MODUL MATEMATIKA VEKTOR

MODUL MATEMATIKA “

VEKTOR ”

Kementerian Pendidikan Nasional Universitas Negeri Manado Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika 2007

1

Kata Pengantar Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memahami kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas. Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar, menjelang tahun 2000 penduduk dunia akan mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternyata pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan secara metematika mengikuti aturan vektor Vektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi awal yang dipelajari adalah materi aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . Ekspresi Vektor, Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor, Pembagian dalam Bentuk Koordinat.

Tondano, 12 Oktober 2007 Penyusun,

2

Daftar Isi Halaman Halaman Francis …………………………………………….................1 Kata Pengantar………………………………………………................ 2 Daftar Isi………………………………………………………................ 3 Peta kedudukan Modul..................................................................... 4 Glosarium......................................................................................... 6 Bab I

Pendahuluan

A. Deskripsi................................................................................ 7 B. Prasyarat............................................................................... 7 C. Petunjuk Penggunaan Modul.................................................8 D. Tujuan Akhir.......................................................................... 9 - 11 E. Kompetensi............................................................................ 11 - 13 F. Cek Kemampuan................................................................... 13 Bab II

Pembelajaran

A. Rencana Belajar Peserta Didik..............................................14 - 15 B. Kegiatan Belajar 1. Kegiatan Belajar 1............................................................. 16 - 31 2. Kegiatan Belajar 2............................................................ 32 - 41 3. Kegiatan Belajar 3............................................................ 42 - 52 4. Kegiatan Belajar 4 ........................................................... 53 - 72 Bab III Evaluasi A. Evaluasi Kompetensi............................................................. 73 - 74 B. Kunci Evaluasi/Sistem Penilaian............................................ 75 - 80 Bab IV Penutup............................................................................ 81 Daftar Pustaka................................................................................ 82

3

Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor

Operasi Aijabar Vektor

Ekspresi Vektor

4

Memecahkan masalah dengan Menggunakan Konsep Vektor

Aplikasi

Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor

Operasi Aijabar Vektor

Ekspresi Vektor

Matriks

5

Glosarium

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Notasi Vektor PQ dapat dituliskan a atau a

Kesamaan Dua Vektor jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD .

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik P.

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah a. sama dengan arah vektor a jika k> 0 b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0 Jarak antara titik A(x1 + y1 + z1) dan B(x2 + y2 + z2) pada R3 sama dengan panjang vektor AB yaitu │ AB │

6

Bab I PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Modul vektor terdiri atas 4 bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu : 1. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang : pengertian vektor, kesamaan dua vektor, vektor nol, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ruang , vektor basis, panjang suatu vektor. 2. Operasi aljabar vektor, sebagai kegiatan belajar 2 akan membahas tentang penjumlahan vektor, pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor. 3. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor, sebagai kegiatan belajar 3 akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian. 4. Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar 4 akan membahas tentang hasil kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat – sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, perkalian silang dua vektor.

B. PRASYARAT Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah : 

Memahami bentuk dan ciri matriks



Memahami invers matrik



Terampil dalam operasi hitung bilangan real

7

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL a. Penjelasan Bagi Peserta Didik 1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya. 2. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya. 3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda berkembang dengan baik. 4. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertianpengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan. 5. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan. 6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda. b. Peranan Guru 1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar. 2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini. 3. membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. 4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik 5. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.

8

D. TUJUAN AKHIR Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Kognitif

: : - Dapat memahami dan menentukan ekspresi vektor dalam pemecahan masalah -

Dapat memahami dan menentukan

operasi aljabar vektor dalam

pemecahan masalah. -

Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor dalam

pemecahan

masalah. -

Dapat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat dalam pemecahan masalah.

Afektif

:

Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam mempelajari materi tentang vektor

Psikomotor

:

Siswa selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugastugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi tentang vektor.

Indikator Hasil Belajar : Kognitif

: - Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor - Menentukan penyelesaian ekspresi vektor - Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar vektor - Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor - Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor - Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor. - Menjelaskan dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat - Menentukan penyelesaian pembagian dalam bentuk koordinat.

9

Afektif

: - Siswa menunjukan sikap yang positif dalam kegiatan pembelajaran. -

Siswa menenjukan kesiapan belajar.

-

Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru.

-

Siswa dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran.

-

Siswa selalu menanyakan apa yang belum di mengerti.

-

Siswa dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru.

-

Siswa merasa senang mengerjakan tugas.

-

Siswa dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar.

-

Siswa dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan soal.

- Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh pemecahan. - Siswa berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti. - Siswa memberi diri mau bekerja sama dengan teman. - Siswa dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya. - Siswa berinisiatif untuk membuat soal sendiri. - Siswa selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi. - Siswa selalu aktif mengikuti kegiatan mengenai Psikomotor : -

Menuliskan simbol matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga Menunjukan posisi badan yang baik dalam mengikuti kegiatan pembelajaran Matematika

-

Melakukan pekerjaan dalam menyelesaikan soal secara teliti

-

Terbiasa menampilkan keterampilan gerakan fisik yang baik setiap belajar matematika

10

E. KOMPETENSI : Menerapkan Ekspresi vektor Sub

Kriteria

Lingkup

kompeten

kinerja

belajar

Materi pokok Pembelajaran Kognitif

Afektif

Psikomotor

si Mendeskri - Pengertian

1.Mengetahui

1. Memperlihatkan

1. Dapat

psikan

vektor,

dan

kesiapan dalam

menuliskan

ekspresi

Kesamaan

memahami

mengikuti

simbol-simbol

vektor

dua vektor,

pengertian

pembelajaran

(Notasi)

Vektor nol,

ekspresi

Vektor

vektor

posisi,

2. memperhatikan

2.Menentukan

Vektor

penyelesaian

satuan,

ekspresi

Vektor

vektor

khususnya dalam

dengan baik

materi vektor

setiap materi yang

tepat

diberikan 3. bertanya jika belum dimengerti

dalam

2. Dapat menggambar ruang berdimensi dua dan tiga.

ruang , Vektor basis, Panjang suatu vektor

Mendeskri penjumlahan

1. Mengetahui

1 Mengikuti

1. Dapat

psikan

vektor,

dan

pembelajaran

menggambar

operasi

pengurangan

memahami

dengan serius

cara segitiga dan

aljabar

vektor, hasil

operasi vektor 2. Dengan antusias

vektor

kali bilangan

2. Menentukan

bertanya apabila

dengan

penyelesaian

ada materi yang

vektor

operasi

belum dimengerti

aljabar vektor

jajaran genjang

3. mengerjakan latihan soal yang diberikan guru

Mendeskri - Rumus

1. Menjelaskan 11

1.Selalu Berpikir

1. Dapat

psikan

jarak,

rumus jarak,

Kritis Ketika

menggambar

rumus

Rumus

perbandingan

pembelajaran

pembagian ruas

jarak,

pembagian.

, perkalian

berlangsung

garis AB dengan

perbandin

skalar,

apabila di dalam

perbandingan m :

gan,

proyeksi, dan

Materi Yang

n

perkalian

perkalian

disampaikan ada

skalar,

silang vektor

yang keliru

proyeksi,

2. Menentukan

2. Dapat menggambar pembagian ruas

2. Mau bertanya

dan

penyelesaian

kepada teman jika

garis AB dalam

perkalian

rumus jarak,

ada yang belum

bentuk vektor.

silang

perbandingan

dimengerti

vektor

, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor

Mendeskri - Hasil kali

1. Menentukan

1. Selalu berpikir

psikan

skalar dua

Pembagian

kritis ketika

pembagia

vektor,

dalam Bentuk

pembelajaran

n dalam

bentuk

Koordinat

berlangsung

bentuk

komponen

apabila di dalam

vektor

perkalian

materi yang

skalar,

disampaikan ada

besar sudut

yang keliru

antara dua

2. Mau bertanya

vektor, sifat

kepada guru jika

– sfaat

tidak dimengerti.

perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, 12

1

perkalian silang dua vektor.

F. CEK KEMAMPUAN No

Pertanyaan

Ya

1

Apakah Anda telah memahami pengertian vektor ?

3

Apakah anda telah memahami definisi dan vektor ?

4

Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

Tidak

penyelesaian vektor ? 5

Apakah anda telah memahami definisi vektor ?

6

Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah penyelesaian definisi vektor ?

Jika Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab BAB II “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.

13

BAB II PEMBELAJARAN A.

RANCANGAN BELAJAR SISWA Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional, Anda perlu latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, maka dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang. 1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebagai berikut. N o

Kegiatan Tgl

Pencapaian Jam Tempat

Mengetahui

Alasan Perubahan bila diperlukan

Paraf Siswa Guru

.............., ............ 20

Guru pembimbing

Peserta Diklat

(..............................)

(................................)

2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan. a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping terhadap informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari.

14

b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yang terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa). c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain). d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.

15

B.

KEGIATAN BELAJAR 1. Kegiatan Belajar 1 : Ekspresi Vektor a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat mengetahui pengertian vektor, 2. Dapat menentukan kesamaan dua vektor, 3. Dapat memahami vektor nol, 4. Dapat memahami vekktor posisi, 5. Dapat memahami vektor satuan, 6. Dapat memahami vektor ruang , 7. Dapat memahami vektor basis. 8. Dapat menentukan suatu vektor. . b. Uraian Materi

EKSPRESI VEKTOR 1. Pengertian Vektor Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna. a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya. Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya, sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan. Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya.

A Ganbar 5.1 perpindahan dari titik A ke titik B

16

Notasi Vektor Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor. Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya PQ .

PQ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau a atau diberi topi,misalnya Q a P

a

Gambar 5.2 Notasi Vektor Untuk vektor PQ dari gambar 5.2, titik P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik Q disebut titik ujung (titik terminal). 2. Kesamaan Dua Vektor a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD . Dari pengertian ini dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak berubah asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula. B D A C Gambar 5.3 Kesamaan dua vektor

Ingat ! Tanda # artinya sama dengan dan sejajar (bukan tidak sama dengan)

17

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam hal ini, salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5.4 AB = 1 AB 2

2 CD . atau CD =

B A

D C

Gambar 5.4 vektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda.

c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan. Dua buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB = - EF atau EF = - AB B E A F Gambar 5.5 Dua buah vektor yang berlawanan d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 5.6 tampak AB = - 3 EF atau EF = 1 AB 3

B E A

F

Gambar 5.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda 3. Vektor Nol Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu, misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan O 18

4. Vektor Posisi Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik

x  P. Jika koordinat titik P adalah (x1, y1) maka vektor posisi dari titik P adalah p = OP =  1   y1  Y P (x1, y1) y1

p

O

x1

X

Gambar 5.7 Vektor posisi titik P

Hal ini berarti vektro p mempunyai komponen arah mendatar x1 dan komponen arah vertikalnya adalah y1. Jika titik A di R3 dengan koordinat A adalah (x1, y1, z1) maka vektor pasisi titik A adalah

Gambar 5.8 Vektor posisi titik A

 x1    a = OA =  y1  sebaliknya, jika a = z   1

 x1     y1  merupakan vektor posisi dari titik A, maka titik A z   1

berkoordinat (x1, y1, z1) 5. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan i Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j Vektor satuan dengan arah sumbu Z, dinotasikan dengan k

19

Sehingga untuk vektor di R2 adalah 1  i =   0

0 j =   1 

Y B (0,1)

j O

A (1,0) i

X

Gambar 5.9 Vektor satuan pada R2 Sedangkan untuk di R3 adalah

1    i = 0 ; 0  

0   j = 1  ; k = 0  

0   0 1   

Gambar 5.10 Vektor satuan pada R3

Catatan : Kita sudah mengenal tentang vektor satuan, yaitu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari suatu vektor a adalah vektor yang arahnya sama dengan arah vektor a dan panjangnya

20

1 a

6. Vektor dalam Ruang a. Vektor di R2 Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2. Untuk menyajikan vektor di R2, diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih susunan sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertikal atau sumbu Y. Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jauh perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri diberi tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda negatif. Dengan demikian vektor pada R2 dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan vertikal.

AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar 5.11 terlihat titik A (1, 1) dan 1 dituliskan sebagai vektor kolom a =   dan titik B (4, 3) dengan- vektor kolom b = 1

Gambar 5.11 Vektor dalam ruang dimensi dua

AB = b - a  4 =   3

1   = 1

3    2

Dengan cara yang sama kita dapatkan:   4 CD =   1  0  EF =     4 4  GH =     2

21

 4   3

b. Vektor di R3 Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan. Untuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yang berpotongan saling tegak lurus (ortogonal) yang dikenal dengan: 1) arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu X; 2) arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y; 3) arah ke atas atau ke bawah disebut sumbu Z. Seperti Gambar 5.12 (i). Kemudian sumbu koordinat seperti Gambar 5.12 (i) diputar ke kanan diperoleh sumbu koordinat Gambar 5.12 (ii).

Z

Z Y Y

O O

X

X

Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga Contoh : ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = 4; AD = 2; AE = 6, dan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu koordinat dengan koordinat A (0, 1, 0), B (4, 1, 0), E(0, 1, 6), F (4, 1, 6), G (4, 3 6) H (0, 3, 6) dan titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.13).

0 0     Misalkan titik A (0, 1, 0) dituliskan sebagai a = 1  dan titik E (0, 1, 6) dituliskan sebagai e = 1  0 6     maka

AE = e - a 0   = 1  6  

0   1  = 0  

0   0 6   22

Z

Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH Dengan cara yang sama didapatkan:

 4   AF =  0  ; AG = 6  

 4   4      2  ; BH =  2  6 6     

7. Vektor Basis a. Vektor Basis di R2 Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar tampak bahwa: OP = OQ + QP di mana OP = P

OQ = x1 i QP = y1 j sehingga dapat dituliskan :

P = x1 i + y1 j Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j

Gambar 5.14 Vektor basis pada R2

23

Jadi, setiap vektor di R2 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari dua vektor basis i dan j dalam bentuk :

P = x1 i + y1 j

x1 dan y1 berturut-turut disebut komponen-komponen mendatar dan vertikal dari vektor P .

catatan Vektor dapat disajikan dalam bentuk : a. vektor basia, yaitu P = (x1, y1)  x1  b. vektor kolom, yaitu P =    y1 

b. Vektor Basis di R3 Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vektor posisi R, maka komponenkomponen r dapat dinyatakan sebagai: x1 i (searah dengan OX ) y1 j (searah dengan OY ) z1 k (searah dengan OZ ) Z

Gambar 5.15 Vektor basis pada R3 dan dari Gambar 5.15 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear dari vektorvektor basis i , j , k OR = OP + PR OR = OQ + QP + PR , sehingga 24

OR = r = x1 i + y1 j + z1 k

r = x1 i + y1 j + z1 k

Jadi, setiap vektor F dalam ruang (di R3) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor basis i , j , dan k yang tidak sebidang dalam bentuk:

Catatan : Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan dalam bentuk: a. vektor baris, yaitu r = (x1, y1, z1) b. vektor kolom, yaitu r =

 x1     y1     z1 

8. Panjang Suatu Vektor Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P . a. Vektor di R2

x  Jika p adalah titik (x1, y1) maka OP = P =  1   y1  Y P(x1, y1) P O

Q

X

Gambar 5.16 Panjang vektor P di R2 Dengan menggunakan pythagoras maka

OP

2

=

OQ

2

+

QP

2

(perhatikan Gambar 5.16)

2

P = x12 + y12 ( karena OP = P ) 2

P =

2

x1  y 1

2

25

2 x  Jadi, jika P =  1  maka panjang vektor P adalah P =  y1 

2

x1  y1

2

b. Vektor di R3

 x1    Misalkan OR = r =  y1  adalah vektor z   1

Gambar 5.17 panjang vektor r di R3 posisi di R3 seperti pada Gambar 5.17. Dengan menggunakan pythagoras, maka

OR

2

= OP = OQ

OR r

2

=

2

2

+

+

PR QP

2

2

+

PR

2

= x12 + y12 + Z12 (perhatikan Gambar 5.17) 2

2

2

X 1  Y1  Z1 ( karena OR = r )

 x1    Jadi, r =  y1  , panjang vektor r adalah z   1

r

=

2

2

X 1  Y1  Z1

2

C Rangkuman Kegiatan Belajar 1 1. Pengertian Vektor Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna. a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya.

26

2. Kesamaan Dua Vektor a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD .

:

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan. d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. 3. Vektor Nol Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu, misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol. 4. Vektor Posisi Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik P. 5. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. 6. Vektor dalam Ruang a. Vektor di R2 Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2. b. Vektor di R3 Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan. 7. Vektor Basis a. Vektor Basis di R2 Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. b. Vektor Basis di R3 Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vektor posisi R, maka komponenkomponen r dapat dinyatakan sebagai: 27

x1 i (searah dengan OX ) y1 j (searah dengan OY ) z1 k (searah dengan OZ ) 8. Panjang Suatu Vektor Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .

d. Tugas Kegiatan Belajar Diskusikan soal-soal LKS tentang ekspresi vektor untuk dipresentasikan.

e.

Tes Formatif 1. Nyatakan titik-titik berikut dengan vektor posisi dalam bentuk komponen vektor kolom! a. A (2, 3) dan B (-1, 4)

b. P (2, 1, 4) dan Q (3, 2, -5)

 2   1     2. Nyatakan vektor-vektor a =  3  dan c =  0  sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k 1  3     

3. Diketahui p = i - 2 j + 2 k dan q = 3 i + j - 2 k carilah a.

P

b.

Q

c.

PQ

d.

Vektor satuan dari p

28

f.

Kunci Jawaban

 2 3      b. p = 1  ; q =  2   4   5    

 2   1 1. a. a =   ; b =   3 4 

2. a = 2 i + 3 j + k c = -i + 3 k

1    3. p =   2  ; q = 2   

3    1    2  

a.

P = 12  (2) 2  2 2 = 1  4  4 = 3

b.

Q =

3 2  12  (2) 2 =

9  1  4 = 14

1   3      c. Untuk menghitung P  Q , tentukan dulu p + q ; p + q =   2  + 1  =  2    2    

PQ =

4      1 0   

4 2  (1) 2  0 2 = 16  1 = 17

d. vektor satuan dari p =

p p

=

2 i 2 J  2 K 1 2 = i- j+ k 3 3 3 3

g. Lembar Kerja Siswa (LKS) Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca, kerjakanlah soal-soal berikut. Anda dapat mengarjakannya secara berkelompok belajar anda (3-4 orang). 1. Diketahui : a = 3 i + 2 j + 4 k b = i - j + 2k c = i + 3k Nyatakan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut sebagai vektor kolom! a. a + b b. b + c c. ( a + b ) + c 29

d. a + ( b + c ) e. Apakah a + b = c + a , bila berlaku sifat apakah itu? f. Apakah ( a + b ) + c = ( a + b ) + c , bila berlaku sifat apakah itu? 2. OABC•DEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada sumbu X, Y, dan Z. Jika OA = 4; OC = 3, dan OD = 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k

a. OB

e. AF

b. AC

f. BD

c. FC

g. AG

d. EB

2    3. Jika p =   4  dan q = 6   

 4    4 7  

Tentukan: a. P b. Q

4. Diketahui:

c. P  Q d. vektor satuan dari p dan q

a. 2 i - 3 j + 4 k

c. 3 i + 2 j + 3 k

b. - i + 5 k Carilah: a. a + b + c

c. vektor satuan dari a + b + c

b.│ a + b + c │ 30

5. Diketahui vektor a = 4 i + 4 j + 2 k dan b = 2 i + 3 j - 5 k a. Carilah │ a │ dan│ b │

c. Apakah │ a + b │= a + b

b. Carilah a b dan│ a + b │ h. Tingkat Penguasaan Rumus :

Tingkat Penguasaan =

Jumlah Skor yang diperoleh x100% 15

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut: 1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3. 2.

60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

31

2. Kegiatan Belajar 2 : Operasi Aljabar Vekto r a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat menentukan penjumlahan vektor, 2. Dapat menetukan pengurangan vektor, 3. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor

b.

Uraian Materi

OPERASI ALJABAR VEKTOR 1 Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan cara jajar genjang. a. Cara Segitiga Perhatikan Gambar 5.18

b

b

b

a a

a (i)

(ii)

Gambar 5.18 Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang

Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b berimpit dengan titik ujung vektor a . 32

Vektor c diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vektor b yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga Gambar 5.18(i). b. Cara Jajar Genjang Jumlah dari vektor a dan vektor b adalah vektor c yang Tugas

dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal

Penjumlahan tiga vektor atau

vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a .

lebih dapat dilakukan dengan

Vektor c yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor a dan

menggunakan aturan poligon seperti berikut. P4

vektor b , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b . Cara menjumlahkan vektor seperti ini dikenal dengan cara jajar genjang Gambar 5.18(ii). Perhatikan Gambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bahwa: c= a + b

PR = PQ + QR

Gambar 5.19 Penjumlahan vektordengan cara segitiga Dengan memperhatikan pola penjumlahan itu maka:

AB = AC + CB (untuk titik-titik, A, C, dan B) AB = AP + PB (untuk titik-titik A, P, dan B) AB = AD + DL + LB (untuk titik-titik A, D, L, dan B), dan seterusnya.

33

P5

P3

Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor 1) Komutatif Perhatikan Gambar 5.20 (PQRS adalah jajar genjang)! Misalkan PQ = a ,

SR = a

Misalkan PS = b ,

QR = b .

S

R

b

PR = PQ + QR = a + b PR = PS + SR = b + a Jadi, a + b

P

= b+ a

Q

a

Gambar 5.20 penjumlahan vektor secara

komulatif Berarti penjumlahan pada vektor bersifat komutatif. 2) Asosiatif Perhatikanlah Gambar 5.21! SPQR adalah suatu limas segitiga

PQ = a , QR = b , RS = c Maka:

S

( a + b ) + c = ( PQ + QR ) + RS = PR + SR

c

= PS a + ( b + c ) = PQ + ( QR + RS )

P

= PQ + QS

a

b

R

Q

= PS

Gambar 5.21 Penjumlahan vektor secara asosiatif

Jadi, ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Berarti penjumlahan pada vektor bersifat asosiatif. Tugas 1 Jika a =   , b = 2

2   dan c = 3

3   , apakah a - b + c = a - ( b + c )? 4

Bagaimanakah dengan ( a + b ) - c , apakah sama dengan a + ( b - c )?

34

3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku a + o= o+a= a 4) Lawan suatu vektor Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a

a

menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis dengan - a . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah,

-a Gambar 5. 22 Lawan dari

sebuah vektor lawan dari vektor a adalah vektor yang panj angnya sama dengan vektor a , tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a . Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah (lawan). Sebab: a + (- a ) = (- a ) + a = o 2. Pengurangan Vektor Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b . Jadi, c = a - b = a + (- b ) Secara geometris selisih (pengurangan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pada Gambar 5.23.

Gambar 5.23 Pengurangan vektor

35

a - b = a + (- b ) = PQ + PS = PT = RQ Dari ∆ PQR terlihat bahwa :

PQ - PR = RQ 3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah a. sama dengan arah vektor a jika k> 0 b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0

Gambar 5.24 Hasil kali bilangan dengan vektor 1  Jika a =   , maka 2 a = 2   2

1    =   2

2      4

2    Jika b =  3  , maka 3 b = 3   4  

2    3  =   4  

6    9   12   

 p  p     Secara umum, bila a =  q  maka k a = k  q  = r  r     

 kp     kq   kr   

Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka: 1 k (- a ) = - (k a )= - k a 2 k (l a ) = (kl) a 3 (k + l) a = k a + l a 36

4 k( a + b ) = k a + k b

c. Rangkuman Kegiatan Belajar 2 OPERASI ALJABAR VEKTOR 1. Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan cara jajar genjang. a. Cara Segitiga b. Cara Jajar Genjang Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor 1) Komutatif 2) Asosiatif 3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku a + o = o + a = a 4) Lawan suatu vekto 2. Pengurangan Vektor Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b . 3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah a. sama dengan arah vektor a jika k> 0 b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0 Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka: 1. k (- a ) = - (k a )= - k a 2. k (l a ) = (kl) a 37

3. (k + l) a = k a + l a 4. k( a + b ) = k a + k b

d.

Tugas Kegiatan Belajar Diskusikan soal-soal yang ada di LKS tentang operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan..

e.

Tes Formatif

1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F masing-masing titik tengah DC dan BC . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v a. AE

b. EF

c. AF

2. Diketahui A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan carilah AB : BC 3. Diketahui titik-titik A(-2, 5, 4), B(2, -1, -2), dan C( p, q, l). Jika A, B, dan C segaris, carilah nilai p dan q.

f. Kunci Jawaban 1. a. AE = AD + DE = v + b.

D

C

1 1 u = u+ v 2 2

EF = EC + CF

v

1 1 u- v 2 2

A

=

E

c. AF = AB + BF = u+

F u

B

Gambar 5.25 Jajaran genjang ABCD

1 v 2

2. Langkah untuk menyelesaikan contoh soal 2 di atas adalah 1. Informasi dari soal memberikan tiga buah titik yang terletak pada sumbu - sumbu koordinat x - y, yaitu A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) 38

2. Dari titik-titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan C segaris (kolinear) serta akan dicari perbandingan AB dan BC (AB: BC) 3. Untuk menunjukkan titik-titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan mengetahui perbandingan AB : BC, dihitung nilai AB dan AC , yaitu

AB = b - a  4 =    2

1   = 1

 3   1 

AC = c - a 10  =   4 

2    3. AB = b - a =   1    2    p   BC = c - b =  q  l   

1   = 1

  2   5  = 4   

2     1  =   2  

9   3

4      6   6  

 p  2    q 1  3   

Karena A,B, dan C segaris maka:

AB = m ∙ BC 4      6 = m   6  

 p  2    q  1  , diperoleh m = -2 3   

4 = -2 (p - 2)

-6 = -2(q + 1)

4 = -2p + 4

3=q+1

2p = 0

q=2

p =0

39

g. Lembar Kerja Siswa (LKS) 1. ABCD jajar genjang bila AB = a , AD = b , titik E perpotongan diagonal AC clan BD . Nyatakan dengan a dan b vektor - vektor tersebut! D

C E

b

A

a. AC

d. BE

b. AE

e. ED

c. BD

f. EB

B

a

2. Dari gambar soal nomor 1, nyatakan selisih-selisih vektor berikut sebagai ruas garis berarah tunggal! a. AE - AD

c. BE - BC

b. AB - AC

d. CD - CB

3. Nyatakan vektor-vektor berikut dengan sebuah vektor tunggal! a. AB + BC + CD + DE b. AD + DC + CE + EK c. AD - AB + CB - CD

  1 2      4. Diketahui a =  2  , b = 1  , dan c = 3    2    

 1      2 3   

Hitunglah: a. 2 a + b - c

b. 3 a + 2 b + 4 c

c. 4 a + 3 b - 2 c

5. Diketahui: a = 3 i + 4 j + 5 k b = i + 3k c

= -2 i + 3 j - 4 k

Nyatakan sebagai vektor kolom! a. a + b

d. ( a + b ) + c

b. b + a

e. a + ( b + c )

c. b + c

f. Apakah berlaku sifat komutatif dan asosiatif 40

h. Tingkat Penguasaan Rumus :

Tingkat Penguasaan =

Jumlah Skor yang diperoleh x100% 15

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut: 1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3. 2.

60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

41

3. Kegiatan Belajar 3 : Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor. a. Tujuan Kegiatan Belajar 3: Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat : 1. Mengetahui dan memahami rumus jarak 2. Mengetahui rumus pembagian. b. Uraian Materi : 1. Rumus Jarak

 x1    Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =  y1  dan titik B(x2 + y2 + z2) dengan z   1  x2    vektor posisi b =  y 2  z   2 Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu │ AB │

AB = b - a  x2    =  y2  z   2

 x1     y1  = z   1

 x2  x1     y 2  y1  z  z   2 1

Z Ingat Jarak antara titik A(x1 + y1 + z1) dan B(x2 + y2 + z2) pada R3 sama dengan panjang vektor X O Gambar 5.26 Menentukan rumus jarak │ AB │=

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2

42

Contoh : 1. Diketahui titik A(5, 7, -5), B(4, 7, -3), dan C(2, 7, -4). Perlihatkan dengan rumus jarak bahwa ∆ABC siku-siku sama kaki! Jawab: Untuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah-langkah berikut 1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu A (5, 7, -5), B (4, 7, -3), clan C (2, 7, -4). 2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa segitiga ABC yang disusun dari titik-titik A, B, dan C memang siku-siku sama kaki. 3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut.

r

=

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu │ AB │=

4  52  7  7 2   3  52 =

1 0  4 =

│ AC │=

2  52  7  7 2   4  52

9  0  1 = 10

│ BC │=

2  42  7  72   4  32 =

=

4  0 1 =

5

5

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh AB2 = 5

BC2 = 5

AC2 = 10

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang menyatakan AB2 + BC2 = AC2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki. 2. Buktikan bahwa titik-titik A(1, 3, -1), B (3, 5, 0), dan C(-1, 4, 1) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku sama kaki. Jawab: Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut. 1. Memahami masalah Apa yang diketahui situasi ini, kita cari jarak dua titik dengan teorema pythagoras atau dengan dot product. 43

2. Merencanakan penyelesaian Dengan jarak dua titik = atau cos x =

x1  x2 2   y1  y2 2  z1  z 2 2

a b ab

3. Melaksanakan perhitungan │ AB │=

1  32  3  52   1  02

=

4  4 1 = 3

│ AC │=

1  12  3  42   1  12 =

4 1 4 = 3

│ BC │=

3  12  5  42  0  12 =

16  1  1 = 15 = 3 2

Hasil perhitungan: │ BC │= │ AB │2+ │ AC │2 Jadi, segitiga ABC siku-siku sama kaki dan siku-siku di A.

 3  1      Cara lain AB = b - a =  5  -  3  =  0   1       1 1      AC = c - a =  4  -  3  = 1   1    

 2    2 1   

  2   1  2   

A (1, 3, -1)

B(3, 5, 0)

C(-1, 4, 1)

Gambar 5.27 Segitiga siku-siku sama kaki. Cos A =

422 =0 33

Jadi A = 90° ∆ ABC siku-siku di A.

44

2. Rumus Pembagian Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konsep vektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan m : n. a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa sehingga AP : PB = m : n. a. Jika P membagi di dalam, AP dan PB mempunyai arah yang sama sehingga m dan n mempunyai tanda yang sama. b. Jika P membagi di luar, AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan sehingga m dan n berlawanan tanda A

P

B

A

B

(a)

P

(b)

Gambar 5.28 (a) Titik P membagi garis AB di dalam garis (b) Titik P membagi garis AB di luar garis Contoh : Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas garis, sebagai berikut. AP : PB = m : n

m

n

AP : AB = m : (m + n) A

P

AP : PB = m : -n

B

m

AP : AB = m: (m - n)

n A

B

P

AP : PB = 1 : 1 AP : AB = 1 : 2 A

P

45

B

AP : PB = 2 : 1 AP : AB = 2 : 3 A

P

B

AP : PB = 4 : -2 = 2 : -1 AP : AB = 4: 2 = 2 :1 A

B

P

Gambar 5.29 Pembagian ruas garis b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor Perhatikan Gambar 5.30! Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, P antara A dan B, maka

p=

mb  n a mn

O Gambar 5.30 Pembagian ruas garis AB dengan Perk.dingan m : n Bukti: AP : PB = m : n Untuk semua letak P : AB , di dalam maupun di luar berlaku:

AP : PB = m : n n ( p - a ) = m (b - p ) n p - n a = mb - m p m p + n p = mb + n a (m + n) p = m b + n a

46

p=

mb  n a (terbukti) mn

O Gambar 5.31 Pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor

Contoh: 1. Bila a , b , dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari ∆ABC. Titik D pada AC sehingga AD : DC = l : 2. Titik E pada BC sehingga EC : EC = 3 : 1 Nyatakan DE dalam a , b , dan c Jawab:

C

d=

1 c  2  a 1 = ( c +2 a ) 1 2 3

e =

3  c  1 b 1 = (3 c + b ) 3 1 4

D

E

A

B

Gambar 5.31 pembagi ruas garis AB dalam bentuk vektor

DE = e - d = =

1 1 (3 c + b ) - ( c +2 a ) 4 3



 

3 3c  b  4 c  2a 12



=

1 (9 c +3 b - 4 c - 8 a ) 12

=

1 (-8 a + 3 b - 5 c ) 12

Catatan : - Dalam hal ini untuk pembagian di luar, rumus" akan lebih mudah digunakan bila angka numerik m dan n yang lebih besar diambil positif (misalnya 3 : -2 lebih mudah daripada -3 : 2). - Jika P di tengah-tengah AB, m : n =1 : 1

47

2. Carilah vektor letak titik P dan Q yang membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandingan 5:3 Jawab: Untuk P, m : n = 5: 3

Maka p =

Untuk Q, m : n = 5 : -3

mb  n a mn

=

5b  3a 53

=

1 (5 b +3 a ) 8

Maka q = =

mb  n a mn 5b  3a 53

1 = (5 b -3 a ) 2

c. Rangkuman kegiatan belajar 3: 1. Rumus Jarak

 x1    Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =  y1  dan titik B(x2 + y2 + z2) dengan z   1  x2    vektor posisi b =  y 2  z   2 Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu │ AB │

AB = b - a  x2    =  y2  z   2

 x1     y1  = z   1

 x2  x1     y 2  y1  z  z   2 1

2. Rumus Pembagian a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa sehingga AP : PB = m : n. b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, P antara A dan B, maka 48

p=

mb  n a mn

d. Tugas Kegiatan Belajar Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor untuk dipresentasikan. e. Tes Formatif 1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju bandara Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesawat tersebut bergerak dari titik x (100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang berposisi di titiky (300, 30, 18) km? 2. Hitung jarak antara titik-titik berikut! a. O (0,0,0) dan P (4, 4, 2) 3. Tunjukkan bahwa P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) adalah titik-titik sudut segitiga sama kaki! 4. Pergunakan rumus p =

mb  n a untuk menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berikut mn

dengan a dan b a. C, membagi AB dengan perbandingan 3 : 2 b. D, membagi AB dengan perbandingan 3: -2 f. Kunci Jawaban 1. Jarak yang di tempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitung dengan rumus jarak:

r

=

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2

Posisi awal pesawat terbang adalah x (100, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah y (300, 20, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah

r

=

300  1002  20  602  10  82

=

2002  402  22

=

40000  1600  4

=

41604 49

= 203,97 km 2. O =

0

OP =

P=

4

0

4

0

4 4

0

4

-

4

0 0

4  02  4  02  4  02

│ OP │=

= 16  16  16 OP =

48

3, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah-langkah berikut 1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) 2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa segitiga PQR yang disusun dari titik-titik P, Q, dan R memang siku-siku sama kaki. 3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut. =

r

x2  x1 2   y 2  y1 2  z 2  z1 2

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu │ PQ │=

 9  32   2  42  3  12

│ PR │=

9  32  8  42  11  12 =

36  16  144 = 196 = 14

│ QR │=

9  92  8  22  11  32

324  100  81 =

=

=

144  36  16 = 196 = 14

506 = 22. 49

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh PQ2 = 14

PR2 = 14 QR2 = 22, 5 50

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang menyatakan PQ 2 + PR 2 = QR 2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki. 4. a. Untuk C, m : n = 3: 2

b. Untuk D, m : n = 3 : -2

mb  n a mn

Maka q =

=

3b  2a 3 2

=

=

1 (3 b +2 a ) 5

= (3 b -2 a )

Maka p =

mb  n a mn

3b  2a 3 2

g. Lembar Kerja Siswa (LKS) 1. Tunjukkan bahwa A(3, 5, 7), B(8, 6, 1), C(7, 11, -5), dan D(2, 10, 1) merupakan belah ketupat! 2. Tunjukkan bahwa A(1, 3,-1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1) adalah titik sudut - titik sudut segitiga siku-siku sama kaki! 3. Diketahui A(-3, 0), B(6, 0), dan C(9, 0) adalah titik pada sumbu X. Carilah nilai perbandingan: a. OB : BC

c. AB : BC

b. OC : CB

d. OA : OB

e. OB : BA

4. Suatu ruas garis AE dibagi menjadi empat bagian yang sama oleh titik B, C, dan D. Carilah nilai-nilai perbandingan dari: a. AB : BD

c. AE : EC e. DA : AC

b. AB : AE

d. BE : ED f. CE : EB

5. Titik-titik P, Q, dn R berturut-turut titik-titik tengah BC , CA , dan AB dari ∆ ABC; a , b , dan c adalah vektor-vektor posisi dari A, B, C  Nyatakan p , q , dan r dengan a , b , dan c  Nyatakan bahwa AP , BQ , clan CR dengan a , b , dan c  Tunjukkan bahwa p + q + r = a + b + c  Tunjukkan bahwa AP + BQ + CR = O

51

h. Tingkat Penguasaan Rumus :

Tingkat Penguasaan =

Jumlah Skor yang diperoleh x100% 15

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut: 1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3. 2.

60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

52

4. Kegiatan Belajar 4 : Pembagian Dalam Bentuk Koordinat a. Tujuan Kegiatan Belajar 4: Setelah mempelajari uraian materi ini anda diharapkan dapat: 1) Dapat menentukan hasil kali skalar dua vektor, 2) Dapat memahami bentuk komponen perkalian skalar, 3) Dapat mengetahui besar sudut antara dua vektor, 4) Dapat menentukan sifat – sifat perkalian skalar, 5) Dapat memahami proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, 6) Dapat menentukan perkalian silang dua vektor. b. Uraian Materi :

Pembagian Dalam Bentuk Koordinat Jika P (xp, yp, zp) membagi ruas garis yang menghubungkan A (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2) dengan perbandingan m : n, maka :

xp =

mx2  nx1 mz 2  nz1 my  ny1 ; yp = 2 ; zp = mn mn mn

Bukti : Dari rumus pembagian dalam bentuk vektor, yaitu

 x1    mb  n a p= ; di mana a =  y1  adalah vektor posisi dari titik A (x1, y1, z1) mn z   1  x2    b =  y 2  adalah vektor posisi dari titik B(x2, y2, z2) z   2 dapat diubah menjadi:

53

A (x1, y1, z1

P (xp, yp, zp)

 x2   x1      m y 2   n y1   xp  z  z     yp  =  2   1  mn   z   p

 xp    1  yp  =   mn z   p

m

 mx2  nx1     my 2  ny1   mz  nz  1   2

n

a

Sehingga diperoleh

B(x2, y2, z2)

,

p

b

O

Gambar 5.35 titik Q membagi diluar

xp =

mx2  nx1 mz 2  nz1 my  ny1 ; yp = 2 ; zp = (terbukti) mn mn mn

contoh : Carilah koordinat titik P dan Q yang membagi garis yang menghubungkan A(1, 4, 6) dan B(1, 0, 2) di dalam dan di luar dengan perbandingan 3 : 1 Jawab: (i) Titik P membagi di dalam xp =

3 1  1 1 3 1 = =1 3 1 4

yp =

3  0  1 4 04 = =1 3 1 4

zp =

3  2  1 6 66 = =3 3 1 4

A(1, 4, 6)

P (xp, yp, zp) 3

-1

p

a

Jadi, koordinat P (1, 1, 3)

B(1, 0, 2)

b

O Gambar 5.34 Titik P membagi di dalam

54

(ii) Titik Q membagi di luar xq =

3 1   1 1 2 = =1 1  3 2

yq =

3  0   1  4 4 = = -2 1 3 2

zq =

3  2  (1)  6 0 = =0 1  3 2

Q (xq, yq, zq)

A(1, 4, 6) 3

q

B(1, 0, 2)

-1 a

b O

Jadi, koordinat Q (1, -2, 0) Gambar 5.35 Titik Q membagi di luar

1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan dengan a ∙ b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang didefinisikan oleh: a ∙ b = │ a ││ b │cos ө ө adalah sudut antara a dan b , dengan 0 ≤ B ≤ л Jika a = 0 atau b = 0 maka a ∙ b = 0 dan sudut ө tidak tertentu. Tanda dari a ∙ b ditentukan oleh besarnya ө 1. Jika 0 ≤ ө <

1 л, maka a ∙ b > 0 2

a 2. Jika ө =

1 л, maka a ∙ b = 0 2

b

a

55

3. Jika

1 л < ө ≤ л , maka a ∙ b < 0 2

a Gambar 5.36 Tanda dari a ∙ b berdasarkan besarnya ө

Catatan 1. Karena cos ө = cos (-ө), maka arah pengukuran ө dari a ke b atau dari b ke a tidak menjadi soal. 2. Bila a ± b , maka a ∙ b = 0 3. Hasil kali skalar dua vektor bukanlah suatu vektor melainkan suatu bilangan (skalar).

2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar Misalkan A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka: OA =

2

2

a1  a 2  a3

2

(b1  a1 ) 2  (b2  a2 ) 2  (b3  a3 ) 2

│ AB │ = Z

Y B(b1, b2, b3)

A(a1, a2, a3)

b a O

X

Gambar 5.37 Bentuk komponen perkalian skalar

56

Dengan menggunakan aturan cosinus pada ∆ AOB, maka: 2

2

2

AB = OA + OB - 2 │ OA ││ OB │ cos ө

(b1 - a1)2 + (b2 – a2)2 + (b3 – a3)2 = (a12 + a22 + a32) + (b12 + b22 + b32) – 2 │ a ││ b │cos ө -2 a1 b1 - 2 a2 b2 - 2 a3 b3 = – 2 │ a ││ b │cos ө a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = │ a ││ b │cos ө a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = a ∙ b atau a ∙ b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

 a1    Jika a =  a 2  dan b = a   3

 b1     b2  maka ; b   3

 a1   b1      a ∙ b =  a 2  ∙  b2  = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3  a  b   3  3 Contoh : Jika A(1, 5, 8), B(-2, 1, 3), dan C(1, -6, 0), AB = u dan BC = v , hitunglah u ∙ v Jawab:

  2   u = AB = b - a = 1  3   

1     5 = 8  

3     4 s 5  

1    2   3        v = BC = c - b =   6  - 1  =   7  0  3    3         3 3      u ∙ v =   4  ∙   7  = -3(3) + (-4)(-7) + (-5)(-3)  5  3     = -9 + 28 + 15 = 34

57

3. Besar Sudut Antara Dua Vektor Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki vektor b . Sudut yang diambil adalah sudut terkecil. Sudut Dari rumus: a ∙ b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a ∙ b = │ a ││ b │cos ө

Gambar 5.38 Sudut antara dua vektor Diperoleh: cos ө =

a b ab

=

a1b1  a2 b2  a3b3 2

2

a1  a2  a3

2

2

2

b1  b2  b3

2

Contoh: Carilah besar sudut antara a dan b , bila a = i + j + 2 k dan b = - 2 i + j + k Jawab: Langkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah 1. Contoh di atas memberikan informasi adanya dua vektor berarah a dan b yang memiliki satuan-satuan a = i + j + 2 k dan b = - 2 i + j + k 2. Kedua vektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara a dan b 3. Untuk memperoleh besar sudut a dan b , maka digunakan rumus perkalian skalar antara a dan b , sehingga a ∙ b = │ a ││ b │cos ө cos ө =

a b ab

58

4. Dari langkah (1) kita memperoleh vektor satuan-vektor satuan dari vektor a dan b , yaitu

1    a = 1  ; b =  2  

  2   1   1   

5. Dari langkah (4) didapatkan:

1    a ∙ b = 1  ∙  2   cos ө =

a b ab

  2   1  = -2 + 1 – 2 = -3  1   

3 3 1 =  1  1  44  1  1 36 2

=

ө = arc cos



1 2



= 1200 4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar a. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Perkalian Skalar

 a1    Misalkan a =  a 2  , b = a   3

 b1   c1      3  b2  , dan c =  c2  adalah vektor-vektor di R yang dinyatakan b  c   3  3

dalam bentuk vektor kolom di mana berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Komutatif, yaitu a ∙ b atau dari b ∙ a 2. Distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan, yaitu a ∙ (b + c ) =a ∙ b + a ∙c Bukti :

 a1   b1      1. a ∙ b =  a 2  ∙  b2   a  b   3  3 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 = b ∙a Jadi, a ∙ b = b ∙ a terbukti bahwa pada perkalian skalar bersifat komutatif.

59

 b1    2. b + c =  b2  + b   3

 c1     c2  = c   3

 b1  c1     b2  c2  b  c   3 3

 a1   b1  c1      a ∙ ( b + c ) =  a 2  ∙  b2  c2   a  b  c   3  3 3 = a1 (b1 +c1 ) + a2 (b2 +c2) + a3 (b3 +c3 ) = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3) + (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3) = a ∙b + a ∙ c Jadi, a ∙ ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c terbukti adanya sifat distributif. b. Hal-Hal Mengenai Perkalian Skalar Hal-hal mengenai perkalian skalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut. 1. Tidak tertutup, sebab a ∙ b bukan vektor. 2. Tidak mempunyai elemen identitas, sebab a ∙ c = a tidak mungkin. 3. Tidak memiliki elemen invers, sebab a ∙ c bukan vektor. 4. Tidak asosiatif, sebab a ∙ ( b + c ) dan ( a ∙ b ) ∙ c ) tidak berarti.

Contoh: Jika │ a │= 4,│ b │= 6 dan besar sudut antara a dan b adalah Carilah: a. a ∙ ( b + a )

b. b ∙ ( a + b )

Jawab: a. a ∙ ( b + a ) = a ∙ b + a • a = │ a ││ b │cos = 4x6x = 12

1 2

2 1 л + a 4

2 + 42

2 + 16 60

1 л 4

= 16 + 12

2

b. b ∙ ( a + b ) = b ∙ a + b ∙ b = │ b ││ a │cos =6×4× = 12

1 2

1 л + │b │2 4

2 + 62

2 + 36

= 36 + 12

2

5. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain Salah satu kegunaan dari perkalian skalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada vektor lain. a. Proyeksi Skalar Ortogonal Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor. Misalkan proyeksi OA pada OB adalah OC (perhatikan Gambar 5.39). A

O

C

Gambar 5.39 Proyeksi skalar ortogonal

| OC | = | c | disebut proyeksi skalar ortogonal a pada b . | c | = │ a │cos  (perhatikan ∆ AOC pada Gambar 5.39 di mana cos  =

OC OA

=

c a

Dari rumus: a ∙ b = │ a ││ b │cos  Diperolah : a ∙ b = │ a ││ b │cos  (ruas kanan dan ruas kiri sama-sama dibagi dengan │ b │) 61

│ a │ cos  =

a b

pada gambar

b | c | = │ a │cos  Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah c=

a b b

Nilai proyeksi skalar ortogonal mungkin positif, nol, atau negatif, tergantung dan besamya sudut

. Jika: 1. 0 ≤  < 2.  = 3.

1 л , maka | c | positif 2

1 л, maka | c | = 0 2

1 л <  ≤ л , maka | c | negatif 2

b. Proyeksi Vektor Ortogonal Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c Vektor satuan dari c =

c c

atau c = | c | , karena vektor c searah dengan vektor maka vektor

satuan dari b maka vektor satuan dari c adalah juga vektor satuan dari b sehingga OC = c = | c | =

vektor satuan dari b

 

a b a b b ∙ = ∙b 2 b b b

Jadi, proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah

Contoh: Diketahui a = 2 i - 3 j + 6 k dan b = 2 i + 2 j + k 62

Carilah: a. proyeksi skalar ortogonal a pada b , b. proyeksi skalar ortogonal b pada a , dan c. proyeksi vektor ortogonal a pada b Jawab:

 2   2     a ∙ b =   3  ∙  2  = 4 + (-6) + 6 = 4  6  1      b ∙ a = a ∙b = 4 │ a │=

2 2  (3) 2  6 2 =

│ b │=

2 2  2 2  12 =

4  9  36 = 7

4  4 1 = 3

a. Misalkan proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah | c | di mana c=

a b b

=

4 3

b. Misalkan proyeksi skalar ortogonal b pada a adalah | d | di mana | d|=

ba a

=

4 7

c. Misalkan proyeksi skalar ortogonal b pada a adalah c , dimana c=

a  bb = b

2

4 (2 i + 2 j + k ) 32

=

4 2i + 2 j + k 9

=

8 8 4 i + j+ k 9 9 9

6. Perkalian Silang Dua Vektor Perkalian silang vektor a dan b ditulis dengan a x b (dibaca a kros b) yang hasilnya adalah merupakan sebuah vektor. Bila c = a x b , harus dipenuhi syarat: 63

1. c  a 2. c  b 3. Arah putaran dari a ke b menuju c 4. | c | = │ a ││ b │sin  , di mana  sudut antara a dan b Putar sekrup dari arah a ke b , maka sekrup akan bergerak ke arah c . Di mana c tegak lurus bidang yang dibentuk oleh a dan b . Jadi a x b = c Sebaliknya jika sekrup diputar dari arah b ke a , maka sekrup akan bergerak ke arah c negatif (c). Jadi b x a = - c

c= a x b Gambar 5.40 Arah putar sekrup

Catatan Apabila a = 0 atau b = 0, maka a x b = 0

Gambar 5.41 Perkalian silang dua vektor dengan arah sumbu Y, a x b= c Kita tinjau untuk b x a , karena b x a harus memenuhi aturan putaran sekrup sehingga arah b x a berlawanan dengan arah a x b sedangkan besarnya tetap. Bila arah dari a x b adalah c , arah dari b x a adalah d , dapat dikatakan bahwa: a x b = - ( b x a) Apabila: (a1 i , a2 j , a3 k ) dan (b1 i , b2 j , b3 k ), dapat dibuktikan bahwa: 64

c b a d= bx a

Gambar 5.41 Perkalian silang dua vektor dengan arah berlawanan sumbu Y, b x a = d = - c a x b = i a1

j

k

a2

a3

b1,

b2

b3

Ruas kanan dari persamaan di atas adalah determinan berderajat tiga yang harganya dapat dicari dengan metode Sarrus sebagai berikut.

j

i

i

k

j

a1

a2

a3

a1

a2

b1,

b2

b3

b1,

b2

(+)

(+)

(+)

(-) (-) (-)

= (a2 b3 i + a3 b1 j + a1 b2 k ) – (a2 b1 i + a3 b2 j + a1 b3 k ) S Contoh: Jika a = 3 i - 2 j + k dan b = 2 i + j + 3 k , carilah a x b dan b x a Jawab:

a ×b = i

j

k

i

j

3

-2

1

3

-2

2

1

2

1

3

Tugas

  3   Vektor-vektor a = 1  dan b = 2   

= (-6 i + 2 j + 3 k ) - (- 4 k + i + 9 j )

  2    4  saling tegak kurus. Carilah nilai  

= -6 i + 2 j + 3 k + 4 k - i - 9 j = -7 i - 7 j + 7 k = - (7 i + 7 j - 7 k )

65

b× a =

i

j

k

i

j

2

1

3

2

1

3

-2

1

3

-2

= ( i + 9 j - 4 k ) – (3 k - 6 i + 2 j ) = i + 9 j - 4k ) – 3k + 6i - 2 = 7i + 7 j - 7 k  a × b = - (b × a )

Sifat-Sifat Perkalian Silang Dua Vektor 1. Tidak komutatif. Untuk setiap vektor a dan b berlaku: a × b = - ( b × a ) 2. Bersifat distributif terhadap penjumlahan Untuk setiap vektor a , b dan c berlaku: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 3. Untuk setiap bilangan k dan vektor a dan b berlaku: k ( a × b ) = (k a ) × b = a × (k b ) 4. Untuk vektor satuan i , j , k berlaku: i ×i = 0

j× j = 0

i× j = k

j× k = i

k × k =0 k × i= j

5. Untuk setiap vektor a , berlaku a × a = 0 6. │ a × b │menyatakan luas jajar genjang yang sisinya a dan b 7.

1 │ a × b │menyatakan luas segitiga yang dua sisinya adalah a dan b 2

8. Jika a × b = 0, a dan b bukan vektor nol, a a sejajar dengan b ( a // b )

66

c. Rangkuman kegiatan belajar 4: 1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan dengan a ∙ b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang didefinisikan oleh: a ∙ b = │ a ││ b │cos ө ө adalah sudut antara a dan b , dengan 0 ≤ B ≤ л Jika a = 0 atau b = 0 maka a ∙ b = 0 dan sudut ө tidak tertentu. 2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar Misalkan A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka: 2

2

a1  a 2  a3

OA = │ AB │ =

2

(b1  a1 ) 2  (b2  a2 ) 2  (b3  a3 ) 2

3. Besar Sudut Antara Dua Vektor Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki vektor b . Sudut yang diambil adalah sudut terkecil. 4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar a. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Perkalian Skalar b. Hal-Hal Mengenai Perkalian Skalar Hal-hal mengenai perkalian skalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut. 1. Tidak tertutup, sebab a ∙ b bukan vektor. 2. Tidak mempunyai elemen identitas, sebab a ∙ c = a tidak mungkin. 3. Tidak memiliki elemen invers, sebab a ∙ c bukan vektor. 4. Tidak asosiatif, sebab a ∙ ( b + c ) dan ( a ∙ b ) ∙ c ) tidak berarti.

67

5. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain a. Proyeksi Skalar Ortogonal Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor. b. Proyeksi Vektor Ortogonal Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c Vektor satuan dari c =

c c

atau c = | c | , karena vektor c searah dengan vektor maka

vektor satuan dari b maka vektor satuan dari c adalah juga vektor satuan dari b sehingga OC = c = | c | =

vektor satuan dari b

 

a b a b b ∙ = ∙b 2 b b b

Jadi, proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah

6. Perkalian Silang Dua Vektor Perkalian silang vektor a dan b ditulis dengan a x b (dibaca a kros b) yang hasilnya adalah merupakan sebuah vektor. Bila c = a x b , harus dipenuhi syarat: 1. c  a 2. c  b 3. Arah putaran dari a ke b menuju c 4. | c | = │ a ││ b │sin  , di mana  sudut antara a dan b d. Tugas Kegiatan Belajar Diskusikan soal-soal LKS tentang pembagian dalam bentuk koordinat untuk dipresentasikan.

68

e. Tes Formatif 1. Jika P pada AB , carilah koordinat P, jika: a. A(-2, -3), B(3, 7), dan AP : PB = 3 : 2 b. A(-3, -2, -1), B(0, -5, 2), dan AP : PB = 4:-3 2. Carilah a ∙ b jika : a. a = 2 i + j + k dan b = 3 i + 2 j - k b. a = 5 i + 4 j dan b = 2 i - 2 j + 4 k 3. Carilah besar sudut AOB jika O titik pangkal untuk masirig-masing soal berikut ini! a. A(1, 0, 0) dan B(1, 1, 0)

1  1  0       4.. Jika a =   1 , b =  2  , dan c =  4  Carilah x bila a ∙ ( b + c ) = a . a 1  1   x       f. Kunci Jawaban 1. a. Titik P membagi di dalam xp =

3  3  2  2 94 = =1 3 2 5

yp =

3  7  2  3 21  6 = =3 3 2 5

Jadi, koordinat P (1, 3) b. Titik P membagi di dalam xq =

4  0   3  (3) 9 = =9 43 1

yq =

4  (5)   3  (2)  14 = = - 14 43 1

zq =

4  2  (3)  (1) 12 = = 12 43 1

Jadi, koordinat Q (9, -14, 12)

69

 2 3      2. a. a = 1  b =  2  1   1      2 3      a . b = 1  .  2  = (2)(3) + (1)(2) + (1)(-1) = 7 1   1     5 2      b. a =  4  b =   2  0 4      5  2      a . b =  4  .   2  = (5)(2) + (4)(-2) + (0)(4) = 2 0 4      3. Langkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah 1. Contoh di atas memberikan informasi adanya dua vektor berarah a dan b yang memiliki satuan-satuan a = i dan b = i + j 2. Kedua vektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara a dan b 3. Untuk memperoleh besar sudut a dan b , maka digunakan rumus perkalian skalar antara a dan b , sehingga a ∙ b = │ a ││ b │cos ө cos ө =

a b ab

4. Dari langkah (1) kita memperoleh vektor satuan-vektor satuan dari vektor a dan b , yaitu

1    a = 0 ; b = 0  

1    1  0  

5. Dari langkah (4) didapatkan:

1    a ∙ b = 0 ∙ 0  

1    1  = 1 0  

70

cos ө =

a b

=

ab

ө = arc cos



1 2

1

1  0  01  1  0

=

1 2



= 1200

1  1  0       4. a =   1 , b =  2  , dan c =  4  Carilah x bila a ∙ ( b + c ) = a . a 1  1   x       1      1 . 1   

1   0       2 +  4 1   x     

1  1      =   1 .  6  1   x      = (1)(1) + (-1)(6) + (1)(x) = -5 + x

-x = -5 x=5 g. Lembar Kerja Siswa (LKS) 1.

Diketahui a = i + j b = 2i - 3 j + k c = 4 j - 3k Carilah : a. a × b

d. ( a × b ) + ( a × c )

b. b × a

e. b × c

c. a × c

f. a × ( b + c )

2. Carilah luas ∆ ABC yang titik-titik sudutnya A(2, -3, 1), B(1, -1, 2), dan C(-1, 2, 3)

3. Diketahui a = 10 i + 3 j + k dan b = x i + j + k , jika │ a × b │= 2 11 , carilah x. 4. Diketahui O(0, 0), A(4, 1), B(1, 4), dan C(6, 6). Hitung luas segi empat OABC. 71

5. Diketahui A(2, -1, 1), B(-1, 1, 1), dan C(x, y, z) agar vektor posisi dari C tegak lurus pada vektor posisi dari

titik A dan B, tentukan koordinat C

h. Tingkat Penguasaan Rumus :

Tingkat Penguasaan =

Jumlah Skor yang diperoleh x100% 15

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut: 1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3. 2.

60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

72

BAB III EVALUASI Evaluasi Kompetensi (Waktu 2 x 45 Menit) 1. Diketahui titik A (3,-2) dan titik B (-1,5). Ruas garis berarah AB sebagai wakil vektor p dan ruas garis berarah BA sabagai wakil vektor q . Tentukan vektor p dan vektor q dalam bentuk vektor kolom. 3  2. Diketahui vektor a =   , vektor b =  1

 2   , c =  4

  1   3 

a) Tentukan apakah a + b = b + a b) Periksalah apakah a + b = b + a c) Tentukan ( a + b ) + c = a + ( b + c ) d) Periksalah apakah ( a + b ) + c = a + ( b + c )   4   9  4 3. Diketahui vektor p =   , vektor q =   , dan vektor r =   2  6  8  Tentukan

1 1 1 p ,  q , dan r ! 2 3 4

4. Diketahui titik A (1, 7) dan titik B (4, 1). Titik C adalah sebuah titik pada garis hubung AB sehingga AC =

1 AB 3

a. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah AB b. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah AC c. Tentukan koornidat titik C 2  1  5. Diketahui vektor a =   , vektor b =   ,dan vektor c =   3  1

  2   4 

Tentukan a. c b. a  b 4  6. Misalkan diketahui vektor a =   , tentukan vektor satuan dari vektor a   3

73

3  2      7. Diketahuhi vektor a =  2  dan vektor b =   3   1 4      a) Tentukan a + b dan b + a b) Periksalah apakah a + b = b + a 8. Vektor posisi titik A dan titik B berturut – turut adalah a dan b . Titik C dan titik D pada ruas garis AB sehungga AC : CB = 1 : 3 dan AD : DC = 3 : -1 a) Tentukan vektor posisi titik C b) Tentukan vektor posisi titik D 9. Diketahui ruas garis PQ dengan koordinat titik P(2, 3, -1) dan koordinat titik Q (7, -2, 9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. tentukan koordinat titik R. 10. Panjang vektor a dan panjang vektor b masing – masing adalah 4 satuan dan 5 satuan. Besar sudut antara vektor a dan panjang vektor b sama dengan 600 Hitung hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b

74

SISTEM PENILAIAN Mata Pelajaran Kompetensi

:

Alokasi Waktu Sub

Metode

Kompetensi

Penilaian

(Kode) K.1

:

Matematika Menerapkan Vektor

:

20 Jam Penilaian

Total nilai

Instrumen

Nilai

LKS 1

10

Tes Formatif 1

10

LKS 2

10

Tes Formatif 2

10

LKS 3

10

Tes Formatif 3

10

LKS 4

10

Uraian

Tes Formatif

10

Objektif

4

Ulangan Blok

Evaluasi

Pemberian

20

Tugas Uraian Objektif K.2

Pemberian

20

Tugas Uraian Objektif K.3

Pemberian

20

Tugas Uraian Objektif K.4

Pemberian

20

Tugas

20

belajar satu kompetensi Jumlah

Nilai akhir

75

100

Kunci Jawaban Evaluasi 1. A (3,-2)  xa = 3, ya = -2 dan B (-1,5)  xb = -1, yb = 5

 xb  x a   = p = AB =   yb  y a 

  1  3    =  5   2 

  4   7 

 x a  xb   = q = BA =   y a  yb 

 3   1    =   2   5 

4     7

  4 4  Jadi, vektor p = AB =   dan vektor q = BA =   7   7

3   2 2. a). a + b =   +   =  1  4   2 b + a =   +  4

3    =  1

3  2    =  1  4 2  3    =  4  1

 5    3

 5    3

b). Berdasarkan hasil – hasil perhitungan yang diperoleh pada a) ;  5 a + b =    3  5 b + a =    3

jadi, a + b = b + a

Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa penjumlahan vekor dalam bidang bersifat komutatif. c). Dengan menggunakan hasil a) :  5    1 ( a + b ) + c =   +   =  3  3 

 5   1   = 3  3 

 4   6

 2   1 1   =   Dihitung terlebih dahulu ( b + c ) =  4  3  7   1 1   3  1   = a + ( b + c ) =   +   =  3  7  1 7

 4   6

76

d). Dengan menggunakan hasil – hasil perhitungan pada bagian c), diperoleh :  4 a + ( b + c ) =   6  4 ( a + b ) + c =   6

jadi, ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa penjumlahan vektor dalam bidang bersifat asosiatif.

1 1 p = 3. 2 2

1    4    4  2 =   =  2   1 2     2 

  2   1 

 1     9  9 1 1  3 =  q =    =   3 3 6   1   6   3  1   4  1 1  4  4  r =   = = 4 4 8   1   8  4 

3      2

1     2

1  4. a). Koordinat titik A (1, 7), maka OA = a =   7  4 Koordinat titik B (4, 1), maka OB = b =   1   4 AB = b - a =   1 

1    = 7

 4  1   = 1  7 

3      6

3  Jadi, ruas garis berarah AB =     6 b). AC =

1 1 3   = AB = 3 3   6 

1      2

1  jadi, ruas garis berarah AC =     2 x c). Misalkan koordinat titik C adalah (x,y), maka OC = c =    y 77

x AC = c - a =    y

1    = 7

 x 1     y  7

Dengan menggunakan hasil perhitungan b), diperoleh hubungan ;  x 1    =  y  7

1      2

Berdasarkan hubungan vektor di atas, diperolah : x – 1 = 1, menghasilkan x = 2 y – 7 = -2, menghasilkan y = 5 jadi, koordinat titik C adalah (2,5)

5. a). c =

(2) 2  (4) 2 =

20 = 2 5

Jadi, panjang vektor c adalah c = 2 5 satuan panjang.  2  1  b). a + b =   +   =   3   1

ab =

3      4

(3) 2  (4) 2 =

25 = 5

Jadi, panjang vektor a + b adalah a  b = 5 satuan panjang.

6. Mula – mula ditentukan terlebih dahulu panjangf dari vektor a

a=

(4) 2  (3) 2 =

25 = 5

4    a 1 4   5  Vektor satuan dari a adalah e = =   = a 5   3   3     5  4    4  5  Jadi, vektor satuan dari a =   adalah e =    3   3    5 

3   2  5        7. a). a + b =  2  +   3  =   1  1  4   3       

78

 2  3      b + a =   3 +  2  =  4   1    

5      1 3   

b). Dengan menggunakan hasil – hasil perhitungan pada bagian a), diperoleh :

5    a + b =   1 3    5    b + a =   1 3   

jadi, a + b = b + a

Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa penjumlahan vektor dala ruang bersifat komutatif.

8. a). Titik C pada ruas garis AB sehingga AC : CB = 1 : 3 atau m = 1 dan n = 3 Vektor posisi titik C adalah vektor c ditentukan oleh: c =

mb  na mn

 c =

1b  3a 1 3

c =

1 1 ( b + 3 a ) = (3 a + b ) 4 4

Jadi, vektor posisi titik C adalah = c =

1 (3 a + b ) 4

b). Titik D pada ruas garis AB sehingga AD : DB = 3 : -1 atau m = 3 dan n = -1 vektor posisi titik D adalah vektor d ditentukan oleh : d=

mb  na mn

 d =

3b  1a 3 1

d =

1 (3 b - a ) 2

Jadi, vektor posisi titik D adalah = d =

1 (3 b - a ) 2

79

9. Titik R membagi ruas garis PQ dengan

P(2, 3, -1)

Q(7, -2, 9)

perbandingan 1 : 4 atau PR : RQ = 1 : 4 sebagaimana diperlihatkan pada gambar di

R

samping. Misalkan koordinat titk R(x, y, z), maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik –titik di ruang dengan m = 1 dan n = 4, diperoleh :  17   42   x=  = 3  1 4   1 2   43  y = = 2 1 4    19   4 1  z = = 1  1 4 

Jadi, koordinat titik R adalah (3. 2, 1)

10. Berdasarkan definisi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b ditentukan oleh : a . b = a b cos   a . b = 4 x 5 x cos 600 , sebab  (sudut antara vektor a dengan vektor b ) = 600  a .b = 4 x 5 x

1 = 10 2

Jadi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektor b adalah a . b =10

80

BAB IV PENUTUP Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam Modul Eksponen ini adalah : 1.

Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 % atau lebih, maka siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya.

2.

Siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya setelah memperoleh rekomendasi dari guru mata pelajaran matematika.

3.

Peserta didik yang masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75 %, maka siswa harus mengulang secara keseluruhan atau bagian-bagian tahap kegiatan belajar yang belum dikuasai dengan baik.

4.

Kemungkinan diberikannya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih kecil dari 6, terutama terhadap siswa yang memperoleh nilai terendah.

5.

Pengayaan serta akselerasi bagi siswa yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai dengan ketersediaan waktu

81

Daftar Pustaka 

Sunardi, H. Dkk 2005.” MATEMATIKA Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta : Bumi Akasara.



Wirodikromo, S. 2006. “ Matematika Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Penerbit : Erlangga

82