Pertemuan Ke- 3 BAB II
3.
PERMUTASI DAN KOMBINASI 2.1 Pengertian Permutasi 1. Permutasi dari n obyek seluruhnya : nPn = n! = n.(n - 1).(n - 2) … 2.1 = n.(n - 1)! 2. Permutasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda nPr = n! (n–r)!
4.
•
Permutasi keliling ( circular permutation ) Sejumlah n obyek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran dalam ( n – 1 ) ! cara Permutasi dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan. n n! n1 , n2 , …, nk = n1! n2 !…nk ! Kalau urutan diperhatikan atau dibedakan , persoalan disebut permutasi.
Contoh soal 1 . Hitung jumlah permutasi 3 jilid buku A , B , C ! Jawab : 3P3 = 3 ! = 3 . 2 . 1 = 6 2. Dalam berapa cara 2 huruf yang berbeda dari kata “Laut“ dapat diatur atau dipilih dalam suatu urutan tertentu ? Jawab : nPr = 4P2 = 4 ! = 4 ! = 4.3.2.1 = 12 cara (4-2) ! 2! 2.1 3 . Dalam berapa cara kata Tamara dapat dipermutasikan ? Jawab : n! = 6! = 120 cara n1 ! n2 ! n 3 ! n4 ! 1!3!1!1! 4. Lima orang anak sedang melakukan diskusi dengan membentuk lingkaran, ada berapa cara mereka bisa mengatur duduknya? Jawab: (n-1)! = (5-1)! = 4.3.2.1 = 24 cara.
Latihan soal : 1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf dalam kata: PEMILU, ALUMNI, STATISTIKA, PROBABILITAS 2. Ada berapa banyak susunan huruf dapat dibentuk dari huruf dalam kata PELUANG bila: a. semua huruf dipakai; b. memakai 6 huruf saja; c. Memakai 5 huruf saja; d. Memakai kurang dari 5 huruf.
2.2 Kombinasi Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda : n n! r = r!.(n–r)! Kalau urutan tak diperhatikan atau tak dibedakan , persoalan disebut kombinasi.
Latihan soal 1. Suatu perguruan tinggi di Jakarta memberikan kesempatan kepada 3 orang staf dosen untuk melanjutkan studinya setingkat lebih tinggi. Sedangkan yang memenuhi persyaratan ada 9 orang dosen. Ada berapa carakah pimpinan perguruan tinggi tersebut memilih 3 dari 9 orang tersebut ? Jawab: 9! = 84 cara 9C3 = 6!3! 2. Seorang anak perempuan mempunyai 3 bunga yang jenisnya berlainan. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dibuat ? Jawab: 3! Ia dapat memilih 1 dari 3 bunga = 3C1= =3 2!1!
Ia dapat memilih 2 dari 3 bunga = 3C2 = 3 Ia dapat memilih 3 dari 3 bunga = 3C3 = 1 Maka banyaknya cara membentuk susunan bunga adalah: 3C1 + 3C2 + 3C3 = 3 + 3 + 1 = 7 3.
Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu, jika: a. Tiap orang dapat dipilih dengan bebas; b. Seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu; c. dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu?
4. Suatu panitia akan dibentuk dengan jumlah anggota 5 orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut dapat dilakukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita, dan panitia harus a. Terbentuk tanpa persyaratan lain b. Terdiri dari 3 pria dan 2 wanita c. Terdiri dari 2 pria dan 3 wanita
2.3 Aplikasi Excel Permutasi Langkah-langkah dengan Excel • Insert fungsi fx dan pilih category statisticals • Pilih fungsi permutate • Isilah kotak number dengan banyaknya objek dan kotak number_chosen dengan jumlah objek yang diambil dan klik OK • Maka hasilnya akan tampak pada result seperti pada gambar 2a
kombinasi Langkah-langkah dengan Excel • Insert fungsi fx dan pilih category math&trig • Pilih fungsi combin • Isilah kotak number dengan banyaknya objek dan kotak number_chosen dengan jumlah objek yang diambil dan klik OK • Maka hasilnya akan tampak pada result seperti pada gambar 2b
Gambar 2a (menghitung permutasi)
Gambar 2a (menghitung kombinasi)
01. Suatu permutasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda : a. nPr = n! / r ! c. nPr = n! / (r – n)! b. nPr = r ! / n! d. nPr = n! / (n – r)!
SOAL – SOAL LATIHAN
02. Jika ada 3 objek yang disusun secara melingkar maka akan didapatkan…cara penyusunan a. 3P3 c. 3! b. 3C3 d. (3-1)!
02. Jika ada 3 objek yang disusun secara melingkar maka akan didapatkan…cara penyusunan a. 3P3 c. 3! b. 3C3 d. (3-1)!
03. Dalam berapa cara kata “PUASA” dapat dipermutasikan: a. 120 c. 360 b. 20 d. 60
04. Tentukan hasil dari 4C3 × 4C2? 03. Dalam berapa cara kata “PUASA” dapat dipermutasikan: a. 120 c. 360 b. 20 d. 60
a. 6 b. 24
c. 12 d. 8
04. Tentukan hasil dari 4C3 × 4C2? a. 6 c. 12 b. 24 d. 8
05. Sebuah perusahaan memberikan kesempatan kepada 2 orang karyawannya untuk mengikuti training, ternyata ada 8 orang yang memenuhi persyaratan. Ada berapa cara peserta training yang bisa dibentuk? a. 14 c. 7 b. 28 d. 21
05. Sebuah perusahaan memberikan kesempatan kepada 2 orang karyawannya untuk mengikuti training, ternyata ada 8 orang yang memenuhi persyaratan. Ada berapa cara peserta training yang bisa dibentuk? a. 14 c. 7 b. 28 d. 21 01. Suatu permutasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda : a. nPr = n! / r ! c. nPr = n! / (r – n)! b. nPr = r ! / n! d. nPr = n! / (n – r)!
