MATRIKS MODUL MATEMATIKA. ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip

MODUL MATEMATIKA

MATRIKS

( MAT 12.1.3 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003

PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN

SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036 Malang

Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang

1

STANDAR KOMPETENSI: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : 3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 3.2 Menentukan determinan dan invers matriks

2x2

3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

KOMPETENSI : MENERAPKAN KONSEP MATRIKS

SUB

KRITERIA

KOMPETENSI (J)

KINERJA

1. Mendeskripsikan macam-macam

LINGKUP MATERI BELAJAR

MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP

PENGETAHUAN

KETERAMPILAN

Matriks dibedakan

Macam-

Teliti dan

Pengertian matriks,

Mengoperasikan

menurut jenisnya

macam

cermat dalam

notasi matriks, baris,

matriks

matriks

menerapkan

kolom, elemen dan

konsep matriks

ordo matriks

matriks

Jenis-jenis matriks 2. Menyelesaikan operasi matriks

Operasi matriks

Operasi

Penyelesaian operasi

diselesaikan

matriks

matriks: 

dengan menggunakan

Penjumlahan dan pengurangan

aturan yang



Transpos matriks

berlaku



Perkalian skalar dengan matriks



Perkalian matriks dengan matriks

Determinan dan

Determinan



Determinan matriks

determinan dan

invers matriks

dan invers



Minor, kofaktor dan

invers matriks

ditentukan dengan

matriks

3. Menentukan

adjoin matriks

aturan yang



Invers matriks

berlaku



Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks


2

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari Pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks. Anda juga mempelajari penyelesaian operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks, determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks dan invers matriks. Anda juga mempelajari penyelesaian sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

B. Prasyarat Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari relasi dan fungsi, persamaan serta operasi pada bilangan real. Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam modul Relasi dan Fungsi, persamaan dan pertidaksamaan dan bilangan real.

C. Petunjuk Penggunaan Modul a. Pelajari daftar isi serta skema kedudukan modul dengan cermat dan teliti karena dalam skema modul akan nampak kedudukan modul yang sedang Anda pelajari ini antara modul-modul yang lain. b. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan, sehingga diperoleh hasil yang optimal. c. Pahami setiap teori dasar yang akan menunjang penguasaan materi dengan membaca secara teliti. Bilamana terdapat evaluasi maka kerjakan evaluasi tersebut sebagai sarana latihan. d. Jawablah tes formatif dengan jawaban yang singkat dan jelas serta kerjakan sesuai dengan kemampuan Anda setelah mempelajari modul ini. e. Bila terdapat penugasan, kerjakan tugas tersebut dengan baik dan bilaperlu konsultasikan hasil penugasan tersebut kepada guru/instruktur. f. catatlah semua kesulitan Anda dalam mempelajari modul ini untuk ditanyakan pada guru/instruktur pada saat tatap muka. Bacalah referensi lain yang ada hubungan dengan materi modul ini agar Anda mendapatkan pengetahuan tambahan.


3

D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Memahami pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks. 2. menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks, determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks dan invers matriks. 3. Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

1. Kegiatan Belajar 1 ( Pengertian Matriks ) a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan : 1) Memiliki pemahaman mengenai pengertian matriks 2) Dapat membedakan antara baris dan kolom matriks 3) Mengetahui elemen-elemen suatu matriks 4) Dapat menuliskan notasi-notasi matriks 5) Dapat menyebutkan ordo suatu matriks

b. Uraian Materi NOTASI MATRIKS Bentuk umum matriks: Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom/lajur. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur. 1) Pengertian Matriks Dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika, berbagai keterangan seringkali disajikan dalam bentuk matriks.


4

Contoh 1. Keadaan Siswa Kelas 1 pada tanggal 1 Maret 2004 k o l o m

S = Sakit

I = Ijin

T = Tanpa Keterangan

Kelas I A

2

1

1

Kelas I B

1

3

2

Kelas I C

3

2

1

baris

Contoh 2. Daftar Campuran Bahan untuk Membuat Kue Gula

Mentega

Tepung

Roti I

1

2

3

Roti II

1

2

5

Roti III

2

3

7

Roti IV

2

4

6

Apabila dari daftar tabel Contoh 1 dan 2 tersebut, kepala kolom dan baris dihilangkan, kemudian susunan lambang bilangan itu diberi tanda kurung atau kurung siku, maka susunan itu disebut matriks.

2 1 1

baris

Matriks contoh 1 ialah 1 3 2 3 2 1

baris

k o l o m

k o l o m

baris

k o l o m

1 2 3

Matriks contoh 2 ialah

1 2 5 2 3 7 2 4 6

Jadi, matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilanganbilangan yang diatur pada baris dan kolom (lajur) dan diletakkan di dalam dua kurung biasa atau kurung siku.


5

2) Elemen Suatu Matriks

1 Pada matriks

2

3

4

8 , setiap bilangan dalam matriks diatas 9 10 11 12 5

6

7

dinamakan elemen matriks. Setiap elemen ditentukan dengan menyatakan baris dan kolom yang memuat bilangan itu. Pada matriks di atas bilangan 7 adalah elemen baris kedua kolom ketiga. Elemenelemen pada kolom kedua adalah bilangan-bilangan 2, 6 dan 10. Bentuk umum sebuah matriks adalah : a11

a12



a1n

a 21 

a 22 

 

a 2n 

a m1

am2



a mn

amn adalah elemen atau unsur pada matriks yang terletak pada baris ke m dan kolom ke n

3) Notasi Matriks Suatu matriks dinyatakan dengan sebuah huruf kapital. Misalnya A =

8 5 3 2 3 6

5

, B=

4

2

1

4) Ordo Matriks Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti banyaknya kolom. Contoh : A=

8 5 3 2 3 6

, B=

5 2

4 1

Matriks A mempunyai 2 baris dan 2 kolom, maka dikatakan ordonya 2 3 (dibaca “2 kali 3”) dan ditulis A2

3

atau A(2 3).

Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan banyaknya kolom, maka matriks itu disebut matriks bujur sangkar. Karena istilah bujur sangkar disesuaikan menjadi persegi, maka dapat pula disebut dengan matriks persegi. Matriks B adalah matriks persegi dengan ordo 2.

b. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1 Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilanganbilangan-bilangan yang diatur pada baris dan kolom (lajur), serta diletakkan di dalam dua kurung biasa atau kurung siku Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang

6

Bentuk umum sebuah matriks adalah : a11

a12



a1n

a 21 

a 22 

 

a 2n 

a m1

am2



a mn

amn adalah elemen atau unsur pada matriks yang terletak pada baris ke m dan kolom ke n Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti dengan banyaknya kolom. Matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom, maka dikatakan ordonya 2×3 (dibaca “2×3”) dan ditulis A2×3 atau A(2×3) Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan banyaknya kolom, maka matriks itu disebut matriks persegi. Contoh : B=

a b c d

adalah matriks persegi dengan ordo 2

c. Lembar Kegiatan Belajar 1 Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar 1. Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.

1) Diketahui matriks

1 2 4 8 3 7 2 6 5 1 9 0 a) Sebutkanlah banyaknya baris dan kolom b) Sebutkanlah elemen-elemen baris kedua c) Sebutkanlah elemen-elemen kolom ketiga d) Tulislah elemen matriks yang seletak pada baris kedua dan kolom keempat e) Nyatakanlah baris dan lajur yang menentukan letak elemen 4, 7 dan 2


7

2) Hasil pertandingan sepak bola adalah sebagai berikut : Memasukkan

Kemasukan

Gol

Gol

2

15

15

5

1

2

12

11

5

2

2

1

13

12

6

5

2

0

3

13

16

4

PSM Makassar

5

3

0

2

16

11

6

PSS Sleman

5

2

0

3

12

16

4

Kesebelasan

Main

Menang

Seri

Kalah

Persija Jakarta

5

2

1

5

2

5

Persib Bandung PSMS Medan Persebaya Surabaya

Nilai

Dari matriks yang diperoleh : a) Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom ? b) Pada baris atau kolom mana : Semua elemennya sama Semua elemennya lebih dari 11 Semua elemennya genap 3)

Dari surat kabar atau majalah, carilah beberapa contoh keterangan yang disajikan dalam bentuk matriks!

Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 1  Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang pengertian matriks, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang pengertian matriks.  Jika nilai perolehan

maka anda boleh meneruskan pada kegiatan

modul berikut ini.

2. Kegiatan Belajar 2 ( Macam-macam Matriks)

a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini diharapkan anda : 1) Dapat menyebutkan macam-macam matriks (matriks baris, matriks kolom, matriks persegi/bujursangkar, matriks segitiga) 2) Dapat mengidentifikasi dua matriks yang sama 3) Memiliki kemampuan untuk menunjukkan transpos suatu matriks

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2 Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang

8

1) Macam-macam matriks Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilanganpada entrinya. Sehingga matriks dibedakan sebagai berikut:

Matriks Baris Matriks yang hanya memiliki elemen satu baris Contoh : 0

1 1, 3

2 5

1

Matriks Kolom (Lajur) Matriks yang hanya memiliki elemen satu kolom 1

a Contoh : b , c

1 1 1

Matriks Persegi (Bujursangkar) Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom

Contoh :

3 4 5 6

,

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

Matriks Segitiga Matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal, dengan

elemen-elemen 0

pada separuh bagiannya Contoh :

3 4 5 0

, ( Matriks segitiga atas )

0

0

0

d

0

0

g

h

0

j

k

l

m n

o

p

(Matriks segitiga bawah ) Matriks Diagonal Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks dibawah dan diatas diagonal utama bernilai 0 Contoh :


9

Matriks Identitas/Matriks Satuan (I)

I =

1 0 0 1

I=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

2) Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B disebut sama, jika Ordonya sama, dan Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama Contoh :

4 2 1 3

12 3 1

4 2 , tetapi 4 2 6 1 3 2

2 1 4 3

sebab walaupun elemen-elemen

kedua matriks itu sama, tetapi letak elemen-elemen itu berbeda, sehingga elemen-elemen yang bersesuaian tidak sama.

3) Transpos suatu Matriks Dari matriks A dapat di bentuk matriks baru dengan cara

baris 1 matriks A

ditulis menjadi kolom 1 matriks baru, baris 2 matriks A dijadikan kolom 2 matriks baru, dan seterusnya. Matriks baru yang diperoleh disebut transpos dari matriks A dan dinyatakan dengan AT (di baca “transpos A”). Baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT, dan kolom-kolom matriks A menjadi baris-baris matriks AT.

1 4

1 2 3 Contoh : Jika A = 2 5 , maka AT = 4 5 6 3 6 Dari matriks tranpose ini, muncul istilah matriks simetrik (setangkup). Hal ini terjadi misalkan A suatu matriks, jika A =

maka A disebut matriks

simetrik/setangkup.

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 2 Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai elemen satu baris Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai elemen satu kolom Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom


10

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal dengan elemen bilangan-bilangan nol pada separuh bagiannya Dua matriks A dan B disebut sama, jika : 

Ordonya sama, dan



Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama Transpos suatu matriks adalah matriks baru yang baris-barisnya merupakan kolom-kolom matriks semula

d. Lembar Kegiatan Belajar 2

1) Sebutkanlah ordo matriks berikut ini : a)

d)

4 1

1 2 3

b)

4 5 6

2 5 3 2

1

3 1 0

2

0 5 24

c)

a

p

i

p

b

t

i

t

v

x e) 0 1 2

2 4 3

f) y z

2) Berapakah banyaknya elemen setiap matriks pada soal no. 1 ? Tahukah kamu cara menghitung yang cepat ?

3) Tulislah sebuah contoh : a) matriks 2×4 b) matriks 3×3 c) matriks 3×1 d) matriks 1×1

4) Matriks-matriks berikut ini manakah yang sama ? A= 1 2 3

E=

1

2

3

4

B= 3 2 1

F=

1 3 2 4

C= 1 2 3

G=

D=

1 2 3 4

1 3 2 4

5) Tentukanlah x dan y berikut ini a)

x 2y

1 8

0

0 3

3


11

b)

x 3 2 y

c)

3x

5 1

y

12

2

6) Tulislah transpose dari setiap matriks pada soal no. 1 dan sebutkan ordo setiap matriks transpose itu

7) P =

4 x 5 dan Q = 5 3 y

3 2

Jika PT = Q, tentukanlah x dan y.

Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 2 cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 2  Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang macammacam matriks dan operasinya, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang macam-macam matriks dan operasinya.  Jika nilai perolehan

maka anda boleh meneruskan pada kegiatan

modul berikut ini. 3. Kegiatan Belajar 3 ( Penjumlahan dan Pengurangan Matriks) a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan : 1) Memahami pengertian dan syarat penjumlahan matriks 2) Memahami pengertian lawan suatu matriks 3) Mengenal definisi penjumlahan matriks

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3 Agar pengertian dan syarat penjumlahan dua buah matriks dapat dipahami dengan baik, simaklah persoalan berikut :

Dewi dan Budi adalah calon siswa teladan dari sebuah SMA. Penentuan siapa yang berhak mengikuti seleksi pelajar teladan tingkat kota didasarkan pada jumlah nilai mata pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris pada semester I dan semester II. Nilai kedua mata pelajaran yang dicapai oleh Dewi dan Budi diperlihatkan pada tabel di bawah ini :


12

Tabel 1. Semester 1

Semester 2

Jumlah

Dewi

Budi

Dewi

Budi

Dewi

Budi

Matematika

82

86

80

80

162

166

Bhs Inggris

72

78

73

74

145

152

Dari tabel 1 di atas terlihat bahwa jumlah nilai semester I dan II untuk mata pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris yang dicapai Budi lebih tinggi dibandingkan yang dicapai oleh Dewi. Dengan demikian, Budi lebih berhak mengikuti seleksi pelajar teladan tingkat kabupaten untuk mewakili SMA tersebut. Sekarang kita akan melihat bagaimana proses penjumlahan nilai-nilai tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks. Bila data atau informasi pada tabel 1 disajikan dalam bentuk matriks, maka dapat dituliskan sebagai berikut

+

=

A

B

C

Dari uraian diatas didapat : Penjumlahan Dua Matriks Definisi. A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. Dari definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama, penjumlahan dilakukan pada elemen yang seletak. Jadi dapat dituliskan dalam rumus:

Contoh :

A

a b c d

B +

A+B

a p b q p q = c r d s r s

Contoh : Diketahui Hitung

A=

dan B =

: A + B = ... B + A = ...


13

A+B=

+

B+A

=

=

+

=

Contoh : Diketahui

:P=

Q=

Hitung

: P+Q+R

R=

= ...

P + ( Q + R ) = ... (P + Q) + R

= ...

( Cobalah sendiri )

Dari contoh diatas diperoleh Sofat-sifat :

1.A+B=B+A

( Sifat Komutatif )

2. (A + B) + C = A +( B + C)

( Sifat Assosiatif )

PENGURANGAN MATRIKS

Apabila kita perhatikan, elemen-elemen yang seletak dari matriks B dan matriks A saling berlawanan. Matriks B yang bersifat seperti itu disebut lawan atau negatif dari matriks A, dan ditulis sebagai - A. Sehingga pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B. A - B = A + (-B) Contoh : Jika

dan

Maka P – Q = P + (- Q ) = Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3 Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama, maka jumlah matriks A dan B ( ditulis: A + B) adalah sebuah matriks baru yang didapat dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Setiap matriks mempunyai lawan atau negatif, misalkan matriks mempunyai lawan matriksA. Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang

14

Pengurangan matriks A oleh matriks B dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan matriks A dengan lawan matriks B. Pengurangan matriks A oleh matriks B dapat juga dinyatakan sebagai berikut, yaitu jika matriks A dan matriks B adalah dua matriks yang berordo sama, maka pengurangan matriks A oleh matriks B ( ditulis: A – B)

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

A

a b

k. A

c d

k.a

k.b

k.c k.d

Contoh : Diketahui A = Hitung

2A = …. 2A = 2 =

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B

AmxnxBnxo

Cmxo

Aturan perkalian : Yaitu dengan menglikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu.

Contoh : 1. A

AxB

a

b

c

d

a

b

c

d

dan B

x

x y

x

ax

by

y

cx

dy

2x2 2x1 = 1x1


15

Ket : Perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB X BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC). Contoh : A=

;B=

Hitung : A x B dan B x A bagaimana hasil Ax B dan B x A ? AxB =

=

BxA =

=

Dari hasil terlihat bahwa A x B


BxA

16

Tes Formatif 1 (waktu : 45 menit) 1. Diketahui matriks

3 A=

1

1

2

2

7

4

4 3

1 6

5

a) Berapakah banyak baris dan kolom dari matriks diatas? b) Sebutkanlah elemen-elemen pada: i) baris kedua ii) kolom keempat c)

Sebutkan elemen pada baris ketiga kolom keempat!

d) Sebutkan elemen pada baris kedua kolom ketiga! e) Sebutkan pada baris dan kolom berapakah tiap elemen berikut ini terletak? i) -3 ii) 2 iii) 3 2. Untuk tiap matriks di bawah ini, tentukanlah banyak baris dan kolomnya. a) b)

c)

d)

1 2 4 5 1 3 5

6

4

1

3

2 1

2

6 5

3 6 4 1

3. Tentukanlah ordo tiap matriks berikut ini: a) A = 1 2 6

1

2

b) B = 3 4

3 5 3

c) C =

5 7

d) D =

1

2 3

4

5

0 2

1

1 6 4

1


17

4. Buatkan contoh matriks yang berordo m × n, jika: a) m = 2 dan n = 3 b) m = 3 dan n = 5 c) m = 3 dan n = 3

Tes Formatif 2 (waktu : 45 menit) 1. Berikan penjelasan tentang pengertian dua buah matriks yang sama! 2. Diantara matriks-matriks berikut ini, manakah yang sama dengan matriks A =

1

0

2 3 1 a) B =

0

2 3 0

b) C =

c) D =

1

3

(2 1) 0 6 2

4

1 0 0 2 3 0 2 2

(4 4) 2 9

e) F =

G=

2

0

d) E =

f)

0

1 2

0 3

3. Carilah nilai-nilai x dan y pada tiap kesamaan matriks berikut ini: a) b)

2x 3y

6 9

x 4

2

2 y

1

4. Diketahui matriks-matriks : A=

2 4 1 6

dan B =

1 2x

1 4

1 3 y

a) Tentukanlah transpos dari matriks B atau BT b) Jika

BT = A, carilah nilai-nilai x dan y


18

MATRIKS MODUL MATEMATIKA. ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip

Recommend Documents