Uji Perbandingan Ganda (Multiple Comparison) Arum Handini Primandari, M.Sc.
• Beberapa uji perbandingan ganda: – – – –
Uji BNT/LSD Uji Tukey Uji Duncan Uji Bonferroni
H 0 : i j dengan i, j 1, 2,..., t dan i j H1 : i j
• Uji perbandingan dengan kelompok kontrol – Uji Dunnet
Tes Beda Nyata Terkecil (BNT) • Uji BNT disebut juga uji Fisher Least Significant Difference (LSD). •
Uji ini menggunakan statistik t.
• H0 ditolak jika: – Ukuran sampel sama
yi y j t 2,dbgalat
2 KTG r
– Ukuran sampel berbeda
yi y j t 2,dbgalat
1 1 KTG ri rj
Dengan: α: tigkat signifikasi r: banyak ulangan dbgalat: derajat bebas dari KTG
Tes Tukey • Prosedur Tukey seringkali disebut sebagai HSD (Honestly Significant Difference) • Metode ini berdasar pada distribusi rentang ter-student • Daerah kritis: H0 ditolak jika: 1)
Untuk data yang ukuran sampelnya sama
y i y j q ; t , dbgalat 2)
KTG r
Untuk data yang ukuran sampelnya berbeda (Tukey-Kramer)
yi y j
q ; t , dbgalat 2
1 1 KTG ri rj
Dengan: α: tigkat signifikasi t: banyak perlakuan q(α;t,dbgalat): nilai presentase atas dari q pada taraf signifikasi α dan derajat bebas (t,dbgalat)
Uji Duncan •
Uji Duncan disebut juga prosedur Duncan atau Uji rentang-berganda Duncan
•
Daerah kritik: H0 ditolak jika: y i y j R p 1)
Untuk data yang ukuran sampelnya sama
R p r ; p ;dbgalat 2)
KTG r
untuk p perlakuan, dengan p= 2, 3, …, t
Untuk data yang ukuran sampelnya berbeda
R p r ; p ;dbgalat
KTG dengan nh nh
t
1r t
i 1
i
p: banyak perlakuan rp: rentang signifikasi Duncan dengan p perlakuan (p = 2, 3, …, t) pada taraf signifikasi α dan derajat kebebasan milik galat (rp disebut rentang signifikan ter-student terkecil) Rp: rentang signifikan terkecil
Soal Latihan 1
SK Perlakuan Galat Total
db 4 20 24
JK 79.44 57.6 137.04
KT 19.86 2.88
Fhit Ftabel 6.895833 2.866081
p-value 0.00117
H0 ditolak yang berarti terdapat minimal satu persentase paracetamol yang berpengaruh pada penurunan panas badan. (atau terdapat minimal satu persentase yang pengaruhnya berbeda dengan persentase yang lain) Oleh karena menggunakan model tetap, maka kita dapat melakukan uji perbandingan ganda.
Tabel Hasil Observasi 40% 7 6 9 4 7 6.6
50% 9 7 8 6 9 7.8
60% 5 4 8 6 3 5.2
Lakukan uji perbandingan ganda: a) Uji LSD b) Uji Tukey c) Uji Duncan
75% 3 5 2 3 7 4
90% 2 3 4 1 4 2.8
Soal Latihan 2 Seorang peneliti melakukan penelitian tentang pengaruh persentasi berat katun terhadap kekuatan regang kain. Dia menentukan lima level persentasi katun (15%, 20%, 25%, 30%, 35%). Setiap perlakuan diulang sebanyak lima kali. 15%
20%
25%
30%
35%
7
12
14
19
7
7
17
18
25
10
15
12
18
22
11
11
18
19
19
15
9
18
19
23
11
a) Lakukan analisis variansi. b) Apabila H0 ditolak, maka lakukan uji perbandingan ganda.
Tabel ANOVA Source of Variation Between Groups Within Groups
475.76 161.2
4 118.94 14.75682 9.13E-06 2.866081 20 8.06
Total
636.96
24
SS
df
MS
F
P-value
F crit
Tes Dunnet •
Membandingkan setiap kelompok dengan suatu kelompok kontrol. Misalkan dalam suatu percobaan terdapat t perlakuan, dimana salah satunya merupakan perlakuan kontrol.
•
Hipotesis: H 0 : 0 i dengan i 1, 2,..., t 1 H1 : 0 i
•
Daerah kritik: H0 ditolak jika: 1) Untuk data yang ukuran sampelnya sama
y i y 0 d 2 t 1, dbgalat
2 KTG untuk i 1, 2,..., t 1 r
2) Untuk data yang ukuran sampelnya berbeda
y i y 0 d 2 t 1, dbgalat
1 1 KTG ri r0
Dengan: α: tigkat signifikasi k: dα/2 (t,dbgalat): nilai tes dua arah untuk uji Dunnet dengan derajat bebas (t,dbgalat)
Kontras • Misalkan dalam percobaan Latihan 2: a) Kita mencurigai bahwa katun level 4 dan 5 (30% dan 35%) menghasil kekuatan tekstil yang sama, maka uji hipotesisnya:
H 0 : 4 5 H 1 : 4 5
equivalen
H 0 : 4 5 0 H1 : 4 5 0
(a.1)
b) Jika kita mencurigai bahwa rata-rata dari dua level terendah yaitu level 1 dan 2 tidak berbeda dengan rata-rata dua level tertinggi yaitu level 3 dan 4, maka:
H 0 : 1 2 4 5
H 0 : 1 2 4 5 0 (a.2) H1 : 1 2 4 5 0
H1 : 1 2 4 5 equivalen
• Secara umum, kontras merupakan kombinasi linier dari parameter dalam bentuk: t
ci i i 1
• dimana
c
i
0
• Pada persamaan: ( a.1) c4 1, c5 1 ( a.2) c1 c2 1, c4 c5 1
Interval Konfidensi Kontras • Daripada melakukan uji hipotesis untuk kontras, lebih bermakna mencari interval konfidensi-nya. • Ketika sampel-nya berukuran sama, maka:
ci yi t 2,dbgalat
KTG 2 c i ci i r
c y
KTG 2 c i r
i
i
t 2,dbgalat
Kontras Ortogonal • Dua kontras dengan koefisian {ci} dan {di}, dikatakan ortoganal jika: t
c d i 1
i
i
0
• Untuk ulangan yang tidak sama: t
rc d i 1
i i
i
0
• Contoh kontras ortogonal: Perlakuan
C
D
C*D
Kontrol
-2
0
0
Perlakuan 1
1
-1
-1
Perlakuan 2
1
1
1
Σcidi
0
Contoh • Latihan 2. Kontras dan hipotesis:
Kontras • Perbandingan perlakuan dengan menggunakan kontras biasanya dilakukan jika kita mengharapkan perbandingan-perbandingan tertentu dari perlakuan yang diamati. • Kontras dikenal juga sebagai pembandingan berderajat bebas 1. • Misal: H 0 : c11 c2 2 ... ct t 0 • Syarat pembanding:
c 0, untuk ulangan beda r c 0 2. Keortogonalan c 0, d 0, c d 0, jika ulangan beda: r c 0, r d , r c d 0
1. Untuk ulangan sama
i
i
i i
i
i
i i
i i
i
i
i
i
Tes Scheffe • Scheffe (1953) mengusulkan suatu metode untuk membandingkan sembarang dan semua kemungkinan kontras antara rataan perlakuan • Misalkan suatu himpunan m kontras dalam means perlakuan:
u C1u 1 C2u 2 ... Ctu t ; u 1, 2,..., m (kontras telah ditentukan). Kontras yang sesuai dengan rataan perlakuan adalah:
Cu c1u y1 c2u y2 ... ctu yt • Standar error dari kontras tersebut adalah:
ciu2 KTG i 1 ri k
SCu
ri: banyaknya observasi pada perlakuan ke-i
• Nilai kritisnya SCu adalah:
S ,u SCu (t 1) F ;t 1, N t Untuk menguji hipotesis bahwa kontras Γu berbeda secara signifikan dari nol. • Hipotesis tersebut ditolak jika:
Cu S ,u
Latihan Diketahui: Data berukuran sampel sama. Terdapat 5 perlakuan, masing-masing diambil 5 sampel. y1 9.8; y 2 15.4; y 3 17.6; y 4 21.6; y 5 10.8
KTG 8.06
Ujilah kotras-kontras berikut: 1 1 3 4 5 2 1 4
• Hipotesis:
H 0 : 1 3 4 5 0 H 0 : 1 4 0 dan H1 : 1 3 4 5 0 H1 : 1 4 0 • Nilai numerik kontras:
C1 y1 y 3 y 4 y 5
9.8 17.60 21.60 10.80 5
C2 y1 y 4
9.80 21.60 11.80
SC1 KTG ciu2 ri 8.06 1 1 1 1 5 2.54 5
i 1
SC2 KTG ciu2 ri 8.06 1 1 5 1.80 2
i 1
• Dengan α = 1%,
S0.01,1 SC1 (k 1) F0.01;4,20 2.54 4(4.43) 10.69 S0.01,2 SC2 (k 1) F0.01;4,20 1.80 4(4.43) 7.58 • Oleh karena C1 S0.01,1 maka kesimpulannya kontras Γ1 sama dengan nol, maka rataan perlakuan 1 dan 3 (sebagai satu grup) tidak berbeda dengan rataan perlakuan 4 dan 5 (sebagai satu grup). • Oleh karena C2 S0.01,2 maka kesimpulannya kontras Γ2 tidak sama dengan nol, maka rataan perlakuan 1 berbeda secara signifikan dengan rataan perlakuan 4.
Tes Scheffe • Daerah kritis: H0 ditolak jika:
yi y j
1 1 (k 1) F ;k 1, N k KTG ri rj
Metode Bonferroni • Misalkan suatu himpunan m kontras dalam rataan perlakuan:
u C1u 1 C2u 2 ... Ctu t ; u 1, 2,..., m (kontras telah ditentukan). Kontras yang sesuai dengan rataan perlakuan adalah:
Cu c1u y1 c2u y 2 ... ctu y t • Daerah kritis H0 ditolak jika:
Cu t1 2 g , N t SCu dimana 2 c 2 iu s i 1 ni k
SCu
g: banyaknya perbandingan
• Menggunakan contoh (1) pada tes Tukey
C1 5; C2 11.8; SC1 2.54; SC2 1.80 • Terdapat 2 uji perbandingan yaitu C1 dan C2 sehingga g = 2
t10.05/(2*2),20 SC1 t0.9875,20 SC1 2.423* 2.54 6.154
t10.05/(2*2),20 SC2 t0.9875,20 SC2 2.423*1.8 4.3614 • Oleh karena C1 6.154 maka H0 gagal ditolak, artinya maka rataan perlakuan 1 dan 3 (sebagai satu grup) tidak berbeda dengan rataan perlakuan 4 dan 5 (sebagai satu grup).
• Oleh karena C2 4.361 maka H0 ditolak, artinya maka rataan perlakuan 1 berbeda secara signifikan dengan rataan perlakuan 4.
