𝑎

sin 270° + 𝑎 = −


103

Selain dengan (270° + 𝑎), juga dapat menyatakan perbandingan trigonometri pada kuadran IV dengan

360° − 𝑎 𝑑𝑎𝑛(−𝑎).

Perhatikan gambar:

Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X sehingga diperoleh P‟(x,y) pada kuadran IV. Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃′ = 360° − 𝑎, maka dari ∆𝐴𝑂𝑃 diperoleh: sin 𝑎 =

𝑦 𝑟

𝑥

𝑦

cos 𝑎 = 𝑟

tan 𝑎 = 𝑥

Dan dari ∆𝐴𝑂𝑃′ diperoleh: −𝑦 𝑦 =− 𝑟 𝑟 𝑥 cos 360° − 𝑎 = 𝑟 −𝑦 𝑦 tan 360 − 𝑎 = =− 𝑥 𝑥 sin 360° − 𝑎 =

Sehingga didapat hbungan sebagai berikut. 𝑦 sin 360 − 𝑎 = − = − sin 𝑎 𝑟 𝑥 cos 360° − 𝑎 = = cos 𝑎 𝑟 𝑦 tan 360° − 𝑎 = − = − tan 𝑎 𝑥 Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran IV, 270° < 𝑎 < 360°, maka


Trigonometri

sin 𝑎

cos 𝑎

tan 𝑎

Tanda

−

+

−

104

4.2.2.4 Rangkuman

Identitas

trigonometri

merupakan

suatu

persamaan

yang

didalamnya terdapat perbandingan trigonometri. Adapun cara membuktikan persamaan tersebut adalah dengan menguraikan ruas kiri persamaan sehingga hasil uarainnya sama dengan ruas kanan atau sebaliknya. Ada perbandingan segitiga siku-siku, sudut-sudut istimewa dengan rumus yang sudah dijelaskan diatas.

4.2.2.5 Tes Formatif 1. sec 300° Jawab: sec 300° = sec 360° − 60°

𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 𝐼𝑉 = sec 60° =


1 cos 60°

=

1 1 2

=2

105


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

1.



2.


0 – 20

3.


0 – 20

Jumlah

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


…………….,………………..20…


106


4.2.3.1 Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Secara singkat koordinat Cartesius adalah suatu titik yang digambar pada sumbu x dansumbu y, terdiri dari absis (nilai x) dan ordinat (nilai y), ditulis P(x,y). Atau Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x , ordinat y. Y

P(x,y )

X

O

Koordinat kutub adalah koordinat yang digambar pada sumbu 𝑥 2 + 𝑦 2 dan sudut θ., yaitu sudut

x dan y, terdiri dari nilai r 𝑟 =

yang dibentuk oleh garis OP dan OX , ditulis P(r, θ). Atau dapat diringkas lagi Koordinat

Kutub adalah letak suatu titik yang

disajikan dalam bentuk r dan α. Y

P(x,y) r θ O

X

Koordinat cartesius ke koordinat kutub atau koordinat kutub ke koordinat cartesius sesuai prosedur dan rumus yang berlaku. Modul Matematika SMA

107

Hubungan

koordinat

kartesius

dengan

koordinat

kutub

diperlihatkan oleh gambar berikut ini. Y P(r,θ) r

θ

X

x

O

Dari gambar di atas diperoleh hubungan jika pada koordinat kartesius titik P (x,y) diketahui maka koordinat kutub P (r,θ) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut. 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 𝑦 tan 𝜃 = ↔ 𝜃 = arctan 𝑦 𝑥 Dengan demikian, apabila koordinat kartesius P (x,y) dinyatakan menjadi koodinat kutub dapat dinyatakan dengan: 𝑃=

𝑥 2 + 𝑦 2 , arctan

𝑦 𝑥

Jika koordinat kutub titik P (r, θ) diketahui maka koordinat kartesius titik P (x, y) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut. sin 𝜃 =

𝑦 → 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 𝑟

cos 𝜃 =

𝑥 → 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑟

Dengan demikian, apabila koordinat kutub P (r, θ) dinyatakan menjadi koodinat kartesius dapat dinyatakan dengan rumus: 𝑃(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)


108

4.2.3.2 Rangkuman

1. Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x ,

ordinat y. 2. Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang disajikan dalam bentuk

r dan α. 3. Koorinat Cartesius ditulis dengan P(x,y) 4. Koordinat kutub ditulis dengan P(r, θ) 5. apabila koordinat kartesius P (x,y) dinyatakan menjadi koodinat kutub

dapat dinyatakan dengan: 𝑃 =

𝑦

𝑥 2 + 𝑦 2 , arctan 𝑥

6. Jika koordinat kutub titik P (r, θ) diketahui maka koordinat kartesius

titik P (x, y) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut : sin 𝜃 =

𝑦 𝑟

𝑥

→ 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 dan cos 𝜃 = 𝑟 → 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

7. apabila koordinat kutub P (r, θ) dinyatakan menjadi koodinat kartesius

dapat dinyatakan dengan rumus:𝑃(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)


1) Apa yang di maksud dengan Koordinat Kutub 2) Apa yang dimaksud dengan koordinat cartesius 3) Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), Tentukan koordinat cartesiusnya. 4) Jika diketahui koordinat kutub titik (-4,4) Tentukan koordinat kutub nya. 5) Tentukan koordinat Kutub jika diketahui koordinat Cartesiusnya adalah


P ( -23 , -2 )

109


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


………………,……………20…


110


4.2.4.1 Luas Suatu Segitiga Sebelum menghitung Luas segitiga, tentunya kita harus mengetahui rumus luas segitiga terlebih dahulu.

Luas Δ ABC

1

= 2 × 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 1

= 2 × 𝐴𝐵 × 𝐶𝐷 Untuk menghitung luas segitiga dapat dilakukan dengan berbagai cara. 1. Menentukam luas segitiga, jika diketahui besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapit sudut itu. Misalkan pada ΔABC yang diketahui adalah besar sudut A dan kedua sisi yang mengapit sudut itu, yakni sisi AB dan AC, maka rumus luasnya ditentukan sebagai berikut:

Luas Δ ABC

1

= 2 × 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 1

= 2 × 𝐴𝐵 × 𝐶𝐷 1

= 2 × 𝑐 × 𝑏 sin 𝑎 (karena CD = b. sin 𝑎)


111

1



Luas Δ ABC = 2 𝑏. 𝑐. sin 𝑎

Dengan cara analogi yang sama diperoleh juga : 1

Luas Δ ABC

= 2 𝑎. 𝑏. sin 𝛽

Luas Δ ABC

= 2 𝑎. 𝑏. sin 𝛾

1

Ketiga Rumus Segitiga di atas dapat ditulis juga : 1

Luas Δ ABC = 2 b. c. sin A 1

Luas Δ ABC = 2 a. c. sin B 1

Luas Δ ABC = a. b. sin C 2

2. Menentukan luas segitiga, jika diketahui panjang ketiga sisinya. Perhatikan Δ ABC di bawah ini :

Jika sebuah segitiga diketahui panjang ketiga sisinya, sedangkan sudut-sudutnya tidak diketahui, maka luas segitiga itu dapat dihitung dengan Formula Hero. Misalkan pada Δ ABC di atas diketahui AB = c, AC = b, dan BC = a, maka rumus luasnya diperoleh dari rumus luas Δ ABC =

1 2

𝑏. 𝑐. sin 𝐴 , dengan mengganti nilai sin 𝐴 dengan bentuk

cosinus yang diambil dari rumus cos 𝐴 = 2

𝑏 2 +𝑐 2 +𝑎 2 2.𝑏.𝑐

2

Berdasarkan rumus sin A = 1 – cos A diperoleh: ↔ sin2 A = (1 + cos A) (1 - cos A) ↔ sin2 A = 1 + ↔ sin2 A = ↔ sin2 A = Modul Matematika SMA

2𝑏𝑐 2𝑏𝑐

𝑏 2 +𝑐 2 +𝑎 2

+

2𝑏𝑐 𝑏 2 +𝑐 2 −𝑎 2 2𝑏𝑐

1−

𝑏 2 +𝑐 2 +𝑎 2

2𝑏𝑐

− 2𝑏𝑐

(𝑏+𝑐)2 −𝑎 2

𝑎 2 −(𝑏−𝑐)2

2𝑏𝑐

2𝑏𝑐

2𝑏𝑐 𝑏 2 +𝑐 2 −𝑎 2 2𝑏𝑐

112

↔ sin2 A =

𝑏+𝑐+𝑎 (𝑏+𝑐−𝑎)

𝑎+𝑏−𝑐 (𝑎−𝑏+𝑐)

2𝑏𝑐

2𝑏𝑐

Misalkan keliling ΔABC adalah 2s, berarti 2s = a + b + c, maka bentuk (b+c+a) = 2s – 2a; (a + b + c) = 2s – 2c; dan (a – b + c) = 2s – 2b. Sehingga persamaan di atas dapat ditulis: ↔ sin2 A =

2𝑠(2𝑠−2𝑎)

2𝑠−2𝑐 (2𝑠−2𝑏)

2𝑏𝑐

2𝑏𝑐

↔ sin2 A =

2𝑠 ( 𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐) (𝑏𝑐 )2 2

↔ sin2 A = 𝑏𝑐

𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)

Dari bentuk rumus luas Δ ABC =

1 2

𝑏. 𝑐. sin 𝐴, diperoleh

rumus baru yang disebut Rumus Hero ( Hero’s Formula ). Yaitu: Luas Δ ABC = 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐) dimana s =

𝑎 +𝑏+𝑐 2

3. Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan panjang sisi yang terletak diantara kedua sudut itu. 1

Dari rumus luas Δ ABC = 2 𝑏. 𝑐. sin 𝐶 dan rumus sinus 𝑏 sin 𝐵 𝑎 sin 𝐴

=

𝑐 sin 𝐶

𝑎 sin 𝐴

=

diperoleh hubungan sebagai berikut:

𝑏

= sin 𝐵 ↔ a sin B = b sin A ↔ b =

Luas Δ ABC =

1 𝑎 sin 𝐵 2

sin 𝐴

𝑎 sin 𝐵 sin 𝐴

, sehingga:

. 𝑎. sin 𝐶 atau Luas Δ ABC =

1 𝑎 2 sin 𝐵.sin 𝐶 2

sin 𝐴

Dengan cara yang sama, diperoleh juga rumus luas sebagai berikut:


Luas Δ ABC =

1

Luas Δ ABC =

1

Luas Δ ABC =

1

2 2

2

𝑎2

sin 𝐵.sin 𝐶

𝑏2

sin 𝐴.sin 𝐶

𝑐2

sin 𝐴.sin 𝐵

sin 𝐴 sin 𝐵

sin 𝐶

113

4.2.4.2 Rangkuman

1. Menentukam luas segitiga, jika diketahui besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapit sudut itu. Dapat dihitung menggunakan rumus 1 2

𝑏. 𝑐. sin 𝑎

2. Menentukan luas segitiga, jika diketahui panjang ketiga sisinya. Dapat dihitung menggunakan rumus

𝑠 𝑠−𝑎 𝑠−𝑏 𝑠−𝑐

3. Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan panjang sisi

yangterletak

diantara

menggunakan rumus

1 2

𝑎2

kedua

sudut

itu.

Dapat

dihitung

sin 𝐵.sin 𝐶 sin 𝐴


1. Diketahui sebuah segitiga ABC, jika a = 6 cm, b = 9 cm, dan sudut C = 300 Hitunglah luas segitiga ABC. 2. Diketahui segitiga KLM, jika diketahui panjang sisi KL = 9 cm, KM = 13 cm, dan LM = 10 cm. Hitunglah keliling segitiga KLM. 3. Diketahui sebuah segitiga ABC, jika < A = 250 dan < B = 350 . Sedangkan panjang sisi c = 5 cm. Hitunglah luas segitiga ABC.


114


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Jumlah

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%

Jumlah Nilai Akhir Kesimpulan: Lulus / Tidak Lulus

………………,……………20…


115

4.2.5 Kegiatan Belajar 4 4.2.5.1 Menggunakan Anturan Sinus dan Cosinus Kita tentu telah mengetahui bahwa suatu bangun segitiga memiliki tiga buah sudut dan tiga buah sisi serta jumlah besar ketiga sudut segitiga adalah 180°. Dalam sub bab ini akan dipelajari hubungan ketiga titik sudut dan ruas sisi segitiga yang akan membentuk aturan sinus dan aturan kosinus. 1. Aturan Sinus Dalam Suatu Segitiga Perhatikan gambar dibawah ini. Dalam ∆ 𝐴𝐵𝐶 ditarik garis

𝐵

tinggi BD dan AE

𝛽

𝐸

𝑐

a 𝛾

𝑎 𝐷

𝐴

𝐶

Pada ∆ 𝐴𝐵𝐷 : 𝐵𝐷

Sin 𝛼 = 𝐴𝐵 → 𝐵𝐷 = 𝑐 sin 𝛼 … (1) Pada ∆𝐶𝐵𝐷 ∶ sin 𝛾 =

𝐵𝐷 𝐵𝐶

→ 𝐵𝐷 = sin 𝛼 sin 𝛾 … 2

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: c sin 𝛼 = 𝛼 sin 𝛾, atau

𝑎 sin 𝛼

=

𝑐 sin 𝛾

... (3)

Pada ∆𝐶𝐴𝐸: sin 𝛾 =

𝐴𝐸 𝐶𝐴

→ 𝐴𝐸 = 𝑏 sin 𝛾 … (4)

Pada ∆𝐴𝐵𝐸: Sin 𝛽 =

𝐴𝐸 𝐵𝐴

→ 𝐴𝐸 = 𝑐 sin 𝛽 … 5

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh : Modul Matematika SMA

116

𝑏 sin 𝛾 = 𝑐 sin 𝛽 𝑏 sin 𝛽

=

𝑐 sin 𝛾

… 6

Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh : 𝑎 sin 𝛼

=

𝑏 sin 𝛽

=

𝑐 sin 𝛾

Persamaan tersebut disebut aturan sinus dalam suatu segitiga. 2. Aturan Kosinus Dalam Suatu Segitiga Jika dalam suatu segitiga diketahui dua sisi dan sudut apit dari kedua sisi itu maka sisi ketiga dapat juga dicari menggunakan aturan kosinus, selain aturan sinus. Sehingga pada setiap segitiga ABC berlaku aturan kosinus : 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 . cos 𝑎 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑏 . cos 𝛽 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 . cos 𝛾 Bukti: Pada ∆𝐴𝐵𝐶 jika AD = x maka BD = c – x. Pada ∆𝐴𝐷𝐶 berlaku : 𝐶𝐷2 = 𝑏 2 - 𝑥 2 ... (1) Pada ∆𝐵𝐷𝐶 berlaku : 𝐶𝐷2 = 𝑎2 − 𝑐 2 − 𝑥 2 … (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan = 𝑏 2 − 𝑥 2 = 𝑎2 − (𝑐 − 𝑥)2 𝑏 2 − 𝑥 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 + 2𝑐 𝑥 − 𝑥 2 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑐𝑥 … (3) 𝑥

Pada ∆𝐴𝐷𝐶 berlaku cos 𝛼 =

𝑏

maka x = b cos 𝛼.

Sehingga persamaan (3) menjadi: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑐 𝑏 cos 𝛼 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 Jadi, 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. cos 𝛼 Dengan cara yang sama dapat dibuktikan: Modul Matematika SMA

117

𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐. cos 𝛽 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏. cos 𝛽 4.2.5.2 Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Sudut 1. Sin (𝜶 ± 𝜷) Perhatikan gambar berikut :

C

𝛾

𝑎

b

oo

𝛼

𝑟

┐┐

A

𝜷

E D

B

Pada gambar diatas, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC, diket ∠BAC = 𝛼, ∠ACB = 𝛾, dan panjang sisi AB = c, BC 1

= a, dan AC = b serta jari-jari OA= 2.𝛼 + 𝛽 < 𝜋. Pada ∆𝐴𝐷𝑂 siku-siku di D: 1

𝑐

OA = 2. AD = 2, dan ∠𝐴𝑂𝐷 = 𝛾 Maka: 𝐴𝐷

Sin 𝛾 = 𝑂𝐴 =

𝑐 2 1 2

Sin 𝛾 = c Sehingga dengan cara yang sama diperoleh, sin

𝛼=

𝑎, sin 𝛽 = 𝑏 Pada ∆𝐴𝐸𝐶, EA=b cos 𝛽, dan pada ∆𝐵𝐸𝐶, EB = 𝛼 cos 𝛽 EA + EB = c = b cos 𝛼 + 𝛼 cos 𝛽 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 → 𝛾 = 𝜋 − (𝛼 + 𝛽) Sehingga: Sin (𝛼 + 𝛽) = sin⁡ (𝜋 − 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛 𝛾 = 𝑐 Sin (𝛼 + 𝛽) = 𝑏 cos 𝑎 + 𝑎 cos 𝛽

= sin 𝛽 cos 𝑎 + sin 𝑎 cos 𝛽 Modul Matematika SMA

118

Jadi Sedangkan untuk rumus sin (𝛼 − 𝛽), dapat dilakukan dengan

Sin (𝛼 + 𝛽) = sin 𝑎 cos 𝛽+ cos 𝑎 sin 𝛽

mensubtitusikan bentuk (𝛼 − 𝛽) = 𝑎 + (−𝛽). Sin (𝛼 − 𝛽) = sin⁡[𝑎 + (− 𝛽)]

= sin 𝑎 cos −𝛽 + cos 𝑎 sin⁡ (−𝛽) = sin 𝑎 cos 𝛽 − cos 𝑎 sin 𝛽 Jadi

Sin (𝛼 − 𝛽) = sin⁡𝑎 cos⁡𝛽 − cos⁡𝑎 sin⁡ 𝛽 2. Cos (𝒂 ± 𝜷)

𝐶 C

𝐶

𝑎

𝑏

𝐴

=

𝐵

𝐷

∠ACB =

𝜋 2

𝐴 𝑏 cos𝑎

+

𝑎

𝑏 sin 𝑎

𝑎 cos𝛽

D

𝑎 sin 𝛽

𝐷

−𝑎+𝛽

𝜋

= 2 − (𝑎 − 𝛽) Luas ∆𝐴𝐵𝐶 = luas ∆𝐴𝐷𝐶 + luas ∆𝐵𝐷𝐶 1 𝜋 1 1 𝑎𝑏 sin( − (𝑎 − 𝛽)) = 𝑎𝑏 cos⁡𝑎 cos⁡𝛽 + 𝑎𝑏 sin⁡𝑎 sin⁡𝑏 2 2 2 2 Jadi,

Cos 𝑎 − 𝛽 = cos 𝑎 cos 𝛽 + sin 𝑎 sin 𝛽


119

Rumus cos 𝑎 − 𝛽 dapat juga didapat dari gambar dibawah ini

𝑌

𝑌

B(𝑥1,𝑦1) C (𝑥2 , 𝑦2 )

C(𝑥2 , 𝑦2 )

𝑎−𝛽

𝛽

𝐴(1,0)

A(1,0)

O D (𝑥3 , 𝑦3 )

D(𝑥3 , 𝑦3 )

B (𝑥1 , 𝑦1 )

𝑎

O (i)

(ii)

Pada gambar (i), misalkan titik A(1,0). Jika 𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽 menentukan letak titik B (𝑥1, 𝑦1 ), C (𝑥2, 𝑦2 ) dan D (𝑥3, 𝑦3 ) pada lingkaran, maka 𝑥1, 2 +𝑦1 2 = 1 untuk i = 1,2,3, misalnya, kita asumsikan bahwa 0<𝛽∠𝑎 < 2𝜋, maka: 𝑥1, = cos 𝛽, 𝑦1 = sin 𝛽 𝑥2, = cos (𝑎 − 𝛽), 𝑦2 = sin( 𝑎 + 𝛽) 𝑥3, = cos 𝑎, 𝑦3 = sin 𝑎 Pada gambar

(ii), panjang busur AC = panjang busur BD,

sehingga panjang tali busur AC dan BD sama panjang. 𝐴𝐶 = |𝐵𝐷| (𝑥2 − 1)2 + (𝑦2 − 0)2 =

𝑥3 − 𝑥1

2

+ (𝑦3 − 𝑦1 )2

𝑥2 2 − 2𝑥2 + 1 + 𝑦2 2 = 𝑥3 2 − 2 𝑥1 𝑥3 + 𝑥1 2 + 𝑦3 2 − 2𝑦1 𝑦3 + 𝑦1 2 (𝑥2 2 + 𝑦2 2 )+ 1 - 2 𝑥2 = (𝑥3 2 + 𝑦3 2 )+( 𝑥1 2 + 𝑦1 2 )− 2𝑥1 𝑥3 − 2𝑦1 𝑦3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 − 𝛽 + 1 − 2 𝑥2 =(𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑎) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 +

𝑠𝑖𝑛2−2 𝑥1𝑥3−2𝑦1𝑦3 1+1-2𝑥2 = 1 + 1 − 2 𝑥1 𝑥3 − 2𝑦1 𝑦3 𝑥2 = 𝑥3 𝑥1 + 𝑦3 𝑦1 Dengan mensubtitusikan nilai-nilai 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑥3 dan 𝑦3 diperoleh:

cos (𝑎 − 𝛽) = cos 𝑎 cos 𝛽+sin 𝑎 sin 𝛽 Modul Matematika SMA

120

Untuk mendapatkan rumus cos (𝑎 − 𝛽), dapat dilakukan dengan mensubtitusikan (𝛼 + 𝛽) = 𝑎 − (−𝛽). cos (𝑎 − 𝛽)= cos 𝑎 − (− 𝛽) = cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 − 𝛽 + sin 𝑎 sin(− 𝛽) = cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + sin 𝑎 (− sin 𝛽)

cos (𝑎 + 𝛽)= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽- sin 𝑎 sin 𝛽 Contoh: Tunjukkanlah bahwa cos 90° + A = − sin 𝐴 cos 90° + A = cos 90° cos 𝐴 − sin 90° sin 𝐴 = 0. cos A − 1. sin 𝐴 = − sin 𝐴 Jadi , cos 90° + A = − sin 𝐴 3. Tan (𝒂 ± 𝜷) Rumus-rumus penjumlahan sinus dan kosinus yang telah kita peroleh sebelumnya, dapat kita gunakan untuk menemukan rumus penjumlahan tangen, seperti berikut ini: 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) = =

sin (𝛼+𝛽 ) cos (𝛼+𝛽 )

sin 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽 +cos 𝑎 sin 𝛽 cos 𝑎 cos 𝛽 −sin 𝑎 sin 𝛽

=

sin 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽 +cos 𝑎 sin 𝛽 cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽 cos 𝑎 cos 𝛽 −sin 𝑎 sin 𝛽 cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽

=

sin cos cos cos

=

sin 𝑎 sin 𝛽 + cos 𝑎 cos 𝛽 sin 𝑎 sin 𝛽 1−cos 𝑎 .cos 𝛽

=

𝑎 cos 𝑎 cos 𝑎 cos 𝑎 cos

𝛽 cos + 𝛽 cos 𝛽 sin + 𝛽 cos

𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑎 cos 𝛽 𝑎 sin 𝛽 𝑎 cos 𝛽

tan 𝑎+tan 𝛽 1−tan 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝛽

Jadi, Modul Matematika SMA

𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 =

tan 𝑎 + tan 𝛽 1 − tan 𝑎 tan 𝛽

121

Sedangkan untuk 𝑡𝑎𝑛(𝛼 − 𝛽), dengan mensubtitusikan bentuk 𝛼 − 𝛽 = 𝑎 + (−𝛽) ke persamaan di atas diperoleh: tan 𝛼 − 𝛽 = tan[𝑎 + −𝛽 ] = =

tan 𝑎+tan 𝛽 1−tan 𝑎 tan (−𝛽 )

, ingat tan (-𝛽) = − tan 𝛽

tan 𝑎−tan 𝛽 1+tan 𝑎 tan 𝛽

Jadi, tan 𝛼 − 𝛽 =

tan 𝑎 − tan 𝛽 1 + tan 𝑎 tan 𝛽

4.2.5.3 Persamaan Trigonometri Untuk 𝑘 ∈ 𝐵 dengan 𝐵 merupakan himpunan bilangan bulat, diperoleh persamaan berikut: a. Jika sin 𝑥 = sin 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎: 𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360° 𝑥2 = 180° − 𝑎 + 𝑘. 360° b. Jika cos 𝑥 = cos 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎: 𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360° 𝑥2 = −𝑎 + 𝑘. 360° c. Jika tan 𝑥 = tan 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎: 𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180° d. Jika 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎: 𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°


122

4.2.5.4 Rangkuman

a. Aturan sinus dan kosinus  Aturan sinus 𝒂

𝒃

𝒄

= 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = 𝒔𝒊𝒏 𝜸 𝒔𝒊𝒏 𝒂  Aturan kosinus  𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝑎  𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽  𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 b. Rumus jumlah dan selisih sudut  Sin (𝜶 ± 𝜷)  Sin (𝛼 + 𝛽) = sin 𝑎 cos 𝛽+ cos 𝑎 sin 𝛽  Sin (𝛼 − 𝛽) = sin⁡𝑎 cos⁡𝛽 − cos⁡𝑎 sin⁡ 𝛽  Cos (𝒂 ± 𝜷)  cos (𝑎 − 𝛽) = cos 𝑎 cos 𝛽+sin 𝑎 sin 𝛽  cos (𝑎 + 𝛽)= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽- sin 𝑎 sin 𝛽  Tan (𝒂 ± 𝜷)  𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 =

tan 𝑎+tan 𝛽 1−tan 𝑎 tan 𝛽 tan 𝑎−tan 𝛽

 tan 𝛼 − 𝛽 = 1+tan 𝑎 tan 𝛽 c. Persamaan trigonometri  Jika sin 𝑥 = sin 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎: 𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360° 𝑥2 = 180° − 𝑎 + 𝑘. 360°  Jika cos 𝑥 = cos 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎: 𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360° 𝑥2 = −𝑎 + 𝑘. 360°  Jika tan 𝑥 = tan 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎: 𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°  Jika 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎, 𝑚𝑎𝑘𝑎: 𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180° Modul Matematika SMA

123

4.2.5.5 Tes Formatif 1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC= 25 cm, sudut A= 60°, dan sudut C= 75°, jika sin 75°= 0,9659. Tentukan panjang BC dan AB 2. Bentuk sederhana dari cos 20°. Cos 40°+ sin 20°. Sin 40° 3. Hitunglah nilai dari sin 42° cos 12°- cos 42° sin 12°. 4. Tunjukkanlah bahwa cos 90° + A = − sin 𝐴 5. Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri tan 80°+tan 55° 1−tan 80° tan 55°

6. Tentukanlah besarnya x dalam interval 0°≤ 𝑥 ≤ 360°, yang memenuhi persamaan 2, sin 𝑥 =

3


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


………………,……………20…


124

4.3 EVALUASI

4.3.1 Soal evaluasi 1.

sin 135°

2.

cos 210°

3.

tan 315°

4.

sec 300°

5.

cos(−60°)

6.

Dalam ΔPQR diketahui panjang PQ = 10 cm dan PR =8 cm. Jika luas ΔPQR itu sama dengan 30 cm2, hitungah besar sudut P. Penyelesaian

7.

Nyatakan (4,135°) ke dalam koordinat cartesius

8.

Nyatakan koordinat cartesius ( 3,1 ) ke daam koordinat kutub.

9.

Sebuah rumah akan direnovasi atapnya. Direncanakan kontruksi atapnya memiliki kuda-kuda berbentuk segitiga seperti gambar dibawah ini. Tentukan panjang kedua bagian luar kuda-kuda lainnya yang belum diketahui

8m 30°

45°

10. Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 diketahui ∠𝐴 = 60°, 𝑏 = 10 𝑐𝑚, dan c = 16 cm. Hitunglah panjang sisi 𝑎 a...? b=10 cm 60° c= 16 cm 3

1

11. Diket sin (A+B) = 4 dan sin (A-B)= 2 . Hitunglah sin A cos B


125

12. Dengan menggunakan segitiga siku-siku dibawah ini, tunjukkan cos 𝑎 + 𝛽 = cos 𝑎 + cos 𝛽 + sin 𝑎 + sin 𝛽, jika 𝑎= 90° dan 𝛽= 30°.

2 1 30° 3 13. Diket tan 𝑎 =

1

dan tan 𝛽 = 2

1 3

, 𝑎 dan 𝛽 sudut lancip. Hitunglah:

𝑎. tan( 𝑎 + 𝛽)

𝑏. tan( 𝑎 − 𝛽)


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

No. Tugas

:..........................

Judul Tugas

:...........................

No. Kriteria

Rentang Nilai

1.

Kegiatan belajar 1

0 – 30

2.

Kegiatan belajar 2

0 – 30

3.

Kegiatan belajar 3

0 - 10

4.

Evaluasi

0 - 100

JUMLAH


Evaluasi

(jumlah X 60%)

(jumlah X 40%)

0 – 100

JUMLAH Jumlah Nilai Akhir Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus

..............................,.......................20.... Modul Matematika SMA

126

BAB


5 127

5.1 PENDAHULUAN

5.1.1 Deskripsi Modul ini berisi tentang Logika Matematika SMA dan di dalamnya membahas materi-materi meliputi pernyataan, kalimat terbuka, serta ingkarannya; pernyataan majemuk; pernyataan majemuk bersusun. 5.1.2 Prasyarat Dalam melaksanakan pembelajaran menggunakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai materi sebelumnya yaitu aljabar. 5.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul 1. Bacalah modul ini dengan teliti dan cermat, serta pamahi benarbenar seluruh informasi yang termuat di dalamnya. 2. Isilah cek kemampuan yang terdapat di akhir Bab I ini. Pastikan apakah anda termasuk kategori orang yang harus mempelajari modul ini atau kategori orang yang tidak lagi mempelajari modul ini karena telah menguasainya. 3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat dalam modul ini agar kompetensi anda berkembang dengan baik. 4. Setiap mempelajari suatu materi, anda harus memulainya dengan menguasai pengertian-pengertian dalam uraian materi tersebut. Setelah itu melaksanakan tugas-tugas serta mengerjakan lembar latihan. 5. Dalam mengerjakan lembar latihan, anda tidak diperbolehkan melihat kunci jawaban terlebih dahulu sebelum anda menyelesaikan lembar latihan tersebut. 6. Cocokkan jawaban anda dengan kunci jawaban setelah anda selesai mengerjakan lembar latihan tersebut. Hitung nilai yang anda peroleh, agar anda mengetahui tingkat kemampuan anda. 7. Catatlah kesulitan yang anda temukan pada modul ini, kemudian tanyakan pada guru pada saat Kegiatan Belajar Mengajar. Dan


128

bacalah referensi lain tentang materi dalam modul ini agar pengetahuan anda semakin bertambah. 5.1.4 Tujuan Akhir Setelah anda mempelajari seluruh kegiatan belajar di dalam modul ini diharapkan anda: 1.

Dapat memberikan contoh tentang pernyataan.

2.

Dapat memberikan contoh kalimat terbuka.

3.

Dapat menentukan negasi pernyataan.

4.

Dapat memberikan contoh pernyataan majemuk.

5.

Dapat memberikan contoh pernyataaan majemuk bersusun.

6.

Dapat menentukan invers dari suatu implikasi.

7.

Dapat menentukan konvers dari suatu implikasi.

8.

Dapat menentukan kontraposisi dari suatu implikasi.

9.

Dapat memahami pernyataan berkuantor.

10. Dapat menggunakan modus ponens untuk menarik kesimpulan dalam kehidupan sehari-hari. 11. Dapat menggunakan modus tolens untuk menarik kesimpulan dalam kehidupan sehari-hari. 12. Dapat menggunakan silogisme untuk menarik kesimpulan dalam kehidupan sehari-hari.


129

5.1.5 Kompetensi Kode Unit : Judul Unit : Logika Matematika SMA Uraian Unit : Unit ini berlaku untuk pelajaran matematika bab Logika SMA materi Pernyataan, Kalimat terbuka, serta Ingkarannya; Pernyataan majemuk. Sub Kompetensi Indikator 1. Pernyataan, kalimat 1.1 Memahami pengertian pernyataan, kalimat terbuka, serta terbuka, serta ingkarannya. ingkarannya. 1.2 Mampu membedakan pernyataan, kalimat terbuka, serta inkarannya. 2. Pernyataan majemuk. 2.1 Memahami pengertian Pernyataan majemuk. 2.2 Menentukan nilai kebenaran dari konjungsi. 2.3 Menentukan nilai kebenaran dari disjungsi. 2.4 Menentukan nilai kebenaran dari implikasi. 2.5 Menentukan nilai kebenaran dari biimplikasi. 3. Melakukan persiapan 3.1 Istilah konvers, invers, dan kontraposisi menentukan konvers, dipahami invers, dan 3.2 Pernyataan yang disajikan dipahami, apabila kontraposisi dari kurang jelas dapat ditanyakan kepada sebuah pernyataan pembimbing atau tutor 4. Pernyataan Berkuantor 4.1 Menentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor. 5. Penarikan kesimpulan 5.1 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan. Acuan Penelitian 1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji di sekolah maupun di tempat lain yang sesuai denan standarnya 2. Aspek-aspek kognitif yang dinilai: Mengenali pernyataan, kalimat terbuka serta ingkarannya Dapat menentukan nilai konjungsi, disjungsi, dan biimplikasi Menentukan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk Penggunaan prinsip-prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah 3. Aspek-aspek kritikal yang dinilai: Memahami pengertian konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi serta menentukannya. Mampu menarik kesimpulan dari sebuah pernyataan. 4. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya: Paham dan mengerti akan pernyataan dan kalimat terbuka serta ingkarannya dan pernyataan majemuk. 5. Sikap yang dituntut: Bekerja dengan rapi dan bersih Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan waktu Efisien dan optimal dalam bekerja Modul Matematika SMA

130

5.1.6 Cek Kemampuan Petunjuk: Isilah kolom di bawah ini dengan jawaban Ya atau Tidak No Pernyataan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Ya

Tidak

Apakah anda telah memahami pengertian pernyataan ? Apakah anda telah memahami kalimat terbuka ? Dapatkan anda menentukan negasi dari pernyataan ? Apakah anda telah memahami pernyataan majemuk ? Apakah anda telah memahami pernyataan majemuk bersusun ? Dapatkah anda menentukan konvers dalam logika matematika? Dapatkah anda menentukan invers dalam logika matematika? Dapatkah anda menentukan kontraposisi dalam logika matematika? Apakah anda memahami pernyataan berkuantor?

10. Apakah anda dapat menarik menggunakan modus ponens? 11. Apakah anda dapat menarik menggunakan modus tolens? 12. Apakah anda dapat menarik menggunakan silogisme?

kesimpulan kesimpulan kesimpulan

Catatan! Jika anda menjawab “Tidak” pada salah satu pernyataan di atas, maka pelajarilah materi pada modul ini. Apabila anda menjawab “Ya” pada semua pernyataan di atas, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.


131

PETA KONSEP

LOGIKA MATEMATIKA

KALIMAT

KALIMAT TERBUKA

KALIMAT TERTUTUP

KALIMAT BERKUANTOR

OPERATOR LOGIKA

PENARIKAN KESIMPULAN

KONJUNGSI

MODUS PONENS

DISJUNGSI

MODUS TOLLENS

IMPLIKASI

SILOGISME

KONVERS KUANTOR UNIVERSAL INVERS KUANTOR EKSISTENSIAL KONTRAPOSISI

INGKARAN/NEGASI BIIMPLIKASI


132

5.2 PEMBAHASAN


a. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar, agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan. b. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan kepada guru/instruktur. c. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan anda yang sebenarnya diketahui.


Kegiatan Belajar 1: Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Pernyataan Majemuk. 5.2.2.1 Pernyataan dan Kalimat Terbuka a) Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan “benar” atau “salah” saja oleh semua orang. Contoh:  Bilangan 2 kurang dari 10.  Ikan dapat terbang. Kedua kalimat diatas merupakan pernyataan karena kalimat pertama bernilai benar dan kalimat kedua bernilai salah. Suatu kalimat merupakan bukan pernyataan jika kalimat tersebut tidak dapat

ditentukan “benar” atau “salah”nya

atau mengandung nilai relatif. Contoh:  Rumah itu bagus. X+3=5 Modul Matematika SMA

133

Kedua kalimat diatas merupakan bukan pernyataan karena pada kalimat pertama bagus itu relatif. Bagus menurut orang yang rumahnya sederhana, tetapi bagi orang yang rumahnya megah merupakan hal yang biasa. X + 3 = 5 merupakan bukan pernyataan karena bila x di ganti dengan 2 maka pernyataan ini merupakan pernyataan yang benar, sedangkan bila x di ganti dengan 5 maka 5 + 3 = 5 menjadi pernyataan yang salah. Pernyataan dilambangkan dengan sebuah huruf kecil, misal p, q, r, dan sebagainya. Pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran benar (B) sedangkan pernyataan salah memiliki nilai kebenaran salah (S). b) Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandug peubah (variabel). Jika peubah tersebut diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan dihasilkan suatu pernyataan. Contoh:  5p – 10 = 15, p ∈ A  X adalah bilangan prima Jika p diganti dengan 5, maka kalimat tersebut menjadi pernyataan 25 – 10 = 15, dan pernyataan ini bernilai benar. Sedangkan jika p diganti dengan 3, maka akan terbentuk pernyataan 15 – 10 = 25 yang bernilai salah. Jika x diganti dengan bilangan 2, maka pernyataan 2 adalah bilangan prima merupakan pernyataan bernilai benar. Sedangkan jika x diganti 1, maka pernyataan 1 adalah bilangan prima merupakan pernyataan yang salah. c) Ingkaran (negasi) Ingkaran

(negasi)

suatu

pernyataan

adalah

suatu

pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal sehingga nilai kebenarannya berubah. Ingkaran pernyataan p Modul Matematika SMA

134

atau negasi p dinyatakan dengan “ ̴

p ”. dari definisi dapat

dibuat tabel kebenaran sebagai berikut :

Sering

p

̴p

B S

S B

kali

dalam

menentukan

negasi

dengan

menambahkan kata “bukan” atau “tidak benar” pada kalimat pernyataan. Sesungguhnya penambahan pada pernyataan semula tidaklah cukup. Untuk menentukan ingkaran atau negasi yang efektif dari pernyataan yang bervariasi, dapat menggunakan tabel berikut: Pernyataan

Ingkaran atau Negasi

Semua ... Ada / beberapa ... Sama dengan (=) Lebih dari (>) Lebih dari atau sama dengan (≥) Kurang dari (<) Kurang dari atau sama dengan (≤)

Ada / beberapa ... tidak ... Semua ... tidak ... Tidak sama dengan (≠) Kurang dari atau sama dengan (≤) Kurang dari (<) Lebih dari atau sama dengan (≥) Lebih dari (>)

Contoh:  p : Hari Senin tidak ada tes kompetensi logika matematika ̴ p : Hari Senin ada tes kompetensi logika matematika  p : Semua hewan berkaki empat ̴ p : Ada hewan yang tidak berkaki empat 5.2.2.2 Pernyataan Majemuk dan Negasinya Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari penggabungan beberapa pernyataan tunggal dengan kata hubumg kalimat tertentu. Kata hubung yang dimaksud yaitu dan, atau, tetapi, jika ..., maka ..., ... jika dan hanya jika ..., dan lain-lain. a) Konjungsi Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan” membentuk sebuah kalimat Modul Matematika SMA

135

majemuk. Konjungsi dilambangkan dengan notasi “⋀”. Jika p dan q dua pernyataan, maka p ⋀ q (dibaca: p dan q). Berikut contoh kalimat konjungsi. p : Saham adalah surat berharga. q : Saham diperjualbelikan di bursa efek. p ∧ 𝑞 : Saham adalah surat berharga dan dijualbelikan di bursa efek. Kata hubung “dan” dalam konjungsi dapat diganti dengan kata tetapi, sehingga, walaupun, maupun, dan kemudian selama artinya tetap sama. Suatu konjungsi tidak diharuskan adanya hubungan antara komponennya. Suatu konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar. Konjungsi dapat disusun dalam sebuah tabel kebenaran seperti berikut: P

q

p∧q

B B S S

B S B S

B S S S

Contoh : p : persegi memiliki empat sisi. ( B ) q:2+3=6(S) p ∧ q : persegi memiliki empat sisi dan 2 + 3 = 6 ( S ) b) Disjungsi Disjungsi menggunakan

adalah kata

gabungan

dua

penghubung logika

pernyataan “atau”

yang

sehingga

membentuk dua pernyataan majemuk. Kata penghubung “atau” dalam logika matematika dilambangkan dengan “ ⋁ ”. Disjungsi dua pernyataan p dan q dapat dituliskan “p ∨ q” dan dibaca ”p atau q”. Dalam kehidupan sehari-hari, kata “atau” dapat berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat pula berarti salah satu tetapi Modul Matematika SMA

136

tidak kedua-duanya. Misalnya, 2 adalah bilangan prima atau genap. Pernyataan ini dapat diartikan dua, yaitu: (1) hanya bilangan prima saja atau genap saja, (2) juga bilangan genap dan prima. Disjungsi bernilai benar apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar. Disjungsi dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut: P

q

p∨𝑞

B B S S

B S B S

B B B S

Contoh: p : ada 7 hari dalam satu minggu. ( B ) q : Jakarta adalah ibukota Jawa Timur. ( S ) p ∨ 𝑞 : ada 7 hari dalam seminggu atau Jakarta adalah ibukota Jawa Timur.( B ) c) Implikasi Implikasi adalah gabungan dua pernyataan p dan q sehingga

membentuk

pernyataan

majemuk

dengan

menggunakan kata penghubung “jika..., maka...”. Implikasi dua pernyataan p dan q dapat ditulis “p → q” dan dibaca “jika p maka q”. Pernyataan p dinamakan anteseden atau hipotesis, sedangkan pernyataan q dinamakan konsekuen atau kesimpulan. Perhatikan contoh berikut : p : 23 = 8 q : 11 adalah bilangan prima. p → q : jika 23 = 8, maka 11 adalah bilangan prima. Implikasi bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai salah, dalam hal lain implikasi bernilai benar.


137

Implikasi dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut: P

q

p→𝑞

B B S S

B S B S

B S B B

Contoh: p : ada hewan berkaki empat. ( B ) q : ayam berkaki empat. ( S ) p → 𝑞 : jika ada hewan berkaki empat, maka ayam berkaki empat. ( S ) d) Biimplikasi Biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan majemuk dengan kata hubung “...jika dan hanya jika...”. Biimplikasi dua pernyataan p dan q dapat ditulis “p⟷q” dibaca p jika dan hanya jika q, yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”. Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah). Jika nilai kebenaran keduanya tidak sama maka pernyatan bernilai salah. Dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut : P

q

p⟷𝑞

B B S S

B S B S

B S S B

Contoh: p:5<1(S) q : 32 > 9 ( S ) p ⟷ 𝑞 : 5 < 1 jika dan hanya jika 32 > 9 ( B ) e) Negasi Konjungsi


138

Negasi harus menyangkal keadaan sebenarnya. Perhatikan pernyataan “saya suka buah dan tidak suka sayur”. Sehingga negasinya “saya tidak suka buah atau saya suka sayur”. Pernyataan di atas dapat ditulis dalam logika matematika. p : saya suka sayur q : saya tidak suka sayur p ∧ 𝑞 : saya suka buah dan tidak suka sayur Maka ~ (𝑝 ∧ 𝑞) : saya tidak suka buah atau saya suka sayur. ≡~𝑝 ∨∼𝑞 Pernyataan ~ (𝑝 ∧ 𝑞) ekuivalen dengan ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞. Jadi secara umum, negasi pernyataan p ∧ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞. Dapat ditulis: ~ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 f) Negasi Disjungsi Perhatikan pernyataan berikut ! p : Rani pergi ke sekolah q : Rani bermain di rumah Ima p ∨ 𝑞 ∶ Rani pergi ke sekolah atau bermain di rumah Ima Keadaan yang dinyatakan disjungsi diatas adalah Rani melakukan salah satu atau kedua kegiatan tersebut. Yaitu Rani pergi ke sekolah atau bermain di rumah Ima. Ingkaran pernyataan ini adalah”Rani tidak pergi ke sekolah dan tidak bermain di rumah Ima” yang menyatakan Rani tidak melakukan satu pun dari kegiatan di atas. Secara umum, negasi dari pernyataan p ∨ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 atau ditulis: ~ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ~ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 g) Negasi Implikasi Perhatikan implikasi berikut ! p : matahari bersinar cerah q : hari ini tidak hujan p → 𝑞 : jika matahari cerah, maka hari ini tidak hujan.


139

Keadaan yang dinyatakan implikasi di atas adalah jika matahari bersinar cerah terjadi, maka hari ini tidak terjadi hujan. Ingkaran (negasi) pernyataan yang bertentangan dengan pernyataan ini adalah “matahari bersinar cerah dan hari ini hujan”. Secara umum, negasi pernyataan p → 𝑞 adalah 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 atau di tulis: ~ (𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 h) Negasi Biimplikasi Pernyataan bersyarat ganda seperti “sudut suatu segitiga sama besar jika dan hanya jika segitiga itu sama sisi” merupakan pernyataan

berimplikasi.

Bagaimana

negasi

dari

suatu

pernyataan biimplikasi ? Secara umum, negasi pernyataan p ↔ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ↔ 𝑞 atau 𝑝 ↔ ∼ 𝑞, dapat ditulis : ~ 𝑝↔𝑞 ≡~𝑝 ↔𝑞 Atau ~ 𝑝↔𝑞 ≡ 𝑝 ↔∼𝑞 Bentuk ekuivalen lain dari negasi suatu implikasi adalah ~ 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ∨ (𝑞 ∧ ~ 𝑝)


140

5.2.2.3 Rangkuman  Gabungan

dua

pernyataan

tunggal

yang

menggunakan

kata

penghubung “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk disebut konjungsi.  Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang menggunakan kata penghubung logika “atau” sehingga membentuk dua pernyataan majemuk.  Implikasi adalah gabungan dua pernyataan p dan q sehingga membentuk

pernyataan

majemuk

dengan

menggunakan

kata

penghubung “jika..., maka...”.  Biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan majemuk dengan kata hubung “...jika dan hanya jika...”.  Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.


141

5.2.2.4 Tes formatif

Kerjakan soal berikut, jangan melihat kunci jawaban ketika kalian mengerjakan! 1. Diantara kalimat berikut, tentukan mana yang merupakan kalimat pernyataan dan kalimat terbuka ! a. 2x + 5 = 21 b. Setiap orang membutuhkan oksigen untuk bernafas. c. 5 – 2 + 1 > 0 d. Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180. e. p adalah bilangan prima kurang dari 20. 2. Jika diketahui pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah, tentukan nilai kebenaran dari ~ (𝑝 ∧ ~ 𝑞) ! 3. Jika Semarang ibu kota Jawa Tengah, maka x2 – 3x – 28 = 0. Tentukan nilai x agar implikasi bernilai benar! 4. Diketahui pernyataan berikut: p : saya lulus ujian q : semua keluarga berbahagia r : saya melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri t : saya bekerja Tentukan pernyataan berikut ini a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡 b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟


142


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

1.



2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


………………,……………20…


143


5.2.3.1 Konvers, Invers, dan Kontraposisi Seperti yang telah Anda pelajari pada modul sebelumnya, dua buah pernyataan atau lebih dapat dibentuk menjadi suatu kalimat majemuk. Pernyataan-pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " → " (jika ... maka ...) adalah implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi, yang didefinisikan sebagai berikut. Jika p dan q adalah suatu pernyataan maka pernyataan majemuk a) 𝑞 → 𝑝 disebut konvers dari 𝑝 → 𝑞 b) ~𝑝 → ~𝑞 disebut invers dari 𝑝 → 𝑞 c) ~𝑞 → ~𝑝 disebut kontraposisi dari 𝑝 → 𝑞 Hubungan

antara

implikasi-implikasi

tersebut

dapat

ditunjukkan dengan diagram dibawah ini. Konvers

𝑝→𝑞

𝑞→𝑝

Kontraposisi Invers

Invers

~𝑝

~𝑞 Konvers

→ ~𝑞 → ~𝑝 Dengan menggunakan tabel kebenaran, kita dapat melihat nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan baru tersebut. Tabel kebenaran itu ialah sebagai berikut. 𝑝 B B S S

𝑞 B S B S

~𝑝 S S B B

~𝑞 S B S B


𝑝→𝑞 B S B B

𝑞→𝑝 B B S B

~𝑝 → ~𝑞 B B S B

~𝑞 → ~𝑝 B S B B

144

Dengan memperhatikan nilai kebenaran pada tabel di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut: a) Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, yaitu: 𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝 b) Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya yaitu: 𝑞 → 𝑝 ≡ ~𝑝 → ~𝑞 Contoh soal: 1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika harga BBM naik, maka harga kebutuhan sehari-hari naik“. Pemecahan: Konvers: Jika harga kebutuhan sehari-hari naik,

maka

harga BBM naik Invers: Jika harga BBM tidak naik, maka harga kebutuhan sehari- hari tidak naik Kontraposisi: Jika harga kebutuhan sehari-hari tidak naik, maka harga BBM tidak naik 2. Tentukan pernyataan yang senilai dari pernyataan berikut: a. Jika saya rajin belajar, maka semua pelajaran sekolah dapat saya ikuti dengan baik. b. ~𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) c. (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 Pemecahan: Diketahui bahwa nilai kebenaran implikasi sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya. Sehingga pernyataan yang senilai dengan implikasi adalah kontraposisinya. a. Jika ada pelajaran sekolah yang tidak dapat saya ikuti dengan baik, maka saya tidak rajin. b. ~𝑝 ∧ 𝑟 → ~ ~𝑝 atau ~𝑞 ∨ ~𝑟 → 𝑝 c. ~(~𝑟) → ~ 𝑝 → 𝑞 atau 𝑟 → (𝑝 ∧ ~𝑞)


145

5.2.3.2 Pernyataaan Berkuantor Pernyataaan berkuantor ialah pernyataan yang melibatkan kata yang menyatakan jumlah anggota semesta pembicaraan untuk mewakili suatu sistem atau keadaan. Adapun kuantor yang kita kenal adalah kuantor universal dan kuantor eksistensial. Agar Anda dapat memahaminya, perhatikan uraian berikut ini. a) Kuantor Universal (∀) Dibaca: untuk semua, untuk seluruh, untuk setiap, tanpa kecuali. Dimisalkan

𝑝(𝑥) adalah suatu

terbuka, pernyataan ∀𝑥, 𝑝(𝑥) dibaca “untuk

kalimat setiap

𝑥

berlaku 𝑝(𝑥)“ b) Kuantor Eksistensial (∃) Dibaca: ada, beberapa, terdapat. Jika dimisalkan 𝑝(𝑥) adalah suatu kalimat

terbuka maka ∃𝑥, 𝑝(𝑥) dibaca “untuk

beberapa 𝑥 berlaku 𝑝(𝑥)“ Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial adalah kalimat berkuantor universal. Jika terdapat kalimat kuantor universal ∀𝑥 𝑝(𝑥) dan kalimat berkuantor eksistensial ∃𝑥 𝑝(𝑥) negasi dari keduanya ditulis sebagai berikut: ~ ∀𝑥 , 𝑝 𝑥 ≡ ∃𝑥 , ~𝑝(𝑥) ~ ∃𝑥 , 𝑝 𝑥 ≡ ∀𝑥 , ~𝑝(𝑥) Contoh soal: Tentukan ingkaran dari pernyataan “ada pohon yang daunnya meranggas“ Pemecahan: Misalnya: 𝑥 = pohon dan 𝑝 𝑥 = daunnya meranggas. Kalimat tersebut dilambangkan dengan ∃𝑥, 𝑝(𝑥). Ingkarannya: ~ ∃𝑥 , 𝑝 𝑥 ≡ ∀𝑥 , ~𝑝(𝑥) dapat dibaca “tidak ada pohon yang daunnya meranggas“ ekuivalen dengan “Semua pohon daunnya tidak meranggas“. Modul Matematika SMA

146

5.2.3.3 Rangkuman

Jika p dan q adalah suatu pernyataan maka pernyataan majemuk  𝑞 → 𝑝 disebut konvers dari 𝑝 → 𝑞  ~𝑝 → ~𝑞 disebut invers dari 𝑝 → 𝑞  ~𝑞 → ~𝑝 disebut kontraposisi dari 𝑝 → 𝑞 Ada dua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor Universal ∀ , dibaca: untuk semua, untuk seluruh, untuk setiap, tanpa kecuali. Kuantor Eksistensial

∃ , dibaca: ada,

beberapa, terdapat. Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial adalah kalimat berkuantor universal.


1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut: a) Jika 2 + 4 > 5, maka 5 merupakan bilangan prima. b) Jika saya pergi ke dokter, maka saya sakit. c) Jika harga turun, maka permintaan naik. 2. Tentukan pernyataan yang senilai dari pernyataan berikut. a) Jika saya rajin belajar, maka semua pelajaran sekolah dapat saya ikuti dengan baik. b) ~𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑟 c) (𝑝 → 𝑞 → ~𝑟 3. Tentukan negasi dari kalimat ”Setiap siswa SMA terpelajar”!


147


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


………………,……………20…


148

5.2.4 Kegiatan Belajar 3 5.2.4.1 Penarikan Kesimpulan Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan diasumsi-kan benar terjadi dan disebut premis. Kesimpulan dapat bernilai valid (sah) dan ada juga yang tidak valid tergantumg dari premis-premis penyusunnya. Untuk menentukan sah atau tidaknya suatu kesimpulan, kita dapat menggunakan ketiga prinsip berikut, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme. a) Modus Ponens Modus ponens adalah argumentasi

Premis 1 : 𝑝 → 𝑞

atau penarikan kesimpulan yang disajikan Premis 2 : 𝑝 Konklusi : 𝑞

dalam bentuk sebagai berikut. Modus

ponens

menyatakan

apabila

diketahui “jika 𝑝 maka 𝑞" benar, dan 𝑝 benar, disimpulkan 𝑞 benar.

b) Modus Tollens Modus tollens adalah argumentasi

Premis 1 : 𝑝 → 𝑞

yang disajikan dalam bentuk sebagai Premis 2 : ~𝑞 Konklusi : ~𝑝

berikut. Modus

tollens

menyatakan

apabila

diketahui “jika 𝑝 maka 𝑞“ benar dan 𝑞 tidak benar, disimpulkan 𝑝 tidak benar.

c) Silogisme Silogisme adalah argumentasi yang Premis 1 : 𝑝 → 𝑞

disajikan dalam bentuk sebagai berikut. Silogisme menyatakan benar apabila “jika

Premis 2 : 𝑞 → 𝑟 Konklusi : 𝑝 → 𝑟


𝑝 maka 𝑞“ benar dan “jika 𝑞 maka 𝑟“ benar, disimpulkan “jika 𝑝 maka 𝑟“ benar.

149

Contoh soal: Tentukan kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut! a. Jika irigasi tidak lancar, maka tanaman padi kekurangan air. b. Jika tanaman padi kekurangan air, maka petani gagal panen. c. Petani tidak gagal panen. Pembahasan: 𝑝 : irigasi tidak lancar 𝑞 : tanaman padi kekurangan air 𝑟 : petani gagal panen (a) : 𝑝 → 𝑞 (b): 𝑞 → 𝑟 (d): ∴ 𝑝 → 𝑟 ~𝑟

(c) :

∴ ~𝑝 Jadi, kesimpulannya adalah “irigasi lancar“

5.2.4.2 Rangkuman

Penarikan kesimpulan  Modus tollens

 silogisme

𝑃1 : 𝑝 → 𝑞

𝑃1 : 𝑝 → 𝑞

𝑃1 : 𝑝 → 𝑞

𝑃2 : 𝑝

𝑃2 : ~𝑞

𝑃2 : 𝑞 → 𝑟

∴ ∶𝑞

∴ ∶ ~𝑝

∴ ∶𝑝→𝑟



Modus ponens


150


1) Tentukan kesimpulan yang sah dari premis berikut! a) 𝑃1 : Jika terjadi kecelakaan, maka jalan macet 𝑃2 : jika jalan macet, maka banyak yang terlambat b) 𝑃1 : jika harga barang naik, maka permintaan barang turun 𝑃2 : jika permintaan barang turun, maka produksi barang turun c) 𝑃1 : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 bilangan ganjil 𝑃2 : jika 𝑛2 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap 2) Selidikilah argumen di bawah ini, sah atau tidak dengan menggunakan tabel kebenaran. 𝑎. 𝑃1 : jika Santi rajin belajar, maka ia akan menjadi pintar 𝑃2 : Santi pintar ∴

: Santi rajin belajar

𝑏. 𝑃1 : jika di Indonesia tidak ada korupsi, maka semua penduduknya tidak miskin 𝑃2 : ada penduduk Indonesia yang miskin ∴ : di Indonesia masih ada korupsi 3) Selidikilah argumen di bawah ini, sah atau tidak dengan menggunakan tabel kebenaran. 𝑎. 𝑃1 : 𝑝 → 𝑞 𝑃2 : ~𝑞 ∴

:𝑝

𝑏. 𝑃1 : 𝑝𝑞 ∨ 𝑃2 : 𝑝 ∴


: ~𝑞

151


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


………………,……………20…


152

5.3 EVALUASI

5.3.1 Soal Evaluasi Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti dan benar ! 1.

Nyatakan kalimat-kalimat berikut merupakan kalimat terbuka atau pernyataan. Jika pernyataan nyatakan nilai kebenaranya : x + 2 = x – 2 dan 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 !

2.

Tuliskan negasi dari pernyataan 2 bilangan prima dan 2 + 3 sama dengan 5 !

3.

Tentukan nilai kebenaran dari 3 bilangan prima atau 5 bilangan genap dengan disjungsi !

4.

Tentukan nilai kebenaran dari 6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil dengan konjungsi !

5.

Tentukan nilai kebenaran jika 2 + 3 = 5 , maka 4 + 5 = 7 dengan implikasi !

6.

Tentukan nilai kebenaran 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 !

7.

Buatlah tabel kebenaran dari ~ p → ~ q !

8.

Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan x ganjil ↔2x genap !

9.

Salin dan lengkapilah tabel kebenaran dari tabel berikut : P

Q

B

B

B

S

S

B

S

S

q→𝑝

[p ∨ (𝑞 → 𝑝)]

∼[p ∨ (𝑞 → 𝑝)]

10. Jika p bernilai benar, q bernilai benar, dan r bernilai salah. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut ! a. p ∨ 𝑞 → 𝑟 b. ~ 𝑝 ∨ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟]

11. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari setiap pernyataan implikasi berikut: Modul Matematika SMA

153

a) Jika biaya sekolah gratis, maka semua penduduk Indonesia pandai b) Jika Badu siswa SMA, maka ia lulusan SMP c) Jika Carli siswa yang pandai, maka ia lulus tes d) Jika Ali seorang anggota MPR, maka ia seorang anggota DPR 12. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi Premis 2 : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah…. 13. Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut: a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja. b) p : Semua jenis burung bisa terbang. c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.


154


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

No. Tugas

:..........................

Judul Tugas

:...........................

No. Kriteria

Rentang Nilai

1.

Kegiatan belajar 1

0 – 30

2.

Kegiatan belajar 2

0 – 30

3.

Kegiatan belajar 3

0 - 10

4.

Evaluasi

0 - 100

JUMLAH


Evaluasi

(jumlah X 60%)

(jumlah X 40%)

0 – 100



..............................,.......................20....


155

BAB


6 156

6.1 PENDAHULUAN

6.1.1 Deskripsi Modul ini membahas Dimensi Tiga, yang mana berisi materi tentang konsep jarak, titik, garis, bidang, serta bangun-bangun ruang. 6.1.2 Prasyarat Dalam mempelajari modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai bilangan pangkat dan bentuk akar, unsur-unsur bangun datar dan bangun ruang serta materi-materi sebelumnya yang masih berkaitan. 6.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Pahami daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti. Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain. 2. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki. 3. Apabila dari soal cek kemampuan yang telah anda kerjakan mendapat score ≥ 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban mendapat nilai < 70, maka anda harus mengikuti kegiatan pembelajaran dalam modul ini. 4. Dalam mempelajari materi yang ada pada modul ini harus berurutan, materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 5. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, kemudian kerjakanlah semua soal latihan untuk menunjang pemahaman Anda tentang materi ini. Jika dalam mengerjakan soal latihan Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.


157

6. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 7. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. 6.1.4 Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Menentukan kedudukan titik 2. Menentukan jarak antara titik dan titik 3. Menentukan jarak titik ke garis 4. Menentukan jarak titik ke bidang 5. Menentukan jarak antara dua garis dan dua bidang yang sejajar 6. Menentukan sudut antara dua garis dalam ruang dimensi 7. Menentukan sudut antara garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga 8. Menentukan sudut antara dua bidang dalam dimensi ruang


158

6.1.5 Kompetensi Judul Unit: Dimensi Tiga (3 jam pelajaran) Uraian Unit: unit ini berlaku untuk menentukan kedudukan dan jarak, yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Sub Kompetensi Indikator 1. Menentukan kedudukan 1.1 Memahami pengertian titik. titik 1.2 Mampu menentukan kedudukan antara dua titik dalam ruang dimensi tiga. 1.3 Mampu menentukan kedudukan antara titik dan garis dalam ruang dimensi tiga. 1.4 Mampu menentukan kedudukan antara titik dan bidang dalamruang dimensi tiga. 2. Menentukan jarak 2.1 Mampu menentukan jarak antara titik dan titik. 2.2 Mampu menentukan jarak titik ke garis. 2.3 Mampu menentukan jarak titik ke bidang. 3. Menentukan jarak antara 3.1 Memahami pengertian dua garis dua garis dan dua bidang yang sejajar. yang sejajar 3.2 Mampu menentukan jarak antara dua garis yang sejajar. 3.3 Memahami pengertian dua bidang yang sejajar. 3.4 Mampu menentukan jarak antara dua bidang yang sejajar. 4. Menentukan besar sudut 4.1 Menentukan sudut antara dua garis antara garis dengan bidang dalam dimensi tiga dan dua bidang dalam ruang 4.2 Menentukan sudut antara garis dimensi tiga dengan ruang dalam dimensi tiga 4.3 Menentukan sudut antara bidang dengan bidang dalam dimensi ruang Acuan Penilaian 1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji. 2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai: Mampu menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Mampu menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga. 3. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan: Memahami pengertian titik, garis dan bidang. Mengenal istilah-istilah yang ada pada macam-macam bangun ruang. Mampu menghitung menggunakan bilangan pangkat dan bentuk akar. Modul Matematika SMA

159

4. Sikap yang dituntut: Tepat dalam mengerjakan perintah yang diberikan Memaksimalkan pekerjaan dalam menggunakan waktu yang ditentukan Disiplin dan teliti dalam mengerjakan setiap perintah yang diberikan Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh guru. 6.1.6 Cek Kemampuan Petunjuk: Berilah tanda (  ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban yang anda pilih Jawaban No.

Pertanyaan Ya

1.

Apakah anda dapat menentukan kedudukan titik?

2.

Apakah anda dapat menentukan jarak antara titik dan titik?

3.

Apakah anda dapat menentukan jarak antara titik ke garis?

4.

Apakah anda dapat menentukan jarak titik ke bidang?

5.

Apakah anda dapat menentukan jarak antara dua garis dan dua bidang yang sejajar

Tidak

Skore ( Nilai )

....................,............... 20......


160

PETA KONSEP

KEDUDUKAN TITIK JARAK TITIK DAN TITIK JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG

DIMENSI TIGA

JARAK TITIK DAN GARIS JARAK TITIK DAN BIDANG JARAK DUA GARIS DAN DUA BIDANG YANG SEJAJAR SUDUT ANTARA DUA GARIS DALAM RUANG

SUDUT PADA BANGUN RUANG

SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG PADA BANGUN RUANG SUDUT ANTARA DUA BIDANG DALAM BANGUN RUANG


161

6.2 PEMBELAJARAN


1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar, agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan. 2. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan anda yang sebenarnya diketahui.


6.2.2.1 Tujuan Kegiatan Belajar 1:  Dapat menentukan kedudukan titik 6.2.2.2 Uraian Materi Untuk mengetahui kedudukan titik, tentunya kalian harus mengetahui pengertian titik terlebih dahulu. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut. Pada

gambar

1.1

di

samping

terdapat bintang. Salah satu bintang tersebut merupakan contoh dari titik. Titik tersebut tak terhingga kecilnya.

Gambar 1.1 Jadi apa yang dimaksut dengan titik? Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan hanya ditentukan oleh letaknya. Titik digambarkan dengan simbol noktah (•) dan biasanya diberi nama dengan huruf kapital, misalnya A,B, P,Q,R dan S. Modul Matematika SMA

162

Kedudukan titik dapat dibedakan menjadi dua, yaitu kedudukan titik terhadap garis dan kedudukan titik terhadap bidang. a) Kedudukan titik terhadap garis ada dua kmungkinan, yaitu sebuah titik bisa terletak di luar garis atau pada garis, jika: 1. Melalui sebuah garis dan sebuah titik diluarnya, dapat dibuat tepat satu bidang.

A

Gambar 1.2 2. Melalui tiga buah titik yang tidak segaris, dapat dibuat tepat satu bidang. A C B Gambar 1.3 b) Titik terletak pada bidang dan di luar bidang B Titik A adalah titik yang terletak pada bidang, dan titik B adalah titik yang terletak di luar bidang. A Gambar 1.4


163

Contoh : Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH seperti gambar berikut. H G Bidang DCGH sebagai wakil bidang U. Tentukan :

E

F

pada bidang U dan di luar bidang U.

DU A

titik-titik sudut kubus yang terletak C

B Gambar 1.5

Penyelesaian :  titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U adalah titik-titik C,D,G, dan H.  titik-titik sudut kubus yang terletak di luar bidang U adalah titik-titik A,B,F, dan E.

6.2.2.3 Rangkuman

1. Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan hanya ditentukan oleh letaknya. 2. Titik terletak pada garis jika titik itu dilalui oleh sebuah garis, dan terletak di luar garis jika titik itu tidak dilalui oleh garis. 3. Titik terletak pada bidang jika titik itu dilalui oleh sebuah bidang, dan berada di luar bidang jika titik itu tidak dilalui oleh bidang.


164

6.2.2.4 Test Formatif

1. Perhatikan gambar kubus berikut! H G E

F D

A

Gambar 1.6

C B

g

Sebuah kardus berbentuk kubus ABCD.EFGH. Segmen atau ruas garis AB sebagai wakil garis g. Tentukan: a. Titik sudut kubus yang terletak pada garis g! b. Titik sudut kubus yang berada di luar garis g! 2. Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada Gambar 1.6. Terhadap bidang DCGH, tentukanlah: a. titik sudut kubus apa saja yang terletak pada bidang DCGH! b. titik sudut kubus apa saja yang berada di luar bidang DCGH! 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH, BC mewakili garis k, DE mewakili garis l, dan AG mewakili garis m. Sebutkan titik-titik sudut kubus yang: a. Terletak pada garis k, b. Berada di luar garis k, c. Terletak pada garis l, d. Terletak pada garis m, e. Berada di luar garis m. 4. Diketahui kubus KLMN.PQRS, bidang KLMN mewakili bidang 𝛼, bidang KLQP mewakili bidang 𝛽, dan bidang KMRP mewakili bidang 𝛾. Sebutkan titik-titik kubus yang : a. Terletak pada bidang 𝛼, b. Berada di luar bidang 𝛼, c. Terletak pada bidang 𝛽, d. Berada di luar bidang 𝛽, Modul Matematika SMA

165

e. Terletak pada bidang 𝛾, f. Berada di luar bidang 𝛾. 5. Pada limas segiempat T.ABCD. Sebutkan titik sudut yang :

a. Terletak pada bidang alas ABCD b. Terletak di luar bidang alas ABCD c. Terletak pada garis BC d. Terletak diluar garis TB


:

No. Absen

:

Judul Tugas

:

No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


………………,……………20…


166


6.2.3.1 Tujuan Kegiatan Belajar 2:  Dapat menentukan jarak antara titik dan titik.  Dapat menentukan jarak titik ke garis.  Dapat menentukan Jarak Titik ke Bidang. 6.2.3.2 Uraian Materi Untuk memahami jarak titik ke titik, titik ke garis dan titik ke bidang, coba perhatikan ilustrasi berikut.

Ada tiga buah ukuran pintu yang dapat dilewati. Pintu tersebut dapat dilewati oleh orang yang berukuran tinggi, sedang dan kecil. Jarak kayu pada daun pintu yang diukurpun berbeda sesuai yang melewati. Gambar 2.1 Nah......bagaimana cara mengukurnya agar memperoleh ukuran yang tepat, pastinya keduanya harus saling tegak lurus.

1) Jarak antara titik dan titik Jarak antara titik dan titik biasa juga disebut jarak antara dua titik. Jarak antara dua titik adalah panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Untuk menghitung jarak antara dua titik sering difunakan rumus phytagoras, dalil steward, kesebangunan, dan trigonometri. Perhatikan gambar Modul Matematika SMA

167

2.2. Jarak P dan Q dapat dihitung dengan membuat segitiga siku-siku dan menggunakan rumus Phytagoras. P

PQ = 𝑂𝑃2 + 𝑂𝑄 2 . Q

O Gambar 2.2 2) Jarak titik ke garis

Seperti diuraikan di awal bab ini, kalian pasti sudah mengetahui kedudukan titik terhadap garis. Terdapat dua kemungkinan titik pada garis, yaitu titik terletak pada garis atau titik berada di luar garis. Titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dilalui oleh garis. Dalam hal ini, jarak titik ke garis adalah nol. Dari Gambar 2.3, kita dapat melihat bahwa titik A dan B terletak pada garis l. Titik A dan titik B dikatakan sebagai titik yang segaris atau kolinear.

l A

B Gambar 2.3

Jika sebuah titik berada di luar garis, maka ada jarak antara titik ke garis itu. Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung titik P dengan proyeksi titik P P

pada garis g.

g H

P2 P3

P1

P4

Gambar 2.4 Modul Matematika SMA

168

Pada Gambar 2.4 P1 pada g. Jika dari titik P ditarik ruas garis PP1 dengan P1 pada g dan PP1 ⊥ g, maka P1 disebut proyeksi titik P pada g. Pada gambar tersebut titik P1 adalah proyeksi titik P pada garis g karena PP1 ⊥ g dan P1 pada g. Jadi jarak

antara

titik

P

dan

garis

g

adalah

PP1.

3) Jarak titik ke bidang Jika sebuah titik berada di luar bidang, maka ada jarak antara titik ke bidang itu. Jarak titik ke bidang merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong tegak lurus suatu bidang. Jarak titik A ke bidang 𝛼 (titik A berada

di

luar bidang

𝛼) dapat

digambarkan dengan

menggunakan langkah-langkah berikut:  Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang 𝛼.  Garis g menembus bidang 𝛼 di titik Q.  Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang 𝛼 yang diminta. Proses di atas dapat divisualisasikan dengan gambar ruang sebagaimana diperlihatkan pada gambar 2.5. A

Q 𝛼 g Gambar 2.5 Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara: a. Titik A ke H Modul Matematika SMA

169

b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang) c. Titik A ke garis CE d. Titik A ke bidang BCGF e. Titik A ke bidang BDHF

H

G

Penyelesaian : E

F

D

P C

R

A

10 cm

B

Gambar 2.6 a. Jarak titik A ke H = AH AH =

AD 2  DH 2

= 100  100 =

200

= 10 2 cm b. Jarak titik A ke P = AP AP = ½ AG =

10 3 cm 2

c. Jarak A ke CE = AK E

G K

A

C Gambar 2.7


170

Pada segitiga siku-siku CAE L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK

1 .10 2 .10  2 .10 3. AK 2 1 .10 2 .10 2 AK  1 .10 3 2 10 2 AK  3 10 AK  6 3 d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD) AR = ½ AC = ½ 10 2 = 5 2 cm

6.2.3.3 Rangkuman

1. Jarak antara titik dan titik biasa juga disebut jarak antara dua titik. Jarak antara dua titik adalah panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. 2. Jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu. 3. Jarak titik ke bidang merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong tegak lurus suatu bidang.


171


1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P pada perpanjangan DC sehingga CP = ½ DC. Titik Q pada pertengahan EH. Hitunglah jarak dari P ke Q ! 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Titik P pertengahan rusuk CG. Hitunglah jarak : a. Titik A ke garis BC

d. Titik P ke garis CD

b. Titik A ke garis FG

e. Titil P ke garis BF

c. Titik C ke garis FH

f. Titik P ke garis BD

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Hitunglah jarak B ke garis EG ! 4. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm, AD = 8 cm, dan AE = 6 cm. Titik O adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas AC dan BD. Hitunglah jarak: a. Titik A ke bidang BCGF b. Titik A ke bidang CDHG c. Titik A ke bidang EFGH d. Titik O ke bidang ABFE e. Titik O ke bidang BCGF f. Titik O ke bidang EFGH 5. Bidang alas limas tegak T.ABCD berbentuk persegi panjang. AB = 4 cm, BC = 3 cm, dan TA = TB = TC = TD = 6,5 cm. Hitunglah: a. Panjang AC b. Jarak titik puncak T ke bidang alas A


172


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


………………,……………20…


173


6.2.4.1 Tujuan Kegiatan Belajar 3:  Dapat menentukan jarak antara dua garis dan dua bidang yang sejajar 6.2.4.2 Uraian Materi Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Misalkan diketahui garis g dan garis h sejajar. Jarak antara garis g dan garis h yang sejajar adalah jarak antara sebuah titik pada salah satu garis ke garis lainnya. Pada bidang O, garis g // h (Gambar 3.1). Titik P, A, dan B pada garis g. Titik P1, A1 dan B1 berturut-turut adalah proyeksi titik P, A dan B di g pada h. Jarak antara g dan h adalah PP1 = AA1 = BB1. Untuk setiap titik An, n ≠ 1, dan An pada h, maka ∆AAnA1 siku-siku di A1. Akibatnya AA1 ≤ AAn. Dengan kata lain, AA1 adalah yang terpendek di antara penghubung A dengan setiap titik pada garis h. Jadi AA1 adalah jarak antara garis g dan h. Dengan cara sama dapat dibuktikan, bahwa PP1 dan BB1 merupakan jarak antara garis g dan h yang sejajar.

A1

O

A

P

P1

B1

B

g

h

Gambar 3.1 Sedangkan jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak salah satu titik pada suatu bidang terhadap bidang lain, atau sebaliknya. Misalnya, Balok PQRS.TUVW pada Gambar 3.2, semua rusuk pasangan rusuk yang sejajar pasti sama panjang. Misalnya, rusuk PQ sejajar dengan RS, yang terletak pada bidang PQRS. Modul Matematika SMA

174

W

V U

T

S

R

P

Q

Gambar 3.2

Lebih lanjut, bidang PSTW sejajar dengan bidang QRVU, dan jarak antara kedua bidang tersebut adalah panjang rusuk yang menghubungkan kedua bidang. Rusuk PQ memotong rusuk QU dan QR secara tegak lurus, maka sudut segitiga PQR adalah 90°. Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Gambar dan hitunglah jarak antara garis AE dan garis BF. Penyelesaian: Garis AE dan garis BF merupakan dua garis yang sejajar. Jarak antara garis AE dan BF dapat digambarkan sebagai berikut:  Buat bidang 𝛼 yang melalui garis AE dan garis BF. Bidang 𝛼 diwakili oleh bidang ABFE.  Garis k yang tegak lurus terhadap garis AE dan garis BF dapat dipilih garis AB atau garis EF.  Panjang ruas garis AB merupakan jarak antara garis AE dan garis AF sebagaimana diperlihatkan pada gambar 3.3. H

G

E

F

𝛼 D

C

𝛼

A

k

B

Gambar 3.3


175

Jadi, jarak antara garis AE dan garis BF yang sejajar sama dengan panjang rusuk AB = 6 cm.

6.2.4.3 Rangkuman

1. Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. 2. Jarak antara garis g dan garis h yang sejajar adalah jarak antara sebuah titik pada salah satu garis ke garis lainnya. 3. Jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak salah satu titik pada suatu bidang terhadap bidang lain, atau sebaliknya.


1. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 5 cm. Titik A adalah titik tengah RT. Hitunglah jarak antara titik V dan titik A! 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Gambar dan hitunglah jarak antara garis AE dan garis CG ! 3. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 5 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitunglah jarak antara garis AE dan bidang BCGF. 4. Dengan menggunakan balok yang sama seperti soal nomor 3, hitunglah jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH. 5. Dengan menggunakan kubus yang sama seperti soal nomor 2, hitunglah jarak antara garis AE dan garis GH. Modul Matematika SMA

176


:

No. Absen

:

Judul Tugas

:

No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


………………,……………20…


177


6.2.5.1 Sudut antara garis dengan garis Sebelum mempelajari sudut antara garis dengan garis, apakah kalian masih ingat materi sebelumnya tentang kedudukan dua garis? Kedudukan antara dua garis ada empat yaitu : Dua garis saling berimpit Dua garis saling berpotongan Dua garis saling bersilangan Setelah mengingat materi tersebut,kita bisa mempelajari tentang sudut antara dua garis,lakukan kegiatan berikut !!! Kegiatan 1 1. Siapkan dua lidi, kemudian sejajarkan atau himpitkan kedua lidi tersebut seperti gambar dibawah ini g

h Perhatikan gambar diatas,berapakah besar sudut yang dibentuk pada garis tersebut? 2. Siapkan dua lidi, kemudian usahakan dengan kondisi silang berpotongan seperti gambar dibawah ini:

g Perhatikan gambar diatas! Adakah sudut yang terbentuk? Berapakah besar sudut yang dibentuk pada garis tersebut?


178

3. Setiapkan dua lidi,kemudian usahakan kondisinya saling berpotongan seperti gambar di bawah ini:

g

g’

 P

h‟

h

Perhatikan gambar diatas!! Adakah sudut yang terbentuk? Berapakah besar sudut yang dibentuk pada garis tersebut?

Solusi Cerdas Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. titik P pertengahan rusuk DC. Carilah : a. Cosinus sudut antara garis AH dan garis HP ! b. Sinus sudut antara garis AH dan BE ! Jawab :

a. Panjang garis AH = 42 HP = 25 AP = 25 Dalam segitiga AHP, sudut alfa adalah sudut antara garis AH dan HP. AP2 + AH2 = HP – 2 AH.HP cos  (25)2 = (2)2 + (25)2 – 2 (42).25.cos  20 = 32 + 24 – 1610.cos  36

cos  = 16


10

1

= 510

179

Jadi nilai dari cosinus sudut antara garis AH dan garis HP 1

= 510 b. Tarik garis dari BG yang sejajar AH, garis asal sejajar dapat dipindahkan. Sudut antara garis BE dan garis AH sama dengan sudut garis BE dan BG. Dalam ∆𝐸𝐵𝐺, sudut 𝛽 adalah sudut antara garis BE dan BG, ∆𝐸𝐵𝐺 adalah segitiga sama sisi, jadi 𝛽 = 60°

sin 60° =

1 2

3. Jadi

1

nilai dari cosinus sudut antara garis BE dan AH = 23 Catatan 1. Dua buah garis di katakana berhimpit jika kedua garis itu mempunyai tak hingga banyaknya titik persekutuan (lebih dari satu titik persekutuan) 2. Dua buah garis dikatakan sejajar jika kdua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan 3. Dua garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tersebut tidak terletak pada satu bidang

Tugas Mandiri

1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH yang mempunyai rusuk 4cm,hitunglah besar sudut antara berikut H

A

G

a. Rusuk DE dan rusuk HF b. Rusuk AH dan rusuk BF

F

E

c. Rusuk DE dan rusuk BG D

C A


B

180

6.2.5.2 Sudut Antara Garis dan Bidang Pada bagian sub bab ini akan dibahas besar sudut antara garis dengan bidang. Masih ingatkah kalian dengan kedudukan antara garis dengan bidang. Kedudukan antara garis dengan bidang ada tiga yaitu : Garis terletak pada bidang Garis sejajar bidang Garis menembus bidang Setelah mengingat materi tersebut,kita bisa mempelajari tentang kedudukan garis dengan bidang, lakukan kegiatan berikut untuk mengetahui besar sudut antara garis dengan bidang. Kegiatan 2 1. Letakkan sebuah lidi diatas buku tulis

seperti gambar

berikut g

Perhatikan kondisi tersebut Adakah sudut diantara garis dan bidang? Berapakah sudutnya? 2.

Letakkan lidi diatas buku, hingga tidak ada titik yang bertemu. Seperti di bawah ini g

Perhatikan kondisi tersebut Adakah sudut diantara garis dan bidang? Berapakah sudutnya?


181

3.

Letakkan sebuah lidi sampai menembus buku, seperti gambar di bawah ini

g Perhatikan kondisi tersebut Adakah sudut diantara garis dan bidang? Berapakah sudutnya? Solusi Cerdas Diketahui bidang alas dari limas T.ABCD beerbentuk persegi panjang

dengan

AB

=

12,

AD

=

5

cm

dan

TA=TB=TC=TD=7cm a. Hitunglah panjang AC dan tinggi limas TO b. Hitunglah sin  (TA,alas ABCD) Jawab : Penyelesaian : a. AC = (𝐴𝐵)2 + (𝐵𝐶)2 AC = (12)2 + (5)2 AC = 169 = 13 Tinggi limas TO : TO = (𝑇𝐶)2 + (𝑂𝐶)2 TO = (7)2 − (6,5)2 TO = 49 – 42,25 = 6,75 =

2 3 3

b. Sudut antara rusuk TA dengan bidang alas ABCD adalah TAO, sebab proyeksi TA pada bidang alas ABCD adalah


182

AO.TAO adalah segitiga siku-siku di O,sehingga sin  𝑇𝑂

TAO = 𝑇𝐴 =

2 3/3 7

=

33 14

Catatan A. Proyeksi suatu garis ke suatu bidang merupakan himpunan titik-titik yang proyeksi nya ke bidang tersebut dari titik – titik pada garis ersebut. B. Proyeksi garis ke suatu bidang adalah garis, jika bukan maka garis dan bidang tersebut saling tegak lurus C. Sudut antara garis g dan bidang 𝛼 dilambangkan dengan  (g, 𝛼)

Latihan Soal T.ABCD adalah limas tegak beraturan dengan alas berbentuk las 4m, dan rusuk tegak 8m, hitunglah cosinus sudut antara garis TQ dan bidang alas dengan Q titik tengah AD T 8m

D

C 4m

Q

A

P B


183

6.2.5.3 Sudut antara dua bidang Masih ingatkah materi sebelumnya tentang kedudukan bidang dengan bidang Kedudukan antara bidang dengan bidang ada 3 yaitu: Dua bidang yang saling berhimpit Dua bidang yang saling berpotongan Dua bidang yang sejajar Setelah mengingat materi tersebut, perhatikan gambar dibawah ini (𝛽, )

B 𝛽

T 0



A

(,𝛽)

Anda mengetahui bahwa  dan 𝛽 berpotongan,dengan garis potongnya adalah (,𝛽). Dari titik A pada  dibuat garis AT  (,𝛽) dan dari titik B pada 𝛽 dibuat garis BT  (,𝛽). Sudut yang terbentuk oleh garis AT dan garis BT (ATB ) adalah sudut antara dua bidang yang berpotongan (sudut antara bidang  dan bidang 𝛽).

ATB disebut sudut tumpuan, besarnya 0 derajat

sampai 90 derajad. Adapun bidang ATB (bidang 𝛾) disebut sebagai bidang tumpuan. Jika ATB = 0° maka 𝛼 DAN 𝛽 berimpit, jika ATB 90 maka  dan 𝛽 saling tegak lurus Solusi Cerdas Bidang empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 6cm. Hitunglah besar sudut antara sudut bidang TAB dengan bidang alas ABC Jawab : Diketahui

: rusuk bidang segi empat 6cm

Ditanyakan : besar sudut antara bidang TAB dengan bidang alas ABC


184

Penyelesaian : T A P C B ΔTPB siku-siku di P,BT = 6 cm dan PB = 3 cm,sehingga : TP = TB2 – PB2 TP = 62 – 32 TP = 27 = 33 ΔPBC siku-siku di P,BC = 6 cm dan PB = 3 cm,sehingga PC = BC2 – PB2 TC = 62 – 32 TC = 27 = 33 Menggunakan rumus kosinus pada ΔTPC diperoleh : TC2 = TP2 + PC2 - 2.PC.TP. cos sudut TPC Cos TPC =

27+27−36 54

18

1

= 54 = 3

1

Dari cos  TPC = 3 dioeroleh diperoleh  TPC = 70,5 Catatan 1. Sudut yang dibentuk oleh bidang dan bidang jika bidang yang satu sejajar atau terletak pada bidang yang lain maka sudut yang terbentuk adalah 0° 2. Sudut antara dua bidang yang berpotongan (sebuuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis pada bidang yang lainnya) garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut.


185

Latihan Soal Pada limas segi emapat T.ABCD, bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB=8cm,BC=6cm, dan TA=TB=TC=TD=13 cm. sudut  adalah sudut antara bidang TBC dengan alas bidang ABCD,hitunglah besar sudut ∝ T

D A

C B

6.2.5.4 Tes Forrmatif

1. Suatu kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10cm. Tentukan jarak antara bidang BDE dengan bidang CFG? 2. Tentukan jarak titik C ke garis HF pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 5? 3. Pada kubus ABCD.EFGH apakah AC proyeksi DG pada bidang ABCD


186


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


………………,……………20…


187

6.3 EVALUASI

6.3.1 Soal Evaluasi 1) Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan : a. Titik yang berada pada garis DF (skor 5) b. Titik yang berada di luar bidang BCHE (skor 5) c. Garis yang sejajar dengan CF (skor 5) 2) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara : (skor a. Titik H ke garis AC (skor 4) b. Titik B ke garis AG (skor 4) c. Garis AE dan CG (skor 4) d. Garis AB dan CDHG (skor 4) e. Bidang HFC dan DBE (skor 4) 3) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a = 6 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang AFH ! (skor 25) 4) Diketahui limas dengan alas berbetuk persegi panjang, dengan AB = 5 cm, AD = 7 cm, TA = TB = TD = 17 cm. Hitung jarak titik T ke bidang ABCD ! (skor 25) 5) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara: a. AE ke CG (skor 10) b. ABCD dan EFGH (skor 5) 6) Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. jarak titik A ke C adalah H

A

G

E

F

D

C A

B 6cm


188

7) ABCD.EFGH adalah sebuah kubus, jika 𝛼 adalah sudut antara diagonal AG dan rusuk AD,maka cos 𝛼 …….. H

A

G

E

F

D

C A

B

8) Garis a tegak lurus dengan bidang A, garis b tegak lurus dengan bidang B. Jika c adalah garis potong A dan B maka …. 9) Pada balok ABCD.EFGH jika dipotong menurut bidang ABGH dan bidang CDEF akan diperoleh…. 10) Manakah yang disebut sebagai bidang frontal… H

A

G

E D

C A


F

B

189


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

No. Tugas

:..........................

Judul Tugas

:...........................

No. Kriteria

Rentang Nilai

1.

Kegiatan belajar 1

0 – 30

2.

Kegiatan belajar 2

0 – 30

3.

Kegiatan belajar 3

0 - 10

4.

Evaluasi

0 - 100

JUMLAH


Evaluasi

(jumlah X 60%)

(jumlah X 40%)

0 – 100



..............................,.......................20....


190

BAB


7 191

7.1 PENDAHULUAN

7.1.1 Deskripsi Modul ini berisi teori tentang Statistika biasanya dibagi dalam beberapa aspek diantaranya yaitu penyajian data, ukuran pemusatan, ukuran letak data, dan ukuran penyebaran data. Tetapi dalam modul hanya akan membahas tentang Penyajian data dan materi materi dasar tentang statistika. 7.1.2 Prasyarat Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul tentang mencari dan menghitung

data pada kompetensi sebelumnya, juga harus

membaca mengenai data, populasi, dan sampel. jadi sebelum menghitung data kita harus tau mengenai data apa yang harus dihitung dan dihitung dengan menggunakan apa. 7.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul 1. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain. 2. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki. 3. Apabila dalam cek kemampuan dapat mengerjakan dengan lancar maka dapat dilanjutkan evaluasi, lebih baik jika dapat menjawab setidaknya 7 soal atau lebih. 4. Dalam mencari dan menghitung data, anda harus memahami data apa yang akan anda hitung dan menggunakan penyajian data apa. 5. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 6. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah


192

mempelajari modul ini.lebih baik jika lengkap beserta rumus dan proses jawabanya. 7. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / instruktur. 8. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/instruktur pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan. 9. Modul ini bersangkutan antara materi saru dengan materi yang lainya, jadi disarankan untuk membaca dari awal. 7.1.4 Tujuan Akhir Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini diharapkan anda dapat memiliki kemampuan mencari dan menyajikan data dengan cermat dan tepat. Dan dapat menggambar grafik, tabel, dan diagram dengan bagus. karena data statistik sangat dibutuhkan dalam kehidupan sehari-hari. Disamping itu ada beberapa tujuan pembelajaran yang diantarannya yaitu: 1. Tujuan Aspek Sikap Dengan mengikuti kegiatan yang ada di modul ini anda diharapkan: a. Memiliki motivasi untuk terus belajar aktif secara mandiri b. Memiliki kemampuan bekerja sama melalui diskusi kelompok c. Memiliki

tanggung

jawab

sosial

dengan

menghasilkan

pemahaman diantara semua anggota kelompok 2. Aspek Pengetahuan Dengan memahami isi dan materi di dalam modul ini anda diharapkan a. Dapat menentukan rata-rata, modus, median dari suatu data b. Memiliki kemampuan dalam menentukan kuartil, desil, presentil suatu data c. Dapat menentukan jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku Modul Matematika SMA

193

d. Menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan statistika 3. Aspek Keterampilan Dengan mempelajari modul ini anda diharapkan : a. Memiliki kemampuan dalam menyajikan data tunggal maupun kelompok b. Kemampuan menentukan hasil penghitungan data dari data tunggal dan data kelompok Mampu

membuat

kesimpulan

serta

fungsi

dari

pembelajaran data-data dalam statistika 7.1.5 Kompetensi Kode Unit

:

Judul unit

: STATISTIKA Menyajikan Data (12 jam)

Uraian unit : Unit ini berlaku untuk pekerjaan menyajikan suatu data menggunakan alat tulis menulis dan penggaris. Sub Kompetensi Indikator 1. Melakukan persiapan a. mengenal apa itu statistika memahami tentang b. mengenal apa itu data pengertian dasar statistika. c. mengenal data menurut memperolehnya d. mengenala data menurut sifatnya e. mengenal apa itu data tungggal f. mengenal apa itu data kelompok 2. Melakukan penghitungan a. Menghitung data dengan penyajian data tunggal dengan dalam bentuk tabel berbagai bentuk penyajian b. Menghitung data dengan penyajian data. dalam bentuk diagram garis c. Menghitung data dengan penyajian dalam diagram lingkaran d. Menghitung data dengan penyajian dalam diagram batang 3. Melakukan penghitungan data kelompok dengan berbagai bentuk penyajian data


cara

data data data data

a. Menghitung data dengan penyajian data dalam bentuk tabel b. Menghitung data dengan penyajian data dalam bentuk diagram(histogram)

194

4. Melakukan pengolahan data dengan konsep ukuran pemusatan

5. Melakukan pengolahan data dengan konsep ukuran letak data

6. Melakukan pengolahan data dengan konsep penyebaran data

7. Mencari data dan menyajikan dalam bentuk data statistika dan mengolah data dalam konsep ukuran pemusatan, ukuran letak data, dan penyebaran data


a. Mengalisis data dan menentukan mean dari data tunggal dan kelompok b. Memahami dan menentukan nilai median dari suatu data tunggal dan kelompo c. Menghitung median dari suatu data tunggal dan kelompok a. Memahami, mengenali pengertian, konsep serta rumus kuartil suatu data tunggal dan kelompok b. Memahami, mengenali pengertian, konsep serta rumus desil suatu data tunggal dan kelompok c. Memahami, mengenali pengertian,konsep serta rumus presentil suatu data tunggal dan kelompok a. Memahami dan mengenali pengertian, konsep serta rumus jangkauan suatu data tunggal maupun kelompok b. Memahami dan mengenali pengertian, konsep serta rumus jangkauan antarkuartil suatu data tunggal maupun kelompok c. Memahami dan mengenali pengertian, konsep serta rumus simpangan kuartil suatu data tunggal maupun kelompok d. Memahami dan mengenali pengertian, konsep serta rumus simpangan rata-rata suatu data tunggal maupun kelompok e. Memahami dan mengenali pengertian, konsep serta rumus ragam suatu data tunggal maupun kelompok f. Memahami dan mengenali pengertian, konsep serta rumus simpangan baku suatu data tunggal maupun kelompok a. Mendiskusikan materi yang telah didapatkan b. Bekerja sama dalam menyajikan data c. Memahami dan meneliti data yang telah dibuat d. Mengambil kesimpulan dari data-data serta pengolahan yang telah dilakukan

195

Persyaratan Unjuk Kerja 1. Unit ini berlaku untuk pekerjaan mencari dan menyajikan suatu data dengan menggunakan data yang telah ada, atau data yang telah dicari sebelumnya, yang dapat dilakukan di sekolah atau tepat lain. 2. Tersedia acuan untuk mencari dan menyajikan suatu data dalam berbagai bentuk. 3. Disini tidak membutuhkan peralatan apapun, tetapi jika kita mencari data dengan menggunakan grafik atau diagram maka dibutuhkan penggaris ataupun jangka agar pekerjaan menjadi lebih rapi. 4. Tersedia sumber informasi yang berupa buku yang menyangkut mengenai statistika dalam mencari dan menyajikan data, disarankan untuk buku yang terpercaya. Acuan Penilaian 1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji di sekolah maupun di tempat lain dengan standar buku pegangan yang sesuai. 2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai: Mengenali istilah statistika dan sejenisnya Memahami cara mencari dan menghitung data Mampu menggambar sesuai dengan penyajian data 3. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan: Mengenali langkah-langkah dalam menentukan data Menunjukkan pemahaman tentang data yang akan dihitung Menghitung menggunakan pecahan, desimal, persen Mempelajari tentang diagram, grafik, dan tabel. Dapat mencari data di lapangan. 4. Sikap yang dituntut: Bekerja dengan rapi dan bersih Bekerja dengan ketelitian dan penghitungan dengan benar Menghargai produktifitas dalam bekerja Efisien dan optimal dalam bekerja Menghargai mutu hasil pada setiap langkah kerjanya Mengutamakan proses daripada hasil. Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh atasan Teliti dalam menghitung dan menggambar


196

7.1.6 Cek Kemampuan Petunjuk : Berilah tanda (  ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban yang anda pilih Jawaban No.

Pertanyaan Ya

1.

Apakah anda mengenal tantang statistika?

2.

Apakah anda mengenal tentang data?

3.

Apakah anda dapat menggambar lingkaran?

4.

Apakah anda dapat menggambar tabel?

5.

Apakah anda mengetahui tentang diagram?

6.

Apakah anda dapat menggambar diagram garis?

7.

Apakah anda mengetahui tentang data tunggal?

8.

Apakah anda mengetahui cara mengurutkan data?

9.

Apakah anda mengetahui perbedaan data tunggal dan data kelompok ?

10.

Apakah anda dapat kelompok?

11.

Apakah anda dapat menggambar grafik?

12.

Apakah anda mengetahui tentang frekuensi ?

13.

Apakah anda mengetahui tentang penulisan interval ?

14.

Apakah anda mengenal statistika deskriptif ?

Tidak

menghitung tentang data

Skore ( Nilai )

....................,...............20.......


197

PETA KONSEP

STATISTIKA

Penyajian data

Pengenalan

Data tunggal

Apa itu statistika

Bentuk tabel

Apa itu data

Bentuk diagram (histogram)

mengenal data menurut cara memperolehnya mengenala data menurut sifatnya

Data tunggal

mengenal apa itu data tungggal Mengenal apa itu data

Bentuk tabel Bentuk diagram

kelompok


198

7.2 PEMBELAJARAN


1) Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar, agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan. 2) Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan. 3) Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan kepada guru/instruktur. 4) Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan anda yang sebenarnya diketahui

7.2.2 Kegiatan belajar 1

7.2.2.1 Mengenal dasar-dasar Statistika Dasar-dasar Statistika, sebelum kita mempelajari tentang penyajian datakita harus mengetahui dulu tentang dasar-dasar mengenai statistika. Antarilain adalah: a. Pengertian statistika Statistika dalam pengertian sebagai ilmu dibedakan menjadi 2 yaitu: 1). Statistika deskriptif (perian) mempunyai tujuan untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran objek yang diteliti sebaimana adanya tanpa menari kesimpulan atau generalisasi. Dalam deskriptif ini dikemukakan cara-cara penyajian data dalam bentuk tabel, diagram, mean, modus, median, serta simpangan baku. 2). Statistika inferensial(induktif) mempunyai tujuan untuk penarikan Modul Matematika SMA

kesimpulan,

sebelum

menarik

kesimpulan 199

dilakukan suatu dugaan yang dapat diperoleh dari statistika deskriptif. Dari pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa statistika adalah ilmu pengetahuan dengan cara-cara pengumpulan, penyajian, pengolahan, analisis data serta penarikan kesimpulan. b. Pengertian data Setiap kegiatan yang berkaitan dengan statistik, selalu berhubungan dengan data. Menurut kamus besar bahasa indonesia pengertian data adalah keterangan yang benar dan nyata. Data adalah bentuk jamak dari datum, datum adalah keterangan atau informasi yang diperoleh dari satu pengamatan sedangkan data adalah segala keterangan atau informasi yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan. c. Data menurut cara memperolehnya 1). Data primer, data yang dikumpulkan lansung oleh peneliti (suatu organisasi atau perusahaan). Contoh: pemerintah melalui biro pusat statistik melakukan sensus penduduk tahun 1980 untuk memperoleh data penduduk di negara Indonesia. 2). Data sekunder, data yang dikutip dari sumber lain. Contoh: suatu perusahaan memperoleh data dari laporan yang ada dari biro pusat statistik. d. Data menurut sifatnya 1)

Data kualitatif, data yang tidak dalam bentuk angka. Contoh: mutu barang di supermarket “X” bagus atau jelek.

2). Data kuantitatif, data dalam bentuk angka. Contoh: data hasil ulangan mata pelajaran matematika siswa kelas 6 di SD Turban adalah 6,7,6,7,8,9,8,.. e. Data tunggal Data tunggal merupakan data yang berkuantitas kecil dan suatu statistik, disebut sebagai data tunggal jika data tersebut


200

hanya memuat sartu variabel data yang ingin kita ketahui dari objek populasi. Beberapa Cntohnya adalah :data nilai ulangan siswa, dat tinggi siswa, dan data tingkat keuntungan suatu usaha. Penyajian data yang akan dibahs dalam modul ini tabel, diagaram, grafik. f. Data kelompok Jika data tunggal yang kita hitung menjadi semakin banyak maka dalam penyajianya akan kurang efektif dan efisien. Oleh karena itu untuk dapat lebih menyederhanakan penyajian data dilakukan dengan mengelompokan data dalam interval kelas tertentu. 7.2.2.2 Menghitung data tunggal dengan berbagai bentuk penyajian data a. Penyajan data dalam bentuk tabel setidaknya ada dua cara menyajikan data dalam bentuk tabel yaitu : 1.

Daftar baris-kolom

2.

Daftar distribusi frekuensi



Daftar baris kolom Seorang pengawas dari departemen nasional ditugaskan untuk mendata banyak anak-anak yang bersekolah di desa suka hati tahun 2006 atau 2007. Dia mencatat ada 1.562 anak bersekolah di tingkat SD yang terdiri dari 687 laki-laki dan 875 perempuan , 1.451 di tingkat SMP yang terdiri atas 592 Laki-laki dan 859 perempuan, 1.118 di tingkat SMA yang terdiri dari 576 laki-laki dan 542 perempuan, dan ada 443 anak di tingkat SMK yang terdiri ats 216 laki-laki dan 227 perempan. Dia akan membuat laporan mengenai data ini, bentuk data mentah seperti di atas akan menyulitkan untuk dibaca. Dia menyajikan data dalam bentuk yang lebih mudah dibaca, yaitu tabel.


201

Banyak siswa desa suka hati menurut tingkat sekolah dan jenis kelamin tahun 2006/2007 Tingkat sekolah SD SMP SMA SMK Total 

Banyaknya siswa Laki-laki perempuan

Jumlah siswa

687 592 576 216 2.071

1.562 1.451 1.118 443 4.574

875 859 542 227 2.503

Daftar distribusi frekuensi Berkut ini adalah daftar nilai ulangan matematika dari 48 siswa kelas XI E yang tertera pada rapor 7 6 7 6 6 8 6 7 7 6 6 6 6 4 7 7 6 7 8 6 7 7 7 6 7 7 7 5 5 6 7 6 7 6 6 6 7 6 5 77 6 6 8 8 7 6 6 Misalkan X1 = 4, X2 = 5, X3 = 6, X4 = 7, X5 = 8 f1 adalah frekuensi dari X1, atau banyaknya yang bernilai 4, => f1 = 1 f2 adalah frekuensi dari X2, atau banyaknya yang bernilai 5, => f2 = 3 f3 adalah frekuensi dari X3, atau banyaknya yang bernilai 6, => f3 = 21 f4 adalah frekuensi dari X4, atau banyaknya yang bernilai 7, => f4 = 19 f5 adalah frekuensi dari X5, atau banyaknya yang bernilai 5, => f5 = 4


202

data di atas bisa dirangkum dalam tabel Nilai (Xi) X1 X2 X3 X4 X5

4 5 6 7 8

Frekuensi (fi) 1 3 21 19 4 7

𝑓𝑖 = 40

Total 𝑖

Tabel ini disebut daftar distribusi data tunggal atau daftar distribusi frekuensi tunggal. Jumlah total frekuensi selalu sama dengan ukuran data Dari penyajian data diatas diperoleh banyak kegunaan penyajian data dalam bentuk tabel, antara lain data terlihat rapi sehingga memudahkan dalam pengolahan data. b. Penyajian data dalam bentuk diagram 1.

Diagram Garis Pada penyajian data kali ini kita akan belajar menyajikan data dengan diagram garis. Sebenarnya diagram garis dapat dikatakan sebagai diagram yang digambarkan berdasarkan satu waktu, biasanya waktu yang digunakan dalam bulan atau tahun. Untuk membuat diagaram garis kita membutuhkan dua sumbu. Berikut adalah contoh diagram garis untuk kurs rupiah terhadap dollar AS dari tanggal 8 januari sampai 12 januari tahun 2007. Cara membuat diagram garis cukup mudah, ikuti tiga langkah berikut : a) Letakkan data pada sumbu horizontal dengan jarak yang sama, dan nilai jumlah pada sumbu vertikal. b) Tentukan nilai data yang bersesuaian c) Hungkan dua data yang bertetangga dengan garis lurus


203

Kurs uang kertas asing

10,000 9,500 9,000 8,500

kurs uang kertas asing 9,530

9,515

9,560

9,558

9,635

8,530

8,515

8,560

8,558

8,635

8,000 7,500 08-Jan

09-Jan

10-Jan

11-Jan

12-Jan

Kurs jual Kurs beli Melalui grafik diatas kita dapat dengan mudah membaca hasil data nilai tukar rupiah dibandingkan dengan menggunakan tabel. Misalnya, kita dapat dengan mudah menentukan nilai tukar kurs rupiah tertinggi ataupun terendah dan pada saat kapan hal itu terjadi . Dari masalah dan kegiatan diatas dapat kita nyatakan bahwa diagram garis adalah suatu penyajian data statistik dengan menggunakan garis-garis lurus yang terhubung dengan komponen-komponen pengamatan. Diagram garis biasanya digunakan untuk data tentang keadaan dan perkembangan. Biasanya data bersifat kontinu pada ukuran satuan. Misalnya, kecepatan mobil dalam suatu perjalanan, nilai tukar rupiah, dan pertumbuhan jumlah penduduk pada suatu daerah. 2.

Diagram Lingkaran Penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi-bagi dalam beberapa

bagian

sesuai

dengan

macam

data

dan

perbandingan frekuensi macam-macam data yang disajikan.


204

Contoh membuat diagaram lingakaran: Data bahan pangan di KUD Usaha Jaya

beras terigu kacang tanah kedelai

Langkah-langkah dalam membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut: a) Ubah nilai data absolut ke dalam bentuk persentase untuk masing-masing data. b) Tentukan juring sudut dari masing-masing data yang ada dengan rumus 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑥

𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑥 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖

𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢 𝑕 𝑑𝑎𝑡𝑎

× 360°

c) Buat sebuah lingkaran dengan menggunakan jangka, ukuran lingkaran jagan terlalu besar dan jangan terlalu keci. d) Masukan data yang pertama dengan menggunakan busur derajat dimulai dari titik tertinggi. e) Masukan data-data lainya kedalam lingaran sesuai juring susut data yang telah dihitung sesuai dengan arah jarum jam. f) Setiap data yang terdapat dalam lingkaran, hendaknya diberi arsir atau warna yang berbeda. g) Masing-masing data yang ada dalam lingkaran masingmasing diberi identitas. (a) Nama data disertai prsentasenya, atau (b) Nilai

persentasenya

saja,

sedangakan

nama

data

dicantumkan ada catatan tersendiri yang terletak dilar lingkaran disertai dengan arsir atauwarna yang sesuai seperti yang terdapat di dalam lingkaran. Modul Matematika SMA

205

3.

Diagram batang Diagram batang adalah diagram berdasarkan data berbentuk kategori. Diagram ini banyak digunakan untuk membandingkan data maupun menunjukan hubungan suatu data dengan data keselruhan. Diagram ini menyajikan datanyan dalam bentuk batang. Sebuah batang menunjukan jumlah tertentu dari data Langkah-langkah dasar dalam pembuatan digram batang 1) Buat sumbu mendatar dan sumbu tegak yang saling tegak lurus 2) Sumbu mendatar dibagi menjadi beberapa bagian skala yang sama, demikian pula sumbu tagaknya: skala pada sumbu mendatar dengan skala pada sumbu tegak tidak perlu sama. 3) Jika diagram batang dibuat tegak, maka sumbu mendatar menyatakan keterangan atau fakta mengenai kejadian, sumbu tegak menyatakan frekuensi keterangan 4) Jika digram batang dibuat horizontal , maka sumbu tegak menyatakan keterangan atau fakta mengenai peristiwa. Sumbu mendtar menyatakan frekuensi keterangan. 5) Tunjukan satu batang untuk mewakili frekuensi data tertentu 6) Arsir atau warnai batang yang memenuhi frekuensi data 7) Variasi diagram batang, dapat dibuat sesuai keahlian guru. Contoh diagram batang :

jumlah siswa di SD sari mulyo jumlah siswa

100


80 60 40 20

206

0 1

2

3

4

5

6

Atau 6

kelas

5 4 3 2 1 0

20

40

60

80

100

jumlah siswa

7.2.2.3 Rangkuman a. Penyajan data dalam bentuk tabel setidaknya ada dua cara menyajikan data dalam bentuk tabel yaitu : Daftar baris-kolom Daftar distribusi frekuensi b. diagram garis adalah suatu penyajian data statistik dengan menggunakan garis-garis lurus yang terhubung dengan komponenkomponen pengamatan. Diagram garis biasanya digunakan untuk data tentang keadaan dan perkembangan. Biasanya data bersifat kontinu pada ukuran satuan. c. Penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi-bagi dalam beberapa bagian sesuai dengan macam data dan perbandingan frekuensi macam-macam data yang disajikan d. Diagram batang adalah diagram berdasarkan data berbentuk kategori. Diagram ini banyak digunakan untuk membandingkan data maupun menunjukan hubungan suatu data dengan data keselruhan. Diagram ini menyajikan datanyan dalam bentuk batang Modul Matematika SMA

207


1. Rara ditugaskan guru untuk melakukan suvey data terhadap keuntungan penjualan barang atau jasa selama stu tahun melalui buku koperasi sekolah. Data yang diperoleh sebagai berikut (dalam satuan ribu rupiah): Keuntungan penjualan buku tulis, pensil, ballpoint, keping cd, tinta printer, makanan ringan, kertas hvs, kertas folio, minuman ringan dan air mineral, seragam sekolah, buku olahraga, seragam olahraga, buku bacaan, majalah, komik, dan fotocopy secara berturut turut adalah 400, 300, 550, 200, 325, 540, 350, 450, 750, 900, 500, 600, 300, dan 525. Sajikan dalam bentuk tabel. Dan carilah 5 keuntungan tertinggi. 2. Ayah beni bekerja di Amerika dan telah pulang ke Indonesia. Ia ingin menukarkan uang hasil tabungan selama bekerja agar dapat dipakai di tanah air untuk memenuhi kebutuhan mereka. Iapun mengamati harga beli dan harga jual mata uang dollar Amerika selama beberapa hari. Berikut hasil pencatatan nilai tukarrupiah terhadap dollar yang diamati. Tabel nilai tukar rupiah Tanggal 5 juli

6 juli

7 juli

8 juli

9 juli

10 juli 9.075

Kurs 9.050 9.124 8.967 9.110 9.089 jual Kurs 9.175 9.012 9.045 9.020 9.006 8.985 beli Ubahlah tabel dalam bentuk diagram garis garis dan tentukan di tanggal berapakah nilai tukar rupiah tertinggi dan terendah! 3. Sebuah toko handphone mencatat penjualan produk smartphone yang dijual dalam kurun waktu sebulan. Jenis HP Tipe I Tipe II Tipe III Tipe IV Tipe V Tipe VI Banyak Penjualan 35 25 20 40 10 50 Gambarkan data penjualan smartphone dari tabel berikut ke dalam : a) diagram lingkaran b) diagram batang Modul Matematika SMA

208


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No. Kriteria Penilaian 1 2 3 4

Rentang Nilai Maupun 0 - 55

Nilai Prestasi

Benar cara, Hasil, gambar Cara Benar, hasil benar, gambar 0 – 15 salah Cara benar, hasil salah, gambar 0 - 15 benar Cara salah, hasil benar, gambar 0 - 15 benar Jumlah Jumlah x 100% Jumlah akhir


……………,……………..20…


209


7.2.3.1 Menghitung data kelompok dengan berbagai bentuk penyajian data 1) Penyajian data dalam bentuk tabel Disini akan disinggung mengenai peyajian dat dalam bentuk tabel pada data berkelompok. Perhatikan data ulangan matematika berikut : 32 45 55 60 65 70 74 85 40 50 56 62 68 71 80 90 44 55 60 65 35 50 56 61 66 70 78 85 42 54 58 65 68 72 82 95 68 74 84 95 Jika kita buatkan daftar distribusi frekuensi untuk data ini, maka akan diperoleh data yang sangat panjang, terdiri dari 40 baris. Untuk menyiasati hal ini kita kita perkenalkan peringkasan data alternatifyang disebut frekuensi

berkelompok. Pada daftar

daftar distribusi

distribusi

frekuensi

berkelompok kiat menghitung frekuensi yang berkait dengan pengamatan berkelompok, bukan pengamatan tunggal. Nilai 32 35 ...... 90 95


Frekuensi 1 1 ..... 1 2

210

Data ulangan harian matematika biasa kita tampilkan dalam daftar distribusi frekuensi

kelompok. Kelompok-

kelompok di kolom panling kiri misalnya 30-39, disebut kelas. Nilai 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

turus Frekuensi II 2 IIII 4 IIII III 8 IIII IIII I 11 IIII II 7 IIII 5 III 3 Total 40 Berikut adalah beberapa istilah pada daftar distribusi

frekuensi berkelompok 1) Kelas Data di ats dikelompokan ke dalm kelas-kelas Kelas pertama adalah 30-39, memuat niali-nilai 32 dan 35 Kelas kedua adalah 40-49, memuat nilai-nilai 40, 42, 44, 45 dst. 2) Banyaknya kelas Adalah banyaknya kelompok dalam tabel, data diatas dikelompokan menjadi 7 kelompok. Dikatakan bahwa banyak kelas = 7. Atau dengan rumus k = 1 + (3,3) × log n 3) Batas kelas Adalah nilai ujung yang terdapat pada kelas. Niali ujung bawah (nilai yang terkecil dari kelas) disebut batas bawah, dan nilai ujung atas (niali terbesar dari kelas) disebut batas atas. Pada data di atas, kelas bawah pertama adalah 30, batas atasnya adalah 49 dan seterusnya. 4) Tepi kelas Untuk data yang diperoleh dari hasil pengukuran dengan ketelitian sampai satuan terdekat, tepi kelasnya adalah Tepi bawah = batas bawah – 0,5 Modul Matematika SMA

211

Tepi atas = batas atas + 0,5 Pada data di atas kelas pertama adalah 30-39 Batas bawah adalah 30 = tepi bawahnya 30 - 0,5 = 29,5 Batas atasnya adalah 39 = tepi atasnya 39 + 0,5 = 39,5 Tepi bawah kelas pertama = 29,5 dan tepi atasnya = 39,5 Dengan cara yang sama diperoleh , tepi bawah kelas = tepi bawah kelas kedua adalah 39,5 dan tepi atasnya adalah 49,5. 5) Lebar kelas Lebar kelas di sebut juga panjang kelas atau interval kelas, yaitu selisih tepi atas dan tepi bawah kelas Pada data di atas lebar kelas pertama = 39,5 – 29, 5 = 10 dan lebar kelas kedua 49,5 – 39, 5 = 10 . saat membuat daftar distribusi ,frekuensi data berkelompok , sebaiknya lebar setiap kelasnya sama. 𝑗𝑎𝑛𝑔𝑎𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛

Atau dengan rumus , Panjang kelas = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘

𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠

Perlu di cermati Bahwa pembentukan kelas interval tersebut harus memuat semua data. Jika ada 1 data yang tidak tercakup pada interval kelas maka terdapat kesalahan dalam mendistribusikan data. 6) Titik tengah kelas Titik tengah suatu kelas merupakan niali yang dianggap mewakili kelas itu. Titik tengah kelas disebut juga nilai tengah kelas atau rataan kelas. 1

Titik tengah kelas = 2 (batas bawah kelas + batas atas kelas) dari tabel diatas dapat kita ketahui 1

titik tengah kelas pertama = 2 ( 30 + 39 ) = 34,5 1

titik tengah kelas kedua = 2 ( 40 + 49 ) = 44, 5 titik tengah kelas ketiga = 54, 5


212

dengan titik tengah Xi, maka daftar distribusi frekuensi dapat dinyatakan sebagai berikut Kelas 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 Total

Xi 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5

Frekuensi (fi) 2 4 8 11 7 5 3 40

2) Penyajian Penyajian data dalam bentuk diagram (histogram) Data pada tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dengan menggunakan histogram. Prinsip penyajiannya hampir sama dengan menyajikan diagram batang yaitu meggambarkan grafik batang yang sama lebar namun tidak terputus-putus. Variabel pengamatan berupa interval-interval kelas yang sama panjang dihubungkan dengan nilai pengamatan berupa frekuensi. Maka dengan tabel distribusi frekuensi di atas dapat disajikan histogram berikut ini. Misalkan kita memiliki daftar distribusi frekuensi nilai ulangan umum bahasa indonesia seperti berikut : Nilai ulangan

Frekuensi

50 – 59

27

60 – 69

31

70 – 79

25

80 – 89

23 jumlah


100

213

data nilai siswa 35

31

30

27

25

frekuensi

25

23

20 15 10 5 0 50 -59

60 - 69

70 - 79

80 - 89

kelas interval

Dari pembahasan di atas dapat dinyatakan bahwa histogram adalah jenis grafik batang yang digunakan untuk menampilkan data numerik yang telah disusun dalam interval yang sama.

7.2.3.2 Rangkuman

1.

Pada daftar distribusi frekuensi berkelompok kiat menghitung frekuensi yang berkait dengan pengamatan berkelompok, bukan pengamatan tunggal

2.

Data pada tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dengan menggunakan histogram. Prinsip penyajiannya hampir sama dengan menyajikan diagram batang yaitu meggambarkan grafik batang yang sama lebar namun tidak terputus-putus.


214

7.2.3.3 Tes formatif

1. Hasil Ujian semester mata pelajaran matematika terhadap 80 siswa

dinyatakan sebagai berikut. 38 90 92 85 76 88 78 74 70 48 61 83 88 81 82 72 83 87 81 82 48 90 92 85 76 74 88 75 90 97 93 72 91 67 88 80 63 76 49 84 61 83 88 81 82 60 66 98 93 81 80 63 76 49 84 79 80 70 68 92 81 91 56 65 63 74 89 73 90 97 75 83 79 86 80 51 71 72 82 70 Dari data di atas sajikan data dengan :

a. Dengan tabel distribusi frekuensi b. Histogram


:

No. Absen

:

Judul Tugas : No. Kriteria Penilaian 1 2 3 4

Rentang Nilai Maupun 0 – 55

Nilai Prestasi

Benar cara, Hasil, gambar Cara Benar, hasil benar, gambar 0 – 15 salah Cara benar, hasil salah, gambar 0 – 15 benar Cara salah, hasil benar, gambar 0 – 15 benar Jumlah Jumlah x 100% Jumlah akhir


…………….,………………20….


215


7.2.4.1 Materi pembelajaran Dalam materi pembelajaran kelas X, Anda telah mempelajari cara mengumpulkan data satistik dan menyajikannya dalam berbagai bentuk dan diagram. Penyajian data seperti ini hanya memberikan gambaran menyeluruh, tetapi belum cukup digunakan untuk pengambilan keputusan tertentu. Ada beberapa cara atau hal yang ditonjolkan dalam menceritan data. Mean atau yang sering disebut sebagai rata-rata, median yang merupakan nilai tengah dari data yang telah diurutkan , dan modus yaitu data yang sering muncul merupakan nilai yang menggambarkan tentang pemusatan nilai-nilai dari data yang diperoleh dari suatu peristiwa yang telah diamati. Itulah sebabnya mean, median, dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan. 7.2.4.2 Rata-rata/ rataan hitung/ mean Rataan adalah rata-rata nilai data. Rataan paling sering sering dijadikan ukuran pusat data kuantitatif. Kita bagi pembahasan menjadi dua : 1) Rata –rata data tunggal Rataan data tunggal merupakan jumlah nilai semua data dibagi ukuran data tersebut : 𝑥=

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛 = 𝑛

𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖

𝑛

Keterangan : 𝑥𝑖 : data ke-i n : banyaknya data Contoh Tentukan Mean dari data berikut : 685763248 Modul Matematika SMA

Penyelesaian : Mean (𝑥) =

216

2+3+4+5+6+7+8+8 9

= 5,4

2) Rataan data kelompok Seperti telah anda ketahui, mean / rataan adalah jumlah seluruh data dibagi dengan banyak data dibagi dengan banyak data, Rumus rataan / mean : 𝑥=

𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + ⋯ +𝑓𝑛 𝑥𝑛 = 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛

Keterangan:

𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖

𝑥𝑖 : data ke-i 𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i

Tentukan rataan hitung dari data berkelompok berikut : Nilai

Frekuensi

1 - 50

4

51 - 100

7

101 - 150

10

151 - 200

16

201 – 250

30

251 - 300

13

Penyelesaian :

nilai 1 – 50 51 – 100 101 – 150 151 – 200 201 – 250 251 – 300

Titik tengah (xi) 25,5 75,5 125,5 175,5 225,5 275,5 Total

Frekuensi (fi) 4 7 10 16 30 13 ∑ fi = 80

xi fi 102 528,5 1.225 2.808 6.767 3.581,5 ∑xi fi = 15.040

Dari table diperoleh ∑ fi = 80 dan ∑xi fi = 15.040 , maka Modul Matematika SMA

𝑥=

15.040 80

= 188

Jadi, rataanya adalah 188

217

Menentukan Rataan Sementara :

Mean

dengan

menggunakan

Untuk menghitung rataan/ mean pada

data kelompok juga dapat dihitung dengan menggunakan rataan sementara

( xs) dengan rumus berikut : 𝑥 = 𝑥𝑠 +

𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖

Keterangan : 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑠 𝑥𝑠 : rataan sementara Contoh : Tentukan rataan hitung/mean data kelompok berikut dengan menggunakan rataan sementara : Nilai Frekuensi 1 - 50 4 51 - 100 7 101 - 150 10 151 - 200 16 201 – 250 30 251 - 300 13 Penyelesaian : Misalkan kita pilih rataan sementara (𝑥𝑠 ) = 225,5 yang merupakantitik tengah kelas dengan frekuensi terbesar, sehingga diperoleh table : Titik Frekuensi nilai tengah (fi) xi - 𝑥𝑠 fi (xi - 𝑥𝑠 ) (xi) 1 – 50 25,5 4 -200 -800 51 – 100 75,5 7 -150 -1050 101 – 150 125,5 10 -100 -1000 151 – 200 175,5 16 -90 -800 201 – 250 225,5 30 0 0 251 – 300 275,5 13 50 650 Total ∑ fi = 80 ∑ fi (xi - 𝑥𝑠 ) = −3000 Rataan

hitung 𝑥 = 𝑥𝑠 + = 225,5 +


𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖

adalah

:

−3000 80

= 188

Hasil ini sama persis dengan cara sebelumnya.

218

a. Median Median adalah nilai tengah data setelah diurutkan. Median merupakan salah satu statistic yang digunakan untuk ukuran pemusatan data. Salah satu unggulan median daripada rataan adalah kemudahan menentukannya (tidak banyak perhitungan) dan tidak tergantung pada nilai-nilai yang ekstrim. 1) Median data tunggal Jika banyaknya data ganjil, maka 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛 +1 2

𝑋 𝑛 +𝑋 𝑛

Jika banyaknya data genap, maka 𝑀𝑒 = Keterangan:

Me

: Median

n

: Banyaknya data

𝑥𝑛

: data ke-n

2

2

+1

2

Contoh Tentukan median dari data berikut: a) 3,5, 7, 4, 9, 8, 7, 9, 6 b) 4, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 3 Penyelesaian : a) Data diurutkan menjadi: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9. Karena datanya sebanyak ganjil, maka mediannya adalah 𝑋9+1 = 𝑋5 = 7. 2

b) Data diurutkan menjadi: 3, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9. Karena 𝑋 8 +𝑋 8

datanya sebanyak genap, maka median = 𝑋4 +𝑋5 2

=

7+8 2

2

2

2

+1

=

= 7,5

2) Median data kelompok : 𝑀𝑒 = 𝑇𝐵𝑀𝑒 Modul Matematika SMA

1 𝑛 − 𝐹𝑘 + 2 𝑙 𝑓𝑀𝑒 219

Keterangan:

Me

: median

𝑇𝐵𝑀𝑒 : tepi bawah kelas median l

: panjang kelas median

n

: banyaknya data 𝐹𝑘

: frekuensi kumulatif sebelum

kelas median 𝑓𝑀𝑒

: frekuensi kelas median

Contoh Tentukan median dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut : Data Frekuensi 40 – 49 5 50 – 59 14 60 – 69 16 70 – 79 12 80 – 89 3 Penyelesaian : Data 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89

Frekuensi 5 14 16 12 3

Frekuensi kumulatif kurangdari 5 19 35 47 50

Kelas Median

Ukuran data (n) = 50 (genap) Berarti median terletah anta data ke-25 dan data ke-26. Kedua data tersebut terletak di kelas 60 – 69. Berdasarkan data diatas, dapat diketahui: 𝑇𝐵𝑀𝑒 = 59,5 , 𝐹𝑘 = 19 , l= 10, 𝑓𝑀𝑒 = 35 𝑀𝑒 = 𝑇𝐵𝑀𝑒 Modul Matematika SMA

𝑀𝑒 = 61,21

1 𝑛 − 𝐹𝑘 + 2 𝑙 𝑓𝑀𝑒

1 50 − 19 𝑀𝑒 = 59,5 + 2 . 10 35

220

b. Modus Pada sebuah kelompok data, modus adalah nilai yang paling sering muncul, yaitu nilai yang memiliki frekuensi paling tinggi. 1) Modus data tunggal Contoh: Tentukan modus dari data berikut:  50, 45, 64, 70, 50, 69, 75, 70, 70, 80.  73, 50, 65, 68, 66, 65, 73, 90.  35, 42, 48, 50, 52, 55, 60.  44, 46, 51, 51, 44, 46. Jawab: Untuk mempermudah, data diurutkan terlebih dahulu menjadi: 

45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80 sehingga modusnya adalah 70



50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90 sehingga modusnya adalah 65 dan 73



35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 data tersebut tidak memiliki modus



44, 44, 46, 46, 51, 51 data tersebut tidak memiliki modus

2) Modus data kelompok 𝑀𝑜 = 𝑇𝐵𝑀𝑜 +

𝑑1 𝑙 𝑑1 + 𝑑2

Keterangan: Mo : modus 𝑇𝐵𝑀𝑜 : tepi bawah kelas modus l : panjang kelas modus 𝑑1 : selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya


221

𝑑2 : selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya Contoh: Tentukan modus data berikut. Data 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82

F 2 5 13 14 4 2 𝑑1

𝑀𝑜 = 𝑇𝐵𝑀𝑜 + = 73,5 +

Kelas modus

𝑑 1 +𝑑 2 1 1+10

𝑙

3

3

= 73,5 + 11 = 73,5 + 0,27 = 73,77


222

7.2.4.3 Rangkuman



Statistik deskriptif ditujukan untuk “menceritakan” data.



Ada tiga ukuran pemusatan data yang biasa digunkan yaitu Mean, modus, median



Rataan (Mean) data tunggal 𝑥=

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ +𝑥𝑛 𝑛

= Rataan data kelompok

𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖

𝑛

𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + ⋯ +𝑓𝑛 𝑥𝑛 𝑥= = 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛 

𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖

Modus nilai yang paling sering muncul Modus data kelompok 𝑀𝑜 = 𝑇𝐵𝑀𝑜 +



𝑑1 𝑙 𝑑1 + 𝑑2

Median nilai tengah data setelah data diurutkan Median data tunggal 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1 2

Median data kelompok 𝑀𝑒 = 𝑇𝐵𝑀𝑒


1 𝑛 − 𝐹𝑘 + 2 𝑙 𝑓𝑀𝑒

223

7.2.4.4 Tes Formatif Kerjakan dan diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok. 1. Nilai matematika Ani adalah sebagai berikut: 6, 8, 9, 7, 10. Nilai ratarata dari nilai matematika Ani tersebut adalah… 2. Tentukan rata-rata data berikut! Nilai 4 5 6 7 8 F 3 7 12 14 4 3. Rata-rata nilai ulangan 30 siswa adalah 7. Jika ditambahkan nilai ulangan susulan 5 siswa diperoleh rata-rata 6,8. Maka rata-rata nilai 5 siswa tersebut adalah… 4. Tentukan median dari data berikut: a) 3,5, 7, 4, 9, 8, 7, 9, 6 b) 4, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 3


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

No. Tugas

:..........................

Judul Tugas

:...........................

No. Kriteria

Rentang Nilai


1.

Kebenaran jawaban

0 – 60

3.

Kelengkapan pengerjaan

60 - 100

JUMLAH

0 – 100

JUMLAH

(jumlah X 100%)

Jumlah Nilai Akhir Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus ...................., ......................Th..... Modul Matematika SMA

224

7.2.5

Kegiatan Belajar 4

7.2.5.1 Materi Pembelajaran a. Kuartil Konsep membagi dua menjadi dua bagian yang sama banyak (median) dapat diperluas menjadi berapa pun bagian yang sama banyak. Misalkan menjadi kuartil. Kuartil membagi data menjadi empat bagian sama banyak. Kuartil ada tiga yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2) atau median, dan kuartil atas (Q3). Ingat bahwa kuartil bisa ditentukan jika data telah terurut. 1) Kuartil data tunggal 𝑄𝑖 = 𝑋𝑖

𝑛 +1 4

𝑄𝑖 : kuartil ke-i

Keterangan:

𝑥𝑖 : data ke-i 𝑛: banyaknya data

Contoh Soal 6 : Dari data berikut: 3,5, 7, 4, 6, 8, 9, 8, 7, 9, 6, 5. Tentukan kuartil bawah dan kuartil atasnya. Penyelesaian : Data diurutkan terlebih dahulu: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 Kuartil bawah (𝑄1 ) = 𝑋1 12+1 4

= 𝑋13 4

1

= 𝑋3 + 4 𝑋4 − 𝑋3 1

=5+4 5−5 =5 Kuartil atas (𝑄3 )

= 𝑋3 12 +1 4

= 𝑋39 4

3

= 𝑋9 + 4 𝑋10 − 𝑋9 Modul Matematika SMA

1

=8+4 8−8 =8

225

2) Kuartil data kelompok 𝑖 𝑛 − 𝐹𝑘 𝑄𝑖 = 𝑇𝐵𝑄𝑖 + 4 𝑙 𝑓𝑄𝑖 Keterangan: 𝑄𝑖 : kuartil ke-i 𝑇𝐵𝑄𝑖 : tepi bawah kelas kuartil ke-i l : panjang kelas kuartil ke-i n : banyaknya data 𝐹𝑘 : frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-i 𝑓𝑀𝑒 : frekuensi kelas kuartil ke-i Contoh Soal : Tentukan kuartil bawah data berikut: Data 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82

F 2 5 13 14 4 2

Kelas kuartil atas

Letak kuartil atas (𝑄3 ) adalah pada data ke

3.40 4

=

30 yaitu pada kelas ke-4. 𝑄3 = 𝑇𝐵𝑄3 + = 73,5 + =73,5 +

3 𝑛−𝐹𝑘 4

𝑓𝑄 3 3 40−20 4

14 10 14

𝑙. 3

3

= 73,5 + 2,1 = 75,6 b. Desil dan Presentil Desil data kelompok ditentukan dengan rumus berikut.


𝑚 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑 10 𝐷𝑚 = 𝑏𝑚 + 𝑓𝐷𝑚

𝑙 226

Keterangan : m

= 1, 2, 3, …, 9

b

= tepi bawah kelas desil ke-m

n

= ukuran data

fkksd

= frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas desil ke –m

fDm

= frekuensi dari kelas desil ke-m

l

= panjang kelas

Sedangkan untuk rumus Presentil data kelompok adalah sebagai berikut :

𝑚 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝 100 𝑃𝑚 = 𝑝𝑚 + 𝑓𝑃𝑚

𝑙

Keterangan : m

= 1, 2, 3, …, 99

b

= tepi bawah kelas desil ke-m

n

= ukuran data

fkksp

= frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas presentil ke –m

fPm

= frekuensi dari kelas presentil ke-m

l

= panjang kelas


227

Contoh Berat badan (kg)

Frekuensi

40 – 49

5

50 – 59

14

60 – 69

16

70 – 79

12

80 – 89

3

Total

50

Tentukan D9 dan P30 Penyelesaian : Berat badan (kg)

Frekuensi Frekuensi kumulatif

40 – 49

5

5

50 – 59

14

19

60 – 69

16

35

70 – 79

12

47

80 – 89

3

50

Total

50

Ukuran data (n) = 50 Untuk D1 1 10

. 50 = 5, kelas D1 adalah 40 – 49, maka b1 = 39,5 ; fkksd =

0 ; fD1 = 5, l = 10 maka 𝑚 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑 10 𝐷𝑚 = 𝑏𝑚 + 𝑓𝐷𝑚

𝑙

1 50 − 0 10 𝐷𝑚 = 39,5 + 10 5 𝐷𝑚 = 49,5

Untuk P30 30 100

. 50 = 15, kelas P30 adalah 50 – 59, maka b30 = 49,5 ;

𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝 = 5 ; fD30 =14 ; l =10 maka : 𝑚 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝 100 𝑃𝑚 = 𝑝𝑚 + 𝑓𝑃𝑚 Modul Matematika SMA

15 − 5 𝑃𝑚 = 49,5 + 10 14 Pm = 56,64

𝑙 228

7.2.5.2 Rangkuman

a. Kuartil Kuartil untuk data tunggal 𝑄𝑖 = 𝑋𝑖

𝑛 +1 4

Kuartil untuk data kelompok 𝑖 𝑛 − 𝐹𝑘 𝑄𝑖 = 𝑇𝐵𝑄𝑖 + 4 𝑙 𝑓𝑄𝑖

b. Desil dan Presentil Rumus desil untuk data kelompok 𝐷𝑚 𝑚 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑 = 𝑏𝑚 + 10 𝑙 𝑓𝐷𝑚 Rumus presentil untuk data kelompok 𝑃𝑚 𝑚 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝 100 = 𝑝𝑚 + 𝑓𝑃𝑚

𝑙

7.2.5.3 Tes Formatif 1. Tentukan kuartil bawah dan atas dari data : 2,2,3,4,5,6,8,8 2. Dari data berikut: 3,5, 7, 4, 6, 8, 9, 8, 7, 9, 6, 5. Tentukan kuartil bawah dan kuartil atasnya. Modul Matematika SMA

229


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

No. Kriteria

Rentang Nilai


1.

Kebenaran jawaban

0 – 60

2.


0 – 40

JUMLAH

0 – 100

JUMLAH

(jumlah 100%)

X

Jumlah Nilai Akhir

Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus ...................., ......................Th.......


230


7.2.6.1 a.

Ukuran Penyebaran Data Jangkauan Jangkauan (J) = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ( untuk data tunggal) J = nilai tengah kls tertinggi – nilai tengah kls terendah …(untuk data kelompok) Jangkauan interkuartil (H) = 𝑄3 − 𝑄1 Jangkauan semi interkuartil/ simpangan kuartil (𝑄𝑑 ) =

1 2

𝑄3 −

𝑄1 3

Langkah (L) = 2 𝑄3 − 𝑄1 b. Simpangan rata-rata (SR) 1) Simpangan rata-rata data tunggal 1 𝑆𝑅 = 𝑛

𝑛

𝑥𝑖 − 𝑥 𝑖=1

Keterangan: SR : simpangan rata-rata n : banyaknya data 𝑥𝑖 : data ke-i 𝑥 : rata-rata Contoh: Tentukan simpangan rata-rata data berikut: 9, 7, 5, 6, 8 Jawab: Data diurutkan terlebih dahulu menjadi 5, 6, 7, 8, 9. Kemudian ditentukan rata-ratanya: 𝑥=

5+6+7+8+9 =7 5

1

𝑆𝑅 = 5 5 − 7 + 6 − 7 + 7 − 7 + 8 − 7 + 9 − 7 1

6

= 5 2 + 1 + 0 + 1 + 2 =5


231

2) Simpangan rata-rata data kelompok 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖

𝑆𝑅 =

𝑥

Keterangan: SR : simpangan rata-rata 𝑥𝑖 : data ke-i 𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i 𝑥 : rata-rata Contoh: Tentukan simpangan rata-rata dari data pada table berikut: Nilai 2 3 4 5 6 7 8 Jawab:

Frekuensi 2 4 5 8 11 6 4

Ditentukan terlebih dahulu rata-ratanya: Nilai (𝒙𝒊 ) 2 3 4 5 6 7 8 Total

Frekuensi (𝒇𝒊 ) 2 4 5 8 11 6 4 40

Rataan hitung: 𝑥 =

𝒇𝒊 . 𝒙𝒊

𝒙

4 12 20 40 66 42 32 216 𝑛 𝑖=1 𝑓 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑓 𝑖=1 𝑖

Simpangan rata-rata: 𝑆𝑅 = =

5,4

=

216 40

𝒙𝒊 − 𝒙 3,4 2,4 1,4 0,4 0,6 1,6 2,6

𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 6,8 9,6 7 3,2 6,6 9,6 10,4 53,2

= 5,4

𝑛 𝑖=1 𝑓 𝑖 𝑥 𝑖 −𝑥 𝑛 𝑓 𝑖=1 𝑖

53,2 40

= 1,33


232

c. Varians (𝒔𝟐 ) 1) varians data tunggal 𝑠2 =

𝑛 𝑖=1

𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛

2

Keterangan: 𝑠 2 : varians n : banyaknya data 𝑥𝑖 : data ke-i 𝑥 : rata-rata 2) varians data kelompok 2

𝑠 =

𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖

𝑥

2

Keterangan: 𝑠 2 : varians 𝑥𝑖 : data ke-i 𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i 𝑥 : rata-rata d. Simpangan baku (s) 1) Simpangan baku data tunggal 𝑠=

𝑛 𝑖=1


2

Keterangan: 𝑠 : simpangan baku n : banyaknya data 𝑥𝑖 : data ke-i 𝑥 : rata-rata Contoh: Tentukan ragam dan simpangan baku dari data: 2,3,6,8,11 Jawab: 𝑥= 𝑠2 = Modul Matematika SMA

𝑛 𝑖=1

2 + 3 + 6 + 8 + 11 =6 5

𝑥 𝑖 −𝑥 2 𝑛

233

1

= 5 (2 − 6)2 + (3 − 6)2 + (6 − 6)2 + (8 − 6)2 +

11−6 2 1

= 5 16 + 9 + 0 + 4 + 25 = 𝑠=

54 5 54 5

3

= 5 30

Jadi, ragam

54 5

3

dan simpangan baku 5 30

2) Simpangan baku data kelompok 2

𝑠 =


𝑥

2

Keterangan: 𝑠: simpangan baku 𝑥𝑖 : data ke-i 𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i 𝑥 : rata-rata Contoh: Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut:


Nilai

Frekuensi

141-147

2

148-154

7

155-161

12

162-168

10

169-175

9

176-182

7

183-189

3

234

Jawab: Dengan menentukan rata-rata terlebih dahulu, Nilai

Frekuen si (𝒇𝒊 )

141-147 148-154 155-161 162-168 169-175 176-182 183-189 jumlah

2 7 12 10 9 7 3 50

Titik tengah (𝒙𝒊 ) 144 151 158 165 172 179 186

Diperoleh rata-rata 𝑥 =

𝒇𝒊 . 𝒙𝒊

𝒙𝒊 − 𝒙

(𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐

𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐

288 1057 1896 1650 1548 1253 558 8250

-21 -14 -7 0 7 14 21

441 196 49 0 49 196 441

882 1372 588 0 441 1372 1323 5978

𝑛 𝑖=1 𝑓 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑓 𝑖=1 𝑖

=

58250 50

= 165

Ragam 𝑠2 =

𝑛 2 𝑖=1 𝑓 𝑖 𝑥 𝑖 −𝑥 𝑛 𝑓 𝑖=1 𝑖

=

5978 50

=

2989 25

Simpangan baku 𝑠=


2989 1 = 2989 25 5

235

7.2.6.2 Rangkuman

a. Jangkauan 

Jangkauan (J) = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ( untuk data tunggal)



J = nilai tengah kls tertinggi – nilai tengah kls terendah



…(untuk data kelompok)

Jangkauan interkuartil (H) = 𝑄3 − 𝑄1

Jangkauan semi interkuartil/ simpangan b. Simpangan rata-rata 1

kuartil (𝑄𝑑 ) = 2 𝑄3 − 𝑄1 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑆𝑅 = 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 e. Varians (𝒔𝟐 ) varians data tunggal 𝑠2 =

𝑛 𝑖=1


2

varians data kelompok 2

𝑠 =


𝑥

2

f. Simpangan baku (s) Simpangan baku data tunggal

𝑠=

𝑛 𝑖=1


2

Simpangan baku data kelompok 2

𝑠 =



𝑥

2

236


1. Simpangan rataan hitung data 10, 10, 9, 8, 8, 7, 7, 6, 6, 5 adalah .... 2. Simpangan rataan hitung data x1, x2, ... , x10 adalah 2,29. Jika setiap data ditambah satu maka simpangan rataan hitungnya adalah .... 3. Jika jangkauan data 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4,x sama dengan rataan hitungnya maka nilai x adalah .... 4. Simpangan baku dari data 3, 6, 6, 2, 6, 2,1, 1, 5, 3 adalah ....


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

Judul Tugas

:...........................

No. Kriteria

Rentang Nilai Nilai Prestasi Tes Formatif

1.

Kebenaran jawaban

0 – 60

2.


60 - 100

JUMLAH JUMLAH

0 – 100 (jumlah X 100%)

Jumlah Nilai Akhir

Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus ...................., ......................Th....


237

7.3 EVALUASI

7.3.1 Soal evaluasi 1.

Data nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008 ditunjukkan oleh table berikut: Tanggal

18/2

19/2

20/2

21/2

22/2

Kurs beli

Rp. 9.091

Rp. 9.093

Rp. 9.128

Rp. 9.123

Rp. 9.129

Kurs jual

Rp. 9.181

Rp. 9.185

Rp. 9.220

Rp. 9.215

Rp. 9.221

nyatakan dalam diagram garis ! 2.

Pelajar di desa karang anyar yang ikut kerja bakti desa pada hari libur sebagai berikut: Pendidikan

Jumlah

SD SMP SMA/SMK Perguruan tinggi

10 orang 30 orang 21 orang 20 orang

Jumlah penduduk

81 orang

nyatakan dalam diagram lingkaran ! 3.

Banyaknya lulusan SMA X dari tahun 2000-2004 dinyatakan dalam table berikut: Tahun

2000

2001

20 40 Jumlah lulusan nyatakan dalam diagram batang ! 4.

2002

2003

2004

50

70

100

Diketahui data sebagai berikut Kelas Frekuensi 35 – 44 15 45 – 54 17 55 – 64 18 65 – 74 25 75 – 84 10 Jumlah 85 Nyatakan dalam bentuk histogram !


238

Data berikut untuk soal nomor 5 – 8 Nilai ulangan harian matematika dari 14 orang siswa yang diambil secara acak adalah 7, 5 , 8 , 6 , 7 , 8 , 7 , 7 , 7 , 9 , 5 , 8 , 6 , 8 5. Nilai rata-rata ulangan harian matematika adalah …. 6. Median dari data tersebut adalah …. 7.

Modus data diatas adalah ….

8.

Jangkauan data tersebut adalah ….

9.

Dari data : 5 , 6 , 9 , 6 , 5 , 8 , 6 , 9 , 6 , 10 Dapat disimpulkan …

10. Nilai rata-rata, median dan modus dari data 6, 4, 5, 8, 8, 4, 7, 6, 6 berturut-turut adalah …. 11. Perhatikan gambar berikut!

Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah …. 12. Modus dari data pada histogram diatas adalah …. 13. Kuartil atas dari histogram tersebut adalah …. 14. Desil ke-4 (D4) dari data pada histogram diatas adalah …. 15. Diketahui data : 3 , 7 , 5 , a , 6 , 4 , 6 , 9 , 6 , 4 Jika rata-rata data tersebut adalah 6 maka nilai a = ….


239

16. rata-rata hitung untuk data pada histogram berikut adalah 48. dengan demikian nilai x = ….

Data berikut untuk soal nomor 17 – 18! Hasil suatu penelitian adalah sebagai berikut:5 , 5 , 14 , 7 , 10 , 7 , 12 , 9 , 6. 17. Kuartil bawah dari data diatas adalah …. 18. Kuartil atas dari data diatas adalah …. 19. Desil ke-8 (D8) dari data berikut adalah …. Nilai

Frekuensi

41 – 45

7

46 – 50

12

51- 55

9

56 – 60

8

61 - 65 4 Data berikut untuk soal nomor 20– 25! Tabel distribusi frekuensi Data

Frekuensi

20 – 24

6

25 – 29

10

30 – 34

2

35 – 39

5

40 – 44

4

45 – 49

3


240

20. Nilai rata-rata dari tabel diatas adalah …. 21. Modus dari tabel diatas adalah …. 22. Median dari tabel diatas adalah …. 23. Kuartil atas dari tabel diatas adalah …. 24. Kuartil bawah dari tabel diatas adalah …. 25. Simpangan kuartil dari tabel diatas adalah …. 26. Tentukan simpangan baku dari data : 4 , 8 , 5 , 9 , 10 , 6 27. Nilai

5

6

7

8

9

Frekuensi

4

8

5

M

2

Jika nilai rata-rata dari data tersebut adalah 7, maka nilai M = … 28. Suatu keluarga mempunyai 3 orang anak. anak termuda berumur x tahu. dua anak yang lain berumur x + 2 dan x + 7. bila rata-rata hitung umur mereka adalah 24 tahun, maka anak termuda berumur … 29. Lima kelompok siswa masing-masing terdiri dari 10 , 8 , 12 , 11 , 9 orang menyumbang korban bencana alam. raa-rata sumbangan masing-masing kelompok adalah Rp 7.000,-, Rp 6.000,-, Rp 10.000,00,-, Rp 8.000,-, dan Rp 5.000,-. rata-rata sumbangan tiap siswa seluruh kelompok adalah …. 30. Nilai rata-rata ujian Sejarah dari 20 siswa adalah 7,8, jika digabung dengan 12 siswa maka nilai rata-rata menjadi 7,5. nilai rata-rata dari 12 siswa tersebut adalah …. 31. Nilai rata-rata kimia dalam suatu kelas adalah 6,5. jika ditambah nilai siswa baru yang besarnya 9 maka rata-rata menjadi 6,6. banyak siswa semula dalam kelas tersebut adalah …. 32. Perhatikan tabel berikut Nilai Ujian 4 5 6 7 8 Frekuensi 2 5 8 11 4 Siswa dinyatakan lulus ujian matematika jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata kelas. Dari tabel diaas jumlah siswa yang lulus adalah …. Modul Matematika SMA

241

33. Nilai rata-rata sekelompok siswa yang berjumlah 50 siswa adalah 64. Jika seorang siswa yang mendapat nilai 88,5 tidak dimasukkan dalam perhitungan rata-rata nilai sekelompok siswa, maka nilai ratarata menjadi …. 34. Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. jika rata-rata nilai matematika untuk siswa putra adalah 65, sedangkan untuk siswa putri rata-ratanya 54, maka perbandingan jumlah siswa putri dan putra pada kelas tersebut adalah ….


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

Judul Tugas

:........................... Nilai Prestasi

No. Kriteria Penilaian maupun

Rentang Nilai

1.

Benar cara hasilnya

2.


0 – 20

3.


0 – 20

Tes Formatif

Evaluasi

Jumlah x 60 %

Jumlah x 40%

0 – 60



....................,......................Th.......


242

BAB


8 243

8.1 PENDAHULUAN

8.1.1 Deskripsi Modul ini berisi teori tentang lingkaran

meliputi persamaan

lingkaran serta garis singgung lingkaran. 8.1.2 Prasyarat Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai kompetensi yang ada pada modul sebelumnya meliputi koordinat kartesius, aljabar, persamaan kuadrat, dan phitagoras. 8.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul 1) Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain. 2) Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki. 3) Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat score (nilai) 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak mencapai

nilai 70, maka anda harus mengikuti

kegiatan

pembelajaran dalam modul ini. 4) Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami proses pembelajaran. 5) Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 6) Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 8.1.4 Tujuan Akhir Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini diharapkan anda dapat memiliki kemampuan :


244

1) Mampu menemukan konsep persamaan lingkaran yang berpusat di titik tertentu. 2) Mampu menemukan persamaan garis singgung lingkaran dalam berbagai bentuk. 3) Mampu

menyelesaikan

masalah

aktual

dalam

menentukan

persamaan garis singgung lingkaran menggunakan diskriminan. 4) Mampu mengaplikasikan konsep lingkaran dalam menyelesaikan masalah 8.1.5 Kompetensi Kode Unit: Judul Unit : LINGKARAN (12 jam) Uraian Unit : Unit ini berlaku untuk pekerjaan menyusun serta menentukan persamaan lingkaran dan garis singgung lingkaran. Sub Kompetensi Indikator 1. Menyusun persamaan 1.1. Menemukan konsep lingkaran yang berpusat di lingkaran yang memenuhi titik (0,0) dan (a,b) melalui pemecahan masalah persyaratan yang ditentukan otentik. 1.2. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya diketahui. 1.3. Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu. 1.4. Menentukan posisi dan jarak suatu titik terhadap lingkaran 2. Menentukan persamaan garis 2.1 Melukis garis yang menyinggung lingkaran dan singgung pada lingkaran menentukan sifat-sifatnya. dalam berbagai situasi 2.2 Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. 2.3 Menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. 2.4 Merumuskan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui.


245

Acuan Penilaian 1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji. 2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai: Memahami berbagai konsep tentang persamaan lingkaran dan garis singgung nya. Mampu mencari persamaan dan garis singgung lingkaran dari berbagai pusat lingkaran yang diketahui. 3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya meliputi koordinat kartesius, aljabar, persamaan kuadrat, dan phitagoras. 4. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan: Mengenali elemen-elemen sebuah lingkaran (segmen, busur, garis singgung, dsb) 5. Menunjukkan pemahaman tentang koordinat kartesius, aljabar, persamaan kuadrat, dan phitagoras. 6. Sikap yang dituntut: Bekerja dengan mandiri dan kreatif Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan Memunculkan rasa ingin tahu dan bekerja keras Efisien dan optimal dalam kegiatan pembelajaran Menghargai mutu hasil pada setiap langkah kerjanya Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh atasan


246

8.1.6 Cek Kemampuan Berilah tanda (  ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak pada jawaban yang anda pilih Jawaban No.

Pertanyaan Ya

1.

Apakah anda mengetahui rumus persamaan lingkaran yang berpusat di o (0,0) ?

2.

Apakah anda dapat menyebutkan persamaan lingkaran yang berpusat (a,b)?

3.

Apakah anda mengetahui hubungan garis dengan lingkaran?

4.

Apakah anda dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran ?

5.

Apakah anda dapat menentukan persamaan garis singgung dengan gradien m ?

6.

Apakah anda dapat menetukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1,y1) diluar lingkaran ?

7

Apakah anda mampu menyelesaikan masalah nyata dan mengidentifikasinya dalam model matematika berupa persamaan lingkaran ? Skore ( Nilai )

....................,........20....


247

Tidak

PETA KONSEP

Lingkaran

Persamaan

Tempat kedudukan

lingkaran

titik pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Pusat di (0,0) jari-jari r Pusat di

Pusat di

Melalui

(0,0) jari-jari

(a,b) jari-

sebuah titik

r

jari r

di luar

Pusat di (0,0) jari-jari r

lingkaran

Pusat di (0,0) jari-jari r

Pusat di (a,b) jari-jari

Gradien m

Gradien m

r

Bentuk Modul Matematika SMA

umum

Melalui (x,y)

Melalui (x,y)

pada

pada

lingkaran

lingkaran

248

8.2 PEMBAHASAN

8.2.1

Kegiatan Belajar 1

8.2.1.1 Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan seharihari. Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri. Masalah 1 Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17 September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pertama dua hari lalu. Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 3 km dari puncak gunung Sinabung harus segera mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk sementara. Bantulah pemerintah kabupaten Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya harus mengungsi. (Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo)


249

Alternatif Penyelesaian

Gb 1: peta kabupaten kairo Pertama kali yang dilakukan adalah membuat radius (jari-jari) sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak Gunung Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya harus mengungsi karena berada pada daerah radius 3 km yaitu Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan Payung. Definisi 1 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Masalah 2 Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang koordinat cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(0, 0) dan jari-jarinya r = 3. Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang berada pada titik S(x, y) pada lingkaran tersebut, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!


250

Alternatif Penyelesaian: jarak titik S(x, y) ke titik P(0, 0) dapat ditentukan dengan rumus: |PS| = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka Gb.2: lingkaran pusat P(0,0) dan jarijari=3

r

=

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2



(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = r Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh (x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ⇔ x2 + y2 = r2

(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ⇔ x2 + y2 = r2 Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9 Sifat 1 Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 = r2 Atau dengan kata lain Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x, y) | x2 + y2 = r2} Contoh. 1 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari sebagai berikut: a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

Alternatif Penyelesaian a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9


251

b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 4 adalah x2 + y2 = 42 ⇔ x2 + y2 = 16 c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25 d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 6 adalah x2 + y2 = 62 ⇔ x2 + y2 = 36 Masalah 3 Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat Kartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(a, b) dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salah satu desa yaitu Sukameriah berada pada titik S(x, y), tentukanlah persamaan lingkaran tersebut! Alternatif Penyelesaian: Jarak titik S(x, y) ke titik P(a, b) adalah |PS| =

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2

Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka r = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2  (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = r Dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Gb.3: lingkaran pusat P(a,b) dilalui titik S(x,y)

Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh (x – a)2 + (y – b)2 = 32 ⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = 9 Sifat 2 Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Atau dengan kata lain Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b) maka L {(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2} Modul Matematika SMA

252

Contoh 2 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2. Alternatif penyelesaian (x – a)2 + (y – b)2 = r2 a = 2; b = 2; c = 2 ⇔ (x – 2)2 + (y – 2)2 = 22 ⇔ (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2 adalah

Gb.4: lingkaran pusat (2,2) dan r=2

(x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 Contoh 3 Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut! a. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4 b. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9 c. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16 d. (x + 2)2 + y2 = 16 Alternatif Penyelesaian: a. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4 ⇔ (x – 2)2 + (y + 2)2 = 22 a = 2; b = –2; r = 2 lingkaran tersebut berpusat di titik (2, – 2) dan berjari-jari 2 b. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9 ⇔ (x + 2)2 + (y + 2)2 = 32 a = –2; b = –2; r = 3 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, –2) dan berjari-jari 3 Modul Matematika SMA

253

c. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16 ⇔ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 42 a = –2; b = 2; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4 d. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16 ⇔ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 42 a = –2; b = 2; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4

8.2.1.2 Kesimpulan

1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap titik tertentu. 2. Persamaan lingkaran adalah sebagai berikut a. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 + r2 b. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

8.2.1.3 Tes Formatif Dari

persamaan

berikut,

manakah

yang merupakan

persamaan lingkaran? a. x + y – 9 = 0 b. x2 + y2 – 2x + 5y + 4xy - 4 = 0 c. x2 + 9y2 + 6x - 8y = 25 d. x2 + y2 - 6x + 5y – 9 = 0 Modul Matematika SMA

254


:

No. Absen : Judul Tugas

:

No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Jumlah

Jumlah x 100%


…………….,………………..20…


255


8.2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep persamaan lingkaran yaitu : a. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r persamaannya adalah x2 + y2 = r2 b. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r persamaannya adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka dapat langsung diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran. Kegiatan 1 Jabarkanlah persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Alternatif Penyelesaian Untuk menyelesaikan persoalan di atas, maka kamu harus mengingat kembali tentang operasi bentuk aljabar yang telah kamu pelajari sebelumnya. Contoh 1 Berdasarkan kegiatan 2.1, diperoleh persamaan a2 + b2 – r2 = C dengan –a = A; –b = B, tentukanlah nilai r. Alternatif peyelesaian Karena a2 + b2 – r2 = C dan –a = A; –b = B, maka r2 = A2 + B2 – C2 ⇔ r = ± 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶


256

Contoh 2 Berdasarkan kegiatan 2.1 diperoleh persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan bentuk baku persamaan lingkaran! Alternatif Penyelesaian x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 ⇔ x2 + y2 + 2Ax + 2By = –C ⇔ (x2 + 2Ax + A2)– A2 + (y2 + 2By + B2)– B2 = –C ⇔ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 = –C ⇔ (x + A)2 + (y + B)2 =

𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶

2

Berdasarkan penyelesaian Latihan 2 diperoleh bahwa persamaan (x + A)2 + (y + B)2 =

𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶

2

adalah persamaan

lingkaran yang berpusat di titik P(–A, –B) dan berjari-jari r = 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶 Sifat 3 Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dengan titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari dengan r = 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶 dengan A, B, C bilangan real dan A2 + B2 ≥ C Pertanyaan Kritis 1. Berdasarkan Fakta 1 diperoleh bahwa r =

𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶

.

Bagaimana jika A2 + B2 = 0? Apa yang kamu peroleh? 2. Mengapa C2 ≤ A2 + B2


257

Contoh 3 Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0, lalu gambarkan lingkaran tersebut dalam bidang Kartesius! Alternatif Penyelesaian: x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0 A = –5; B = 4, dan C = 25 Titik Pusat (–5, 4) Jari-jari lingkaran r = 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶 r = (−5)2 + 42 − 25

Gb.5: Lingkaran x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0

8.2.2.2 Rangkuman

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dengan titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari dengan r =

𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶 dengan A, B,

C bilangan real dan A2 + B2 ≥ C


258


1. Misalkan pada bidang koordinat Kartesius desa Sigaranggarang terletak pada titik (3, -1), desa sukameriah terletak pada titik (5, 3), dan desa Kutatonggal terletak pada titik (6, 2) yang terkena dalam radius daerah yang penduduknya harus mengungsi. Tentukanlah letak gunung Sinabung (titik pusat) dan radiusnya!


:

No. Absen

:

Judul Tugas

:

No.

Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Jumlah

Nilai Prestasi

Jumlah x 100%


…………….,………………..20…


259


8.2.3.1 Materi 1. Pengertian Lingkaran

Dari gambar diatas, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r. 2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di P (0,0) dan A (a,b) a. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(0,0)

Jika titik S berada pada lingkaran yang berpusat di P (0,0) maka berlaku PS adalah jari-jari lingkaran, dengan Modul Matematika SMA

260

menggunakan rumus jarak dari titik P(0,0) ke titik S(x,y) diperoleh : 𝑃𝑆 = 𝑟 =

𝑥 − 0 ² + (𝑦 − 0)²

𝑟² = 𝑥 − 0 ² + (𝑦 − 0)² 𝑟² = 𝑥² + 𝑦² Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan berjari-jari r adalah :

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Untuk lebih memahami tentang cara menentukan persamaan lingkaran berpusat di P(0, 0), pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal : Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui : 1. pusatnya O(0, 0) dan berjari-jari12 2. pusatnya O(0, 0) dan melalui (7, 24) Penyelesaian : 1. Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan r = 12 maka persamaanya : 𝑥² + 𝑦² = 𝑟² ⟺ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 122 ⟺ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 144 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan r = 12 adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 = 144 2. Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui (7, 24) maka

jari-jari

r

=

𝑥 2 + 𝑦 2 = 72 + 242 =

49 + 576 = 625 = 25 jadi persamaan lingkaran


261

yang berpusat di titik O(0,0) melalui (7, 24) adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a,b)

Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B. 𝑟 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝐴 𝑘𝑒 𝐵 𝑟² = (𝐴𝐵)² = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ² + (𝑦 𝐵 − 𝑦𝐴)² = 𝑥 − 𝑎 ² + (𝑦 − 𝑏)² Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjarijari r adalah: 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟²

Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A(a, b), perhatikan contoh soal berikut.


262

Contoh soal : Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusatnya (2,3) dan berjari-jari 5 Penyelesaian : Pusat (-2, 3), r =5 Persamaan lingkaran : 𝑥 − −2 ² + 𝑦 − 3 ² = 5² 𝑥 + 2 ² + 𝑦 − 3 ² = 25 𝑥² + 4𝑥 + 4 + 𝑦² − 6𝑦 + 9 = 25

3. Menentukan

Pusat

𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 + 13

= 25

𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 − 12

= 25

dan

Jari-jari

Lingkaran

yang

Persamaanya diketahui Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah: 𝑥−𝑎

2

+ 𝑦−𝑏

2

= 𝑟2

𝑥² − 2𝑎𝑥 + 𝑎² + 𝑦² − 2𝑏𝑦 + 𝑏² = 𝑟² 𝑥² + 𝑦² − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏² = 𝑟² 𝑥² + 𝑦² − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏² − 𝑟² = 0 Jika

−2𝑎 = 2𝐴, −2𝑏 = 2𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑎² + 𝑏² = 𝐶,

maka

diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran :

𝑥² − 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , dimana pusatnya (−𝐴, −𝐵) dan jari-jari lingkaran 𝑟 =


𝑎² + 𝑏² − 𝐶² 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 =

𝐴² + 𝐵² − 𝐶

263

Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh berikut : Contoh soal 1 Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0 Penyelesaian : 𝑥² + 𝑦² − 2𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0 𝑥² + 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Maka diperoleh : 2𝐴 = −2

2𝐵 = −6

𝐴 = −1

𝐵 = −3

𝑟 = =

𝐶 = −15

𝐴² + 𝐵² − 𝐶 −1 ² + −3 ² − (−15)

= 1 + 9 + 15 = 25 = 5 Jadi ,pusat lingkaran (1, 3) dan jari-jari lingkaran = 5 Contoh soal 2 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, -1), (5, 3), dan (6 , 2) kemudian tentukan pula pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Penyelesaian : Persamaan lingkaran adalah 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0


264

Melalui (3 ,-1) maka : 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 3² + −1 ² + 𝑎. 3 + 𝑏. −1 + 𝑐 = 0 9 + 1 + 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 … … (1) Melalui (5, 3) , maka : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 5² + 3² + 𝑎. 5 + 𝑏. 3 + 𝑐 = 0 25 + 9 + 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 … … (2) Melalui (6, 2) , maka : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 6² + 2² + 𝑎. 6 + 𝑏. 2 + 𝑐 = 0 36 + 4 + 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0 … … (3) Dari persamaan (1) dan (2) : 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 −2𝑎 + −4𝑏 + 0 − 24 = 0 𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0 … … (4) Dari persamaan (2) dan (3) :


265

5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0 −𝑎 + 𝑏 − 6 = 0 𝑎 − 𝑏 + 6 = 0 … … (5) Dari persamaan (4) dan (5) : 𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0 𝑎−𝑏+6=0 3𝑏 + 6 = 0 𝑏 = −2 b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (5) : 𝑎−𝑏+6=0 𝑎+2+6= 0 𝑎+8=0 𝑎 = −8 a = - 8 ,b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (1) : 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 3(−8) − (−2) + 𝑐 + 10 = 0 −24 + 2 + 𝑐 + 10 = 0 𝑐 = 12 Jadi persamaan lingkaran adalah : 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0


266

𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0 Maka diperoleh : 2𝐴 = −8

2𝐵 = −2

𝐴 = −4

𝐵 = −1

𝑟 = =

𝐶 = 12

𝐴² + 𝐵² − 𝐶 −4 ² + −1 ² − 12

= 16 + 1 − 12 = 5 Jadi, pusat −𝐴, −𝐵 = (4,1) dan jari-jari 𝑟 = 5

8.2.3.2

Rangkuman

1. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik - titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. 2. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan berjari-jari r adalah 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah 𝑥−𝑎

2

+ 𝑦−𝑏

2

= 𝑟2

4. Bentuk umum persamaan lingkaran 𝑥² − 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 dimana pusatnya (−𝐴, −𝐵) dan jari-jari lingkaran 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝐶 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 = 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶


267


Kerjakan soal-soal dibawah ini secara tepat ! 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari sebagai berikut: a. 3

b. 5

2. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusatnya (4, 5) dan menyinggung sumbu X. 3. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusat (5, 2) dan melalui (-4, 1). 4. Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut. 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 + 3𝑦 = 0


:

No. Absen

:

Judul Tugas

:

No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20

Jumlah

Jumlah x 100%


…………….,………………..20…


268


8.2.4.1 Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran a. Kedudukan Titik 𝑨 𝒙, 𝒚 Terhadap Lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

Berdasarkan gambar diatas persamaan lingkaran adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Untuk titik A (2,-1) jika disubtitusikan dalam persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 , maka diperoleh 2² + −1 ² = 4 + 1 = 5 ⟹ 5 < 25 Artinya titik (2,-1) terletak didalam lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Untuk titik B (5,0) jika disubtitusikan dalam persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 , maka diperoleh 5² + 0² = 25 + 0 = 25 ⟹ 25 = 25 Artinya titik (5,0) terletak pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Untuk titik C (5,4) jika disubtitusikan dalam persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 , maka diperoleh 5² + 4² = 25 + 16 = 41 ⟹ 41 > 25 Artinya titik (2,-1) terletak diluar lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 sehingga dapat disimpulkan bahwa : 1. Titik 𝑃 𝑥, 𝑦 terletak di dalam lingkaran, jika berlaku 𝑥2 + 𝑦2 < 𝑟2 2. Titik 𝑃 𝑥, 𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku 𝑥² + 𝑦² = 𝑟² Modul Matematika SMA 269 3. Titik 𝑃 𝑥, 𝑦 terletak diluar lingkaran, jika berlaku 𝑥 2 + 𝑦 2 > 𝑟 2

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut : Contoh soal Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟² 1. 𝐴 3,1 2. 𝐵 −3,4 Penyelesaian : 1. A 3,1 ⟹ 𝑥² + 𝑦² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10 < 25 Jadi A(3, 1) terletak didalam lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟² 2. 𝐵 −3,4 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 = −3

2

+ 42 = 9 + 16 = 25 =

25 Jadi titik B(-3, 4) terletak pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟² b. Kedudukan Titik 𝑨(𝒙, 𝒚) Terhadap Lingkaran 𝒙 − 𝒂 ² + 𝒚 − 𝒃 ² = 𝒓² 1. Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) terletak didalam lingkaran, jika berlaku 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² < 𝑟² 2. Titik 𝐴 𝑥, 𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku 𝑥−𝑎 2+ 𝑦−𝑏 2 = 𝑟 3. Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) terletak di luar lingkaran, jika berlaku 𝑥−𝑎 ²+ 𝑦−𝑏 ² >𝑟

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut : Contoh soal : Tentukan posisi titik-titk berikut terhadap lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 1. 𝐴(0,0)

2. 𝐵(2,1)

Penyelesaian : 1. 𝐴 0,0 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 + 0 − 6.0 + 8.0 = 0+0+0+0= 0 Jadi titik 𝐴 0,0 terletak pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0


270

2. 𝐵 2,1 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 2² + 1² − 6.2 + 8.1 = 4 + 1 − 12 + 8 = 1 > 0 Jadi titik 𝐵 2,1 terletak pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 c. Posisi Garis Terhadap Lingkaran Y

Y

𝐵(𝑥2 , 𝑦2 )

Y 𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑏 )

g

𝐴(𝑥1 , 𝑦1 )

X 0

X

X 0

(i)

0 (ii)

(iii)

Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = r2 Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan 𝐷 = 1 + 𝑎² 𝑟² − 𝑏², yaitu:

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut : Contoh soal : Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y2 = 9, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya. Modul Matematika SMA

271

Penyelesaian : 2𝑥 + 𝑦 = 2 ⟺ 𝑦 = 2 − 2𝑥 … … (1) 𝑥² + 𝑦² = 5

… … (2)

Subtitusikan persamaan 1 ke 2 𝑥 2 + 2 − 2𝑥

2

=5

⟺ 𝑥 2 + 4 − 8𝑥 + 4𝑥 2 = 5 ⟺

5𝑥 2 − 8𝑥 − 1 = 0

Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah 5x2 – 8x – 1 = 0, dengan nilai diskriminan 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = −8 ² − 4 5 −1 = 64 + 20 = 84


272

8.2.4.2 Rangkuman 1. Kedudukan titik 𝐴 𝑥, 𝑦 Terhadap Lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 a. Titik 𝑃 𝑥, 𝑦 terletak di dalam lingkaran, jika 𝑥 2 + 𝑦 2 < 𝑟2 b. Titik 𝑃 𝑥, 𝑦

terletak pada lingkaran, jika berlaku

𝑥² + 𝑦² = 𝑟² c. Titik 𝑃 𝑥, 𝑦 terletak diluar lingkaran, jika berlaku 𝑥2 + 𝑦2 > 𝑟2 2. Kedudukan titik 𝐴 𝑥, 𝑦 𝑦−𝑏

2

Terhadap lingkaran

𝑥−𝑎

2

+

= 𝑟2

a. Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) terletak didalam lingkaran, jika berlaku 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² < 𝑟² b. Titik 𝐴 𝑥, 𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku 𝑥−𝑎

2

+ 𝑦−𝑏

2

=𝑟

c. Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) terletak di luar lingkaran, jika berlaku 𝑥−𝑎 ²+ 𝑦−𝑏 ²>𝑟 3. Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan 𝐷 = 1 + 𝑎² 𝑟² − 𝑏², yaitu: a. D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan b. D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran c. D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran


273


Kerjakan soal-soal dibawah ini secara tepat ! 1. Tentukan posisi titik 𝐶 5, −6 terhadap lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 2. Tentukan posisi titik 𝐶(3, −2) terhadap lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 3. Diberikan sebuah garis –x + y = 3 dan lingkaran x2 + y2 = 5 , selesaikan-lah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya.


:


:

No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


…………….,………………..20…


274


8.2.5.1 Persamaan Garis Singgung 1. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r Y

P(0,0

X

)

r A(𝑥1 , 𝑦1 )

g Misalnya titik A(x1, y1) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r yaitu, x2 + y2 = r2. 𝑦1

Asumsikan x1 ≠ 0 dan y1 ≠ 0 Gradien garis PA adalah 𝑚𝑜𝑝 = 𝑥1 , garis singgung g tegak lurus dengan garis PA. Gradien garis g 1

adalah 𝑚𝑔 = − 𝑚

𝑜𝑝

1

𝑥

= − 𝑦 1 = − 𝑦1 . Akibatnya, persamaan garis 𝑥1

1

singgung g adalah : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑔 𝑥 − 𝑥1 ⟺

𝑥

𝑦 − 𝑦1 = − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 1

⟺ 𝑦 − 𝑦1 𝑦1 = −𝑥1 𝑥 − 𝑥1 ⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦1 2 = −𝑥1 𝑥 + 𝑥1 2 ⟺ 𝑦𝑦1 + 𝑥1 𝑥 = 𝑥1 2 + 𝑦1 2 Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2, maka diperoleh x12 y12 r. Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r adalah x1x + y1y = r2 Modul Matematika SMA

275

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut : Contoh soal Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 0) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3 Penyelesaian : Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah x2 + y2 = 9 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 yang melalui titik (2, 0) adalah 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 𝑟 2 ⟺

𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 9

⟺ 𝑥 2 +𝑦 0 = 9 ⟺

2𝑥 − 9 = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0 2. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Misalkan titik 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) terletak pada lingkaran

𝑥 −𝑎 ²+

𝑦 −𝑏

𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟². Gradient garis PA adalah 𝑚𝑃𝐴 = 𝑥 1 −𝑎 1

Garis singgung 𝑔 tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis 1

singgung 𝑔 adalah 𝑚𝑔 = − 𝑚

𝑃𝐴

𝑥 −𝑎

= 𝑦1 −𝑏 1

Persamaan garis singgung 𝑔 adalah Modul Matematika SMA

276

𝑦 − 𝑦1 𝑚𝑔 𝑥 − 𝑥1 𝑥 −𝑎

⟺ 𝑦 − 𝑦1 = − 𝑦1 −𝑏 𝑥 − 𝑥1 1

⟺ 𝑦 − 𝑦1 𝑦1 − 𝑏 = − 𝑥1 − 𝑎 𝑥 − 𝑥1 ⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 − 𝑦1 𝑦1 + 𝑦1 𝑏 = − 𝑥1 𝑥 − 𝑥1 𝑥1 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥1 ⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 − 𝑦1 𝑦1 + 𝑦1 𝑏 = −𝑥1 𝑥 + 𝑥1 𝑥1 + 𝑥𝑎 − 𝑥 1 𝑎 ⟺ 𝑥1 𝑥 − 𝑥𝑎 + 𝑥1 𝑎 + 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 + 𝑦1 𝑏 = 𝑥1 2 + 𝑦1 2 Karena 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) terletak pada lingkaran 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟², maka diperoleh : (𝑥1 − 𝑎)² + (𝑦1 − 𝑏)2 = 𝑟 2 ⟺ 𝑥1 2 − 2𝑥1 𝑎 + 𝑎2 + 𝑦1 2 − 2𝑦1 𝑏 + 𝑏 2 = 𝑟 2 ⟺ 𝑥1 2 + 𝑦1 2 = 𝑟 2 + 2𝑥1 𝑎 − 𝑎2 + 2𝑦1 𝑏 − 𝑏 2 Subtitusikan

𝑥1 2 + 𝑦1 2 = 𝑟 2 + 2𝑥1 𝑎 − 𝑎2 + 2𝑦1 𝑏 − 𝑏 2

ke

persamaan garis singgung di atas diperoleh, 𝑥1 𝑥 − 𝑥𝑎 + 𝑥1 𝑎 + 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 + 𝑦1 𝑏 = 𝑟 2 + 2𝑥1 𝑎 − 𝑎2 + 2𝑦1 𝑏 − 𝑏 2 ⟺ 𝑥1 𝑥 – 𝑥𝑎 + 𝑥1 𝑎 + 𝑎2

+ 𝑦𝑦1 – 𝑦𝑏 + 𝑦1 𝑏 +

𝑏2 = 𝑟2 ⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟 2 Jadi persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik 𝑃(𝑎, 𝑏) dan berjari-jari r yang melalui titik 𝐴 𝑥1 , 𝑦1

pada

lingkaran 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟² adalah 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟² Persamaan garis singgung yang melalui titik (𝑥1 − 𝑦1 ) pada lingkaran

𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟² adalah

𝑥−

𝑎 𝑥1 − 𝑞 + 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟²

Contoh soal


277

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5. Penyelesaian : Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² = 5 yang melalui titik (2, 4) 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟 2 ⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 5 ⟺ 𝑥−1 + 2−1 + 𝑦−2 4−2 =5 ⟺ 𝑥−1 1+ 𝑦 −2 2=5 ⟺ 𝑥 − 1 + 2𝑦 − 4 = 5 ⟺ 𝑥 + 2𝑦 = 0 Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 adalah x + 2y = 0 3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Misalkan titik A(x1, y1) terletak di luar lingkaran. Terdapat dua garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) , Langkah-langkah

untuk

menentukan

persamaan

garis

singgungnya adalah sebagai berikut: 1. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) adalah m sehingga diperoleh persamaan.


278

2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1 + y1 ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut. 3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1 sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut. Contoh soal Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1). Penyelesaian : Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2 + y2 = 25 sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 > 25 Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 adalah x2 + y2 = 25 Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradient m, memiliki persamaan y = mx – mx1 + y1 ⇒ y = mx –7m + 1 Subtitusikan nilai 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 ke persamaan lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 25 , diperoleh 𝑥 2 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1

2

= 25

⟺ 𝑥 2 + 𝑚2 𝑥 2 − 49𝑚2 + 1 − 14𝑚2 𝑥 + 2𝑚 − 14𝑚 = 25


279

⟺ 1 + 𝑚2 𝑥 2 + 2𝑚 − 14𝑚2 𝑥 + −49𝑚2 − 14𝑚 −

24=0 Selanjutnya di tentukan nilai diskriminan 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝐷 = 2𝑚 − 14𝑚2

2

− 4 1 + 𝑚2 49𝑚2 − 14𝑚 − 24

= 4𝑚2 − 56𝑚3 + 196𝑚4 − 4(49𝑚2 − 14𝑚 − 24 + 49𝑚4 − 14𝑚3 −

24𝑚2

= 4𝑚2 − 56𝑚𝑚3 + 1196𝑚4 − 196𝑚2 + 56𝑚 + 96 − 196𝑚4 −

56𝑚3 + 96𝑚²

= 4𝑚² + 96𝑚² − 196𝑚2 + 56𝑚 + 96 Syarat 𝐷 = 0 −96𝑚2 + 56𝑚 + 96 = 0 ⟺ 96𝑚2 + 56𝑚 + 96 = 0 ⟺ 12𝑚2 − 7𝑚 − 12 = 0 ⟺ 4𝑚 + 3 3𝑚 − 4 = 0 3

4

⟺ 𝑚 = − 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 = 3 Sehingga diperoleh persamaan garis singgung 3𝑥 − 4𝑦 − 25 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 4𝑥 − 3𝑦 − 25 = 0


280

8.2.5.2 Rangkuman 1. Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2 2. Persamaan garis singgung yang melalui titik (𝑥1 − 𝑦1 ) pada lingkaran 𝑥−𝑎

2

+ 𝑦−𝑏

2

= 𝑟 2 adalah 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑞 + 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟 2

3. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung di luar lingkaran adalah sebagai berikut: a. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) adalah m sehingga diperoleh persamaan. b. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1 + y1 ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut. c. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1 sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut.


1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (0,4) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2,3) dengan persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4.


281


:

No. Absen : Judul Tugas : No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


…………….,………………..20…


282

8.3 EVALUASI

8.3.1 Soal Evaluasi 1.

Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 adalah…

2.

Lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1,7). Pusat ligkaran itu adalah…

3.

Diketahui ligkaran 2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melelui titik (-2,1). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya duakali panjang jari-jari lingkaran tadi adalah…..

4.

Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui : a. pusatnyaO(0, 0) danberjari-jari12 b. pusatnyaO(0, 0) danmelalui (7, 24)

5. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui: a. pusatnya (-2,3) danberjari-jari5 b. pusatnya (5, 2) danmelalui (-4,1) c. pusatnya (4, 5) danmenyinggungsumbu X. 6.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3,4)

7.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(4, 3) dan r = 6

8.

Lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1, 7), tentukan pusat lingkaran tersebut !

9.

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0

10. Tanpa menggambar pada bidang kartesius tentukan posisi titik A(1,2) terhadap lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0 11. Diberikan titik A(6, 8) dan L

 x2 + y2 = 49. Hitunglah jarak terdekat

titik A ke lingkaran L ! 12. Tentukan posisi garis y= 3x + 2 terhadap L  x2 + y2 + 4x – y + 1= 0 13. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran : L

 (x + 3)2 + (y – 2)2

= 58 di titik B(0, 9) 14. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 2)2 + (y – 1)2 =4 yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0 Modul Matematika SMA

283

15. Tentukan persamaangaris singgung lingkaran L

 x2 + y2 – 2x + 6y + 5

= 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 5


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

Judul Tugas

:........................... Nilai Prestasi

No. Kriteria Penilaian maupun

Rentang Nilai

1.

Benar cara hasilnya

2.


0 – 20

3.


0 – 20

Tes Formatif

Evaluasi

Jumlah x 60 %

Jumlah x 40%

0 – 60

Jumlah Jumlah Jumlah Nilai Akhir Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus

....................,......................Th.......


284

BAB


9 285

9.1 PENDAHULUAN

9.1.1 Deskripsi Modul ini berisi tentang suku banyak yang meliputi pengertian, rumus umum, nilai suku banyak,danoperasi antar suku banyak. 9.1.2 Prasyarat Dalam mempelajari modul ini diperlukan prasyarat yakni memahami konsep aljabar, pemfaktoran. 9.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul a. Mempelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti. b. Kerjakan soal-soal dalam latihan untuk mengukur seberapa jauh anda menguasai materinya. c. Apabila dari soal tes formatif anda mendapat score (nilai) 75 maka anda dapat menuju evaluasi. Apabila anda mendapat score (nilai) skurang dari 75 maka anda harus mengikuti kegiatan belajar. d. Perhatikan langkah-langkah dalam mengerjakan soal latihan dengan benar untuk mempermudah pemahaman anda tentang materi yang disampaikan. e. Pahami konsep dan rumus-rumus yang terdapat dalam modul dengan teliti untuk mempermudah anda dalam mengerjakan soal latihan. f. Untuk menjawab soal latihan usahakan jawaban singkat, jelas sesuai kemampuan anda. g. Bila anda mengalami kesulitan dalam mempelajari dan memahami modul ini, catatlah kemudian mintalah bantuan kepada guru maupun mentor anda. 9.1.4 Tujuan Akhir 1. Setelah siswa mempelajari modul ini siswa diharapkan dapat memahami pengertian suku banyak. 2. Setelah siswa mempelajari modul ini siswa diharapkan dapat memahami pembagian teorema sisa suku banyak. Modul Matematika SMA

286

3. Siswa mampu memahami rumus-rumus yang berkaitan dengan suku banyak dan teorema fektor suku banyak. 4. Siswa mampu memahami akar-akar pada suku banyak. 5. Siswa mampu menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan suku banyak. 6. Dalam kegiatan belajar mengajar siswa terlibat aktif dan dapat bertanggung jawab memberi saran, kritik, dan dapat bekerjasama dengan siswa lainnya. 9.1.5 Kompetensi Kode Unit: Judul Unit: Suku Banyak (6 x 45 menit) Uraian Unit: Unit ini berlaku untuk menentukan Nilai Suku Banyak dengan berbagai cara. Sub Kompetensi Indikator 1. Pengertian dan rumus umum 1.1. Memahami pengertian Suku Banyak. Suku Banyak. 1.2. Memahami rumus umum Suku Banyak. 1.3. Mengerjakan soal-soal dengan baik yang berkaitan dengan rumus umum Suku Banyak. 2. Nilai Suku Banyak. 2.1.Memahami Nilai Suku Banyak dengan cara substitusi. 2.2.Memahami Nilai Suku Banyak dengan cara skema. 2.3.Menentukan Nilai Suku Banyak dengan carasubstitusi dan skema. 3. Operasi Antar – Suku 3.1.Memahami penjumlahan Suku Banyak Banyak. 3.2.Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan penjumlahan SukuBanyak. 3.3.Memahami pengurangan Suku Banyak 3.4.Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan pengurangan Suku Banyak. 3.5.Memahami perkalian Suku Banyak. 3.6.Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan perkalian Suku Banyak. 3.7.Memahami pembagian Suku Banyak 3.8.Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan pembagian Suku Banyak. 4. Pembagian teorema pada 4.1. Memahami Teorema Sisa Suku Suku Banyak. Banyak. 4.2. Memahami pembagian Teorema Modul Matematika SMA

287

5. Teorema Faktor

6. Akar-akar Suku Banyak

Sisa pada Suku Banyak. 4.3. Mengerjakan soal-soal dengan baik yang berkaitan dengan pembagian Teorema Sisa Suku Banyak. 5.1.Memahami pengertian Teorema Faktor Suku Banyak. 5.2.Menentukan faktor-faktor Suku Banyak 5.3.Mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan Teorema Faktor. 6.1.Memahami Fungsi Derajat Tiga akarakar pada suku banyak. 6.2.Memahami Fungsi Derajat Empat pada Suku Banyak. 6.3. Mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan Fungsi Derajat Akar-akar pada Suku Banyak.‟

Acuan Penilaian 1. Uji kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada pesertauji. 2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai  Mampu memahami rumus-rumus Suku Banyak.  Mampu mengerjakan soal dengan baik yang berkaitan dengan Suku Banyak. 3. Sikap yang dituntut  Siswa mampu mengerjakan soal dengan tepat dan teliti.


288

9.1.6 Cek Kemampuan Petunjuk: Berilah tanda (√) pada kolom jawaban Ya atau Tidak. No. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Pertanyaan Ya Apakan anda mengenal Suku Banyak? Apakah memahami pembagian Teorema suku banyak? Apakah anda memahami rumus-rumus Suku Banyak dan Teorema faktor suku banyak? Apakah anda memahami Akar-akar pada Suku Banyak? Apakah anda dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan Suku Banyak? Apakah dalam kegiatan belajar mengajar anda termasuk siswa yang aktif? Score(Nilai)

Tidak

…………..,………..20….


289

PETA KONSEP


290

9.2 PEMBAHASAN


1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah tujuan kegiatan belajar, untuk mengetahui kemampuan siswa sejauh mana materi yang harus dicapai. 2. Pada setiap kegiatan belajar buku panduan dan modul selalu dibawa sebagai panduan siswa. 3. Sebelum dimulai mengerjakan latihan soal

siswa harus memahami

secara baik rumus-rumus Suku Banyak. 4. Kerjakanlah latihan soal dengan baik dan sungguh-sungguh, jika mengalami kesulitan mintalah bantuan gurumaupun mentor anda.


9.2.2.1 Pengertian Suku Banyak Suku Banyak /polinom adalah bentuk suku-suku dengan banyak terhingga yang disusun dari variable dan konstanta. Suatu Suku Banyak berderajat n secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:

𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0

dengan 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛−2 , … 𝑎0 merupakan konstanta dan disebut koefisien suku, 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑛 ∈ 𝐶 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 disebut suku utama, 𝑎0 disebut suku tetap atau konstanta,


291

𝑎𝑛 disebut konstanta utama. Pangakat tertinggi variable x pada suku banyak yang bersangkutan disebut derajat suku banyak.Penulisan suku banyak biasanya disusun menurut pangkat turun dari variabel tersebut. Pangkat yang tertinggi diletakkan pada urutan paling depan, sedangkan yang berpangkat lebih kecil berada disebelah kanannya. Perhatikan beberapa bentuk berikut untuk mengenali suku banyak. a. 𝑥 2 − 3𝑥 + 2, merupakan suku banyak berderajat 2 dengan koefisien𝑥 2 adalah 1, koefisienx adalah -3, konstanta atau suku tetap adalah 2. b. 5𝑥 3 + 3𝑥 − 2,merupakan suku banyak berderajat 3, dengan koefisien𝑥 3 adalah 5 koefisien𝑥 2 adalah 0 koefisienx adalah 3 konstanta atau suku tetap adalah -2. c. 4, merupakan suku banyak berderajat 0, dengan konstanta atau suku tetap 4. 𝑥 + 7𝑥 2 − 2𝑥 + 5, bukan merupakan suku banyak karena

d.

pangkat pada suku pertama bukan bilangan bulat non negative. e.

2 𝑥

+ 𝑥 2 + 4, bukan merupakan suku banyak karena pangkat pada

suku pertama bukan bilangan bulat non-negatif. Contoh: Susunlah bentuk berikut menurut pangkat turun dari variabel x, dan tentukan derajatnya: a. 1 − 7𝑥 + 𝑥 3 − 6𝑥 2 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 7𝑥 + 1(berderajat 3) b. 4 − 3𝑥 + 2𝑥 − 3

2

= 4 − 3𝑥 +

2𝑥 − 3 2𝑥 − 3

= 4 − 3𝑥 + 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 4𝑥 2 − 15𝑥 + 13 (berderajat 3) Modul Matematika SMA

292

2𝑥 2 −5𝑥−7 2𝑥−7

=

2𝑥−7 (𝑥+1) 2𝑥−7

= x + 1 (berderajat 1)

9.2.2.2 Nilai Suku Banyak Suatu Suku Banyak berderajat n secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk berikut: 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛 −2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 untuk𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑛 ∈ 𝐶. Nilai suku banyak f(x) untuk x=k adalah f(x). Nilai suku banyak langsung dapat ditentukan dengan metode substitusi langsung dan metode skema. a) Metode Substitusi Langsung Cara substitusi langsung adalah cara paling alamiah untuk menghitung

nilai

f(x)

karena

mudah

untuk

dilakukan.

Substitusikan nilai k pada x (mengganti nilai x oleh k), lalu lakukan perhitungan (pangkat, tambah, kali, kurang) untuk mendapatkan f(x). Misalkan suku banyak: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛 −1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 untukx=k, maka nilai suku banyak dinyatakan oleh: 𝑓 𝑘 = 𝑎𝑛 𝑘 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑘 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑘 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑘 + 𝑎0 Contoh: 1. Tentukan nilai f(3) jika diketahui f(x)=2x3-5x2+3x+4 Solusi: f(3)= 2x3-5x2+3x+4 =33 − 3.1 + 5 =27 – 9 + 5 2. Diketahui suku banyak f(x)=𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥. Tentukan nilai k yang memenuhi f(x)=0 Solusi: Jika f(x)= , maka𝑘 3 − 𝑘 2 − 2𝑘 = 0 ↔ 𝑘(𝑘 2 − 𝑘 − 2) = 0 Modul Matematika SMA

293

↔𝑘 𝑘+1 𝑘−2 =0 ↔𝑘 = 0, 𝑘 = −1atau k = 2 Jadi, f(x)= 0 jika k=0, -1 atau 2 b) Metode Skema Metode skema adalah cara mengubah suku banyak melalui perhitungan langkah demi langkah dengan skema. Misalkan: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 Akan ditentukan nilainya untuk x = k, maka: 𝑓 𝑘 = 𝑎𝑘 3 + 𝑏𝑘 2 + 𝑐𝑘 + 𝑑 = 𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑 =

𝑎𝑘 + 𝑏 𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑

𝑎𝑘 + 𝑏 𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑

Jadi, f(k) =

1 2 3

Langkah-langkah diperolehnya f(k) diatas: 1. Kalikan a dengan k lalu hasilnya ditambah dengan b, diperoleh ak+b. 2. Kalikan ak+b dengan k lalu hasilnya tambah dengan c, diperoleh (ak+b)k+c. 3. Kalikan (ak+b)k+c dengan k lalu hasilnya tambah dengan d diperoleh [(ak+b)k+c]k+d yang merupakan nilai dari x= k. Secara skema: k

a

a

b

c

d

ak

ak2+bk

ak3+bk2+ck

ak+b ak2+bk+c

keterangan: tanda


+

ak3+bk2+ck+d=f(k)

berarti dikalikan dengan k.

294

Contoh: Tentukan nilai f(3) jika diketahui f(x)=2x3-5x2+3x+4 dengan cara skema. Bandingkan hasilnya dengan cara substitusi. Tulislah koefisien-koefien variable x berurutan pangkat tertinggi sampai terendah: 3 2

2

-5

3

4

6

3

18

1

6

22=f(3)

+

Jadi, nilai f(3)=22 Keterangan: tanda

berarti dikalikan 3

Dengan cara substitusi: 𝑓 3 = 2. 33 − 5. 32 + 3.3 + 4 = 54 − 45 + 9 + 4 = 22. Ternyata hasil cara skematik dan cara substitusi sama. 9.2.2.3 Operasi Antar Suku Banyak a. Penjumlahan dan pengurangan suku banyak Penjumlahan dan pengurangan suku bayak f(x) dengan g(x) dapat ditentukan dengan cara penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dari kedua suku banyak itu: Misalkan: f(x) suku banyak berderajat m


295

g(x) suku banyak berderajat n Maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. Contoh: Diketahui dua persamaan suku banyak f(x) dan g(x) yakni 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 𝑥 2 + 2dan

𝑔 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 + 1.

Tentukanlah a. f(x) + g(x) serta derajatnya. b. f(x) - g(x) serta derajatnya. Solusi: a. 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = (𝑥 4 + 𝑥 2 + 2) + (𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 + 1) = 𝑥 4 + 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 + 3 , dan berderajat 4 b. 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = (𝑥 4 + 𝑥 2 + 2) − (𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 + 1) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 − 1,dan berderajat 4 b. Perkalian Suku Banyak Operasi perkalian suku banyak dilakukan menggunakan sifat distributive perkalian, yaitu dengan mengalikan setiap suku dari suku banyak dengan semua suku dari suku banyak lainnya. Misalnya: f(x) dan g(x) masing-masing suku banyak berderajat m dan n maka: f(x).g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum (m+n). Contoh: Diketahui dua persamaan suku banyak f(x) dan g(x) yakni 𝑓 𝑥 = (𝑥 2 − 1)dan

𝑔 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1.

Tentukan

f(x).g(x) serata derajatnya. Solusi: 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 1 . (𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1) = 𝑥 5 − 2𝑥 4 − 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1, dan memiliki derajat 5 Modul Matematika SMA

296

c. Kesamaan Suku Banyak Perhatikanlah dua suku banyak f(x) dan g(x) dalam bentuk umum sebagai berikut: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 𝑔 𝑥 = 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛 −1 + 𝑏𝑛−2 𝑥 𝑛 −2 + ⋯ + 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 Misalkan f(x) sama dengan g(x) (ditulis f(x) ≡ g(x)) maka dapat kita nyatakan sebagai berikut. 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 , 𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1 , … , 𝑎2 = 𝑏2 , 𝑎1 = 𝑏1

Pengertian kesamaan suku banyak

di atas dipakai untuk

mengetahui koefisien-koefisien tak tentu suatu bentuk al jabar, yaitu koefisien yang belum diketahui bentuk nilainnya. Contoh: Tentukan nilai p dari kesamaan suku banyak (𝑥 − 1)2 ≡ 𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 2𝑝 Solusi: (𝑥 − 1)2 ≡ 𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 2𝑝 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 ≡ 𝑥 2 + 𝑥 − 6 + 2𝑝 Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak diperoleh: −2𝑥 + 1 = 𝑥 − 6 + 2𝑝 2𝑝 = −3x+7

𝑝=


−3𝑥+7 2

297

d. Pembagian Suku Banyak Seperti pada bilangan, pada operasi pembagian suku banyak juga berlaku hubungan: yang dibagi,pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagi. Hubungan tersebut secara matematis ditulis: 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 .𝑕 𝑥 + 𝑆

f(x) = suku banyak yang dibagi → berderajat m. p(x) = pembagi → berderajat n h(x) = hasil bagi → berderajat (m – n) S = sisa pembagian → berderajat (n – 1) 1) Pembagi berbentuk (x – k) Pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi (x – k) memberikan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S atau f(k). hubungan tersebut dinyatakan: 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 . 𝑕 𝑥 + 𝑓(𝑘) Pembagian suku banyak oleh (x – k) dapat dilakukan dengan cara pembagian biasa dan pembagian horner. a. Cara pembagian Biasa. Misalkan suku banyak 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 6 dibagi dengan (x – 2). 𝑥 2 + 5𝑥 + 13 (x – 2)

𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 6

Pembagi

𝑥 3 + 2𝑥 2

-

5𝑥 2 + 3𝑥 + 6 5𝑥 2 − 10𝑥

-

13x + 6 13x – 26 32→sisa pembagian


298

Pembagian di atas dapat ditulis: 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 6 = (x – 2)(𝑥 2 + 5𝑥 + 13)+ 32. Hasil bagi, h(x) = 𝑥 2 + 5𝑥 + 13 Sisa pembagaian = f(2)= 32. b. Cara pembagian horner Pembagian suku banyak 𝑓 𝑥 = 53 − 14𝑥 + 3 oleh (x – 2)

x=2

5

5

0

-14

3

10

20

12

10

6

15 = f(2)

+

Koefisien-koefisien hasil bagi Hasil

bagi,

5𝑥 3 − 10𝑥 + 6

𝑕(𝑥)=

(perhatikan

koefisiennya) Sisa pembagian, 𝑓(𝑥)= 15 Persamaan dasarnya: 5𝑥 3 − 14𝑥 + 3 = (x – 2) 5𝑥 3 − 10㄰ + 6 + 15 2) Pembagi berbentuk (ax+b) Bentuk pembagian (𝑎𝑥 + 𝑏) dapat diubah menjadi 𝑏

𝑥 + 𝑎 . Jika 𝑓(𝑥) dibagi

𝑏

𝑥 + 𝑎 maka hasil banginya 𝑏

𝑕(𝑥) dan sisa pembagian 𝑓 − 𝑎 . Hubungan tersebut dinyatakan: 𝑓 𝑥 = 𝑥+ 𝑏

𝑏 𝑏 . 𝑕(𝑥)𝑓 − 𝑎 𝑎

1

Karena 𝑥 + 𝑎 = 𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑏), maka diperoleh: 𝑓 𝑥 =

1 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏 . 𝑕 𝑥 + 𝑓 − 𝑎 𝑎 Atau

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 .


𝑕(𝑥) 𝑏 +𝑓 − 𝑎 𝑎

299

Dengan: 𝑓 𝑥 = suku banyak yang dibagi. 𝑎𝑥 + 𝑏 = pembagi. 𝑕(𝑥) 𝑎

= hasil bagi 𝑏

𝑓 − 𝑎 atau S = sisa pembagian Hasil bagi dan sisa pembagian dapat ditentukan dengan cara horner. 𝑏

Jika bentuk pembagi 𝑎𝑥 + 𝑏 maka k = − 𝑎 𝑏

Jika bentuk pembagi 𝑎𝑥 − 𝑏 maka k = 𝑎 Contoh: Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (3𝑥 3 − 𝑥 2 + 7𝑥 + 12)oleh

(3𝑥 + 2).

Nyatakan

pula

persamaan dasar pembagiannya. Solusi: Nyatakan ulang pembagi: 3〱 + 2 sebagai 𝑥 − 2

2

(− 3)) sehingga a = 3 dan k = − 3 −

2 3

3

3 Hasil bagi

-1

7

12

-2

2

-6

-3

9

6

𝑕(𝑥) 𝑎

=

+

3𝑥 2 −3𝑥+9 3

= 𝑥 2 − 𝑥 + 3, sisa = f(k)=6

Jadi, 3𝑥 3 − 𝑥 2 + 7𝑥 + 12= (𝑥 2 − 𝑥 + 3) (3𝑥 + 2)+6 3) Pembagi berbentuk (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒄 + 𝒄) Suku banyak f(x) dengan pembagian berbentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (a≠0) dapat dilakukan dengan cara bersusun pendek dan cara horner. 1. Cara bersusun pendek Jika suku banyak f(x) berderajat m dan pembaginya berderajat n maka diperoleh: Hasil bagi berderajat (m – n) Modul Matematika SMA

300

Sisa pembagian berderajat (n – 1) 2. Cara sintetik (horner) Pembagian 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat difaktorkan menjadi 𝑎𝑥 − 𝑘1 (𝑥 − 𝑘2 ) Langkah-langkah jika f(x) dengan 𝑎𝑥 − 𝑘1 𝑎𝑥 − 𝑘2 a. Bagilah 𝑓 𝑥 dengan 𝑎𝑥 − 𝑘1 maka diperoleh hasil bagi

𝑕1 (𝑥)

dan

sisa

𝑎𝑥 − 𝑘1 . 𝑕1 𝑥 + 𝑓 b. Selanjutnya

𝑘1 𝑎

𝑓

𝑘1 𝑎

𝑓 𝑥 =

maka

. 𝑕1 𝑥 dengan

bagilah

𝑥 − 𝑘2 ,

diperoleh hasil bagi 𝑕2 (𝑥)dan sisa pembagian 𝑓(𝑘2 ) maka 𝑕1 𝑥 = 𝑥 − 𝑘1 . 𝑕2 𝑥 + 𝑓(𝑘2 ) . c. Diperoleh persamaan suku banyak: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑘1 𝑎𝑥 − 𝑘2 . 𝑕2 𝑥 + 𝑎𝑥 −

𝑘1.𝑓(𝑘2+𝑓𝑘1𝑎] Hasil bagi = 𝑕2 𝑥 Sisa pembagian =

𝑎𝑥 − 𝑘1 . 𝑓(𝑘2 + 𝑓

𝑘1 𝑎

]

Contoh: Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian 𝑓 𝑥 = 3𝑥 4 − 2𝑥 3 − 10𝑥 2 + 7𝑥 + 1oleh(𝑥 2 − 𝑥 − 2) Solusi: (𝑥 2 − 𝑥 − 2)difaktorkan menjadi 𝑥 − 2 (𝑥 + 1) Tahap 1: 3𝑥 4 − 2𝑥 3 − 10𝑥 2 + 7𝑥 + 1dibagi

dulu

dengan

𝑥−2 . 2

3

3 Modul Matematika SMA

-2

-10

7

1

6

8

-4

6

4

-2

3

7

+

301

𝑕1 𝑥 = 3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 2𝑥 + 3 𝑓

𝑘1 =𝑓 2 =7 𝑎

Jadi, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 (3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 2𝑥 + 3) + 7..(1) Tahap 2: 3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 2𝑥 + 3dibagi dengan (𝑥 + 1), maka: −1

3

3

4

-2

3

-3

-1

3

1

-3

6

+

𝑕2 𝑥 = 3𝑥 2 + 𝑥 − 3 𝑕2 𝑘1 = 𝑕1 −1 = 6 Jadi,

2

3𝑥 3 + 4〱 − 2𝑥 + 3 = (3𝑥 2 + 𝑥 −

3) 𝑥 + 1 + 6…….2. Tahap 3: Substitusikan 2 ke 1 3𝑥 4 − 2𝑥 3 − 10𝑥 2 + 7𝑥 + 1 = 𝑥 − 2 (3𝑥 2 + 𝑥 − 3 𝑥 + 1 + 6) + 7 = 𝑥 − 2 𝑥 + 1 3𝑥 2 + 𝑥 − 3 + 6 𝑥 − 2 + 7 = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 3𝑥 2 + 𝑥 − 3 + (6𝑥 − 5) Jadi, hasil bagi adalah 3𝑥 2 + 𝑥 − 3 dan sisa adalah +(6𝑥 − 5)


302

9.2.2.4 RANGKUMAN

1. Rumus Umum Suku Banyak: 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛 −1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 dengan 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛−2 , … 𝑎0 merupakan konstanta dan disebut koefisien suku, 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑛 ∈ 𝐶. 2. Nilai Suku Banyak a. Metode Substitusi Substitusikan nilai k pada x (mengganti nilai x oleh k), lalu lakukan perhitungan (pangkat, tambah, kali, kurang) untuk mendapatkan f(x). 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛 −2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 untukx=k, maka nilai suku banyak dinyatakan oleh: 𝑓 𝑘 = 𝑎𝑛 𝑘 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑘 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑘 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑘 + 𝑎0 b. Metode Skema k

a

a

b

c

d

ak

ak2+bk

ak3+bk2+ck

ak+b ak2+bk+c

keterangan: tanda

+

ak3+bk2+ck+d=f(k)

berarti dikalikan dengan k.

3. Operasi Antar Suku Banyak a. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak Penjumlahan dan pengurangan suku bayak f(x) dengan g(x) dapat ditentukan dengan cara penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dari kedua suku banyak. f(x) suku banyak berderajat m g(x) suku banyak berderajat n Modul Matematika SMA

303

Maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. b. Perkalian Suku Banyak f(x) dan g(x) masing-masing suku banyak berderajat m dan n maka: f(x).g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum (m + n). c. Kesamaan Suku Banyak f(x) sama dengan g(x) (ditulis f(x) ≡ g(x)) maka dapat kita nyatakan sebagai berikut. 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 , 𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1 , … , 𝑎2 = 𝑏2 , 𝑎1 = 𝑏1 d. Pembagian Rumus umum pembagian suku banyak: 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 .𝑕 𝑥 + 𝑆 f(x) = suku banyak yang dibagi → berderajat m. p(x) = pembagi → berderajat n h(x) = hasil bagi → berderajat (m – n) S = sisa pembagian → berderajat (n – 1)


304


1.

Tentukan derajat suku banyak berikut beserta dengan koefisienkoefisien dan konstanta yang ada pada suku banyak berikut: 14𝑏 − 25𝑏 5 − 20𝑏 3 + 3𝑏 2

2.

Susunlah setiap bentuk suku banyak berikut ini menurut pangkat turun dari variabel y. a. (9𝑦 2 − 9) + (8𝑦 + 7𝑦 2 − 5) b. (2𝑦 2 + 9) − (3𝑦 2 − 7)

3.

Manakah yang merupaan suku banyak dari bentuk berikut: a.

1 𝑎

+ 𝑎2

b. 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 + 2) 4.

Dengan cara substitusi tentukan nilai dari: a. 𝑓(3), jika f(x)=2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 2𝑥 − 5 1

b. 𝑓(2), jika 𝑓 𝑥 = 8𝑥 3 − 6𝑥 + 3 5.

Dengan cara skema tentukan nilai dari: a. 𝑓(4), jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3𝑥 − 4 b. 𝑓 −2 , jika 𝑓 𝑥 = 4𝑥 3 − 3𝑥 + 7

6.

Diketahui 𝑓 𝑥 = 2𝑥 4 − 𝑥 3 + 7𝑥 − 1 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 4 − 7𝑥 3 − 𝑥 + 2 tentukanlah 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) dan derajatnya.

7.

Diketahui 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 dan 𝑔 𝑥 = (𝑥 2 + 𝑥)2 tentukan 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) dan derajatnya.

8.

Tentukan

nilai

konstanta

p

dari

kesamaan

𝑥 2 + 4𝑥 − 1 ≡

𝑥 + 1 𝑥 + 2 + 3𝑝 9.

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (𝑥 3 + 4𝑥 2 − 3𝑥 + 1 oleh (𝑥 + 3)

10. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (6𝑥 2 + 𝑥 − 8) dibagi oleh 2𝑥 − 3


305


:


:

No.

Kriteria Penilaian


1.


0 – 60

2.


0 – 20

3.


0 - 20 Jumlah x 100%


…………….,………………..20…


306


9.2.3.1 Pembagian Teorema Sisa Berdasarkan pembagian suku banyak f(x) dengan pembagi seperti (x - k), (ax - b),dan a𝑥 2 + bx + c maka dapat diturunkan teorema sisa berikut. a. Pembagi Bentuk (x – k) 1) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k) maka sisanya S = f(k). 2) Jika suku banyak f(x) dibagi (x + k) maka sisanya S = f(-k). b. Pembagi Bentuk (ax -b) a. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax -b) maka sisanya S = f

𝑏 𝑎

b. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b) maka sisanya S = f – 𝑏 𝑎

c. Pembagi Bentuk a𝑥 2 + bx + c atau (x - a)(x - b) a. Jika suku banyak f(x) dibagi (x - a)(x - b) maka sisanya S = (x - a) . h1 (b) + f(a). b. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax - b)(x - c) maka sisanya S = (ax - b) . h1 (c) + f

𝑏 𝑎

.

c. Jika suku banyak f(x) dibagi (x - a) sisanya S1 dan jika dibagi (x - b) sisanya S2 maka suku banyak f(x) jika dibagi (x - a)(x – b) sisanya : S(x) = px + q Subtitusi x = a dan x = b diperoleh: P=

𝑠1−𝑠2 𝑎−𝑏

dan

q=

𝑎𝑠2−𝑏𝑠1 𝑎 −𝑏

.

d. Habis Dibagi (x - a) Jika suku banyak f(x) habis dibagi (x - a) maka sisanya S = 0 atau f(a) = 0. Contoh: Jika f(x) dibagi dengan (x - 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi (2x-3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x - 2)( 2x - 3) sisanya adalah…. Modul Matematika SMA

307

Pembahasan: f(x) dibagi dengan (x - 2) sisanya 24 maka f(2) = 24 jika f(x) dibagi (2x-3) sisanya 20 maka f

3 2

= 20

f(x) dibagi dengan (x - 2)( 2x – 3) maka sisanya S(x) = px + q. untuk x = 2 3

untuk x = 2

f(2) = 2p + q = 24 3

3

f(2 ) = 2 p + q = 20 − 1 2

p=4

Untuk p = 8 maka 2(8) + q = 24

p= 8 q=8

Jadi, s (x) = px + q = 8x + 8. 1. Pengertian Teorema Faktor. a. Suku banyak f(x) mempunyai faktor (x – a ), jika dan hanya jikaf(a)= 0. b. Jika suku banyak f(x) berlaku f(a)= 0, f(b)= 0 dan f(c) = 0 maka f(x) habis dibagi (x - a)(x - b)(x - c). c. Jika (x - a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x). 2. Menentukan Faktor-faktor Suku Banyak. a. Jika suku banyak f(x) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛 −1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛 −2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 dan (x - k) merupakan faktor dari f(x) maka nilai k yang mungkin adalah faktor-faktor dari 𝑎0 . b. Dengan cara mencoba-coba, subtitusikan x = k pada f(x). Jika f(x) = 0 maka nilai(x - k) merupakan faktor dari f(x), sebaliknya jika f(x) ≠ 0 maka (x - k) bukan faktor dari f(x). c. Jika f(x) faktornya (x - k) maka hasil baginya misalnya h(x) dapat dicari faktornya lagi seperti langkah 1 dan 2. Contoh: Salah satu faktor suku banyak p(x) = 𝑥 4 − 15𝑥 2 − 10𝑥 + 𝑛 adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah.....


308

Pembahasan: p(x) = 𝑥 4 − 15𝑥 2 − 10𝑥 + 𝑛 (x + 2) faktor dari p(x), maka p(-2) = 0 X = -2

1

1

0

-15

-10

n

-2

4

22

-2

-2

-11

12

n-24 = 0

+

h1(x) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 11𝑥 + 12 nilai k yang mungkinadalah faktor bilangan dari𝑎0 = 12. Yaitu: ±1, ±2, 3±, 4±, 6±, ± 12. Dengan cara mencoba-coba bilangan diatas ditemukan faktor dari h1(x) adalah (x - 1) atau k = 1. X=1

1

1

-2

-11

12

1

-1

-12

-1

-12

0 = f(1)

+

Maka (x - k) atau x = 1 merukan faktor dari p (x) karena p (1) =0 h2(x)=𝑥 2 − 𝑥 − 12 bentuk𝑥 2 − 𝑥 − 12 dapat difaktorkan menjadi (x + 3)(x - 4) sehingga𝑥 4 − 15𝑥 2 − 10𝑥 + 24 = (x + 2)(x - 1)(x + 3)(x + 4). Jadi, faktor lainnya dari f(x) adalah (x - 4). 9.2.3.2 Akar-akar Suku Banyak A. Fungsi Derajat Tiga Jika x1, x2, dan x3 akar-akar suku banyak 𝑎𝑥 3 − 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 maka berlaku: Modul Matematika SMA

309

𝑏



x1 + x2 +x3 = −



x1x2 + x1x3 + x2x3 =



x1 . x2. x3 = −

𝑎

𝑑

𝑐 𝑎

𝑎

B. Fungsi Derajat Empat Jika x1, x2, x3, x4 akar-akar suku banyak 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0 maka berlaku: x1 + x2 + x3 + x4 = −



x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + 𝑐 x3x4 = 𝑎

 


𝑏



𝑎

x1x2x3 + x1x3x4 + x1x2x4 + x2x3x4 𝑑 =− 𝑎 x1 . x2. x3. x4 =

𝑒

𝑎

310

9.2.3.3 Rangkuman

Teorema sisa 

Persamaan dasar pada pembagian suku banyak f(x) = g(x) . h (x) + s(x) dengan f(x) = suku banyak berderajat n g(x) = pembagi berderajat m, m


Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k ), maka sisanya adalah f(k)



Jika suku banyak f(k) dibagi (ax + b), maka sisanya adalah 𝑓−



𝑏 𝑎

Jika suku banyak f( x) dibagi (x – a )(x – b ), maka sisanya adalah[ (x – a ). h(b) + f(a)].



Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k )(ax – b ), maka sisanya adalah [(x – k ). h

𝑏 𝑎

+f(k) ]

Teorema factor 

Persamaan dasar pada pembagian suku banyak f(x) = g(x) . h (x) + s(x) jika s(x) = 0, maka g(x) merupakan factor dari f(x).



(x – k ) merupakan factor dari suku banyak f(x) jika dsan hanya jika s(x) = f(x) = 0

Akar –akar Suku Banyak. Untuk fungsi berderajat tiga: 𝑏

 x1 + x2 +x3 = −

𝑎

 x1x2 + x1x3 + x2x3 =  x1 . x2. x3 = − Modul Matematika SMA

𝑐 𝑎

𝑑 𝑎

311

untuk fungsi berderajat empat:  x1 + x2 + x3 + x4 = −

𝑏 𝑎

 x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =  x1x2x3 + x1x3x4 + x1x2x4 + x2x3x4 = − x1 . x2. x3. x4 =

𝑒 𝑎

𝑐 𝑎

𝑑 𝑎

.

9.2.3.4 Tes Formatif 1. Suku Banyak 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 3𝑥 − 7 dibagi dengan (x – 3) (x + 1), sisanya adalah…….. 2. Jika p(x) = 𝑥 4 + 5𝑥 3 + 9𝑥 2 + 13𝑥 + 𝑎 dibagi dengan (x+ 3) bersisa 2 maka p (x) dibagi (x + 1) akan bersisa….. 3. Suku Banyak 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 − 6 dibagi dengan 𝑥 2 − 𝑥 − 2 sisanya adalah…. 4. Suku banyak f(x) = 3𝑥 3 − 13𝑥 2 + 8𝑥 + 12 dapat dinyatakan

dala

bentuk

perkalian

faktoe-faktor

liniernya menjadi...... 5. Himpunan penyelesaian dari persamaan 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = 0 adalah….. 6.

Tunjukkan bahwa (x – 2 ) merupakan factor dari 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 19𝑥 + 6, lalu tentukan factor-faktor yang lain.

7. Misalkan diketahui persamaan

2𝑥 3 − 6𝑥 2 − 8𝑥 +

20 = 0 mempunyai akar-akar x1,x2,x3.


312


:

No. Absen

:

Judul Tugas : Kriteria Penilaian Benar cara 1. maupun hasilnya Benar cara, 2. hasil salah Benar hasil, 3. cara salah Jumlah Jumlah Nilai Akhir No.

Rentang Nilai


Evaluasi

Jumlah x 60%

Jumlah x 40%

0 – 60 0 – 20 0 – 20

Kesimpulan: Lulus / Tidak Lulus

....................,......................Th.......


313

9.3 EVALUASI

9.3.1 Soal Evaluasi 1) Susunlah setiap bentuk suku banyak 𝑥 2 − 3𝑥 + 5 − 𝑥 3 menurut pangkat turun dari variabel x dan sebutkan derajatnya. 2) Tentukan koefisien𝑥 4 dari suku banyak (3𝑥 2 + 1)2 + 𝑥(2𝑥 − 3) 3) Dengan menggunakan cara substitusi, tentukan nilai dari f(-3), jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 8𝑥 − 3 4) Dengan menggunakan cara substitusi, tentukan nilai setiap suku banyak 1

untuk nilai x yang diberikan.4𝑥 2 − 6𝑥 + 2, untuk 𝑥 = 2 5) Dengan menggunakan cara skema, tentukan nilai dari f(-5), jika 𝑓 𝑥 = 2𝑥 4 + 8𝑥 3 − 𝑥 2 − 19𝑥 + 8 6) Dengan menggunakan cara horner, tentukan nilai setiap suku banyak, 1

untuk nilai x yang diberikan16𝑥 3 − 4𝑥 + 6, untuk 𝑥 = 2 7) Tentukan x yang menjadikan suku banyak berikut bernilai nol.𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 8𝑥 8) Tentukan nilai dibawah ini. a. Jika diketahui𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 5𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 8 mempunyai nilai f(-2)= 26, tentukan nilai a. b. Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑘 − 9, jika f(1) = - 6 dan f(3)= 6 tentukan nilai dari (𝑎 − 𝑏)2 . 9) Suku banyak 3𝑥 3 + 7𝑥 2 + 𝑎𝑥 − 6 dibagi 𝑥 + 2 sisanya 16. Tentukan nilai a. 10) Bila 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 dan 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑝 dibagi 2𝑥 − 3 mempunyai sisa yang sama, tentukan nilai p. 11) Tentukan sisa pada pembagian (𝑥 3 − 2㔂 + 7) oleh (x + 2 ). 12) Tentukan sisa pada pembagian(4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3) oleh (2x – 3 ). 13) Suku banyak (6𝑥 3 + 7𝑥 2 + 𝑝𝑥 − 24 habis dibagi oleh 2x- 3 . tentukan nilai p=…. 14) Suku banyak f(x) jika dibagi (x + 2) mempunyai sisa 14 dan dibagi (x – 4 ) mempunyai sisa -4 . tentukan sisanya jika f(x) dibagi (𝑥 2 − 2𝑥 − 8). Modul Matematika SMA

314

15) Tentukan k sehingga suku banyak (2𝑥 4 − 9𝑥 3 + 5𝑥 2 + 𝑘𝑥 − 4) mempunyai factor (x – 4 ).


:...........................

Kelas

:...........................

No. Absen

:...........................

Judul Tugas

:........................... Nilai Prestasi

No. Kriteria Penilaian

Rentang Nilai

1.

Benar cara maupun 0 – 60 hasilnya

2.


0 – 20

3.


0 – 20

Tes Formatif

Evaluasi

Jumlah x 60 %

Jumlah x 40%



....................,......................Th.......


315

DAFTAR PUSTAKA

 Alisah, Erawati dan M,Idris.2009. Buku Pintar Matematika.Jogyakarta : Mitra Pelajar  Estien, Yazid.2013,Matematika SMA dan MA.Yogyakarta:Andi.  Fathurin Zen, 2014. ‚„„Trigonometri„„.Bandung: Alfabeta  Fitriana, Stalis. 2004. Matematika Semester 3. Jakarta : Erlangga  Kanginan, Marthen. 2014. Matematika 1 untuk SMK/SMA Kelas X Kelompok Wajib. Bandung: Grafindo Media Pratama.  Kasmina dan Toali. 2013. Matematika untuk SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Erlangga.  Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2013. Matematika untuk SMA/MA kelas X. Jakarta: Politeknik Negeri Media Kreatif  Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika: Buku Guru/Kementerian  Kementrian pendidikan dan kebudayaan, Matematika : Buku Guru / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Jakarta : 2014  Kementrian pendidikan dan kebudayaan, Matematika : Buku Siswa untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Jakarta : 2014  Kuntarti, Sri Kurnianingsih dan Sulistiyono.2007.Matematika SMA dan MA.Jakarta:Esis.  Martono, Koko dan Eryanto, R. dan Noor, Firman Syah. 2008. Matematika dan Kecakapan Hidup Untuk SMA Kelas X. Bekasi: Ganeca exact.  Marwanta dkk..2009. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudhistira.  Noormandiri, 2006. „„ Matematika 2006“.Jakarta: Penerbit Erlangga.  Pendidikan dan Kebudayaan. Balitbang : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Kemdikbud.  Rosihan dan Indriyastuti.2013 ”Prespektif Matematika 1”.Solo.PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri  Sharma, S N, 2014. Matematika 1 A. Jakarta: Yudhistira  Sukino, 2013, Matematika Jilid 1B untuk SMA/MA Kelas X Semester 2, Jakarta: Erlangga  Sulistiyono. 2006. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga  Sunardi Hari Subagyo, 2011. „„ Mathematics“.Jakarta: PT Bumi Aksara  Tim MGMP Matematika Kab Tulungagung.2013.Matematika SMA dan MA.Tulungagung.


316

 Tung, Khoe Yau. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas X IPA untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: C.V ANDI OFFSET.  Widyantini. 2004. STATISTIKA. Yogyakarta : Widyaiswara.  Winokromo, Sartonp.2007. Matematika untuk SMA kelas X KTPS 2006.Jakarta : Erlangga  Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika Jilid 1 untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.  Yuana, Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2013. Perspektif Matematika 1 untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.  Zaelani, Ahmad, dkk. 2006, Matematika SMA dan MA. Bandung: Yrama Widya  Zen, Fathurin. 2014. Trigonometri. ALFABETA : Bandung


317

KUNCI JAWABAN

Kunci 1.2.2.4 1.

a. 25 x 29 = 25+9 → menggunakan sifat pertama = 214 b. 35 x 36 = 35+6 → menggunakan sifat pertama = 311 c.

4 5 𝑥 43 42

=

45+3 42

→ menggunakan sifat pertama

48

= 42 =48−2 → menggunakan sifat kedua = 46 2.

a.

4 −3 42

=

1 42

x

1 43

=

1 42 𝑥 43

=

1 4 2+3

→ pangkat bulat negatif

→ sifat pertama

1

= 45 b. 3−4

1

= 34 1

= 81 → pangkat bulat negatif 𝑥3

c. 𝑥 3

= 𝑥 3 . 𝑥 −3 = 𝑥 3+(−3) → sifat pertama = 𝑥0

→aturan pangkat nol

=1 Kunci 1.2.3.3 1.

a. 8

= 4𝑥2 = 4x 2 = 2 2 → bentuk akar

𝑏.

16 25

=

16 25


318

4 5

= →bukan bentuk akar 2.

a. 12

= 4𝑥3 = 4x 3 =2 3

b. 48 𝑥 4 𝑦13 =

16 𝑥 3 𝑥 4 . (𝑦12 𝑦1 )

= 16 𝑥 4 𝑦12 . 3𝑦 = 4𝑥 2 𝑦 6 3𝑦 3.

a. 5 2 + 32 - 3 8 = 5 2 + 16 𝑥 2 – 3 . 4 𝑥 2 =5 2+4 2–3.2 2 =5 2+4 2-6 2 = (5 + 4 - 6) 2 =3 2 b.

18 6

18 6

=

= 3 Kunci 1.2.4.4 6.

a.

6 10

= =

6 10 x 10 10 6 10 10 3

= 5 10 b. 5

4 3𝑥

=5

4 3𝑥

3𝑥 3𝑥

x

4 3𝑥 3𝑥

= 5.

4

= 15𝑥 3𝑥 7.

p+q

= = =

2− 3 2+ 3 + 2+ 3 2− 3 2− 3 2− 3 + 2+ 3 2+ 3 2+ 3 2− 3 (2− 3)2 +(2+ 3)2 (2)2 − ( 3)2


319

= = 2

4−3 14 1

= 14 2

= (22 𝑥 3)3

a. 123

8.

4−4 3 +(4+4 3+3)

2

2 3

= 22 𝑥 4

x 33 2

= 23 x 33 =

3

24 x

3

3

= ( 23 x

32 3

3

=2x 2x

3

21 ) x 9 3

9

3

= 2 18 −3

b. ɑ 2

=

1 3

ɑ2

=

1 ɑ1

=ɑ = 4.

7 5

𝑥

=

1 ɑ

x

1 ɑ𝑥 ɑ

ɑ ɑ

ɑ=

1 ɑ2

ɑ

7 1

𝑥5

=

1

𝑥 ɑ2

4

7

𝑥5

𝑥5

𝑥5

1 x

4

4

=

7𝑥 5 5

𝑥5 4

=

7𝑥 5 𝑥1

=

7 𝑥4 𝑥

5

Kunci 1.2.5.3 1. Nyatakan dalam bentuk logaritma yang ekuivalen : a. 𝑎𝑛 = 𝑏 Penyelesaian : an = b ↔ alog b = n Modul Matematika SMA

320

b. 3𝑥 = 𝑦 Penyelesaian : 3x = y ↔ 3log y = x

2. Nyatakan bentuk berikut menjadi bentuk pangkat : a. 2log x = n Penyelesaian : 2log x = n ↔ x = 2n b. 3log a = y Penyelesaian : 3log a = y ↔ a = 3y c.

10

log 100 = 2

Penyelesaian :

10

log 100 = 2 ↔ 100 = 102

d. 2log a = 5 Penyelesaian : 2log a = 5 ↔ a = 25 3. Hitunglah nilai logaritma berikut : a. 5log 625 Penyelesaian : Misal : 5log 625 = x ↔ 5x = 625 x =4 5

b. log 0,2 Penyelesaian : Misal : 5log 0,2 = x ↔ 5x = 0,2

x = 0,4

4. Sederhanakan ! a. 6log 4 + 6log 54 Penyelesaian : 6log 4 + 6log 54 = 6log (4×54) = 6log 216 = 6log 63 = 3 b. log 25 + log 4 Penyelesaian : log 25 + log 4 = log 25×4 Modul Matematika SMA

321

c. 2log 7 – 2log 28 7

Penyelesaian : 2log 7 – 2log 28 = 2log

28 1 4

= 2log =

1 22

= 2-2 = 2

d. 2log 16 – 2log 4 Penyelesaian : 2log 16 – 2log 4 = 2log

16 4

= 2log 4 = 2log 22 =2 e. 2 log 2 + 3 log 3 2

3

Penyelesaian : 2 log 2 + 3 log 3 = log 2 + log 3 = log 4 + log 9 = log 4×9 =

log 36 = log 62 = 2 f. 2 log 5 – log 25 Penyelesaian : 2 log 5 – log 25 = log 52 – log 25 = log 25 – log 25 = log

25 25

=

log 1

Kunci 1.2.6.3 1. Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma berikut dalam bentuk a : a. 8log 3 log 3

Penyelesaian : 8log 3 = log 8 =

log 3 log 23

=

log 3 3 log 2

12 log 3

=

1

3=3 𝑎

b. 4log 81 Penyelesaian : 4log 81 =

log 81 log 4

=

log 34 log 22

=

4 log 3 2 log 2

=

log 27 log 8

=

log 33 log 23

=

3 log 3 3 log 2

= 2log 3 = a

42 log 2

3 = 2a

c. 8log 27 Penyelesaian : 8log 27 =

2. Sederhanakan ! a. plog 5 × 5log y × ylog p Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5 p

log 5 × 5log y × ylog p = plog p

b. 2log 25 × 5log 16 Modul Matematika SMA

322

Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5 2

log 25 × 5log 16 = 2log 25 × 5log 16 = 2log 5 × 5log 4 = 2log 4 =2log 22 = 2

c. 3log 16 × (4log 9 + 4log 3) Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5 dan ke-1 3

log 16 × (4log 9 + 4log 3) = 3log 4 (4log 9×3) = 3log 4 (4log 27) = 3log 4 (4log 33) =

3

log 4 × 4log 3 = 3log 3 = 1

d. 9log 3 × 3log 27 Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5 9

log 3 × 3log 27 = 9log 27 =

32

log 33 = 3

3. Diketahui 2log 3 = a, nyatakan dalam bentuk a dari logaritma berikut : a. 2log 27 Penyelesaian : 2log 27 =

2log 27 2log 2

=

2log 3 3 2log 2

=

2 3 log 3 1

=

3𝑎 1

= 3a

b. 8log 9 2log 3 2

log 9

Penyelesaian : 8log 9 = log 8 = 2

log 2 3

=

2 2 log 3 2 3 log 2

=

2𝑎 3

=

2𝑎 2

c. 4log 9 Penyelesaian : 4log 9 =

log 9 log 4

=

2log 3 2 2log 2 2

=

2 2 log 3 2 2 log 2

4. Dengan menggunakan kalkulator tentukanlah ! a. log 4,186 = 0,621... b. log 4,2 = 0,623... c. log 0,096 = -1,017... d. log 103 = 2,012...

Kunci 1.3.1 1. a. 3𝑥 4 x 𝑥 2 = 3 (𝑥 4+2 ) = 3𝑥 6 b. (3ɑ3 𝑏 2 )4 = 34 x (ɑ3 )4 x (𝑏 2 )4 = 81 x ɑ3 𝑥 4 x 𝑏 2 𝑥 4 = 81 ɑ12 𝑏 8 2.

ɑ2 𝑏 3 𝑐 −1 ɑ−2 𝑏 𝑐 2

= ɑ2+2 x 𝑏 3− 1 x 𝑐 −1−2 = ɑ4 x 𝑏 2 x 𝑐 −3


323

=

ɑ4 x 𝑏 2 𝑐3

=

24 x 32 53

=

16 (9) 125 144

= 125 (3𝑥 + 5)9 = (3𝑥 + 5)8 𝑥 (3𝑥 + 5)1

3.

= (3𝑥 + 5)8 x (3𝑥 + 5) = (3𝑥 + 5)4 1− 2 2 ) 1+ 2

4. (

=

1+2−2 2 1+2+2 2 3−2 2 2

= 3+2 =

=

(3𝑥 + 5)

3−2 2 2

x 3−2

32 −2 3 2 2 + 2 2 (3)2 − 2 2

2

2

9−12 2+8 9−8

= 17 - 12 2 4

5. a. 2𝑥 𝑥 3

3

= 2𝑥 1 (𝑥 4 ) 3

= 2𝑥 4 3𝑥 2

b. 3

𝑥2

=

3𝑥 2 3

𝑥4 4

= 3𝑥 3 6. a.

8 + 2 15

=

5+3 +2 5𝑥3

= 5+2 5𝑥3+3

=

( 5 +

= 5 + Modul Matematika SMA

3 )2

3 324

b. 9 − 4 5

= 5 − 4 5+ 4

=

( 5 − 2)2

=

5 − 2

7. Hitunglah : a. log 21 − log 210 5

b. log 25 − log 2 c. 3log 4,5 + 3log 6 d. 6log 9 + 6log 8 – 6log 2 1

e. log 2 + log 10 – log 5 f. 3log 45 – 9log 25 g. log 2 + 2 log 3 – log 18 8. Sederhanakan ! a. 2 log 3 + 2 log 3 b.

12 log 2

16 −

12 log 3

8

c. 5log 320 – 3 5log 4 d. 2log 24 – 8log 27 e. 5log 9 × 9log 625 f. 5 log 5 + 2 log 2 – log 25 g. 8 log 8 – 2 log 2 1

9. Jika 5log 25 + 5log 125 = x, maka nilai x adalah... 10. Diketahui 3log 7 = a, 5log 2 = b, dan 2log 3 = c. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk a, b, dan c a. 7log 3 b. 4log 5 c. 3log 2 11. Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa 9log 5 =

1 4

p

12. Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 adalah... 13. Diketahui 3log 4 = p dan 3log 5 = q, maka nilai dari 3log 80 adalah... 14. Dengan menggunakan kalkulator, tentukan nilai logaritma berikut : a. log 4,6 b. log 5,2 Modul Matematika SMA

325

c. log 69,4 d. log 0,17

Kunci 2.2.2.4

1) 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 → nilai koefisien 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = −8 (a) Titik potong dengan sumbu koordinat (i) Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0 𝑥+4 𝑥−2 =0 𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2 Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (-4,0) dan (2,0)

(ii) Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka 𝑦= 0

2

+2 0 −8

𝑦 = −8 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,-8) −𝑏

(b) Sumbu simetri 𝑥 = 2𝑎 =

−(2) 2(1)

(c) Nilai minimum fungsi 𝑦 =

−𝐷 4𝑎

= −1 =

− 𝑏 2 −4𝑎𝑐 4𝑎

=

−36 4

= −9

(d) Koordinat titik puncak (𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 ) = =

−𝑏 −(𝑏 2 −4𝑎𝑐 ) , 2𝑎 4𝑎 − 2 2 1

,

−(22 −4(1)(−8) 4 1

= −1, −9

2) 𝑦 = −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 (i) Pasangan koordinat titik 𝑥, 𝑓(𝑥) Modul Matematika SMA

326

𝑥

-3

-2

-1

0

1

𝑓(𝑥)

0

3

4

3

0

(ii) Gambar titik-titik (-3,0), (-2,3), (-1,4), (0,3), (1,0) (iii) Hubungkan titik-titik pada (ii) dengan kurva

Kunci 2.2.3.3 (1) Dengan menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝

2

+ 𝑦𝑝 untuk 𝑥𝑝 = 1 dan 𝑦𝑝 = 5, maka

diperoleh 2

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 =𝑎 𝑥−1

2

+ 𝑦𝑝

+5

= 𝑎 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 5 Karena grafik melalui titik (-1,1) maka 1 = 𝑎 −1

2

− 2 −1 + 1 + 5

1=𝑎 4 +5 𝑎 = −1 Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah 𝑦 = −1 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 5 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 4 (2) Grafik memotong sumbu X di titik (-3,0) dan (1,0), maka rumus fungsi kuadratnya adalah 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 =𝑎 𝑥− 3

𝑥−1

=𝑎 𝑥+3 𝑥−1 Karena grafik melalui titik (0,6) maka 6= 𝑎 0+3 0−1 Modul Matematika SMA

327

6 = 𝑎 3 −1 𝑎 = −2 Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah 𝑦 = −2 𝑥 + 3 𝑥 − 1 𝑦 = −2𝑥 2 − 4𝑥 + 9 (3) Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah y = ax2 + bx + c melalui titik (1,2), maka 2 = a + b + c (i) melalui titik (2,0), maka 0 = 4a + 2b + c (ii) melalui titik (3,-1), maka -1 = 9a + 3b + c (iii) 1

7

dengan metode eliminasi dan substitusi diperoleh 𝑎 = 2 , 𝑏 = − 2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 5. 1

7

Sehingga rumus kuadrat yang dicari adalah y = 2x2 − 2 𝑥 + 5. (4) Dari gambar diperoleh titik puncak (3,0) dan melalui (0,9). Sehingga kita dapat menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝

2

+ 𝑦𝑝 =𝑎 𝑥−3

2

= 𝑎 𝑥−3

2

+0

Karena grafik melalui titik (0,9), maka 9=𝑎 0−3 9 = 𝑎 −3

2

2

9 = 9𝑎 𝑎=1 Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah y = 1 (x – 3)2 y = x2 – 6x +9 (5) Misalkan, banyaknya peserta wisata adalah x orang. Bila x > 100, maka setiap peserta wisata akan membayar sebesar (800 – 5(x – 100)) ribu rupiah. Besarnya pemasukan biro perjalanan untuk x orang dalam ribuan rupiah adalah f(x) = x(800 – 5(x – 100)) = -5x2 +1300x = -5(x – 130)2 + 84500. Nilai maksimum fungsi ini tercapai bila x = 130 orang dengan setiap peserta wisata membayar sebesar Rp 650.000,00 dan pemasukan terbesar biro itu adalah Rp 84.500.000,00.

Kunci 2.3.1


328

1. 𝐿 = 9 + 6𝑥 + 𝑥 2 → nilai koefisien 𝑎 = 1, 𝑏 = 6, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 9 1) Titik potong dengan sumbu koordinat a. Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka 9 + 6𝑥 + 𝑥 2 = 0 𝑥+3 𝑥+3 = 0 𝑥 = −3 atau 𝑥 = −3 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (-3,0) dan (-3,0) b. Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka 𝑦 = 9 + 6 0 + (0)2 𝑦=9 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,9) 2) Sumbu simetri 𝑦 = 3) Nilai minimum 𝑦 =

−𝑏 2𝑎

=

−𝐷 4𝑎

−(6) 2(1)

=

= −3

− 𝑏 2 −4𝑎𝑐 4𝑎

=

− (6)2 −4 1 (9) 4(1)

=0

4) Koordinat titik puncak 𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 =

−𝑏 − 𝑏 2 −4𝑎𝑐 , 2𝑎 4𝑎

= −

6 2 1

,−

6 2 −4 1 9 4 1

= −3,0

2. Sketsa grafik secara sederhana (i) (𝑥, 𝑓 𝑥 )


329

𝑥

-5

𝑓(𝑥) 4

-4

-3

-2

-1

1

0

1

4

(ii) Gambar titik-titik (-5,4), (-4,1), (-3,0), (-2,1), dan (-1,4) pada bidang cartesius. (iii) Hubungkan titik-titik pada (ii) dengan kurva

3. Rumus fungsi kuadrat a. Dengan

menggunakan

rumus

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑝 )2 + 𝑦𝑝

untuk

𝑥𝑝 = −1 dan 𝑦𝑝 = 0 2

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝

+ 𝑦𝑝

= 𝑎 𝑥 − −1 =𝑎 𝑥+1

2

+0

2

= 𝑎(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) Karena grafik melalui titik (1,6), maka 6 = a(12 + 2(1) + 1) 6 = 4a a = 3/2 Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah 3

𝑦 = 2 (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) 3 2

𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 +

3 2

b. Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 melalui titik (1,3), maka 3 = a + b + c (i) melalui titik (2,3), maka 3 = 4a + 2b + c (ii) melalui titik (4,2), maka 2 = 16a + 4b +c (iii) Modul Matematika SMA

330

dengan metode eliminasi atau substitusi diperoleh 𝑎 = − 1

1

1 ,𝑏 12

Sehingga rumus kuadrat yang dicari adalah 𝑦 = − 12 𝑥 2 + 4 𝑥 +

1 4

= , 𝑑𝑎𝑛 𝑐 =

17 . 6

17 6

4. Misalkan, ukuran kebun adalah 𝑥 × 𝑦 meter, maka bagian kebun yang akan dipagari adalah 2x + y meter. Karena panjangnya pagar kawat adalah 100 meter, maka 2x + y = 100 yang menghasilkan y = 100 – 2x. Luas kebun adalah xy, yang dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat L(x) = x(100 – 2x)

= -2x2 + 100x = -2(x – 25)2 +1250. Nilai maksimum fungsi ini tercapai bila x = 25 meter, yang menghasilkan y =100 – 50 = 50 meter, dengan luas terbesar L(25) = 1250 meter persegi.

Kunci 3.2.2.2 1. x + 3y = 1

x1

2x - y = 9

x3

x + 3y = 1 6x – 3y = 27 + 7x = 28 x=4

x + 3y = 1 x 2

2x + 6y = 1

2x – y = 9 x 1

2x – y = 9 + 7y = -7 y = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, -1)} 2. x + 7y = -1

x1

3x + 7y = -1

x - 3y = 5

x3

3x – 9y = 15 -

16y = -16

y = -1 subsitusikan nilai y = -1 ke persamaan x – 3y = 5 sehingga diperoleh x – 3(-1) = 5 x+3=5 x=2 Modul Matematika SMA

331

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {(2,-1)}

Kunci3.2.3.3 1. 2x – y + z = -1…… (1) 3x + 2y – z = 10….. (2) -4x – y – 3z = -3 …. (3) Dari persamaan (1) dan (3), eliminasikan variabel x. 2x – y + z = -1 │x 2│→ 4x – 2y + 4z = -2 -4x – y–3z =-3│x 1│→-4x – y – 3z = -3 + -3y + z = -5 … (4) Dari persamaan (2) dan (3), eliminasikan variabel x. 3x + 2y – z = 10 │x 4│→ 12x + 8y – 4z = 40 -4x – y – 3z = -3│x 3│→-12x - 3y – 9z = -9 + 5y – 13z = 31 … (5) Kemudian, eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5) -3y + z = -5 │x 5 │→ -15y + 5z = -25 5y – 13z = 31 │x 3│→ 15y – 39z = 93

+

34z = 68 z = -2 subsitusikan nilai z = -2 ke persamaan (4) sehingga diperoleh y =1 subsitusikan nilai z = -2 dan y = 1 ke persamaan 1 sehingga diperoleh x = 2 jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1,-2)}


332

Kunci 3.2.4.2 1. Kita misalkan jumlah beras jenis I = x dan jumlah beras jenis I = y, maka: x + y = 50 6000x + 6200y = 306000 Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode cepat, maka: => y = (1 . 306000 – 50 . 6000)/(1 . 6200 – 1 . 6000) => y = (306000 – 300000)/(6200 – 6000) => y = 6000/200 => y = 30 Substitusi nilai y = 30 ke persamaan x + y = 50, maka: => x + y = 50 => x + 30 = 50 => x = 50 – 30 => x = 20 Dengan demikian, jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual adalah 20 kg dan 30 kg.

Kunci 3.2.5.3 1.

2x + y ≤ 6 dan x – 2y ≥ -4 merupakan pertidaksamaan linier dalam variabel x dan y, sehingga keduanya dapat membentuk sistem pertidaksamaan linier dua variabel.

2. 2x + y = 8 X

0


4

333

Y

8

0

Titik

(0, 8)

(4, 0)

y X=2

8

Y = 3 2x + y =

3 0

x

48

2

3. 3x + y = 3

y x

0

1

y

3

0

titik

(0, 3)

(1, 0)

3

X

0 1 3x + y = 3

y 

Pertidaksamaan 3x + y ≥ 3



Tanda didepan variabel y adalah +



Tanda ≥ berarti +



Perkalian tanda + . + = + (atas)



Arsir di atas garis pembatas (3x + y = 3)

3

X

0 1 3x + y = 3

Kunci 3.3.1 Modul Matematika SMA

334

1) C

6) A

11) D

16) C

21) A

2) C

7) B

12) A

17) B

22) B

3) D

8) A

13) C

18) C

23) B

4) A

9) C

14) B

19) C

24) C

5) D

10) B

15) A

20) B

25) C

Kunci 4.2.3.3 1. 2. 3.

Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x , ordinat y. Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang disajikan dalam bentuk r dan α. Penyelesaian : koordinat kutub ⇒koordinat kartesius (r , α) ⇒ ( x , y ) 𝑟 = 6 3;

𝛼 = 60°

(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif) 𝑥 = 𝑟 cos 𝛼 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ⇒ 6 3 𝑥 𝑐𝑜𝑠 60° ⇒ 6 3𝑥

1 2

⇒ 3 3 𝑦 = 𝑟 sin 𝛼 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ⇒ 6 3 𝑥 𝑠𝑖𝑛 60° ⇒ 6 3𝑥

1 3 2

⇒ 3𝑥3 ⇒ 9 sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3 3 , 9) 4.

penyelesaian :

(x,y)⇒ (r, α)


335

x = -4, y=4 (karena x negatif dan y positif, maka α sudut di kuadran II) 𝑥2 + 𝑦2

𝑟= ⇒

−42 + 42

⇒ 32 ⇒4 2 𝑥 𝑦

tan 𝛼 = ⇒

4 −4

⇒ −1 karena 𝛼 sudut di kuadran II, maka : 𝛼 = (180 − 45)° = 135° maka koordinat kutubnya ialah ( 4 2, 135°) 5.

P ( -23 , -2 ) 𝑟 = =

(2 3 )2  (2)2

12  4

= 4 𝑇𝑎𝑛 𝛼 =

=

2 2 3

1 3 3

 = 2100 karena ada dikuadran III  jadi koordinat kutup titik P adalah ( 4 , 2100 )

Kunci 4.2.4.3 1.

1 2

Gunakan rumus Luas Δ ABC (L) = 𝑎. 𝑏. sin 𝐶 1

↔ L = 2 × 6 × 9 × sin 300 ↔L=

1 2

1

×6×9×2

↔ L = 13,5 cm2 Modul Matematika SMA

336

2.

Keliling segitiga KLM (2s) = ( 9 + 13 + 10 ) cm = 32 cm atau s = 16 cm. ↔ Luas Δ KLM = 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐) ↔ Luas Δ KLM = 16 16 − 9 16 − 13 (16 − 10) ↔ Luas Δ KLM = 16 × 7 × 3 × 6 ↔ Luas Δ KLM = 2016 ≅ 44,9 cm2

3.

1

Dengan rumus Luas Δ ABC = 2 𝑐 2 1

↔ Luas Δ ABC = 2 52 ↔ Luas Δ ABC = 12

sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶

diperoleh

sin 25 0 sin 35 0 sin 120 0

1 2

0,4226 (0,5736 ) 0,8660

↔ Luas Δ ABC = 12,5 ( 0,2799) ↔ Luas Δ ABC ≅ 3,499 cm2

Kunci 4.2.5.5 1.

Maka besar sudut B adalah

C

∠B = 180°- (∠A+∠C)

75°

∠B = 180°- (60°+75°) ∠B = 180°- 135°

25 cm

a

∠B = 45° 60°

A

2.

A

cos 20°. Cos 40°+ sin 20°. Sin 40° = cos (20°-40°) = cos (-20°) = cos 20°

3.

Gunakan rumus Sin (𝛼 − 𝛽) 1

sin 42° cos 12°- cos 42° sin 12°= sin (42°- 12°) = sin 30° = 2 4.

cos 90° + A = cos 90° cos 𝐴 − sin 90° sin 𝐴 = 0. cos A − 1. sin 𝐴 = − sin 𝐴 Jadi , cos 90° + A = − sin 𝐴


337

5.

tan 80°+tan 55° 1−tan 80° tan 55°

= tan (80°+55°) = tan 135° = tan (180°-45°) = - 45° = -1

Jadi, nilai 6.

2 sin 𝑥 = sin 𝑥 =

tan 80°+tan 55° 1−tan 80° tan 55°

adalah -1

3

1 3 2

sin 𝑥 = sin 60° 𝑥1 = 60° + 𝑘. 360° → 𝑘 = 0 Maka : 𝑥1 = 60° 𝑥1 = 180° − 𝑎 + 𝑘. 360° = 180° − 60° + 𝑘. 360° Untuk k= 0 → 𝑥2 = 120° Jadi, 𝑥1 = 60°, 𝑥2 = 120°

Kunci 4.3.1 1

1.

sin 135° = sin 180° − 45° = sin 45° = 2 3

2.

cos 210° = cos 180° + 30° = − cos 30 ° = − 2 3

3.

tan 315° = tan 360° − 45° = − tan 45° = −1

4.

sec 300° = sec 360° − 60° = sec 60° = cos 60° =

5.

cos −60° = cos 60° = 2

6.

Luas ΔPQR = 2 𝑃𝑄. 𝑃𝑅 sin 𝑃

1

1

1 1 2

=2

1

1

1

= 2 10 8 𝑠𝑖𝑛 𝑃 = 40 sin 𝑃 Modul Matematika SMA

338

Karena luas ΔPQR diketahui sama dengan 30 cm2, maka diperoleh hubungan : 40 sin 𝑃 = 30 ↔ sin 𝑃 =

3 = 0,75 4

↔ 𝑃 = 48,5 atau 𝑃 = 180° − 48,6° = 131,4° Jadi, besar sudut P = 48,6° atau sudut P = 131,4° 7.

Diketahui : 𝑟 = 4, 𝛼 = 135° Maka 𝑥 = 𝑟 cos 𝛼 = 4 cos 135° = 4 cos(180 − 45) ° = 4 (− cos 45°) = 4 (−

1 2) 2

= −2 2 𝑦 = 𝑟 sin 𝛼 = 4 sin 135° = 4 sin(180 − 45) °

= 4 sin 45° 1

= 4 (2 2) =2 2 Jadi, koordinat cartesiusnya adalah (−2 2 , 2 2 ) 8.

Diketahui : x = 3 , y = 1 Maka 𝑟 =

𝑥2 + 𝑦2

= 3 2 + 12 = 9+1 = 10 𝑦 tan 𝛼 = 𝑥 1 = 3 Modul Matematika SMA

339

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐

1 3

= 18,43° Jadi, koordinat kutub nya ialah ( 10, 18,43°) 9.

dalam ∆𝐴𝐵𝐶 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180° 30° + 45° + 𝛾 = 180° 𝛾 = 180° 𝑎 sin 𝑎

𝑏

= 𝑠𝑖𝑛𝛽

8 𝑏 = sin 30° sin 45° 8 1 2

=1 2

𝑏 2

b = 11,313 m 𝑎 sin 𝑎

=

𝑐 sin 𝛾

8 𝑐 = sin 30° sin 105°

8

=

1 2

c

𝑐 0,9659

= 15,455 m

jadi, panjang bagian lauar kuda-kuda atap tersebut adalah 11,313 dan 15,455 m. 10. diketahi ∠A= 60°, b=10 cm, c= 16 cm. Maka dengan aturan kosinus diperoleh: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. cos 𝐴 = 102 +162 -2 x 10 x 16 x cos 60° = 100+256-320


1 2

340

= 100+256-160 𝑎2 = 196 𝑎 = 14 Jadi 𝑎 = 14 3

11. sin (A+B)= sin A cos B + cos A sin B = 4 1

sin (A - B)= sin A cos B – cos A sin B = 2 + 2 sin A cos B =

3 4

1

+2

5

2 sin A cos B = 4 sin A cos B =

5 8

5

jadi, sin A cos B = 8 1

12. Ruas kiri= Cos (𝛼 − 𝛽) = cos⁡(90 − 30)°= cos 60° = 2 Ruas kanan= cos 𝑎 cos 𝛽 + sin 𝑎 sin 𝛽 = cos 90° cos 30° + sin 90° sin 30° 1

1

= (0 x 2 3) + (1+ 2) 1 2

= = ruas kiri Jadi, berlaku bahwa cos 𝑎 − 𝛽 = cos 𝑎 cos 𝛽 + sin 𝑎 sin 𝛽 untuk 𝑎 dan 𝛽 = 90° 1 1

13. tan 𝑎 + 𝛽 =

+ tan 𝑎+tan 𝛽 = 2 3 1−tan 𝑎 tan 𝛽 1−1 1

+

2 3

1 1

tan 𝑎 − 𝛽 =

− tan 𝑎−tan 𝛽 = 2 3 1+tan 𝑎 tan 𝛽 1+1 1 2 3

+

1 1 + 2 3 1 1− 6 1 1 − 2 3 1 1+ 6

=

=

5 6 5 6 1 6 7 6

=1

1

=7

Kunci 5.2.2.4 1. a. Kalimat terbuka, karena ada variabel x. Variabel harus diganti dengan angka agar dapat dinyatakan sebagai pernyataan. Modul Matematika SMA

341

b. Pernyataan, karena benar setiap orang membutuhkan oksigen untuk bernafas. c. Pernyataan, karena 5 – 2 + 1 = 4 jadi pernyataan 5 – 2 + 1 > 0 bernilai salah. d. Pernyataan, karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 jadi pernyataan bernilai benar. e. Kalimat terbuka, karena ada variabel p. Variabel p harus diganti dengan angka agar dapat dinyatakan sebagai pernyataan 2.

Diketahui: p = benar q = salah Ditanya: Nilai kebenaran dari ~ (𝑝 ∧ ~ 𝑞) ? Jawab:

~q = benar

𝑝 ∧ ~𝑞 =𝐵 ∧ 𝐵 =B ~ 𝑝 ∧ ~𝑞 =𝑆 3.

Hipotesis dari implikasi adalah Semarang ibu kota Jawa Tengah (p) bernilai benar. Agar implikasi tersebut bernilai benar, kesimpulan (q) juga harus bernilai benar. Sehingga, x2 – 3x - 28 = 0 (x - 7)(x + 4) = 0 x = 7 atau x = -4

4.

Diketahui : p : saya lulus ujian q : semua keluarga berbahagia r : saya melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri t : saya bekerja Ditanya : a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡 b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟 Jawab :


342

~ 𝑝 : saya tidak lulus ujian ~ 𝑞 : beberapa keluarga tidak berbahagia ~ 𝑟 : saya tidak melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri ~ 𝑡 : saya tidak bekerja a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡 Jika saya tidak lulus ujian maka saya tidak bekerja. b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟 Beberapa keluarga tidak berbahagia jika dan hanya jika saya tidak melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri.

Kunci 5.2.3.4 1)

a) Konvers 𝑞 → 𝑝 : jika 5 merupakan bilangan prima, maka 2 + 4 > 5 invers ~𝑝 → ~𝑞: jika 2 + 4 ≤ 5, maka 5 bukan merupakan bilangan prima kontraposisi ~𝑞 → ~𝑝: jika 5 bukan merupakan bilangan prima, maka 2 + 4 ≤ 5. b) p = saya pergi ke dokter q = saya sakit Konvers 𝑞 → 𝑝 : jika saya sakit, maka saya pergi ke dokter. Invers ~𝑝 → ~𝑞: jika saya tidak pergi ke dokter, maka saya tidak sakit. Kontraposisi ~𝑞 → ~𝑝: jika saya tidak sakit, maka saya tidak pergi ke dokter. c) p = harga turun q = permintaan naik Konvers : Jika permintaan naik, maka harga turun. Invers : Jika harga tidak turun, maka permintaan tidak naik Kontraposisi : Jika permintaan tidak naik, maka harga tidak turun

2)

diketahui bahwa nilai kebenaran implikasi sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya. Sehingga pernyataan yang senilai dengan implikasi adalah kontraposisinya a.

jika ada pelajaran sekolah yang tidak dapat saya ikuti dengan baik, maka saya tidak rajin.


343

𝑏. ~ 𝑞 ∧ 𝑟 → ~ ~𝑝 atau (~𝑞 ∨ ~𝑟) → 𝑝 𝑐. ~ ~𝑟 → ~(𝑝 → 𝑞) atau 𝑟 → (𝑝 ∧ ~𝑞) 3)

Misalkan: x = siswa SMA p(x) = terpelajar Oleh karena itu, kalimat ”Setiap siswa SMA terpelajar” dapat ditulis dalam kalimat kuantor ∀𝑥, 𝑝 𝑥 . Negasi dari ∀𝑥, 𝑝 𝑥 adalah

∃𝑥 , ~𝑝 𝑥 . Berarti, negasi dari

”Setiap siswa SMA terpelajar” adalah ”Terdapat siswa SMA yang tidak terpelajar”.

Kunci 5.2.4.3 1.

Kesimpulan yang sah dari premis berikut a) 𝑃1 : Jika terjadi kecelakaan, maka jalan macet 𝑃2 : jika jalan macet, maka banyak yang terlambat ∴

: jika terjadi kecelakaan, maka banyak yang terlambat

b) 𝑃1 : jika harga barang naik, maka permintaan barang turun 𝑃2 : jika permintaan barang turun, maka produksi barang turun ∴

: jika harga barang naik, maka produksi barang turun

c) 𝑃1 : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 bilangan ganjil 𝑃2 : jika 𝑛2 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap ∴ : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap 2.

a) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝. 𝑝 B

𝑞 B

𝑝→𝑞 B

( 𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞 B

((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝 B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

S

S

S

B

S

B

Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝 bukan tautologi. Maka penarikan kesimpulan di atas tidak sah atau tidak valid. Modul Matematika SMA

344

b) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((~𝑝 → ~𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝. 𝑝

𝑞

~𝑝

~𝑞

B

B

S

S

B

B

((~𝑝 → ~𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝 B

B

S

S

B

B

S

B

S S

B S

B B

S B

S B

S S

B B

~𝑝 → ~𝑞

~𝑝 → ~𝑞 ∧ 𝑞

Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((~𝑝 → ~𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝 adalah tautology. Maka penarikan kesimpulan di atas sah atau valid. 3.

a) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝. (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 S

((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝 B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

B

S

𝑝 B

𝑞 B

~𝑞 S

B

S

B

S

B

S

S

𝑝→𝑞 B

Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝 bukan tautologi. Maka penarikan kesimpulan di atas tidak sah atau tidak valid. b) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) → ~𝑞. 𝑝

𝑞

~𝑞

B

B

S

B

B

((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) → ~𝑞 S

B

S

B

S

B

B

S

B

S

B

S

B

S

S

B

B

S

B

𝑝∨𝑞

((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝)

Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) → ~𝑞 bukan tautologi. Maka penarikan kesimpulan di atas tidak sah atau tidak valid.

Kunci 5.3.1 1.

Termasuk pernyataan


345

Untuk x + 2 = x – 2 : Karena untuk setiap nilai x , x + 2 = x – 2 bernilai salah , maka x + 2 = x– 2 merupakan pernyataan bernilai salah Untuk 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 : Karena untuk setiap nilai x , 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 bernilai benar, maka 2(x+ 1)+ 3 = 2x +5 merupakan pernyataan bernilai benar. 2.

Diketahui: 2 bilangan prima dan 2 + 3 sama dengan 5 Ditanya : negasi pernyataan ? Jawab : p : 2 bilangan prima q : 2 + 3 sama dengan 5 ∼ 𝑝 : 2 bukan bilangan prima ∼ 𝑞 ∶ 2 + 3 tidak sama dengan 5 ∼∧ ∶ ∨ Sehingga negasi pernyataannya menjadi, “2 bukan bilangan prima atau 2 + 3 tidak sama dengan 5”.

3.

Diketahui: 3 bilangan prima atau 5 bilangan genap Ditanya : nilai kebenaran ? Jawab : bilangan prima atau 5 bilangan gena B

∨

S

Disjungsi bernilai benar apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar. Jadi,”3 bilangan prima atau 5 bilangan genap” bernilai benar. 4.

Diketahui : 6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil Ditanya : nilai kebenaran ? Jawab : 6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil S

∧

B

Suatu konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar. Jadi, “6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil” bernilai salah. Modul Matematika SMA

346

5.

Diketahui : jika 2 + 3 = 5 , maka 4 + 5 = 7 Ditanya : nilai kebenaran ? Jawab : p:2+3=5(B) q:4+5=7(S) Implikasi bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai salah, dalam hal lain implikasi bernilai benar. Jadi, p → 𝑞 bernilai salah.

6.

Diketahui : 2+2=4↔3+4=8 Ditanya : nilai kebenaran ? Jawab : 2+2=4↔3+4=8 B

B

Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah). Jadi, 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 bernilai benar. 7.

8.

Tabel kebenaran dari ~ p → ~ q

~𝑝

~𝑞

~p→~q

p

Q

B

B

S

S

B

B

S

S

B

B

S

B

B

S

S

S

S

B

B

B

Diketahui : x ganjil ↔2x genap Ditanya : nilai kebenaran ? Jawab : p : x ganjil, berarti p = (1, 3, 5, ... ) q : 2x genap, berarti q = (2, 3, 10, ...) Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah). Karena p ≠ 𝑞, maka pernyataan p ↔ 𝑞 bernilai salah.


347

9. p

Q

q→𝑝

[p ∨ (𝑞 → 𝑝)]

∼[p ∨ (𝑞 → 𝑝)]

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

B

S

10. Diketahui : p bernilai benar, q bernilai benar, dan r bernilai salah. Ditanya : nilai kebenaran a. p ∨ 𝑞 → 𝑟 b. ~ 𝑝 ∨ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟] Jawab : a. p ∨ 𝑞 → 𝑟 ≡ B ∨ 𝐵 → 𝑆 ≡B∨S ≡B b. ~ 𝑝 ∨ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟

≡ 𝑆 ∨ 𝐵 ∨𝐵 ∧𝑆 ≡ 𝑆 ∨ ( B ∧ 𝑆) ≡𝑆 ∨𝑆 ≡𝑆

11. a) Konvers : Jika semua penduduk Indonesia pandai, maka biaya sekolah gratis Invers : Jika biaya sekolah tidak gratis, maka semua penduduk Indonesia tidak pandai. Kontraposisi : Jika semua penduduk Indonesia tidak pandai, maka biaya sekolah tidak gratis. b) Konvers : Jika Badu lulusan SMP, maka ia siswa SMA Invers : Jika Badu bukan siswa SMA, maka ia bukan lulusan SMP Kontraposisi : Jika Badu bukan lulusan SMP, maka ia bukan siswa SMA c) Konvers : Jika Carli lulus tes, maka ia siswa yang pandai Invers : Jika Carli siswa yang tidak pandai, maka ia tidak lulus tes Kontraposisi : Jika Carli tidak lulus tes, maka ia siswa yang tidak pandai. d) Konvers : Jika Ali seorang anggota DPR , maka ia seorang anggota MPR Modul Matematika SMA

348

Invers : Jika Ali bukan seorang anggota MPR, maka ia bukan seorang anggota DPR Kontraposisi : Jika Ali bukan seorang anggota DPR , maka ia bukan seorang anggota MPR 12. p = hari ini hujan q = saya tidak pergi r = saya nonton sepak bola premis 1 : p → q premis 2 : q → r

(modus silogisme)

Kesimpulan: p → r 13. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" seperti berikut: a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.

Kunci 6.2.2.4 1. a. Titik A,B b. Titik D,C,E,F,G,H 2. a. Titik D,C,G,H b. Titik A,B,E,F 3. a. Titik B,C b. Titik A,D,E,F,G,H c. Titik D,E d. Titik A,B,C,F,G,H e. Titik A,G f. Titik B,C,D,E,F,H 4. a. Titik K,L,M,N Modul Matematika SMA

349

b. Titik P,Q,R,S c. Titik K,L,Q,P d. Titik M,N,R,S e. Titik K,M,R,P f. Titik L,Q,S,N 5. a. Titik A,B,C,D b. Titik T c. Titik B dan C d. Titik A,C,dan D

Kunci 6.2.3.4 1.

G

H Q

F

E

R

D

A

C P B

Gambar 2.8 Jarak dari P ke Q adalah 2 14 cm 2.

a. Jarak titik A ke garis BC adalah AB = 5 cm b. Jarak titik A ke garis FG adalah AF = 5 2 cm 5

c. Jarak titik C ke garis FH adalah CO = 2 6 cm 5

1

d. Jarak titik P ke garis CD adalah PC = 2 = 2 2 cm e. Jarak titik P ke garis BF adalah PQ = CB = 5 cm 5

f. Jarak titik P ke garis BD adalah PR = 2 3 cm. 3.

Jarak B ke garis EG = 2 6 cm

4.

a. jarak titik A ke bidang DCGF adalah AB = 10 cm, sebab AB tegak lurus bidang BCGF.


350

b. jarak titik A ke bidang CDHG adalah AD = 8 cm, sebab AD tegak lurus bidang CDHG. c. jarak titik A ke bidang EFGH adalah AE = 6 cm, sebab AE tegak lurus bidang EFGH. 1

1

1

1

d. jarak titik O ke bidang ABFE adalah OP = 2 PQ = 2 (8) = 4 cm. e. jarak titik O ke bidang BCGF adalah OR = 2 SR = 2 (10) = 5 cm. f. jarak titik O ke bidang EFGH adalah OT = AE = 6 cm, sebab OT tegak lurus bidang EFGH. 5.

a. panjang AC = 5 cm b. jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD adalah TO = 6 cm.

Kunci 6.2.4.4 5 3 2

1.

Jarak antara titik V dan titik A adalah

cm.

2.

jarak antara garis AE dan garis CG yang sejajar sama dengan panjang diagonal bidang AC = 6 2 cm.

H

G

E

F D

C k

A

6 cm

B

Gambar 3.4 3.

Jarak antara garis AE dan bidang BCGF yang sejajar itu sama dengan panjang rusuk AB = 5 cm.

4.

Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH sama dengan panjang rusuk AE = 3 cm.

5.

Jarak antara garis AE dan garis GH yang bersilangan tegak lurus sama dengan panjang rusuk EH = 6 cm.

Kunci 6.3.1 1)

a. Titik yang berada pada garis DF adalah titik D dan F.


351

b. Titik yang berada di luar bidang BCHE adalah titik A, B, F dan G. c. Garis yang sejajar dengan CF adalah garis DE. 2)

a. Jarak titik H ke garis AC = 3 6 cm. b. Jarak titik B ke garis AG = 3 5 cm. c. Jarak garis AE dan CG = 6 2 cm. d. Jarak garis AB dan CDHG = 6 cm. e. Jarak bidang HFC dan DBE = 3 2 cm.

3)

Jarak titik C ke bidang AFH = 4 3 cm.

4)

Jarak antara titik T ke bidang ABCD = 16,45 cm.

5)

a. Jarak AE ke CG = AC = 10 3 cm. b. Jarak ABCD dan EFGH = AE = 10 cm.

6)

32

7)

1 2

2

8) b Tegak lurus a 9) Empat buah prisma segitiga sama sisi 10) ABEF dan DCGH

Kunci 6.2.5.4 1. 2. 3.

10 3 5 2

3 6

𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛

Kunci 7.2.2.4 1.

Jika data tersebut kita daftarkan tanpa menggunakan label barang maka kita dapat menggunakan tabulasi kolom, diperoleh tabel sebagai berikut: Data keuntungan barang/jasa koperasi sekolah Jenis Barang/Jasa Buku tulis Pensil Ballpoint Keping CD Tinta printer


Jumlah Keuntungan (Satuan Ribu Rupiah) 400 300 550 200 325 352

Makanan ringan Kertas hvs Kertas folio Minuman ringan dan air mineral Seragam sekolah Seragam olahraga Buku bacaan Majalah/komik Fotocopy Total

710 350 600 750 900 500 600 300 525 7010

Bagaimana jika data yang ada lebih banyak? Dengan bantuan pelabelan pada setiap jenis pada setiap jenis barang/jasa akan membantu dan lebih memudahkan kita dalam menyajikan data yang banyak serta dalam berbagai bentuk tabel, sehingga dengan data berlabel diperoleh dat berikut ini (satuan ribu rupiah) : Data keuntungan barang/jasa menggunakan label Jenis barang/jasa 1 2 3 4 5 6 7

keuntungan 400 300 550 200 325 710 350

Jenis barang/jasa 8 9 9 10 11 12 13 14

keuntungan 400 300 550 200 325 710 350 525

Dari penyajian tabel diatas oleh 5 jenis barang dengan keuntungan tertinggi, yakni: Data barang/jasa dengan keuntungan tertinggi No 1 2 3 4 5

Jenis barang/jasa Seragam sekolah Minuman ringan dan air mineral Makanan ringan Buku catatan Kertas folio


Jumlah keuntungan 900 750 710 600 600

353

2.

Kita akan membuat diagram garis terlebih dahulu, dengan cara yang sudah di pelajari

kurs uang kertas asing nilai tukar

9,200 9,100 9,000 8,900 8,800 05-Jul

06-Jul

07-Jul

08-Jul

09-Jul

10-Jul

Kurs jual Kurs beli Dari diagram di atas diperoleh data sebagai berikut: 

Harga kurs jual tertinggi Rp. 9.124 berada di tanggal 6 juli dan terendah Rp. 8.967 berada di tanggal 7 juli.



Harga kurs jual tertinggi Rp. 9.175 berada di tanggal 5 juli dan terendah Rp. 8.985 berada di tanggal 10 juli.

3.

Dari data di atas diperoleh data penjualan smartphone adalah 180 unit. 1)

Untuk menggambarkan diagram lingkaran biasanya digunakan dalam dua bentuk yakni bentuk derajat dan bentuk persentase. Dalam bentuk persentase kita menghitung lebih dahulu besar persentase tiap bagian data penjualan smartphone terhadap seluruh penjualan yakni 100%. Sama halnya dengan sudut pusat lingkaran terlebih dahulu menghitung tiap sudut lingkaran yaitu 360˚. Atau dihitung dengan menggunakan cara yang telah diajarkan diatas. Dengan pembulatan desimal maka besar persentase dan besar sudut lingkaran tiap bagian data penjualan smartphone adalah: Tipe Handphone

Banayak Penjualan

Tipe I

35

Tipe II

25


Persentase 35 × 100% = 19% 180 25 × 100% = 14% 180

Sudut Pusat Lingkaran 35 × 360° = 70° 180 35 × 360° = 50° 180

354

Tipe III

20

20 × 100% = 11% 180

35 × 360° = 40° 180

Tipe IV

40

40 × 100% = 22% 180

35 × 360° = 80° 180

Tipe V

10

10 × 100% = 6% 180

35 × 360° = 20° 180

Tipe IV

50

50 × 100% = 28% 180

35 × 360° = 100° 180

Dengan memperoleh besaran persentase tiap bagian pada data penjualan smartpone tersebut maka bentuk diagram lingkaran dalam bentuk persentase adalah sebagai berikut.

Banyaknya Penjualan Smartphone

Tipe I 19%

Tipe IV 28%

Tipe II 14%

Tipe V 6% Tipe IV 22%

Tipe III 11%

Untuk diagram lingkaran dengan besaran sudut kamu selesaikan sebagai latihan. Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran yang pada bagianbagian dari daerah lingkaran menunjukan juring atau persentase dari keseluruhan. 2)

dari data tersebut kita juga dapat menggambarkan diagram batang. Prinsip penyajian diagram batang relatif sama dengan diagram garis. Setelah menghubungkan variabel pengamatan dengan nilai pengamatan dapat dibentuk grafik batang dengan lebar


355

yang sama dan setinggi atau sejauh nilai data pengamatan. Dengan data penjualan smartphone di atas dapat disajikan diagram batang sebagai berikut.

banyak penjualan smarphone 60

50

50 40

40

35 25

30

20

20

10

10 0 Tipe 1

Tipe 2

Tipe 3

Tipe 4

Tipe 5

Tipe 6

= banyak penjualan

Kunci 7.2.3.3 1.

Yang pertama harus mengurutkan data terlebih dahulu 38, 48, 48, 49, 51, 56, 60, 61, 61 63, 63, 63, 65, 66, 67, 68, 70, 70, 70, 70, 71, 72, 72, 72, 73, 74, 74, 74, 81, 81, 81, 81, 82, 82, 82, 82, 83, 83, 83, 83, 84, 84, 84, 84, 85, 85, 86, 87, 88, 88, 88, 88, 88, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 92, 92, 92, 93, 93, 97, 97, 98, a)

Jangkauan Data = 98 – 38 = 60 banyak kelas = 1 + (3,3) × log 80 = 1 + (3,3) × (1,903) = 7,28 ≈ 7 Jadi 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval. 𝑗𝑎𝑛𝑔𝑎𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠

Panjang Kelas = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘

=

60 7

= 8,57 ≈ 9

Tabel Distribusi Frekuensi Kelas


Frekuensi

356

b)

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

Jumlah

80

Dengan data di atas kita dapat menggambar histogram sebagai berikut

data nilai siswa 30 25

frekuensi

25

22

20 15

12

10 5 5

8

7

1

0 38-46

47-55

56-64

65-73

74-82

83-91 92-100

kelas interval

Kunci 7.2.4.4 1.

𝑥=

6+8+9+7+10 5

=

40 5

=8

Jadi rata-rata nilai matematika Ani adalah 8. 2.

Dengan cara langsung


357

Nilai f 𝒇𝒊 𝒙𝒊

𝑥=

4 3 12

𝑛 𝑖=1 𝑓 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑓 𝑖

5 7 35

=

6 12 72

249 40

7 14 98

8 4 32

𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 =

40

𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 =249

= 6,225

Sehingga rata-rata data tersebut adalah 6,225 Dengan menggunakan rataan sementara (𝑥𝑠 = 7) Nilai (𝒙𝒊 )

4

5

6

7

8

𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙𝒔 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙𝒔 )

3 -3 -9

7 -2 -14

12 -1 -12

14 0 0

4 1 4

𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 =

40

𝑛

𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑠 ) = −31 𝑖=1

𝑛 𝑖=1 𝑓 𝑖 (𝑥 𝑖 −𝑥 𝑠 ) 𝑛 𝑖=1 𝑓 𝑖

Sehingga 𝑥 = 𝑥𝑠 + =7+

−31 40

= 7 −0,775 = 6,225 3.

6,8 =

𝑥 1 .𝑓1 +𝑥 2 .𝑓2 𝑓1 +𝑓2

6,8 =

7.30+𝑥 2 .5 30+5

6,8 .35 = 210 + 5. 𝑥2 238 = 210 + 5. 𝑥2 5. 𝑥2 = 238 − 210 5. 𝑥2 = 28

𝑥2 =

28 5

= 5,6

Jadi, rata-rata lima anak tersebut adalah 5,6. 4.

Data diurutkan menjadi: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9. Karena datanya sebanyak ganjil, maka mediannya adalah 𝑋9+1 = 𝑋5 = 7. 2

Data diurutkan menjadi: 3, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9. Karena datanya sebanyak genap, maka median =

𝑋 8 +𝑋 8 2

2

2

+1

=


𝑋4 +𝑋5 2

=

7+8 2

= 7,5

358

Kunci 7.2.5.3 1.

Karena data sudah URUT, maka tinggal mencari : 2, 2, 3 , 4 , 5, 6, 8 , 8  Q1 Q1 

2.

 Me

 Q3

23  2,5 2

Q3 

6 8 7 2

Data diurutkan terlebih dahulu: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 Kuartil bawah (𝑄1 ) = 𝑋1 12+1 4

= 𝑋13 4

= 𝑋3 + =5+

1 4

1 4

𝑋4 − 𝑋3

5−5

=5 Kuartil atas (𝑄3 ) = 𝑋3 12+1 4

= 𝑋39 4

3

= 𝑋9 + 4 𝑋10 − 𝑋9 =8+

1 4

8−8 =8

Kunci 7.2.6.3 1.

1

𝑛 𝑖=1 |𝑥𝑖 − 𝑥 | 10+10+9+8+8+7+7+6+6+5 10

SR = 𝑛 𝑥 =

76

= 10

= 7,6 𝑆𝑅 = =

2 10−7,6 + 9−7,6 +2 8−7,6 10

+

+ 2 7−7,6 +2 6−7,6 + 5−7,6 10

2 2,4 +1,4+2 0,4 +2 0,6 + 2 1,6 +2,6 10 14

= 10 = 1,4 Modul Matematika SMA

359

2.

𝑆𝑅1 = 2,29 𝑆𝑅2 = =

3.

2,29 ×10 + 10 10

22,9+10 10

𝑥−1=

=

32,9 = 10

3,29

20+𝑥 8

8𝑥 − 8 = 20 + 𝑥 7𝑥 = 28 𝑥=4 4.

𝑥=

3+6+ 6+ 2+ 6+ 2+1+ 1+ 5+ 3 10 𝑛 𝑖=1

S=

=

=

=

= 3,5

𝑥𝑖− 𝑥 2

𝑛 −1

3 6− 3,5 2 + 2 2− 3,5 2 +2 1− 3,5 2 + 2 3− 3,5 2 + 5− 3,5 2 10−1

3 2,5 2 + 2 −1,5 2 +2 − 2,5 2 + 2 −0,5 2 + 1,5 2 9

18,75+ 4,5+12,5+ 0,5+2,25 9

=

38,5 9

=

6,204 3

= 2,068

= 2,1

Kunci 7.3.1 1.

Berikut adalah penyataan dalam diagram garis


360

2.

10

Sudut SD = 180 × 100% = 5 % 30

Sudut SMP = 180 × 100 % = 16, 5% 21

Sudut SMA/SMK = 180 × 100% = 11,5 % 20

Sudut perguruan tinggi = 180 × 100% = 11%

DATA PELAJAR 5% 11%

sudut SMP 16.50%

11.50%

sudut SD

sudut SMA/SMK perguruan tinggi

3.

Dari data di atas dapat kita peroleh diagram batang sebagai berikut :


361

4.

Dari data di atas kita dapat kita buat histogram sebagai berikut:

banyak data 30

25

frekuensi

25 20

18

17

15

15

10

10 5 0 35 - 44

45 - 54

55 - 64

65 - 74

75 - 84

kelas interval

7 +5+8+6+7+8 +7+7 +7+9+5+8 +6+8 14

5.

Rata-rata =

6.

Median =

7.

Modus = 7

8.

Jangkauan = 9 – 5 = 4

9.

Mean =

7+7 2

=

98 14

=7

=7

5 + 6 + 9 + 6 + 5 + 8 + 6 + 9 + 6 + 10 10

=7

Median = 6 Modus = 6 10.

Mean =

6 +4 +5+8 +8+4+7+6 9

Median =

6+6 2

=6

=6

Modus = 6 4(52) + 6(57) + 8(62) + 10(67) + 8(72) + 4(77) 2.600 = 40 40

11.

Rata-rata =

12.

Mo = 64,5 +

13.

Kuartil atas = 4 x 40 = 30

2 2+2

= 65 kg

5 = 64,5 + 2,5 = 67

3

𝑄3 = 𝐿3 +

3 4

𝑓−𝑓𝐾3 𝑓𝑄 3


𝑖

362

3 .40−28 4

= 69,5 +

5

8

= 69,5 + 1,25 = 70,75 14.

𝐷4 = 𝐿4 +

15.

6=

4𝑥𝑛 −𝑓 𝑘 10

4𝑥40 −10 10

𝑥𝑐 = 59,5 +

𝑓

8

𝑥5 = 63,25

3 +7+5 +a +6 +4+6 +9+6 +4 10

a = 10 16.

38(5) + 43(x) + 48(10) + 53(8) + 58(4) = 27+𝑥

48

1.326 + 43 x = 48 ( 27 + x ) 1.326 + 43 x = 1.296 + 48 x 5x = 30 x=6 17.

Data setelah diurutkan: 5

6

7

7

8

𝑄1 6+7 2

10 + 12 2

18.

Kuartil atas =

19.

𝐷8 = 𝐿8 +

20.

Nilai rata-rata =

21.

Modus

22.

10

𝑄2

Kuartil bawah =

12

14

𝑄3

= 6,5 = 11

8𝑥𝑛 −𝑓 𝑘 10

𝑓

𝑥𝑐 = 55,5 +

8𝑥40 −28 10

8

𝑥5 = 58

6(22) + 10(27) + 2(32) + 5(37) + 4(42) + 3(47) 960 = 30 30

𝑑1 𝑑 1 +𝑑 2

Mo = 𝐿 +

9

𝑖 = 24,5 +

4 4+8

5 = 24,5 +

4 12

= 32

5 = 26,2

Media 𝑄2 = 𝐿2 +

𝑓−𝑓𝐾2 𝑓 𝑚𝑒𝑑

1 .30−6 2

= 24,5 + = 24,5 +

1 2

10

𝑖

5

9 .5 10

= 29 23. Kuartil atas


363

3 4

𝑄3 = 𝐿3 + = 34,5 +


3 .30−18 4

𝑖

5

5

= 34,5 + 4,5 = 39 24. Kuartil bawah 1 4

𝑄1 = 𝐿1 + = 24,5 +


1 .30−6 4

𝑖

5

10

= 24,5 + 0,75 = 25,25 25.

Simpangan kuartil 1

1

𝑄𝑑 = 2 (𝑄3 − 𝑄1 ) = 2 (39 − 25,25) = 6,875 26.

Rata-rata data tersebut adalah 7 sehingga diperoleh ragam S2, yaitu 1

S2 = 6

4−7

2

+ 8−7

2

+ 5−7

2

+ 9−7

2

+ 10 − 7

2

+ 6−7

2

1

= 6 (9 + 1 + 4 + 4 + 9 + 1) = 4,67 S = 4,67 = 2,16 27.

5(4) + 6(8) + 7(5) + 8(M) + 9(2) 19 +𝑀

=7

121 + 8 M = 7 ( 19 + M) 121 + 8 M = 133 + 7M M = 12 28.

x + (x + 2) + (x + 7) = 3

24

3x + 9 = 24 . 3 3x = 72 – 9 x = 21 29.

10(7.000) + 8(6.000) + 12(10.000) + 11(8.000) + 9(5.000) 50

30.

𝑥=

=

371 = 50

7.420

𝑥 1 .𝑓1 +𝑥 2 .𝑓2 𝑓1 +𝑓2


364

7,5 =

7,8.20+𝑥 2 .12 20+12

7,5 =

156+𝑥 2 .12 32

240 = 156 + 𝑥2 . 12 12 𝑥2 = 84 𝑥2 = 7 31.

𝑥=

𝑥 1 .𝑓1 +𝑥 2 .𝑓2 𝑓1 +𝑓2

6,6 =

6,5.𝑓1 +9 .1 𝑓1 +1

6,6 𝑓1 + 6,6 = 6,5. 𝑓1 + 9 . 1 0,1 𝑓1 = 2,5 𝑓1 = 25 32.

Rata-rata = 𝑥 =

4(2) + 5(5) + 6(8) + 7(11) + 8(4) 30

=

8 + 25 + 48 + 77 + 32 190 = 30 30

= 6,3

Siswa dinyatakan lulus ujian matematika jika nilainya lebih besar dari 6,3. Jadi, jumlah siswa yang lulus adalah 11 + 4 = 15 siswa 33.

Nilai total kelompok = 50 x 64 = 3.200 Nilai rata-rata 49 siswa =

34.

3.200−88,5 = 49

63,5

Misal: Jumlah siswa laki-laki = a Jumlah siswa perempuan = b 65𝑎+54𝑏 𝑎+𝑏

= 58

65a + 54 b = 58a + 58b 7a = 4b b:a=7:4

Kunci 8.2.1.3 i.

1. x + y – 9 = 0 Bukan persamaan lingkaran karena x dan y berpangkat 1

ii.

x2 + y2 – 2x + 5y + 4xy - 4 = 0 bukan persamaan lingkaran karena memuat suku 4xy

iii.

x2 + 9y2 + 6x - 8y = 25 bukan persamaan lingkaran karena koefisien x2 tidak sama dengan koefisien y2

iv.

x2 + y2 - 6x + 5y – 9 = 0


365

Merupakan Persamaan Lingkaran

Kunci 8.2.2.3 Persamaan lingkaran adalah 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 Melalui (3 ,-1) maka : 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 3² + −1 ² + 𝑎. 3 + 𝑏. −1 + 𝑐 = 0 9 + 1 + 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 … … (1) Melalui (5, 3) , maka : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 5² + 3² + 𝑎. 5 + 𝑏. 3 + 𝑐 = 0 25 + 9 + 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 … … (2) Melalui (6, 2) , maka : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 6² + 2² + 𝑎. 6 + 𝑏. 2 + 𝑐 = 0 36 + 4 + 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0 … … (3) Dari persamaan (1) dan (2) : 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 Modul Matematika SMA

366

5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 −2𝑎 + −4𝑏 + 0 − 24 = 0 𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0 … … (4) Dari persamaan (2) dan (3) : 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0 −𝑎 + 𝑏 − 6 = 0 𝑎 − 𝑏 + 6 = 0 … … (5) Dari persamaan (4) dan (5) : 𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0 𝑎−𝑏+6=0 3𝑏 + 6 = 0 𝑏 = −2 b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (5) : 𝑎−𝑏+6=0 𝑎+2+6=0 𝑎+8=0 𝑎 = −8 a = - 8 ,b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (1): 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 3(−8) − (−2) + 𝑐 + 10 = 0 −24 + 2 + 𝑐 + 10 = 0 𝑐 = 12 Modul Matematika SMA

367

Jadi persamaan lingkaran adalah : 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0

Maka diperoleh : 2𝐴 = −8

2𝐵 = −2

𝐴 = −4

𝐵 = −1

𝑟

𝐶 = 12

= 𝐴² + 𝐵² − 𝐶 =

−4 ² + −1 ² − 12

= 16 + 1 − 12 = 5 Jadi, pusat −𝐴, −𝐵 = (4,1) dan jari-jari 𝑟 = 5 Kunci 8.2.3.3

1.

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan

a. panjang jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9 b. panjang jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25 2.

Pusat (4, 5) dan menyinggung sumbu X ⟶ jari-jari lingkaran 5 Persamaan lingkaran : 𝑥 − 4 ² + 𝑦 − 5 ² = 5²

𝑥² − 8𝑥 + 16 + 𝑦² − 10𝑦 + 25 = 25 𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 − 10𝑦 + 41 = 25 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 10𝑦 + 16 = 0 3.

pusatnya (5, 2) dan melalui (-4,1)

r= = Modul Matematika SMA

5 − −4 ² + (2 − 1)² 5 + 4 ² + (2 − 1)² 368

=

9² + 1² = 81 + 1 = 82

Persamaan lingkaran : 𝑥 − 5 ² + 𝑦 − 2 ² = ( 82)²

𝑥² − 10𝑥 + 25 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 82 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 29 = 82 𝑥² + 𝑦² − 10𝑥 − 4𝑦 − 53 = 0 4.

Dari persamaan 2𝑥² + 2𝑦² − 4𝑥 + 3𝑦 = 0 1

𝑥² + 𝑦² − 2𝑥 + 1 2 𝑦 = 0 𝑥² + 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Maka diperoleh : 2𝐴 = −2

2𝐵 = 1

𝐴 = −1

𝐵=

𝑟=

𝐴² + 𝐵² − 𝐶 =

1 2

𝐶=0

3 4

−1 ² +

3 4

²−0 =

1+

9 16

25 16

=

3

=

5 4

5

Jadi pusat lingkaran 1, − 4 , dan jari-jari lingkaran = 4 Kunci 8.2.4.3

1.

𝐶 5, −6 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 52 + −6 = 25 + 36 = 61 > 25 Jadi titik C(5, -6) terletak di luar lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²

2.

𝐶 3, −2 ⟹ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 3² + (−2)² − 6.3 + 8(−2)

= 9 + 4 − 18 − 16 = −21 < 0 Jadi titik 𝐶 3, −2 terletak pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0

3.

–x + y = 3 ..............................(1)

x2 + y2 = 5........................(2) Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh: Modul Matematika SMA

369

x2 + y2 = 5 ⇔ x2 + (3 + x)2 = 5 ⇔ x2 + 9 + 6x + x2 = 5 ⇔ 2x2 + 6x + 4 = 0 ⇔ x2 + 3x + 2 = 0 Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah x2 + 3x + 2 dengan nilai diksriminan 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 3

2

−4 1 2 =9−8=1

Kunci 8.2.5.3 1.

Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 5 adalah x2 + y2 = 25 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (0,4) adalah 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 𝑟 2 ⟺ 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 25 ⟺ 𝑥 0 + 𝑦 4 = 25 ⟺ 4𝑦 − 25 = 0 Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjarijari 5 adalah 4y – 25 = 0

2.

Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² = 4 yang melalui titik (2, 3)

𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟 2 ⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 4 ⟺ 𝑥−1 + 2−1 + 𝑦−2 3−2 =4 ⟺ 𝑥−1 1+ 𝑦−2 1= 4 ⟺ 𝑥−1+𝑦−2 =4 ⟺𝑥+𝑦 =7 Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 adalah x + y =7


370

Kunci 8.3.1 1.

x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 A = 4, B = -6, C = -12 1

1

Pusat = (-2 𝐴, -2 𝐵) = (-2, 3) 1

1

r = − 2 𝐴2 + − 2 𝐵 2 − 𝐶 = 4 + 9 − (−12) = 25 =5 2.

x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1,7) (1)2 + (7)2 + 4(1) + b(7) – 12 = 0 7b = -42 b = -6 untuk b = -6 => x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 A = 4, B = -6 1 2

1 2

Pusat = (- 𝐴, - 𝐵) = (-2,3) 3.

2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melalui (-2, 1) 2(-2)2 + 2(1)2 – 4(-2) + 3p(1) – 30 = 0 3p = 12 P=4

Persamaan lingkaran menjadi: 2x2 + 2y2 – 4x + 12py – 30 = 0 melalui (-2, 1) (dibagi 2) x2 + y2 – 2x + 6py – 15 = 0 ∴ pusat (1,-3) dan r1 = 1 + 9 − (−15) = 5

Persamaan lingkaran baru dengan pusat (1,-3) dan r = 2r1 = 10 adalah (x – a)2 + (y - b)2 = r2 (x – 1)2 + (y - 3)2 = 102 x2 + y2 – 2x + 6y – 90 = 0 4.

a Pusat (-2, 3), r =5


371

Persamaan lingkaran : 𝑥 − −2 ² + 𝑦 − 3 ² = 5²

𝑥 + 2 ² + 𝑦 − 3 ² = 25 𝑥² + 4𝑥 + 4 + 𝑦² − 6𝑦 + 9 = 25 𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 + 13

= 25

𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 − 12

= 25

b. Pusat (5, 2) dan melalui (-4, 1)

r= = =

5 − −4 ² + (2 − 1)² 5 + 4 ² + (2 − 1)² 9² + 1² = 81 + 1 = 82

Persamaan lingkaran : 𝑥 − 5 ² + 𝑦 − 2 ² = ( 82)² 𝑥² − 10𝑥 + 25 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 82 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 29 = 82 𝑥² + 𝑦² − 10𝑥 − 4𝑦 − 53 = 0 5.

Pusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4) Karena melalui titik A(3, 4) maka nilai r2 ditentukan dari x2 + y2 = r2 diperoleh nilai r2 = 32 + 42  r2 = 25. Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25.

6.

berpusat di P(4, 3) dan r = 6 maka diperoleh a = 4 dan b = 3 Persamaan 2 2 2 Lingkaran : ( x  a)  ( y  b)  r

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 62 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 36 7.

Subtitusi (1, 7) ke lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 diperoleh :

12 + 72 + 4.1 + b.7 – 12 Modul Matematika SMA

=0 372

7b

= – 42  b = – 6

A B Pusat :   ,  = (– 2, 3)  2 2 8.

Lingkaran : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 diperoleh A = – 6, B = 8 dan C = – 24 A B Pusat:   ,  = (3, – 4)  2 2 2

Jari – jari

r 9.

2

 A  B  =       C  2  2

= 32  (4) 2  (24)

Titik A(1, 2) dan L



Subtitusi A(1, 2) ke L

x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0



x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0

diperoleh 12 + 22 + 6.1 – 2.2 + 3 = 10 > 0. Jadi titik A(1, 2) terletak di luar Lingkaran 10.



x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0.

Mula-mula kita harus mengetahui posisi titik A terhadap lingkaran L dengan cara mensubtitusi titik A(6, 8) ke L



x2 + y2 = 49, diperoleh:

A(6, 8)  x2 + y2 = 49

 62 + 82 = 100 > 49 jadi titik A berada diluar lingkaran. Jarak terdekat = AP – r =

(6  0) 2  (8  0) 2 – 7 = 3

Jadi jarak terpendek titik A ke lingkaran L adalah 3 satuan panjang. 11.

Subtitusi garis y = 3x + 2 ke L



x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0, diperoleh:



x2 + (3x + 2)2 + 4x – (3x + 2) + 1 = 0



10x2 + 13x + 3 = 0,

sehingga nila a = 10, b = 13 dan c = 3 Nilai D = b2 – 4ac = 169 – 4.10.3 = 49 > 0 Karena diperoleh D > 0 maka garis y = 3x + 2 memotong ligkaran L di dua titik yang berlainan. 12.

Persamaan garis singgung lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di titik B(0, 9) berarti


373

x1 = 0 PGS

y1 = 9, a = - 3



r2 = 58

b=2

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

 (0 + 3)(x + 3) + (9 – 2)(y – 2) = 58

 3x + 7y – 63 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya adalah 3x + 7y – 63 = 0. 13.

L



(x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0, berarti

a = – 2,

b=1

r=2

Gradien garis 3x + 4y – 1 = 0 adalah m1 =  = m2. Jadi m2 =  PGS



4 . Syarat dua garis sejajar m1 3

4 . 3

y  b  m( x  a)  r 1  m 2

4  y – 1 =  (x + 2)  2 3 4 y – 1 =  (x + 2)  2 3

1

16 9

25 9

4 10 y – 1 =  (x + 2)  3 3

3y – 3 = – 4x – 8  10 4x + 3y = 3 – 8 + 10 atau 4x + 3y = 3 – 8 – 10 4x + 3y = 5 atau 4x + 3y = – 15 Jadi persamaan garis singgungnya adalah 4x + 3y – 5 = 0 atau 4x + 3y + 15 = 0. 14.

L



x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 5

Dari L



x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 , diperoleh

A=–2 B=6

C=5

Pusat lingkaran = (1, -3) dan r = Dari x + 2y = 5 diperoleh m1 = 


1 9  5 =

5

1 , karena tegak lurus maka 2 374

m1. m2 = – 1, diperoleh m2 = 2

PGS



y  b  m( x  a)  r 1  m 2

y + 3 = 2(x – 1) 

5 1 2 2

y + 3 = 2x – 2  5 2x – y – 5  5 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2x – y = 0 atau 2x – y – 10 = 0 Kunci 9.2.2.5 1.

14𝑏 − 25𝑏 5 − 20𝑏 3 + 3𝑏 2

−25𝑏 5 − 20𝑏 3 +3𝑏 2 + 14𝑏(berderajat 5) Koefisien 𝑏 5 = - 25 Koefisien 𝑏 3 = - 20 Koefisien 𝑏 2 = 3 Koefisien 𝑏= 14 2.

a. (9𝑦 2 − 9) + (8𝑦 + 7𝑦 2 − 5) = 9𝑦 2 + 7𝑦 2 + 8𝑦 − 9 − 5 = 16𝑦 2 + 8𝑦 − 14 b. (2𝑦 2 + 9) − (3𝑦 2 − 7) = 2𝑦 2 − 3𝑦 2 + 9 + 7 = −𝑦 2 + 16

3.

a. Bukan suku banyak b. 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 + 2) = 𝑥 3 + 𝑥 − 2 (suku banyak)

4.

a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 2𝑥 − 5 𝑓 3

=2 3

3

−9 3

2

+2 3 −5

= 2.27 − 9.9 + 6 − 5 Modul Matematika SMA

375

= 54 − 81 + 6 − 5 = −26 b. 𝑓 𝑥 = 8𝑥 3 − 6𝑥 + 3 1 2

𝑓

= 8𝑥 3 − 6𝑥 + 3 1 2

= 8( )3 − 6 1

1 2

+3

1

= 8. 8 − 6. 2 + 3 =1−3+3 =1

5.

a. 4

1

1

-5

3

-4

4

-4

18 +

-1

-1

-8= f(4)

0

-3

7

-8

16

-8

13

Jadi nilai f(4)= -8 b. -2

4

4

-26+ -19=f(-2)

Jadi nilai f(-2)=-19 6.

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = (2𝑥 4 − 𝑥 3 + 7𝑥 − 1) + (𝑥 4 − 7𝑥 3 − 𝑥 + 2) = 3𝑥 4 − 8𝑥 3 + 6𝑥 + 1dan berderajat 4.

7.

𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = (2𝑥 3 − 𝑥 2 + 1). (𝑥 4 + 2𝑥 3 + 𝑥 2 ) = 2𝑥 7 + 3𝑥 6 + 2𝑥 3 + 𝑥 2

8.

𝑥 2 + 4𝑥 − 1 ≡ 〱 + 1 𝑥 + 2 + 3𝑝 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 ≡ 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 + 3𝑝 Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak diperoleh: 𝑥 = 3 + 3𝑝 3𝑝 = 𝑥 − 3 𝑝=

9.

-3

𝑥−3 3

1

4


-3

1 376

1

-3

-3

18+

1

-6

19

Hasil baginya adalah (𝑥 2 + 𝑥 − 6) sisanya adalah 19. 10.

3 2

6

6 Hasil bagi

𝑕(𝑥) 𝑎

=

1

-8

9

15

10

7

6𝑥+10 2

+

= 3𝑥 + 5.

sisa = f(k) = 7 Jadi, 6𝑥 2 + 𝑥 − 8 = 3𝑥 + 5 2𝑥 − 3 + 7

Kunci 9.2.3.4 1.

Jika f(x) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 3𝑥 − 7 dibagi (x – 3) (x + 1), f(3) = 34 − 2.33 − 3.3 − 7 = 11 f(-1) = −14 − 2 −1

3

− 3(−1) − 7 = -1

f(3) = 3p + q = 11 f(-1) = -p + q = -14p

= 12

P

=3

Untuk p = 3, maka : 3 (3) + q = 11 q=2 jadi, S(x) = px + q = 3x + 2 2.

P(x)=𝑥 4 + 5𝑥 3 + 9𝑥 2 + 13𝑥 + 𝑎 dibagi dengan (x + 3) bersisa 2.

x=-3

1

1

5

9

13

a

-3

-6

-9

-12 +

2

3

4

a-12 = 2 a = 14

jadi diperoleh a = 14 p(x) = 𝑥 4 + 5𝑥 3 + 9𝑥 2 + 13𝑥 + 14 dibagi (x + 1)


377

x= -1

1

1

5

9

13

14

-1

-4

-5

-8 +

4

5

8

6 = f(-1)

Jadi, jika p(x) dibagi (x + 1) sisanya adalah 6. 3.

f(x) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 − 6 dibagi 𝑥 2 − 𝑥 − 2

𝑥 2 − 2𝑥 − 5 𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥 4 − 3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 − 6 𝑥 4 − 𝑥 3 − 2𝑥 2

+

−2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 − 6 −2𝑥 2 + 2𝑥 2 + 4𝑥 −5𝑥 2 − 3𝑥 − 6 −5𝑥 2 + 5𝑥 + 10

-

-8x – 16 (sisanya) 4.

Pembahasan: f(x)= 3𝑥 3 − 13𝑥 2 + 8𝑥 + 12, suku tetapnya adalah 𝑎0 = 12. Nilai-nilai faktor k yang mungkin adalah faktor bulat dari𝑎0 = 12. Yaitu: ±1, ±2, 3±, 4±, 6±, ± 12. 

Untuk

k= 1,diperoleh

f(x) = 3.13 − 13.12 + 8.1 + 12 = 3– 13 +8 +12 = 10 Jadi, (x - 1) bukan faktor dari f(x) 

Untuk

k = -1,

f(x) = 3. −13 − 13. −12 + 8. −1 + 12 = -3 – 13 – 8 + 12 = - 12 Modul Matematika SMA

378

Jadi, (x + 1) faktor dari f (x). 

Untuk k = 2 f() = 3.23 − 13.22 + 8.2 + 12 = 24 – 52 + 16 + 12 =0

Jadi, (x - 2) faktor dari f(x). 5.

Pembahasan. fx) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = 0 factor dari 6 yaitu : ±1, ±2, 3±, 6±. Dengan cara mencoba-coba diperoleh f(x) = 0 untuk x = -1.

X= -1

1

1

-4

1

6

-1

5

-6

-5

6

+

0 = f(-1)

h(x) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 bentuk𝑥 2 − 5𝑥 + 6 dapat difaktorkan menjadi (x – 2 )(x – 3 ). Sehingga bentuk persamaannya: 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = 0 (x + 1 )(𝑥 2 − 5𝑥 + 6) = 0 (x + 1 )(x – 2 )(x – 3 )= 0 x = -1 atau x= 2 atau x = 3 jadi HP = {-1, 2, 3}. 6.

Pembahasan Jika f(2) = 0 maka (x – 2 ) merupakan factor dari suku banyak f(x) = 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 19𝑥 + 6

2

3

3

2

-19

6

6

16

-6

-3

0

8

+

Ternyata f(2) = 0, maka (x – 2 ) merupakan factor dari 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 19𝑥 + 6 sehingga 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 19𝑥 + 6 =(3𝑥 2 + 8𝑥 − 3)(x–2)

=

(3x – 1 )(x + 3 )(x – 2 ) Modul Matematika SMA

379

Jadi, (3x – 1 ), (x + 3 ), (x – 2 ), dan perkalian antar factor (asal derajat tak lebih dari tiga) merupakan factor-faktor dari 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 19𝑥 + 6. 7.

Pembahasan: (a= 2, b = -6, c= -8 dan d = 20) 𝑏 𝑎

a)

x1 + x2 +x3 = −

b)

x1x2 + x1x3 + x2x3 =

c)

x1 . x2. x3 = −

𝑑 𝑎

=− 𝑐 𝑎

=−

−6 2

= −20 2

=3

−8 2

=-4

= 10

Kunci 9.3.1 1)

a. 𝑥 2 − 3𝑥 + 5 − 𝑥 3 = −𝑥 3 + −𝑥 2 − 3𝑥 + 5

2)

(3𝑥 2 + 1)2 + 𝑥(2𝑥 − 3) = 3𝑥 2 + 1 3𝑥 2 + 1 + (2𝑥 2 − 3𝑥) = (9𝑥 4 + 3𝑥 2 + 3𝑥 2 + 1) + (2𝑥 2 − 3𝑥) = 9𝑥 4 + 8𝑥 2 − 3𝑥 + 1f = Koefisien x4 = 9 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 8𝑥 − 3

3)

𝑓 −3 = (−3)3 − 8 −3 − 3 = −27 + 24 − 3 =6 Jadi f(-3) = 6 4𝑥 2 − 6𝑥 + 2

4)

1

= 4(2)2 − 6

1 2

+2

=1−3+2 =0 5)

-5 2

8 -10

2

-2

-1

-19

10

-45

320

9

-64

328= f(-5)


8 +

380

6)

𝑓

1 2

= 16𝑥 3 − 4𝑥 + 6, 1

= 16(2)3 − 4 = 16

1 8

1 2

+6

−2+6

= 2−2+6 =6 7)

Misalkan menggunakan x = 2

2

1

1 8)

2

-8

2

8

4

0 = f(2)

+

a.𝑓 −2 = 3(−2)2 + 5(−2)2 − 𝑎 −2 + 8 26 = 12 + 20 + 2𝑎 + 8 26 = 40 + 2𝑎 26 − 40 = 2𝑎 −14 = 2𝑎 −7 = 𝑎 b. 𝑓 1 = 13 − 𝑎(1)2 + 𝑏 1 − 9 −6 = 1 − 𝑎 + 𝑏 − 9 𝑎−𝑏 =1+6−9 𝑎 − 𝑏 = −2....................(1) 𝑓 3 = 33 − 𝑎(3)2 + 𝑏 3 − 9 6 = 27 − 9𝑎 + 3𝑏 − 9 9𝑎 − 3𝑏 = 27 − 9 − 6 9𝑎 − 3𝑏 = 12...............(2)

Dari persamaan 1 dan 2 kita eliminasi. 𝑎 − 𝑏 = −2

x3

3𝑎 − 3𝑏 = −6

9𝑎 − 3𝑏 = 12

x1

9𝑎 − 3𝑏 = 12 −6𝑎 = -18 𝑎


=3 381

3 − 𝑏 = −2 3+2=𝑏 𝑏=5 (𝑎 − 𝑏)2 = (3 − 5)2 =4 9) -2

3

3

7

a

-6

-6

-2

4 - 2a

1

-2+a

-2-2a= 16

+

-2 – 2a = 16 -2a = 18 a=−

18 2

=9

Jadi, a = 9 10)

3 2

3 2

2

1

4

4

3

6

15

2

4

10

19

2

3

-5

p

3

9

6

6

4

p + 6 = 19

2

+

+

6 + p = 19 p = 19-6 p=3 Jadi, p = 3


382

11)

(x – 2 ) = (x- (-2) ), sisa adlah s = f(-2) Cara subtitusi: f(-2) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 7

= (−2)3 − 2 −2 + 7 = -8 +4+7 =3 Jadi, sisanya adalah 3 f(x) = 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3 dibagi oleh (2x – 3 )

12)

3 2

2x – 3 = 2 (x - ) 3 2

4

4

-2

0

3

6

6

9

4

6

12

+

Jadi sisanya adalah 12. 3

Jika f(x) = 6𝑥 3 + 7𝑥 2 + 𝑝𝑥 − 24habis dibagi (2x – 3 ) maka f(2 ) = 0.

13) 3 2

6

6

7

p

-24

9

24

(36 +2 𝑝)+

15

24 +p

3

3 2

𝑝 + 12 = 0 P = -8

Jadi, nilai p adalah -8. 14)

Pembagi (𝑥 2 − 2𝑥 − 8). = (x + 2 )(x – 4 ) Misalkan s(x) = px + a Untuk x = -2, maka f(-2) = -2p + q = 14 Untuk x = 4, maka f(4) = 4p +q +-4 Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh: -2p + q = 14 4p +q = -4 -6 + 0 = 18


383

-6p

= 18 p = -3

untuk p = -3, maka 4p + q = -4 4(-3)+ q = -4 q

=8

jadi, sisanya adalah px + q = -3x + 8 (2𝑥 4 − 9𝑥 3 + 5𝑥 2 + 𝑘𝑥 − 4) mempunyai factor (x – 4 ), maka f(4)= 0

15)

4

2

2

-9

5

k

-4

8

-4

4

4(k + 4) -4 +

-1

1 (k + 4) 4 (k + 4) – 4

Agar f(4) = 0 maka 4(k + 4) – 4 = 0 4k + 16 – 4 = 0 4k + 12

=0 K = -3

Jadi nilai k = -3


384

Modul Matematika SMA i

Recommend Documents