Modul Matematika 2012 1.
ANTI TURUNAN Definisi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F’ (x) = f (x) pada I dinamakan anti turunan atau fungsi primitif dari fungsi f pada I.
Contoh : 1. F(x) = cos x anti turunan dari f (x) = sin x sebab F’(x) = sin x 2. a(x) = 2x2 anti turunan dari f (x) = 4x sebab a’ (x) = 4x 3. v(x) = 1 x 3 anti turunan dari g(x) = x2 sebab v’ (x) = x2 3 Definisi Anti diferensial dari fungsi f pada selang terbuka I adalah bentuk yang paling umum dari anti turunan atau fungsi primitif dari f pada selang tersebut. Jika F'(x) = f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada I adalah y = F(x) + C, C konstanta.
Definisi Misalkan y = F(x) + C adalah anti turunan dari y = f (x) maka :
f (x)dx = F(x) + C
Bentuk f (x) dx dinamakan integral tak tentu dari fungsi y = f (x) Lambang “ ” dinamakan “ integral ” yaitu merupakan operasi “anti differensial” Dalil 1 1.
a dx = ax + C
2.
ax n dx =
3.
sin x
4.
cos x dx = sin x + C
Suryari Purnama
a xn 1 + C ; n n +1
dx =
cos x + C
1
5.
1 x
6.
ex
7. 8.
dx = ln x + C dx =
ex
+C
sec 2 x dx = tg x + C cos ec 2 x dx = ctg x + C
1
Modul Matematika 2012 Dalil 2 1.
[f(x)
g(x)] dx =
2.
k. f(x) dx = k.
f (x) dx
g (x) dx
f (x) dx ; k suatu konstanta.
Contoh : 1. Hitung x 2 3 x 5 dx Jawab : x2 dx 3 x dx (x2 3x 5) dx = 2. Tentukan (sin x cos x e x Jawab : (sin x
cos x
ex+ 2x) dx
5 dx = 1 x3 3 x2 + 5x + C 3 2
2x ) dx
= =
exdx+ 2x dx
sin x dx + cos x dx cos x
sin x-ex
x2
C
3. Tentukan ( x x)( x 1) dx Jawab : ( x x)( x 1) dx = (x x x x x ) dx = = 4. Tentukan
x3
2x + x x x
3 1 (- x x x 2 x ) dx = (-x 2 x 2 2 x ) dx 3 5 2 x 2 2 x 2 x2 C = - 2 x x 2 x2 x 5 5 3 3
x2
C
2 dx
Jawab : x3
1 2x + x 2 3 x2
2 dx
=
3 (x2
3 1 2x 2 + 1 + 2x 2 ) dx x
= 2 x2 x 5
5.
6.
Tentukan ( x Jawab : ( x x)2 dx
4 x
ln x
5
1
1
= 2 x 2 4x 2 + ln x 4x 2 + C 5
4 x
C
x)2 dx
= ( x 2x x x 2 ) dx = x 2 x 3 / 2 1 4 5/2 1 3 = x2 x x C 2 5 3 1 4 2 1 3 x x x C = x2 2 5 3
x 2 dx
Gradien garis singgung pada grafik y = (x) di setiap titik (x , y) dinyatakan oleh bentuk dy/dx = 2x 5. Bila grafik y = f (x) melalui titik A (1 , 7), tentukan persamaan fungsi y = f (x) !
Suryari Purnama
2
Modul Matematika 2012 Jawab : dy = 2x 5 dy = (2x - 5) dx dx dy = (2x 5) dx y = ( 2x 5)dx = x2 5x + C Grafik melalui titik A(1 , 7), jadi 7 = 12 5(1) + C didapat C = 11 Akibatnya persamaan y = f (x) adalah y = f (x) = x2 5x + 11
2.
INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI Misalkan u = u (x) dan y = f (u) masing-masing anti turunan dari u'(x) dan f ' (u), maka :
f ' ( u )du f ( u ) C
Bentuk integral di atas, dikenal dengan bentuk integral dengan subtitusi. Dalil 3 1.
ax
n
b
1 1 . . ax a n 1
dx
1 cos a
2.
sin(ax
b)dx
3.
cos(ax
b)dx
4.
1 dx ax b
Contoh : 3x 1.
6
2.
4
3.
sin(2t
5x
11
dx
2dx
1 cos x tan4 xdx
5.
= =
1 .ln(ax a
5x
2
Suryari Purnama
b)
1/4
b
6
12
1 ax e a
b
C
C
1 . 3x 36
6
2
5/4
2 1 cos x
C
11
C
C
)
tan2 x tan2 xdx
x
eax bdx
C
1 4 . . 5x 5 5
dx
1 cos x
tanx
5.
C
C
d(1 cos x)
dx
n 1
b
1 cos(2t 2
tan2 x sec2 xdx
1 tan3 x 3
ax ax
1 1 . . 3x 3 12
)dt
sinx
4.
1 sin a
b
tan2 xdx
tan2 x(sec2 x 1)dx
=
tan2 xd(tan x)
(sec2 x 1)dx
C
3
Modul Matematika 2012
3.
INTEGRAL PARSIAL Misalkan u = u(x) dan v = v(x) fungsi-fungsi yang differensiabel pada daerahnya, maka
udv
uv
vdu
dinamakan bentuk integral parsial. Contoh : 1. Tentukan
x sin x dx
Jawab : Misalkan u = x dan dv = sin x dx, maka didapat du=dx dan v = cos x x sin x dx = x cos x ( cosx)dx = …….. dst. 2. Tentukan
xdx x 1
dengan rumus integrasi parsial
Jawab : Misalkan u = x dan dv = xdx x 1
4.
=2x x 1
dx x 1
maka du = dx dan v = 2 x 1
2 x 1dx
……… dst.
INTEGRAL TERTENTU Definisi Misalkan y = F(x) anti turunan dari y = f(x) dan masing-masing terdefinisi pada daerah : b
a
x
b, maka
f(x) dx = F(x) a
b a
= F(b) – F(a)
Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dari y = f(x) a dan b disebut batas integral dengan a merupakan batas bawah dan b merupakan batas atas.
Suryari Purnama
4
Modul Matematika 2012
Dalil 4 a
1.
f ( x ) dx
Bila f(a) terdefinisi, maka
0
a b
a
f ( x) dx
2.
f ( x) dx
a
b
b
c
f ( x) dx
3. a
c
f ( x) dx
f ( x) dx
b
a
Contoh : 2
(x2
1. Hitung
x) dx
0
Jawab : 2
(x2
x) dx
2
= 1/3 x3 – ½ x2
0
0
2. Hitung
cos (2t
=
1 ( 8 3
1 1 4) ( 0 2 3
1 0) 2
8 3
2
2 3
) dt
0
Jawab :
cos (2t
) dt =
½ .sin (2t
)
0
0
= ½ [sin 2
3. Hitung
(3x
1
4)2
) – sin (0
= ½ [sin (2
– sin (
)]
)] = 0
dx
0
2
3
( 3 x 4 ) 2 dx =
Jawab :
1 2 3 5
2
5
(3x 4) 2
0
0
=
Suryari Purnama
2 15
5
[ 10 2
5
4)2 ]
=
2 15
2 15
5
[(6 4) 2
(100 10
5
(0 4) 2 ] 32 )
5
Modul Matematika 2012 5.
LUAS DAERAH Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a x b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x y = a ke x = b adalah f
b
f ( x) dx
L= a
0
a
x
b
Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a x b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dengan semubu x dari x = a ke x = yb adalah b
a 0
b
x
f ( x) dx
L=
f
a
Misalkan f(x) g (x) pada daerah a grafik y = f(x) dan y = g(x) adalah
x
b maka luas daerah yang dibatasi oleh y
f
b
[ f ( x ) g( x ) ] dx
L=
g
a a
b
x
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x 2
L = y dx
Jawab :
0
Y
2
= ( x2
L
2 x ) dx
1 3
0 0
Suryari Purnama
2
X
=(
1 3
. 8 + 4) – 0 =
x3
x2
2 0
4 3
6
Modul Matematika 2012 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8 Jawab : y = x2 ……... (1) y = x + 6 ……… (2) 2 y=x
Dari (1) dan (2) didapat x2 = x + 6 x2 – x – 6 = 0 x1 = 3 ; x2 = 2
y=x+6
-2 0
3
x 2 ) dx
Luas daerah, L = ( x 6 = ( 92 + 18 – 9)
1 2
x2
(2 – 12 +
8 3
6 x ( 13 )x 3
3 2
) = 4 ½ + 51/3 = 21
1
2
6. ISI BENDA PUTAR Misalkan y = f(x) terdefinisi dan integrabel pada daerah a x b, bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah : Y
y 2 dx
I= a
[ f ( x)]2 dx
X
b
Contoh : 1. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x 2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x Jawab : Isi benda putar yang terjadi Y
1
0
I
X
0
Suryari Purnama
1
y 2 dx
I=
x 4 dx 0
1 5
x5
1 0
1 5
7
Modul Matematika 2012 2. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x 2 dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x Y y = x2
Jawab : Batas integral y
x2
y
x
y= x+ 2
-1
x2 = x + 2
2
0
2
X
x2 – x – 2 = 0 didapat x1 = 1 dan x2 = 2. Isi benda putar yang terjadi : 2 2 I= ( x 2 ) 2 ( x 2 ) 2 dx [( x 2 4 x 4 ) x 4 ] dx 1
1
1 3 x 3
= (
2x2
4x
1 5
x 5 ) 21 =
174 15
LATIHAN SOAL 1.
( x 1 )( x 1 ) dx x
2.
2 x2 x
3.
( x 1 )2 dx
4.
(cos2
5.
x 5 1 2 x 3 dx
6.
x
dx
sin 2 )d
sin xdx 3
1 cos x 7. Hitung luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh parabola f(x) = 4x dan sumbu X. /3 1 1 8. Tunjukkan bahwa 2 1 sec x dx 3 3 3 0
x2, garis x=1
PUSTAKA Disadur dari makalah Irvan Dedy, S.Pd ((Integral)
Suryari Purnama
8
