MODUL MATEMATIKA I
Hikmayanti Huwaida, S.Si NIP. 19700824 199802 2 001
KEMENTRIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN POLITEKNIK NEGERI BANJARMASIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA BANJARMASIN 2014
BAB I MATRIKS
1.1. Tujuan Instruksional Umum Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat menyelesaikan
operasi
matriks,
menentukan
nilai
determinan
matriks,
menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.
1.2. Tujuan Instruksional Khusus Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan mahasiswa akan dapat: 1. Menyebutkan pengertian matriks dengan benar. 2. Menyelesaikan operasi penjumlahan pada matriks dengan benar. 3. Menyelesaikan operasi pengurangan pada matriks dengan benar. 4. Menyelesaikan operasi perkalian scalar dengan matriks dengan benar. 5. Menyelesaikan operasi perkalian matriks dengan matriks dengan benar. 6. Menjelaskan aturan ilmu hitung matriks dengan benar. 7. Menjelaskan jenis-jenis matriks dengan benar.
1
1.3. Pengertian Matriks. Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks. Jika matrik mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n. Matriks ditulis dalam bentuk
()
atau
[]
dan bentuk lain
. Matriks
biasa ditulis dengan huruf besar, misalnya A,B dan seterusnya, dan elemen– elemennya dengan huruf kecil, misalnya a, b dan seterusnya. Bentuk umum matriks: a11 a 21 . A = . . a m1
a12 a 22
am2
... a1n ... a 2 n ... a mn
atau
[ ]
A = aij
i = 1,2, … m j= 1, 2, …., n a ij disebut elemen yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j.
1.4.
Operasi Matriks.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks. Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila
[ ]
[ ]
keduanya berorde sama. Jumlah atau selisih dua matriks A = aij dan B = bij
2
[ ]
adalah sebuah matriks baru C = cij yang beorde sama, yang unsur–unsurnya merupakan jumlah atau selisih unsur–unsur A dan B. A ± B = C dimana cij = aij ± bij
Contoh: 5 − 1 5 − 1
2 3 2 + 4 2 4 2 3 2 − 4 2 4
3 1 7 5 4 = 1 3 3 5 5 3 1 3 − 1 2 = 1 3 − 5 3 − 1
Contoh: Tinjaulah matriks–matriks: 0 3 2 1 3 2 1 0 2 1 A = 5 2 1 2, B = − 4 0 − 1 − 2, C = 5 0 5 3 2 5 3 2 4 4
Maka,
0 3 2 1 0 3 2 1 A + B = 5 2 1 2 + − 4 0 − 1 − 2 5 3 2 4 5 3 2 4 6 4 2 0 = 1 2 0 0 10 6 4 8 Sedangkan A+C dan B+C tidak didefinisikan. Karena penjumlahan antar bilangan bersifat komutatif dan asosiatif, padahal matriks adalah kumpulan
bilangan, maka untuk penjumlahan
matriks berlaku pula kaidah kaidah komutatif dan kaidah asosiatif. Kaidah komutatif
: A+B=B+A
Kaidah asosiatif
:A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C.
3
antar
2. Perkalian Matriks dengan skalar.
[ ]
Hasil kali sebuah matriks A = aij dengan suatu skalar atau bilangan nyata λ
[ ]
Adalah sebuah matriks baru B = bij yang berorde sama dan unsur–unsur λ kali
(
unsur–unsur matriks semula bij = λaij
)
dimana bij = λaij
λA = B Contoh: a A = 11 a21
a13 2 1 2 = λ =3 a23 3 − 1 4
a12 a22
maka:
2 1 2 6 3 6 = 3 − 1 4 9 − 3 12
λA = 3 A = B = 3. Contoh: Jika A adalah matriks,
2 2 A = − 1 3 5
4 3 0 1 2
Maka
2 2 2. A = 2.− 1 3 5
4 4 3 4 0 = − 2 1 6 2 10
8 6 0 dan 2 4
4
2 2 (−1). A = −.− 1 3 5
4 − 2 − 4 3 − 2 − 3 0 0 = 1 1 − 3 − 1 2 − 5 − 2
Jika B adalah sebarang matriks, maka-B akan menyatakan hasil kali (- 1).B. Jika A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B didefinisikan sebagai jumlah A+ (- B) =A +(–1).B. Contoh: Tinjaulah matriks–matriks 1 2 4 3 0 3 3 5 −1 2 A = − 1 2 − 2 5 3 dan B = − 1 2 2 − 4 0 0 − 4 2 3 − 5 0 1 − 2 0 2
Dari definisi di atas maka − 5 1 − 2 0 − 3 − B = 1 − 2 − 2 4 0 0 − 1 2 0 − 2
Dan
1 2 4 3 − 5 1 − 2 0 − 3 3 A − B = − 1 2 − 2 5 3 + 1 − 2 − 2 4 0 0 − 4 2 3 − 5 0 − 1 2 0 − 2 0 4 0 − 2 2 = 0 0 − 4 9 3 0 − 5 4 3 − 7 Perhatikan bahwa A-B dapat diperoleh secara langsung dengan entri B dari entri A yang bersangkutan.
3. Perkalian antar matriks. Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom
dari matriks
yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua matriks A mxn
dengan B nxp adalah sebuah matriks baru C mxp , yang unsure-
5
unsurnya merupakan perkalian silang unsur - unsur baris matriks A dengan unsur–unsur kolom matriks B. A mxn
X B nxp = C mxp
Contoh: Misalkan A adalah matriks 3 x 4, B adalah matriks 4 x 7, dan C adalah matriks 7x3. Maka AB didefinisikan sebagai matriks 3 x 7, CA didefinisikan sebagai matriks 7x4, BC didefinisikan sebagai matriks 4 x 3. Hasil kali AC, CB, dan BA semuanya tidak didefinisikan.
Contoh: Misalkan A adalah matriks m x r yang umum dan B adalah matriks r x n yang umum, maka seperti yang disarankan, entri dalam baris i dan kolom j dari AB, a11 a 21 A.B = ai1 a m1
a12 a 22 ai 2 am2
a1r a 2 r b11 b21 . air br1 a mr
b12 b1 j b22 b2 j br 2 brj
b1n b2 n brn
Perkalian matriks mempunyai penerapan penting terhadap system persamaan linier. Tinjaulah suatu system persamaan persamaan linier dalam n bilangan tak deketahui. a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = b2 a m1 x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = bn
6
yang terdiri dari m
karena dua matriks dinyatakan sama jika dan hanya jika entri-entri yang bersesuaian sama, maka kita dapat menggantikan persamaan m dalam sistem ini dengan persamaan matriks tunggal a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n b1 a x + a x + + a x b 22 2 2n n 2 21 1 . a m1 x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n bm
Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat dituliskan sebagai hasil kali yang memberikan a11 a 21 a m1
a12 a 22 am2
a1n x1 b1 a 2 n x 2 b2 = . . a mn x n bm
Jika kita matriks–matriks ini berturut-turut dengan A, X, dan B maka m persamaan asli dalam n bilangan tak diketahui telah digantikan oleh persamaan tunggal AX = B Contoh: 3 5 2 − 3 5 dan B3×2 = 6 − 7 A2 x 3 = 8 2 4 2 9 c12 c maka A2 x 3 × B3×2 = C 2×2 = 11 c 21 c 22
c11 = a11b11 + a12 b21 + a13 b31 = 2.3 + (− 3).6 + 5.2 = −2
. − 7 ) + 5.9 = 76 c12 = a11b12 + a12 b22 + a13 b32 = 2.5 + (− 3)( c 21 = a 21b11 + a 22 b21 + a 23 b31 = 8.3 + 2.6 + 4.2 = 44
c 22 = a 21b12 + a 22 b22 + a 23 b32 = 8.5 + 2.(− 7 ) + 4.9 = 62 − 2 76 Jadi, AB = C = 44 62
7
Penyelesaian langsung dapat dilakukan sebagai berikut: 3 5 2 − 3 5 AB = .6 − 7 8 2 4 2 9 . − 7 ) + 5.9 2.3 + (− 3).6 + 5.2 2.5 + (− 3)( = 8.5 + 2.(− 7 ) + 4.9 8.3 + 2.6 + 4.2 − 2 76 = 44 62
1.5. Aturan-Aturan Ilmu Hitung Matriks Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa kekecualian. Salah satu dari kekecualian yang terpenting terjadi pada perkalian matriks. Untuk bagian–bagian riil a dan b kita selalu mempunyai ab = ba yang sering disebut hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks–matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama. Kesamaan dapat gagal terpenuhi karena tiga hal. Hal itu dapat terjadi, misalnya AB didefinisikan sedangkan BA tidak didefinisikan. Ini adalah kasus kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4. Juga dapat terjadi AB dan BA kedua–duanya didefinisikan tetapi mempunyai ukuran yang berbedabeda. Hal ini terjadi kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x2.. Akhirnya, seperti yang diperlihatkan oleh contoh berikutnya, maka mungkin untuk memperoleh
AB ≠ BA walaupun
mempunyai ukuran yang sama.
Contoh: Tinjaulah matriks –matriks
8
AB dan BA didefinisikan dan
− 1 0 1 2 A= ,B = 2 3 3 0 Dengan mengalikannya maka akan memberikan
− 1 − 2 AB = 11 4
3 6 BA = − 3 0
Jadi, AB ≠ BA . Walaupun hukum komutatif untuk perkalian tidak berlaku dalam ilmu hitung matriks, namun banyak hukum–hukum ilmu hitung yang sudah biasa dikenal akan berlaku untuk matriks. Beberapa diantara hukum yang paling penting dan nama–namanya diikhtisarkan dalam teorema berikut,
Teorema Dengan mengganggap bahwa ukuran-ukuran matriks
adalah sedemikian
sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturanaturan ilmu hitung matrriks berikut akan sahih. a.
A+B = B + A
(Hukum komutatif untuk penambahan)
b.
A+ (B+C) = (A+B)+C
(Hukum asosiatif untuk penambahan)
c.
A(BC) = (AB)C
(Hukum asosiatif untuk perkalian)
d.
A(B+C)=AB+AC
(Hukum distributif)
e.
(B+C)A=BA+CA
(Hukum distributif)
f.
A(B-C)=AB-AC
g.
(B-C)A=BA-CA
h.
a(B+C)=aB+aC
i.
a(B-C)=aB-aC
j.
(a+b)C=aC+bC
9
k.
(a-b)C=aC-bC
l.
(ab)C=a(bC)
m.
a(BC)=(aB)C=B(aC)
Walaupun
operasi penambahan matriks dan operasi perkalian matriks
didefinisikan untuk pasangan matriks, namun hukum hukum asosiatif (b) dan (c) memungkinkan kita untuk jumlah dan hasil kali
tiga matriks seperti
A+B+C dan ABC tanpa menyisipkan tanda kurung. Hal ini dibenarkan oleh kenyatan bahwa bagaimanapun, tersebut disisipkan, hukum asosiatif menjamin bahwa hasil akhir yang sama akan kita peroleh.
Contoh: Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah 1 2 A = 3 4 0 1
4 3 B= 2 1
Kemudian
1 2 4 3 AB = 3 4. 2 1 0 1 8 5 = 20 13 2 1
Sehingga
10
1 0 C= 2 3
8 5 1 0 ( AB)C = 20 13. 2 3 2 1 18 15 = 46 39 4 3 Sebaliknya 4 BC = 2 10 = 4
3 1 0 . 1 2 3 9 3
Maka
1 A(BC ) = 3 0 18 = 46 4
2 10 9 4. 4 3 1 15 39 3
Jadi, (AB)C=A(BC),
1.6.
Jenis-Jenis Matriks. 1. Matriks Bujur Sangkar. Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama
disebut matriks bujur sangkar. Contoh: 12 2 3 P = 3 − 5 4 5 6 1
Jumlah baris = 3, jumlah kolom = 3.
11
2. Matriks Diagonal. Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama
≠ 0 dan
selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal. Contoh: 2 3 0 0 0 2 0 A= , B = 0 6 0 , C = 0 0 3 0 0 5 0
0 0 0 2 0 0 ,D = 0 2 0 0 0 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3. Matriks Satuan. Suatu matriks
diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama
semuanya 1 disebut matriks satuan. Matriks satuan ini biasanya ditulis dengan notasi I. Matriks satuan yang berdimensi n x n ditulis dengan notasi I n . 1 0 ... 0 0 1 ... 0 . In = . . 0 0 ... 1 atau
1, i = j I n = δ ij , δ ij = 0, i ≠ j
Contoh: Matriks satuan 3 x 3: 1 0 0 I 3 = 0 1 0 0 0 1
12
Jika A matriks bujursangkar bertipe n x n dan I matriks satuan bertipe n x n maka: IA=AI=A.
4. Matriks Nol. Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol dan ditulis dengan notasi 0. Matriks nol tidak selalu berbentuk bujur sangkar. Contoh: O = [0 0 0], ber dim ensi.1x3 0 0 0 O = 0 0 0, ber dim ensi.3 x3 0 0 0
Pada matriks nol berlaku operasi berikut: A + 0 = 0 + A = A. A-A = 0. A0 =0A= 0. Dalam hal ini A dan 0 adalah matriks bujursangkar yang bertipe sama.Pada bilangan riil berlaku a.b = 0, artinya a=0, b = 0, akan tetapi pada matriks hal ini tidak berlaku. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada contoh berikut:
1 4 4 0 A= ,B = 0 0 − 1 0 1 4 4 0 AB = x 0 0 − 1 0 0 0 AB = 0 0 Dari hasil di atas juga dapat dilihat bahwa hasil kalinya adalah matriks nol, tetapi A dan B bukan matriks nol.
13
5. Matriks Transpose. Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose. Matriks transpose dinotasikan dengan A’ atau AT. '
Jika A = a ji maka. A' = a ji
'
Jika A bertipe m x n maka A’ bertipe n x m. Sifat–sifat matriks transpose adalah sebagai berikut: a. Jika A dan B bertipe sama, maka: b. Pada matriks satuan I berlaku I’ = I. c. Transpose suatu matriks A’ adalah matriks A atau (A’)’ = A. Contoh: Hitunglah (AB)’, jika:
1 2 1 0 A= ,B = 3 2 2 1 Jawab : 1 2 1 0 AB = x 3 2 2 1 5 2 AB = 7 2 5 7 ( AB )' = 2 2
14
Contoh: Buktikan ( AB )' = B ' A' , jika : 3 A = [2 1], B = 2 Bukti : 3 AB = [2 1]x 2 AB = [8] ( AB )' = [8] 2 A' = , B' = [3 2] 1 B' A' = [8]
Maka terbukti bahwa (AB)’ = B’A’.
6. Matriks Simetris. Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’. Dalam hal ini jelas bahwa matriks simetris adalah matriks bujur sangkar. Elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A = elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i dari matriks A’, atau a ij untuk semua i dan j.
Contoh: Matriks simetris berdimensi 3 x 3: 4 1 5 4 1 5 ' A = 1 7 6, A = 1 7 6 5 6 6 5 6 6
7. Matriks Simetris Miring.
15
Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan a ij = - a ij ,
a ii = 0.
Contoh: Matriks simetris miring berdimensi 3 x 3:
0 2 4 A = − 2 0 − 5, A' = − 4 5 0 0 2 4 − A' = − 2 0 − 5 − 4 5 0
0 − 2 − 4 2 0 5 4 − 5 0
8. Matriks Invers. Matriks Invers atau matrik balikan adalah adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika A merupakan suatu matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan notasi A-1 Dan AA-1 = I. Sifat–sifat invers matriks: a.
Jika A dan B matriks bujur sangkar yang bertipe sama, maka: (AB)-1 = B-1A1
.
b.
Invers dari invers matriks adalah matriks itu sendiri: (A-1)-1 =A.
c.
Invers matriks satuan adalah matriks satuan itu sendiri atau I-1 = I.
d.
Invers matriks tranpose adalah matriks tranpose, atau: (A ‘)-1 = (A-1)’.
Contoh:
16
8 4 Tentukanlah matriks invers dari A = 5 3 Penyelesaian:
A =
8 4 5 3
= 4 , bearti A non singular dan A-1 ada.
b11 =
a 22 3 −a −4 = = 0.75, b12 = 12 = = −1 A 4 A 4
b 21 =
a − a 21 − 5 8 = = −1.25, b 22 = 11 = = 2 A 4 A 4
Jadi 0.75 − 1 A −1 = B = − 1.25 2
8 4 Tentukan invers dari matriks A = 6 3 Penyelesaian:
A =
8 4 = 0 , berarti A singular dan A-1 tidak ada. 6 3
9. Matriks Skalar, Ortogonal, Singular, dan Non Singular. Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau seragam ( λ ). Dalam hal λ =1, matriks yang bersangkutan sekaligus juga merupakan matriks satuan. Matriks skalar juga merupakan hasil kali sebuah skalar dengan matriks satuan, λ I = matriks skalar λ . Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I. Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan. Sedangkan matriks
17
nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol, matriks semacam ini mempunyai balikan.
1.7.
Rangkuman Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat
persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks . Jika matrik mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n. Matriks ditulis dalam bentuk
()
atau
[]
dan bentuk lain
. Matriks
biasa ditulis dengan huruf besar dan elemen–elemennya dengan huruf kecil. Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila keduanya berorde sama.
[ ]
Hasil kali sebuah matriks A = aij dengan suatu skalar atau bilangan
[ ]
nyata λ adalah sebuah matriks baru B = bij yang berorde sama dan unsur–unsur
λ kali unsur–unsur matriks semula (bij = λaij ) . Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom
dari matriks
yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama disebut matriks bujur sangkar Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama
≠ 0 dan
selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal Suatu matriks
diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama
semuanya 1 disebut matriks satuan.
18
Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol dan ditulis dengan notasi 0. Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose. Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’ Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan a ij = a ij , a ii = 0. Matriks Invers atau matriks balikan adalah adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau seragam ( λ ). Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I. Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan. Matriks nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol, matriks semacam ini mempunyai balikan.
1.8.
Latihan
1. Diketahui matriks sebagai berikut:
19
3 A3 X 2 = 2 1 2 E2 X 3 = 1
5 2 0 − 1 5 4 5 2 4 3, B3 X 2 = 5 3 , C3 X 3 = 0 2 3, D3 X 3 = 2 5 4 5 4 1 5 1 2 0 − 5 4 5 1 2 0 , F2 X 2 = 2 1 2 1
Tentukanlah nilai dari: a. 2A+2B b. 5A-2B c. A.B d. A.F e. E.B f. A.F.E 2. Diketahui matriks sebagai berikut: 0 0 2 2 1 2 3 2 2 5 0 A3 X 3 = − 4 1 2, B3 X 2 = 1 3, C3 X 3 = 0 2 3, D3 X 3 = 2 − 2 2 0 1 2 − 3 0 1 4 5 3 2 1 1 3 2 3 1 , F2 X 2 = E2 X 3 = 2 1 1 2 1
Tentukanlah nilai dari: a. 2A+5C b. 5A-B c. A.B d. A.C e. E.B f. A.B.F 3. Tinjaulah Matriks–matriks
20
3 0 1 5 2 6 1 3 4 − 1 1 4 2 A = − 1 2 , B = ,C = , D = − 1 0 1 , E = − 1 1 2 0 2 3 1 5 1 1 3 2 4 4 1 3
Hitunglah: a. A.B b. D+E c. D-E d. D.E e. E.D f. – 7D 4. Dengan menggunakan matriks–matriks di latihan no.3 , hitunglah operasioperasi yang berkaitan dengan (di mana mungkin) a. 3C-D b. (3E)D c. (AB) C d. A(BC) e. D + E2 5. Apakah yang dimaksud dengan matriks bujur sangkar? 6. Apakah yang dimaksud dengan matriks diagonal? 7. Apakah yang dimaksud dengan matriks satuan ? 8. Apakah yang dimaksud dengan matriks transpose? 9. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris? 10. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris miring? 11. Apakah yang dimaksud dengan matriks invers? 12. Apakah yang dimaksud dengan matriks Skalar?
21
13. Apakah yang dimaksud dengan matriks
Ortogonal ?
14. Apakah yang dimaksud dengan matriks
Singular ?
15. Apakah yang dimaksud dengan matriks
Non Singular?
1.9.Daftar Pustaka. 1. Nababan, M. 1993.
Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan
Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga. 2. Anton, Howard.
1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit
Erlangga. 3. Dumairy.
1996.
Matematika
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.
22
Terapan
untuk
Bisnis
dan
BAB II DETERMINAN
2.1 Tujuan Instruksional Umum Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat menyelesaikan operasi
matriks, menentukan nilai determinan matriks,
menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.
2.2 Tujuan Instruksional Khusus Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan mahasiswa akan dapat: 1. Menyebutkan pengertian determinan dengan benar. 2. Menyebutkan sifat–sifat determinan dengan benar. 3. Menentukan determinan dengan metode Sarrus dengan benar. 4. Menentukan minor dan kofaktor suatu matriks dengan benar. 5. Menentukan matriks kofaktor dengan benar. 6. Menentukan determinan dengan metode ekspansi kofaktor dengan benar. 7. Menentukan determinan dengan metode reduksi baris dengan benar.
23
2.3
Pengertian Determinan. Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah
matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak atau
. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi
A atau
D A . Determinan dengan matriks dalam tiga hal: 1.
Determinan unsur–unsurnya diapit dengan sepasang garis tegak, sedangkan matriks diapit dengan tanda kurung.
2.
Determinan senantiasa berbentuk bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom, m=n), sedangkan matriks tidak harus demikian.
3.
Determinan mempunyai nilai numerik, tetapi tidak demikian halnya dengan matriks. Pencarian nilai numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan
cara mengalikan unsur–unsurnya secara diagonal. a a a a Matriks A = 11 12 , det er min annya; A = 11 12 a21 a22 a21 a22
Nilai numeriknya: A =
a11 a21
a12 = a11a22 − a21a12 a22
Contoh:
1 2 2 4 A= ,B = 2 3 3 1 maka det A =
1 2 = 1.3 − 2.2 = −1 2 3
det B =
2 4 = 2.1 − 3.4 = −10 3 1
24
Untuk determinan berdimensi 3. a11 A = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Metode yang digunakan oleh Sarrus untuk menentukan determinan matriks A adalah;
a11
a12
A = a21 a22 a31 a32
a13 a11
a12
a23 a21 a22 a33 a31 a32
A = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a31a22 a13 − a32 a23a11 − a33a21a12
Contoh:
1 2 4 A = 2 3 1 1 2 1 maka 1 2 41 2 det A = 2 3 1 2 3 = 1.3.1 + 2.1.1 + 4.2.2 − 1.3.4 − 2.1.1 − 1.2.2 = 3 1 2 11 2
2.4 Sifat–sifat Determinan. Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut: 1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama. Contoh: 3 3 3 A = 3 3 3 = 27 + 27 + 27 − 27 − 27 − 27 = 0 3 3 3
25
dengan nilai
2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sama.
Contoh: 2 4 1 A = 3 2 2 = 4 + 16 + 12 − 4 − 16 − 12 = 0 2 4 1
3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sebanding.
Contoh: 2 1 3 A = 2 5 2 = 60 + 8 + 12 − 60 − 8 − 12 = 0 4 2 6
4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol.
Contoh: 2 3 5 A = 2 1 4 = 0+0+0−0−0−0 = 0 0 0 0
5. Nilai determinan tidak berubah
jika semua baris dan kolomnya saling
bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan determinan matriks ubahannya A’; A = A' .
26
Contoh:
2 3 1 A = 4 2 1 = 12 + 6 + 20 − 4 − 10 − 36 = −12 2 5 3 2 4 2 A' = 3 2 5 = 12 + 20 + 6 − 4 − 10 − 36 = −12 1 1 3 6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris atau dua kolom bertukar letak.
Contoh:
2 4 2 A = 4 2 1 = 12 + 8 + 40 − 8 − 10 − 48 = −6 2 5 3 4 2 2 B = 2 4 1 = 48 + 10 + 8 − 40 − 8 − 12 = 6 5 2 3 7. Determinan dari suatu matriks diagonal
adalah hasil kali unsur–unsur
diagonalnya.
Contoh: 2 0 0 A = 0 4 0 = 24 0 0 3
8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya bilangan tersebut.
27
dengan
Contoh:
2 4 2 A = 4 2 1 = 12 + 8 + 40 − 8 − 10 − 48 = −6 jika.baris..kedua..dikali.3 2 5 3 2 4 2 A * = 12 6 3 = 36 + 24 + 120 − 24 − 30 − 144 = −18 = 3 A 2 5 3 9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih, determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan atau lebih. 10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A = 0 , A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada. 11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A ≠ 0 , A merupakan matriks nonsingular dan A-1 12. Pada penguraian determinan
ada.
(ekspansi Laplace), nilai determinan
sama
dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.
2.5
Minor dan Kofaktor. Laplace berhasil mengembangkan suatu cara penyelesaian yang berlaku
umum untuk determinan berdimensi berapapun, yakni menggunakan minor dan kofaktor
dari determinan yang bersangkutan.
28
Perhatikan kembali penyelesaian determinan berdimensi 3,
A = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a31a22 a13 − a32 a23a11 − a33a21a12 Dengan mengatur letak suku-sukunya, penulisan ini bisa diubah menjadi: A = (a11a22 a33 − a11a23a32 ) + (a12 a23a31 − a21a12 a33 ) + (a13a32 a21 − a31a22 a13 ) A = a11 (a22 a33 − a23a32 ) + a12 (a23a31 − a21a33 ) + a13 (a32 a21 − a31a22 ) A = a11 (a22 a33 − a23a32 ) − a12 (a21a33 − a23a31 ) + a13 (a32 a21 − a31a22 ) A = a11
a22
a23
a32
a33
− a12
a21
a23
a31
a33
+ a13
a21
a22
a31
a32
A = a11M 11 − a12 M 12 + a13 M 13
Ternyata dengan menutup baris-baris determinan A
dan kolom-kolom tertentu,
terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan).
Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi M ij. M 11
adalah minor dari unsur a 11 , diperoleh dengan jalan menutup baris
M 12
adalah minor dari unsur a 12 , diperoleh dengan jalan menutup baris
M 13
ke -1 dan kolom ke-1 dari determinan A .
ke -1 dan kolom ke-2 dari determinan A .
adalah minor dari unsur a 13 , diperoleh dengan jalan menutup baris
ke -1 dan kolom ke-3 dari determinan A .
Penulisan determinan dalam bentuk minor seperti di atas diubah ke dalam penulisan kofaktor. Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M 11 dilambangkan dengan A ij . Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij = (− 1) M ij i+ j
29
M ij
adalah minor dari unsur a ij , diperoleh dengan jalan menutup baris dan kolom ke-j dari determinan A .
ke -i A ij
adalah kofaktor dari unsur a ij.
Dengan demikian,
A11 = (− 1) M 11 = (− 1) M 11 = + M 11 1 +1
A12 = (− 1)
1+ 2
2
M 12 = (− 1) M 12 = − M 12 3
A13 = (− 1) M 13 = (− 1) M 13 = + M 13 1+ 3
4
Kofaktor A ij praktis adalah sama dengan minor M ij itu sendiri, jika i + j menghasilkan bilangan genap, dan A ij
negatif dari M ij apabila
i + j
menghasilkan bilangan ganjil. Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor berdimensi 3 adalah sebagai berikut; A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a 21 A21 + a 22 A22 + a 23 A23 = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 = a11 A11 + a 21 A21 + a31 A31 = a12 A12 + a 22 A22 + a32 A32 = a13 A13 + a32 A32 + a33 A33
Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor
A = a11M 11 − a12 M 12 + a13 M 13 =
n
∑a M ij
i , j =1
ij
dalam notasi kofaktor menjadi:
A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 =
n
∑a A
i , j =1
ij
ij
30
untuk matriks
atau: n
A = ∑ aij M ij untuk setiap baris; i = 1, 2, 3, …, n. j =1
n
A = ∑ aij M ij
untuk setiap kolom; j = 1, 2, 3, …, n.
i =1
Definisi Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor a ij , maka matriks A11 A 21 An1
A12 A22 An 2
A1n A2 n Amn
Dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoint A dan dinyatakan dengan adj(A)
3. Diketahui matriks A sebagai berikut: 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9
Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya.
31
Penyelesaian: M 11 = M 12 =
5 6 8 9 4 6 7 9
= −3 ⇒ A11 = (− 1) (− 3) = −3 2
= −6 ⇒ A12 = (− 1) (− 6 ) = 6 3
M 13 =
4 5 4 = −3 ⇒ A13 = (− 1) (− 3) = −3 7 8
M 21 =
2 3 8 9
= −6 ⇒ A21 = (− 1) (− 6 ) = 6 3
M 22 =
1 3 4 = −12 ⇒ A22 = (− 1) (− 12 ) = −12 7 9
M 23 =
1 2 5 = −6 ⇒ A23 = (− 1) (− 6 ) = 6 7 8
M 31 =
2 3 4 = −3 ⇒ A31 = (− 1) (− 3) = −3 5 6
M 32 =
1 3 5 = −6 ⇒ A32 = (− 1) (− 6 ) = 6 4 6
M 33 =
1 2 6 = −3 ⇒ A33 = (− 1) (− 3) = −3 4 5
Maka matriks kofaktornya adalah − 3 − 3 6 6 − 12 6 − 3 6 − 3
Sedangkan matriks adjoinnya adalah − 3 − 3 6 Adj ( A) = 6 − 12 6 − 3 6 − 3
4. Diketahui matriks B sebagai berikut: 1 0 3 B = − 2 − 4 3 5 4 − 2
32
Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya
Penyelesaiannya: M 11 =
−4 3 2 = −4 ⇒ A11 = (− 1) (− 4 ) = −4 4 −2
M 21 =
1
0
M 31 =
1 0 4 = 3 ⇒ A31 = (− 1) (3) = 3 −4 3
M 12 =
−2 3 3 = −11 ⇒ A12 = (− 1) (− 11) = 11 5 −2
M 22 =
3 0 4 = −6 ⇒ A22 = (− 1) (− 6 ) = −6 5 −2
M 32 =
3 0 5 = 9 ⇒ A32 = (− 1) (9 ) = −9 −2 3
M 13 =
−2 −4 4 = 12 ⇒ A13 = (− 1) (12 ) = 12 5 4
M 23 =
3 1 5 = 7 ⇒ A22 = (− 1) 7 = −7 5 4
M 33 =
3 1 6 = −10 ⇒ A32 = (− 1) (− 10 ) = −10 −2 −4
4 −2
= −2 ⇒ A21 = (− 1) (− 2 ) = 2 3
Maka matriks kofaktornya adalah − 4 11 12 2 −6 −7 3 − 9 − 10
Sedangkan matriks adjoinnya adalah 3 − 4 2 Adj (B ) = 11 − 6 − 9 12 − 7 − 10
33
Cara penyelesaian determinan yang dikembangkan oleh Laplace dengan menggunakan minor dan kofaktor ini, dikenal dengan sebutan metode ekspansi dengan kofaktor. 5. Diketahui matriks A sebagai berikut: 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9
Hitunglah determinan dari matriks A dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang: a. baris pertama b. baris kedua c. baris ketiga Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris pertama) 1 2 3 A= 4 5 6 7 8 9 M 11 =
5 6 2 = −3 ⇒ A11 = (− 1) (− 3) = −3 8 9
M 12 =
4 6 3 = −6 ⇒ A12 = (− 1) (− 6 ) = 6 7 9
M 13 =
4 5 4 = −3 ⇒ A13 = (− 1) (− 3) = −3 7 8
A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = 1(−3) + 2(6) + 3(−3) = 0
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris kedua)
34
1 2 3 A= 4 5 6 7 8 9 M 21 =
2 3 8 9
M 22 =
1 3
M 23 =
1 2
7 9 7 8
= −6 ⇒ A21 = (− 1) (− 6 ) = 6 3
= −12 ⇒ A22 = (− 1) (− 12 ) = −12 4
= −6 ⇒ A23 = (− 1) (− 6 ) = 6 5
A = a 21 A21 + a 22 A22 + a 23 A23 = 4(6) + 5(−12) + 6(6) = 0
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris ketiga) 1 2 3 A= 4 5 6 7 8 9 M 31 =
2 3 4 = −3 ⇒ A31 = (− 1) (− 3) = −3 5 6
M 32 =
1 3 5 = −6 ⇒ A32 = (− 1) (− 6 ) = 6 4 6
M 33 =
1 2 6 = −3 ⇒ A33 = (− 1) (− 3) = −3 4 5
A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 = 7(−3) + 8(6) + 9(−3) = 0
6. Diketahui matriks B sebagai berikut: 1 0 3 B = − 2 − 4 3 5 4 − 2
Hitunglah determinan dari matriks B dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang: a.
kolom pertama
b. kolom kedua
35
c. kolom ketiga
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom pertama) 3 1 0 B = −2 −4 3 5 4 −2 M 11 =
−4 4
3 2 = −4 ⇒ A11 = (− 1) (− 4 ) = −4 −2
M 21 =
1 0 3 = −2 ⇒ A21 = (− 1) (− 2 ) = 2 4 −2
M 31 =
1 0 4 = 3 ⇒ A31 = (− 1) (3) = 3 −4 3
B = a11 A11 + a 21 A21 + a 31 A31 = 3(−4) + (−2)(2) + 5(3) = −1
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom kedua)
3 B = −2 5 M 12 =
1 −4 4
−2 5
M 22 =
3 5
M 32 =
3 −2
0 3 −2
3 3 = −11 ⇒ A12 = (− 1) (− 11) = 11 −2 0 4 = −6 ⇒ A22 = (− 1) (− 6 ) = −6 −2 0 5 = 9 ⇒ A32 = (− 1) (9 ) = −9 3
B = a12 A12 + a 22 A22 + a 23 A23 = 1(11) + (−4)(−6) + 4(−9) = −1
7. Diketahui matriks C sebagai berikut: 4 4 4 0 1 1 0 − 1 C= 3 0 − 3 1 6 6 14 3
36
Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor Penyelesaian: Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua,
C =
4
4
0
1
1
3
0
0 −3
6 14
3
4 −1 1 6
Karena a 13 dan a 23 nilainya masing-masing adalah nol, maka minor yang dicari hanya M 33 dan M 43 . Pada minor M 33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua
M 33
4 4 4 = 1 1 −1 6 14 6 = 1.(−1) 2+1 .
4 4 4 4 4 4 + 1.(−1) 2+ 2 . + (−1).(−1) 2+3 . 14 6 6 6 6 14
= 1.(−(24 − 56)) + 1.(24 − 24) + (−1).(−(56 − 24)) = 32 + 0 + 32 = 64 Sehingga diperoleh kofaktor A33 = (−1) 3+3 .64 = 64 Pada minor M 33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga
4 4
4
M 43 = 1 1 − 1 3 0 1 = 3.(−1) 3+1 .
4
4
1 −1
+ (1).(−1) 3+3 .
4 4 1 1
= 3.(−4 − 4) + 1.(4 − 4) = −24
37
Sehingga diperoleh kofaktor A43 = (−1) 4+3 .(−24) = 24
Maka determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah
C = (−3).64 + 3.24 = −120
8. Diketahui matriks D sebagai berikut: 2 3 D= 4 2
5 4 1 2 8 1 1 3 2 6 1 3
Hitunglah determinan dari matriks D dengan menggunakan ekspansi kofaktor a. sepanjang kolom keempat. b. Sepanjang baris pertama. Penyelesaian: a. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom keempat, 2 3 D = 4 2
5 2 1 6
4 8 3 1
1 1 2 3
Maka minor yang dicari adalah Pada minor
M 14, M 24, M 34, M 44
M 14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
38
3 2 8 M 14 = 4 1 3 2 6 1 = 4.(−1) 2+1 .
2 8 6 1
+ 1.(−1) 2+ 2 .
3 8 2 1
+ 3.(−1) 2+3 .
3 2 2 6
= 4.(−(2 − 48)) + 1.(3 − 16) + 3.(−(18 − 4)) = 4.46 + (−13) + 3.(−14) = 184 − 13 − 42 = 129 Sehingga diperoleh kofaktor A14 = (−1)1+ 4 .129 = −129 Pada minor M 24 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua
M 24
2 5 4 = 4 1 3 2 6 1 = 4.(−1) 2+1 .
5 4 2 4 2 5 + 1.(−1) 2+ 2 . + 3.(−1) 2+3 . 6 1 2 1 2 6
= 4.(−(5 − 24)) + 1.(2 − 8) + 3.(−(12 − 10)) = 4.19 + (−6) + 3.(−2) = 76 − 6 − 6 = 64 Sehingga diperoleh kofaktor A24 = (−1) 2+ 4 .64 = 64 Pada minor M 34, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua
39
2 5 4 M 34 = 3 2 8 2 6 1 = 3.(−1) 2+1 .
5 4 6 1
+ 2.(−1) 2+ 2 .
2 4 2 1
+ 8.(−1) 2+3 .
2 5 2 6
= 3.(−(5 − 24)) + 2.(2 − 8) + 8.(−(12 − 10)) = 3.19 + 2.(−6) + 8.(−2) = 57 − 12 − 16 = 29 Sehingga diperoleh kofaktor A34 = (−1) 3+ 4 .29 = −29 Pada minor M 44 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua
M 44
2 5 4 = 3 2 8 4 1 3 = 3.(−1) 2+1 .
5 4 2 4 2 5 + 2.(−1) 2+ 2 . + 8.(−1) 2+3 . 1 3 4 3 4 1
= 3.(−(15 − 4)) + 2.(6 − 16) + 8.(−(2 − 20)) = 3.(−11) + 2.(−10) + 8.18 = −33 − 20 + 144 = 91 Sehingga diperoleh kofaktor A44 = (−1) 4+ 4 .91 = 91
D = 1.(−129) + 1.64 + 2.(−29) + 3.91 = 150
b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama, 2 3 D = 4 2
5 2 1 6
4 8 3 1
1 1 2 3
Maka minor yang dicari adalah
M 11, M 12, M 13, M 14
40
Pada minor
M 11 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 11
2 8 1 =1 3 2 6 1 3 = 1.(−1) 2+1 .
8 1 2 1 2 8 + 3.(−1) 2+ 2 . + 2.(−1) 2+3 . 1 3 6 3 6 1
= 1.(−(24 − 1)) + 3.(6 − 6) + 2.(−(2 − 48)) = (−23) + 92 = 69 Sehingga diperoleh kofaktor A11 = (−1)1+1 .69 = 69 Pada minor M 12 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua
M 12
3 8 1 = 4 3 2 2 1 3 = 4.(−1) 2+1 .
8 1 3 1 3 8 + 3.(−1) 2+ 2 . + 2.(−1) 2+3 . 1 3 2 3 2 1
= 4.(−(24 − 1)) + 3.(9 − 2) + 2.(−(3 − 16)) = 4.(−23) + 21 + 26 = −45 Sehingga diperoleh kofaktor A12 = (−1)1+ 2 .(−45) = 45 Pada minor M 13, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua
41
M 13
3 2 1 = 4 1 2 2 6 3 = 4.(−1) 2+1 .
2 1 3 1 3 2 + 1.(−1) 2+ 2 . + 2.(−1) 2+3 . 6 3 2 3 2 6
= 4.(−(6 − 6)) + 1.(9 − 2) + 2.(−(18 − 4)) = 7 − 28 = −21 Sehingga diperoleh kofaktor A13 = (−1)1+3 .(−21) = −21 Pada minor M 14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua
M 14
3 2 8 = 4 1 3 2 6 1 = 4.(−1) 2+1 .
2 8 6 1
+ 1.(−1) 2+ 2 .
3 8 2 1
+ 3.(−1) 2+3 .
3 2 2 6
= 4.(−(2 − 48)) + 1.(3 − 16) + 3.(−(18 − 4)) = 4.46 + (−13) + 3.(−14) = 184 − 13 − 42 = 129 Sehingga diperoleh kofaktor A14 = (−1)1+ 4 .129 = −129
D = 2.69 + 5.45 + 4.(−21) + 1.(−129) = 138 + 225 − 84 − 129 = 150
2.8 Reduksi Baris. Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting
untuk menghindari
perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.
42
Mula –mula kita meninjau dua golongan matriks yang determinannya dapat dihitung dengan mudah, tidak peduli berapapun besarnya ukuran matriks tersebut. Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah (lower triangular)) jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun yang merupakan segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).
Contoh: Sebuah matriks segitiga atas 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk: a11 0 0 0
a12 a 22 0 0
a13 a 23 a33 0
a14 a 24 a34 a 44
Maka nilai determinan det A = a.11 a 22 .a33 a 44 Sebuah matriks segitiga bawah 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk: a11 a 21 a31 a 41
0 a 22
0
a32
0 a33
a 42
a 43
0 0 0 a 44
Maka nilai determinan det A = a.11 a 22 .a33 a 44
Teorema Jika A adalah matriks segitiga ukuran n x n ,maka det(A) adalah hasil kali entri –entri pada diagonal utama, yakni det A = a.11 a 22 .a33 a 44
43
Contoh:
A=
2 5 4 1 0 2 8 1 0 0 3 2 0 0 0 3
= 2.2.3.3 = 36 1 3 0 −7 B =0 0 0 0 0 0
1 5 0 −4 1 0 0 1 0 0
3 2 1 1 1
= 1.(−7).1.1.1 = −7
Teorema Misalkan A adalah sebarang matriks n x n 1. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A) =k.det(A) 2. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = - det(A) 3. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan
satu baris
ditambahkan pada baris lain, maka det(A) =det(A)
Contoh: Tentukan determinan matriks–matriks berikut ini menggunakan reduksi baris:
44
A
1 2 3 A = 0 1 4 1 2 1 4 8 12 A1 = 0 1 4 1 2 1 0 1 4 A2 = 1 2 3 1 2 1 2 3 1 A3 = − 2 − 3 2 1 2 1 Penyelesaian: 1 2 3 A=0 1 4 1 2 1 1 2 3 = 0 1 4 (baris 3 dikurang pada baris 1) 0 0 −2 = 1.1.(−2) = −2 4 8 12 A1 = 0 1 4 1 2
1
4 8 12 =0 1
4 0 0 -2
(baris ke - 3 dikurang 14 x baris ke - 1 )
= 4.1.(-2) = -8
Matriks A 1 di atas dapat pula diselesaikan dengan cara reduksi baris berikut ini:
45
4 8 12 A1 = 0 1 4 1 2 1 1 2 3 = 4. 0 1 4
(faktor bersama baris ke - 1 terlebih dahulu diambil)
1 2 1 1 2
3
= 4. 0 1
4
(baris ke - 3 dikurang baris ke - 1)
0 0 -2 = 4.(1.1.(-2)) = -8 0 1 4 A2 = 1 2 3 1 2 1 1 2 3 = − 0 1 4 (tukarkan baris ke - 1 dg baris ke - 2 ) 1 2 1 1 2 3 = − 0 1 4 (baris ke - 3 dikurang baris ke - 1 ) 0 0 −2 = −{1.1.(−2)} =2 1 2 3 A3 = − 2 − 3 2 1 2 1 1 2 3 = − 2 − 3 2 (baris ke - 2 ditambah 2 kali baris ke - 1 , baris ke - 3 dikurang baris ke - 1) 1 2 1 1 2 3 =0 1 8 0 0 −2 = 1.1.(−2) = −2
46
Contoh; Hitunglah determinan A, dimana: 1 2 A= 3 1
3 − 2 4 6 − 4 8 9 1 5 1 4 8
Penyelesaian:
1 2 A= 3 1
3 −2 4 6 −4 8 9 1 5 1 4 8
1 3 −2 4 =
0 0 3 9
0
0
1
5
1 1
4
8
(baris ke - 2 ditambah (-2)dikali baris ke - 1 )
= 0 ( kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena sesuai sifat determinan)
Contoh; Setiap matriks berikut mempunyai dua baris yang sebanding, jadi berdasarkan sifat –sifat determinan maka matriks tersebut memiliki determinan sebesar nol. 3 1 2 4 5 2 4 − 4 − 10, 1 3 1 , 0 3 6 12 8
2 3 3 6
5 1 2 2
3 0 1 0
9. Diketahui matriks C sebagai berikut: 4 4 4 0 1 1 0 − 1 C= 3 0 − 3 1 6 6 14 3
47
Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan reduksi baris. Penyelesaian:
C =
4
4
0
1
1
3
0
0 −3
6 14
=−
1
1
4
4
6
1
3
6
0
−1
0 0 0 0 −3 −3 0
1
0 −1 0 4 ( tukarkan b1 dg b2 ) −3 1
3 0 6 14 1
=−
3
4 −1
8
3
8 2 12
(b2 − 4b1 , b3 − 3b1 , b4 − 6b1 )
1 1 0 −1 0 8 3 12 = (tukarkan b2 dg b4 ) 0 −3 −3 2 0 0 0 8 0 −1 1 1 3 12 0 1 8 8 =8 ( faktor bersama baris ke - 2 dikeluarkan ) 0 −3 −3 2 0 0 0 8 1 0 = 8. 0 0
1 0 3 1 8 0 − 158 0 0
= 8.1.1.(−
15 8
).8
−1 12 8 52 8
(b3 + 3b2 )
8
= −120
48
2.9 Rangkuman. Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak atau . Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau D A Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan
dengan nilai
numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut: 1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama. 2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sama. 3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sebanding. 4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol. 5. Nilai determinan tidak berubah
jika semua baris dan kolomnya saling
bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan determinan matriks ubahannya A’; A = A' . 6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris atau dua kolom bertukar letak. 7. Determinan dari suatu matriks diagonal
adalah hasil kali unsur–unsur
diagonalnya. 8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya bilangan tersebut.
49
dengan
9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih, determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan atau lebih. 10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A = 0 , A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada. 11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A ≠ 0 , A merupakan matriks nonsingular dan A-1
ada.
12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri. Menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi M ij. Kofaktor dari determinan A untuk minor
tertentu M 11
dilambangkan
dengan A ij . Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij = (− 1) M ij i+ j
Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.
50
13.
Latihan.
1. Hitunglah determinan dari: a.
1 2 −1 3
b.
6 4 3 2
c.
−1 7 −8 −3
d.
k −1
2
4
k −3
1 −2 7
e.
3 4 8
f.
5 3 2
1 8 −1
−3 4 −6 1 7 2
g.
1 0 3 4 0 −1 2 8 6
h.
9 k −3 2 4 k +1 1 k2 3
2. Hitunglah determinan matriks yang diberikan dengan mereduksi tersebut pada bentuk eselon baris. 7 2 3 a. 0 0 − 3 1 − 2 7
51
matriks
2 1 1 b. 4 2 3 1 3 0 1 − 2 0 c. − 3 5 1 4 − 3 2
2 −4 8 d. − 2 7 − 2 0 1 5
6 9 3 3 − 1 0 1 0 e. 1 3 2 − 1 − 1 − 2 − 2 1
f.
2 1 0 0
1 0 2 1
3 1 1 2
3 1 − 2 − 7 0 g. 0 0 0 0 0
1 1 0 3
1 5 0 −4 1 0 2 1 0 1
3 2 1 1 1
6 − 3 1 3. Misalkan A = − 2 7 1 3 − 1 4
a. Carilah semua minor. b. Carilah semua kofaktor.
52
0 4 4 − 1 0 1 4. Misalkan A = 1 −3 0 3 14 6
4 1 3 2
Carilah:
5.
a.
M 13 dan C 13
b.
M 23 dan C 23
c.
M 22 dan C 22
d.
M 21 dan C 21
Hitunglah
determinan dari matriks dalam latihan no.
3 (di atas)
dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:
6.
a.
baris pertama
b.
kolom pertama
c.
baris kedua
d.
kolom kedua
e.
baris ketiga
f.
kolom ketiga
Dalam soal di bawah ini hitunglah determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang sebuah baris atau kolom pilihan anda:
a.
0 6 0 A = 8 6 8 3 2 2
3 7 1 b. A = 2 0 − 8 − 1 − 3 4
53
c.
1 A = k k 2
1 k k2
1 k k 2
2 3 k − 1 d. A = 2 k −3 4 3 4 k − 4
2.8
e.
4 4 4 0 1 1 0 − 1 A= 3 0 − 3 1 6 6 14 3
f.
4 3 0 3 A = 0 3 1 − 1 0 0
1 9 2 4 4 6 2 2 3 3
2 2 4 2 3
Daftar Pustaka. 1. Nababan, M. 1993.
Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan
Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga. 2. Anton, Howard.
1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit
Erlangga. 3. Dumairy.
1996.
Matematika
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.
54
Terapan
untuk
Bisnis
dan
