PERMUTASI & KOMBINASI ARUM H. PRIMANDARI
ATURAN PENGALIAN
ATURAN 1 ATURAN 2
MENGHITUNG TITIK SAMPEL
Dasar dari prinsip menghitung titik sampel sering di diartikan sebagai aturan pengalian.
Aturan 1: Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan dari setiap cara tersebut, operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, maka dua operasi tersebut dapat dilakukan secara bersama dalam n1n2 cara.
CONTOH 1: Perhatikan 𝑛1 = 4; 𝑛2 = 3 Sehingga seorang pembeli dapat memilih dari: 𝑛1 𝑛2 = 4 ∙ 3 = 12 kemungkinan
Aturan 2: Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan setiap dari cara tersebut operasi keduanya dapat dilakukan dalam n2 cara, dan setiap dari dua cara pertama tersebut operasi ketiganya dapat dilakukan dalam n3 cara, dan seterusnya, maka rangkaian dari k operasi dapat dilakukan dengan: 𝑛1 ∙ 𝑛2 ∙ 𝑛3 ∙∙∙ 𝑛𝑘
Contoh: Yoland memiliki 6 pasang sepatu, 4 tas, 5 jam tangan, dan 12 gelang. Ketika dia ingin berpergian, maka pilihan asseccoris yang tersedia adalah: 6 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 12 = 1440
PERMUTASI
DEFINISI TEOREMA
DEFINISI
Permutasi adalah penyusunan dari semua atau bagian himpunan obyek.
Permutasi memperhatikan urutan dari obyek yang disusun.
Definisi 1: Untuk sembarang bilangan bulat non-negatif n, n! disebut n faktorial, didefinisikan: 𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ 2 ∙ 1 dengan kasus khusus 0! = 1.
Teorema 1: Banyaknya permutasi dari n obyek adalah n!
PERMUTASI
Secara umum, n obyek yang berbeda dan diambil r obyek dalam sekali waktu, dapat disusun: 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑟 + 1) cara
Teorema 2: Banyaknya permutasi dari n obyek berbeda yang diambil sebanyak r obyek dalam sekali waktu adalah: 𝑛! 𝑛𝑃𝑟 = 𝑛−𝑟 !
CONTOH 2
Seorang ketua dan bendahara untuk club research kebencanaan akan dipilih dari 6 calon. Jika setiap calon berpeluang untuk menjadi ketua atau bendahara, maka terdapat berapa kemungkinan susunan pengurus jika: a)
Tidak terdapat pembatasan
b)
A bersedia menjadi pengurus, hanya jika dia menjadi ketua
c)
B dan C hanya akan menjadi pengurus bersama atau tidak sama sekali
d)
D dan E tidak menjadi pengurus bersama
JAWAB CONTOH 2 Jika tidak ada pembatasan 6𝑃2 = 6 ∙ 5 = 30 b) (i) Jika A menjadi ketua maka terdapat 5𝑃1 = 5 cara memilih bendahara; (ii) Jika A tidak menjadi ketua, maka terdapat 5 calon yang dapat dipilih 5𝑃2 = 5 ∙ 4 = 20. Total cara memilih 5 + 20 = 25 c) (i) Banyaknya pilihan apabila B dan C menjadi pengurus adalah 2; (ii) Banyaknya pilihan apabila B dan C tidak menjadi pengurus adalah 4𝑃2 = 4 ∙ 3 = 12. Total cara memilih 2 + 12 = 14 d) Banyaknya cara jika D dan E menjadi pengurus bersama adalah 14, sehingga banyak cara D dan E tidak menjadi pengurus bersama adalah 30 − 14 = 16 a)
PERMUTASI SIKLIS
1)
Teorema 3: Banyaknya permutasi dari n obyek yang disusun secara melingkar (adalah: 𝑛 − 1 ! Ketika arah putaran diperhatikan
1 2) 2
𝑛 − 1 ! Ketika arah putaran tidak diperhatikan
Contoh 3: Tedapat 5 orang yang akan duduk mengelilingi meja bundar. Banyak susunan mereka duduk adalah: 5 − 1 ! = 4! = 24
PERMUTASI
Teorema 4:
Banyaknya permutasi berbeda dari n obyek yang memiliki sebanyak n1 sejenis, n2 sejenis, …, nk sejenis adalah 𝑛! 𝑛1 ! ∙ 𝑛2 ! ∙ 𝑛3 ! ∙∙∙ 𝑛𝑘 ! Contoh 4: Suatu seminar mengundang tamu VIP dari beberapa kalangan, yaitu 7 kaprodi, 6 praktisi industri, 8 praktisi perbankan, 4 badan pemerintahan. Susunan mereka duduk dalam satu baris adalah: 7+6+8+4 ! = 4.41724E+12 7! ∙ 6! ∙ 8! ∙ 4
Banyak cara mempartisi suatu himpunan dari n obyek pada r himpunan bagian yang disebut sel.
Teorema 5: Banyaknya cara mempartisi suatu himpunan n obyek pada r sel dengan sebanyak n1 elemen untuk sel pertama, n2 elemen untuk sel kedua, dan seterusnya adalah 𝑛! 𝑛 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑟 = 𝑛1 ! 𝑛2 ! ∙∙∙ 𝑛𝑟 ! dimana 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑟 = 𝑛
CONTOH 5
Terdapat 7 mahasiswa yang mengikuti seminar. Untuk keperluan akomodasi kamar hotel, terdapat 1 kamar untuk diisi 3 orang dan dua kamar untuk diisi 2 orang. Ada berapa banyak cara menyusun pembagian kamar? 7! 7 = = 210 3,2,2 3! 2! 2!
KOMBINASI
DEFINISI TOREMA
KOMBINASI
Kombinasi merupakan banyaknya cara memilih r obyek dari n obyek tanpa memperhatikan urutan.
Teorema 6: Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda yang diambil sebanyak r obyek dalam sekali waktu adalah 𝑛! 𝑛 = 𝑟 𝑟! 𝑛 − 𝑟 ! Atau 𝑛 𝑛𝑃 = 𝑟 𝑟! 𝑟
LATIHAN 1.
Suatu merk sepatu mengeluarkan 5 model sepatu yang berbeda dengan masing-masing tersedia dalam 4 warna. Jika toko A ingin men-display dua pasang sepatu di ruang display-nya, maka ada berapa banyak cara memilih sepatu-sepatu tersebut?
2.
Dalam studi bahan bakar ekonomis, setiap 3 mobil balap diuji menggunakan 5 merek bahan bakar yang berbeda. Pengujian dilakukan pada 8 lokasi uji yang berbeda. Jika dalam studi tersebut mempekerjakan 2 pengemudi, dan setiap uji dilakukan sekali untuk setiap kondisi yang berbeda, maka berapa banyak uji yang diperlukan?
3.
Seorang saksi mata dari kecelakaan tabrak-lari mengatakan pada polisi bahwa nomor plat motor penabrak adalah plat Yogyakarta dengan bagian akhir adalah QZ. Nomor plat (yang terdiri dari 4 digit angka) diawali oleh angka 4, diikuti angka 1. Dia tidak dapat mengingat 2 nomor plat setelahnya. Tentukan banyak maksimum plat nomor yang harus diperiksa oleh polisi.
4.
Terdapat 6 orang yang mengantri tiket bis. a)
Ada berapa banyak cara 6 orang tersebut mengantri?
b)
Jika terdapat 3 orang yang memaksa selalu berdekatan, maka ada berapa banyak cara mengantri?
c)
Jika terdapat 2 orang yang menolak untuk saling berdekatan, maka ada berapa banyak cara mengantri?
5.
6.
Suatu soal pilihan ganda terdiri atas 5 soal dengan 5 pilihan jawaban yang salah satunya benar. a)
Dalam berapa banyak cara seorang mahasiswa memilih satu jawaban untuk setiap soal?
b)
Dalam berapa banyak cara seorang mahasiswa memilih satu jawaban untuk setiap soal, dan jawaban tersebut semua salah?
Sebuah kelompok terdiri dari 6 mahasiswa dan 7 mahasiswi. Ada berapa cara kita bisa memilih panitia yang terdiri dari: a)
3 mahasiswa dan 4 mahasiswi.
b)
4 orang paling sedikitnya 1 mahasiswi.
Di dalam LINE, terdapat beberapa stiker yang menggambarkan emosi gembira dengan karakter LINE, yaitu Cony, Brown, Leonard, Sally, dan James.
7. a.
Jika Alfa menginginkan mengirim emosi gembira yang berbeda pada 2 orang, maka ada berapa banyak cara menulis pesannya?
b.
Jika Alfa mengirim pesan pada 3 orang berbeda, dan menginginkan menggunakan stiker tersebut secara berbeda pada masingmasing orang, maka ada berapa macam cara menulis pesannya?
c.
Jika Raihan (salah satu dari 3 orang di soal b.) hanya menyukai stiker Brown, maka ada berapa banyak pilihan Alfa mengirim stiker pada ketiga orang tersebut?
d.
Jika orang terakhir yang dikirim pesan oleh Alfa hanya menyukai stiker Sally atau James, maka ada berapa banyak pilihan Alfa mengirim stiker pada ketiga orang tersebut?
8.
Terdapat 9 butir manik-manik berbeda warna yang akan diambil 7 butir untuk membuat sebuah gelang. Ada berapa banyak variasi gelang yang dapat dibuat?
9.
Terdapat 12 mahasiswa yang mengambil TA (tugas akhir) yang belum mendapatkan dosen pembimbing. Ternyata, hanya ada 3 dosen yang masih tersedia kuota untuk bimbingan. Dosen A dapat membimbing 5 mahasiswa, dosen B dapat membimbing 4 mahasiswa, dan dosen C dapat membimbing 3 mahasiswa. Ada berapa banyak kemungkinan dalam menyusun pembimbingan?
