Matematika II : Vektor
Dadang Amir Hamzah
sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg
2016 Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
1 / 24
Outline
1
Pendahuluan
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
2 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
2 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
2 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
2 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
5
Proyeksi Ortogonal
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
2 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
5
Proyeksi Ortogonal
6
Hasil kali silang (cross product)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
2 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
5
Proyeksi Ortogonal
6
Hasil kali silang (cross product)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
3 / 24
Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
4 / 24
Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran. Besaran skalar: besaran yang cukup dinyatakan dalam nilai, Contoh : panjang, massa, luas, volume, dll
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
4 / 24
Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran. Besaran skalar: besaran yang cukup dinyatakan dalam nilai, Contoh : panjang, massa, luas, volume, dll Besaran vektor: besaran yang mempunyai nilai dan arah , Contoh : kecepatan, gaya, torsi, dan lain-lain.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
4 / 24
Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran. Besaran skalar: besaran yang cukup dinyatakan dalam nilai, Contoh : panjang, massa, luas, volume, dll Besaran vektor: besaran yang mempunyai nilai dan arah , Contoh : kecepatan, gaya, torsi, dan lain-lain. Vektor dinotasikan dalam cetak tebal (v) atau simbol anak panah diatas (~v )
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
4 / 24
Pendahuluan
Secara geometri vektor merupakan segmen garis berarah di R2 (bidang) atau di R3 (ruang).
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
5 / 24
Pendahuluan
Secara geometri vektor merupakan segmen garis berarah di R2 (bidang) atau di R3 (ruang). Titik pangkal suatu vektor v adalah titik A titik ujungnya B, ditulis −−→ v = AB
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
5 / 24
Pendahuluan Secara geometri vektor merupakan segmen garis berarah di R2 (bidang) atau di R3 (ruang). Titik pangkal suatu vektor v adalah titik A titik ujungnya B, ditulis −−→ v = AB
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
5 / 24
Pendahuluan Secara geometri vektor merupakan segmen garis berarah di R2 (bidang) atau di R3 (ruang). Titik pangkal suatu vektor v adalah titik A titik ujungnya B, ditulis −−→ v = AB
−−→ Perhatikan vektor u = CD mempunyai arah dan panjang yang −−→ sama dengan v = AB.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
5 / 24
Pendahuluan Secara geometri vektor merupakan segmen garis berarah di R2 (bidang) atau di R3 (ruang). Titik pangkal suatu vektor v adalah titik A titik ujungnya B, ditulis −−→ v = AB
−−→ Perhatikan vektor u = CD mempunyai arah dan panjang yang −−→ sama dengan v = AB. Dua vektor dikatakan ekivalen atau sama bila keduanya mempunyai panjang dan arah yang sama.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
5 / 24
Pendahuluan Secara geometri vektor merupakan segmen garis berarah di R2 (bidang) atau di R3 (ruang). Titik pangkal suatu vektor v adalah titik A titik ujungnya B, ditulis −−→ v = AB
−−→ Perhatikan vektor u = CD mempunyai arah dan panjang yang −−→ sama dengan v = AB. Dua vektor dikatakan ekivalen atau sama bila keduanya mempunyai panjang dan arah yang sama. Vektor yang digeser-geser dengan mempertahankan panjang dan arah akan tetap sama dengan vektor semula. Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
5 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
5
Proyeksi Ortogonal
6
Hasil kali silang (cross product)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
6 / 24
Penjumlahan vektor
Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titik pangkalnya berada pada pangkal u dan titik ujungnya berada pada ujung v, sedangkan ujung u dan pangkal v dipertemukan.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
7 / 24
Penjumlahan vektor Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titik pangkalnya berada pada pangkal u dan titik ujungnya berada pada ujung v, sedangkan ujung u dan pangkal v dipertemukan.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
7 / 24
Penjumlahan vektor Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titik pangkalnya berada pada pangkal u dan titik ujungnya berada pada ujung v, sedangkan ujung u dan pangkal v dipertemukan.
Penjumlahan vektor ada dua jenis: Hukum segitiga (Kiri) dan Hukum jajargenjang (Kanan)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
7 / 24
Penjumlahan vektor Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titik pangkalnya berada pada pangkal u dan titik ujungnya berada pada ujung v, sedangkan ujung u dan pangkal v dipertemukan.
Penjumlahan vektor ada dua jenis: Hukum segitiga (Kiri) dan Hukum jajargenjang (Kanan) Vektor nol adalah vektor yang mempunyai panjang nol, arah kemana saja.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
7 / 24
Penjumlahan vektor Penjumlahan dua vektor u dan v merupakan vektor yang titik pangkalnya berada pada pangkal u dan titik ujungnya berada pada ujung v, sedangkan ujung u dan pangkal v dipertemukan.
Penjumlahan vektor ada dua jenis: Hukum segitiga (Kiri) dan Hukum jajargenjang (Kanan) Vektor nol adalah vektor yang mempunyai panjang nol, arah kemana saja. Negatif dari vektor : −v mempunyai panjang sama dengan v tetapi mempunyai arah berlawanan. Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
7 / 24
Perkalian skalar
Perkalian dengan skalar : kv merupakan vektor dengan panjan |k| kali panjang v.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
8 / 24
Perkalian skalar
Perkalian dengan skalar : kv merupakan vektor dengan panjan |k| kali panjang v.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
8 / 24
Perkalian skalar Perkalian dengan skalar : kv merupakan vektor dengan panjan |k| kali panjang v.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
8 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
5
Proyeksi Ortogonal
6
Hasil kali silang (cross product)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
9 / 24
Vektor secara aljabar
Secara aljabar kita gunakan koordinat Kartesius dalam menyatakan vektor.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
10 / 24
Vektor secara aljabar
Secara aljabar kita gunakan koordinat Kartesius dalam menyatakan vektor. Vektor dapat diidentifikasi dengan mudah apabila titik pangkal berada di pusat koordinat, sehingga vektor hanya diidentifikasi oleh titik ujungnya saja.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
10 / 24
Vektor secara aljabar Secara aljabar kita gunakan koordinat Kartesius dalam menyatakan vektor. Vektor dapat diidentifikasi dengan mudah apabila titik pangkal berada di pusat koordinat, sehingga vektor hanya diidentifikasi oleh titik ujungnya saja.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
10 / 24
Vektor secara aljabar Secara aljabar kita gunakan koordinat Kartesius dalam menyatakan vektor. Vektor dapat diidentifikasi dengan mudah apabila titik pangkal berada di pusat koordinat, sehingga vektor hanya diidentifikasi oleh titik ujungnya saja.
Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapat melakukan pergeseran Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
10 / 24
Vektor secara aljabar
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
11 / 24
Vektor secara aljabar
Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapat melakukan pergeseran
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
11 / 24
Vektor secara aljabar
Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapat melakukan pergeseran Misalkan vektor u mempunyai pangkal di titik A(x1 , y1 ) dan titik ujung di B(x2 , y2 ). Dengan menggeser pangkal ke (0, 0) artinya absis dan ordinat A masing-masing dikurangi x1 dan y1 kemudian titik ujung B juga digeser menjadi (x2 − x1 , y2 − y1 ).
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
11 / 24
Vektor secara aljabar
Bila titik pangkal vektor tidak di pusat koordinat kita dapat melakukan pergeseran Misalkan vektor u mempunyai pangkal di titik A(x1 , y1 ) dan titik ujung di B(x2 , y2 ). Dengan menggeser pangkal ke (0, 0) artinya absis dan ordinat A masing-masing dikurangi x1 dan y1 kemudian titik ujung B juga digeser menjadi (x2 − x1 , y2 − y1 ). Titik terakhir ini yang kemudian digunakan sebagai representasi vektor secara aljabar, yaitu u = hx2 − x1 , y2 − y1 i Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
11 / 24
Vektor secara aljabar Dengan notasi aljabar kita dapat melakukan operasi dengan mudah dan akurat. Jika u = hu1 , u2 i, v = hv1 , v2 i maka u + v = hu1 + v1 , u2 + v2 i αu = hαu1 , αu2 i
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
12 / 24
Vektor secara aljabar Dengan notasi aljabar kita dapat melakukan operasi dengan mudah dan akurat. Jika u = hu1 , u2 i, v = hv1 , v2 i maka u + v = hu1 + v1 , u2 + v2 i αu = hαu1 , αu2 i Untuk vektor di ruang (R3 ), kita dapat lakukan hal serupa. Jika u = hu1 , u2 , u3 i, v = hv1 , v2 , v3 i maka u + v = hu1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 i αu = hαu1 , αu2 , αu3 i
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
12 / 24
Vektor secara aljabar Dengan notasi aljabar kita dapat melakukan operasi dengan mudah dan akurat. Jika u = hu1 , u2 i, v = hv1 , v2 i maka u + v = hu1 + v1 , u2 + v2 i αu = hαu1 , αu2 i Untuk vektor di ruang (R3 ), kita dapat lakukan hal serupa. Jika u = hu1 , u2 , u3 i, v = hv1 , v2 , v3 i maka u + v = hu1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 i αu = hαu1 , αu2 , αu3 i Dengan sifat diatas berlaku sifat-sifat berikut :
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
12 / 24
Panjang vektor
Panjang vektor didefinisikan sebagai berikut
panjang vektor juga ditulis dalam k · k = | · | disebut norm
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
13 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
5
Proyeksi Ortogonal
6
Hasil kali silang (cross product)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
14 / 24
Dot product
Misalkan diberikan dua vektor u = hu1 , u2 i, v = hv1 , v2 i, perkalian titik u dan v didefinisikan sebagai u · v = u1 v1 + u2 v2
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
15 / 24
Dot product
Misalkan diberikan dua vektor u = hu1 , u2 i, v = hv1 , v2 i, perkalian titik u dan v didefinisikan sebagai u · v = u1 v1 + u2 v2 Perhatikan bahwa perkalian titik dua vektor menghasilkan skalar (bukan vektor)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
15 / 24
Dot product
Misalkan diberikan dua vektor u = hu1 , u2 i, v = hv1 , v2 i, perkalian titik u dan v didefinisikan sebagai u · v = u1 v1 + u2 v2 Perhatikan bahwa perkalian titik dua vektor menghasilkan skalar (bukan vektor) Hubungan perkalian titik dan panjang vektor adalah kuk2 = u · u
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
15 / 24
Dot product Misalkan diberikan dua vektor u = hu1 , u2 i, v = hv1 , v2 i, perkalian titik u dan v didefinisikan sebagai u · v = u1 v1 + u2 v2 Perhatikan bahwa perkalian titik dua vektor menghasilkan skalar (bukan vektor) Hubungan perkalian titik dan panjang vektor adalah kuk2 = u · u Dengan rumus aturan cosinus pada segitiga didapat ku − vk = kuk2 + kvk2 − 2kukkvk cos θ
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
15 / 24
Dot product Misalkan diberikan dua vektor u = hu1 , u2 i, v = hv1 , v2 i, perkalian titik u dan v didefinisikan sebagai u · v = u1 v1 + u2 v2 Perhatikan bahwa perkalian titik dua vektor menghasilkan skalar (bukan vektor) Hubungan perkalian titik dan panjang vektor adalah kuk2 = u · u Dengan rumus aturan cosinus pada segitiga didapat ku − vk = kuk2 + kvk2 − 2kukkvk cos θ Keduanya memberikan u · v = kukkvk cos θ rumus ini digunakan untuk menghitung sudut antara u dan v Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
15 / 24
Contoh
1
Diberikan u = h2, −1, 1i, v = h1, 1, 2i. Hitunglah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor.
2
Tentukan sudut antara diagonal dari kubus dan salah satu sisinya, jika panjang sisi dari kubus adalah k.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
16 / 24
Dot product
Perhatikan kuk dan kvk bernilai positif. Jika tanda u · v positif maka 0 < θ < π/2 (sudut lancip), jika tanda u · v negatif maka π/2 < θ < π (sudut tumpul).
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
17 / 24
Dot product
Perhatikan kuk dan kvk bernilai positif. Jika tanda u · v positif maka 0 < θ < π/2 (sudut lancip), jika tanda u · v negatif maka π/2 < θ < π (sudut tumpul). Jika θ = π/2 diperoleh u · v = 0, u dan v disebut saling ortogonal.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
17 / 24
Dot product
Perhatikan kuk dan kvk bernilai positif. Jika tanda u · v positif maka 0 < θ < π/2 (sudut lancip), jika tanda u · v negatif maka π/2 < θ < π (sudut tumpul). Jika θ = π/2 diperoleh u · v = 0, u dan v disebut saling ortogonal. Tinjau dua titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ) yang berada pada garis −−−→ ax + by + c = 0. Jelas vektor P1 P2 = hx2 − x1 , y2 − y1 i juga pada garis.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
17 / 24
Dot product
Perhatikan kuk dan kvk bernilai positif. Jika tanda u · v positif maka 0 < θ < π/2 (sudut lancip), jika tanda u · v negatif maka π/2 < θ < π (sudut tumpul). Jika θ = π/2 diperoleh u · v = 0, u dan v disebut saling ortogonal. Tinjau dua titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ) yang berada pada garis −−−→ ax + by + c = 0. Jelas vektor P1 P2 = hx2 − x1 , y2 − y1 i juga pada garis. −−−→ Vektor P1 P2 dengan vektor koefisien garis ha, bi adalah saling ortogonal.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
17 / 24
Dot product
Perhatikan kuk dan kvk bernilai positif. Jika tanda u · v positif maka 0 < θ < π/2 (sudut lancip), jika tanda u · v negatif maka π/2 < θ < π (sudut tumpul). Jika θ = π/2 diperoleh u · v = 0, u dan v disebut saling ortogonal. Tinjau dua titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ) yang berada pada garis −−−→ ax + by + c = 0. Jelas vektor P1 P2 = hx2 − x1 , y2 − y1 i juga pada garis. −−−→ Vektor P1 P2 dengan vektor koefisien garis ha, bi adalah saling ortogonal. −−−→ Vektor ha, bi = n disebut normal vektor P1 P2 .
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
17 / 24
Sifat perkalian titik
Jika u, v dan w adalah vektor, k skalar maka 1
u·v =v·u
2
u · (v + w) = u · v + u · w
3
k(u · v) = (ku) · v = u · kv
4
Jika u 6= 0 maka u · u > 0 dan jika u · u = 0 maka u = 0
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
18 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
5
Proyeksi Ortogonal
6
Hasil kali silang (cross product)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
19 / 24
Proyeksi ortogonal Diberikan vektor u dan a. Vektor w1 merupakan proyeksi u pada a, ditulis proja u. Vektor w2 tegak lurus w1 dan berlaku w2 = u − w1 .
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
20 / 24
Proyeksi ortogonal Diberikan vektor u dan a. Vektor w1 merupakan proyeksi u pada a, ditulis proja u. Vektor w2 tegak lurus w1 dan berlaku w2 = u − w1 .
Akan dicari hubungan w1 dengan u dan a
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
20 / 24
Proyeksi ortogonal Diberikan vektor u dan a. Vektor w1 merupakan proyeksi u pada a, ditulis proja u. Vektor w2 tegak lurus w1 dan berlaku w2 = u − w1 .
Akan dicari hubungan w1 dengan u dan a w1 paralel dengan a artinya w1 kelipatan dari a yaitu w1 = ka, sehingga u = w1 + w2 = ka + w2
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
20 / 24
Proyeksi ortogonal Diberikan vektor u dan a. Vektor w1 merupakan proyeksi u pada a, ditulis proja u. Vektor w2 tegak lurus w1 dan berlaku w2 = u − w1 .
Akan dicari hubungan w1 dengan u dan a w1 paralel dengan a artinya w1 kelipatan dari a yaitu w1 = ka, sehingga u = w1 + w2 = ka + w2 Perkalian titik u dan a memberikan u · a = ka · a + w2 · a = ka · a (w2 ⊥a)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
20 / 24
Proyeksi ortogonal Diberikan vektor u dan a. Vektor w1 merupakan proyeksi u pada a, ditulis proja u. Vektor w2 tegak lurus w1 dan berlaku w2 = u − w1 .
Akan dicari hubungan w1 dengan u dan a w1 paralel dengan a artinya w1 kelipatan dari a yaitu w1 = ka, sehingga u = w1 + w2 = ka + w2 Perkalian titik u dan a memberikan u · a = ka · a + w2 · a = ka · a (w2 ⊥a) Didapat k= Dadang Amir Hamzah
u·v kak2
Matematika II
Semester II 2016
20 / 24
Proyeksi Ortogonal
Jadi proyeksi ortogonal u pada a adalah u·v w1 = proja u = a kak2
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
21 / 24
Aplikasi : Jarak titik ke garis
Misalkan diberikan titik P0 (x0 , y0 ) dan garis g ≡ ax + by + c = 0. Kemudian D adalah jarak P0 ke garis g. Dengan proyeksi ortogonal dapat ditunjukkan bahwa ax0 + by0 + c D= √ a2 + b2
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
22 / 24
Outline
1
Pendahuluan
2
Penjumlahan dan perkalian skalar vektor
3
Vektor secara aljabar
4
Hasil kali titik (dot product)
5
Proyeksi Ortogonal
6
Hasil kali silang (cross product)
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
23 / 24
Perkalian silang
Perkalian silang didefinisikan pada vektor di ruang (R3 ). Misalkan diberikan vektor u = hu1 , u2 , u3 i dan v = hv1 , v2 , v3 i Perkalian silang u dan v ditulis u × v. Didefinisikan sebagai u × v = hu2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 i Hasil perkalian silang dua vektor adalah vektor.
Dadang Amir Hamzah
Matematika II
Semester II 2016
24 / 24
