Logika. Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si

Logika Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si.

Logika Matematika

Kalimat Terbuka dan Tertutup • Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: – Semoga kamu cepat sembuh. – Apakah kamu belajar kalkulus tadi malam?

• Kalimat tertutup adalah kalimat yang mengandung nilai kebenaran, yaitu bisa bernilai besar atau salah tetapi tidak bisa kedua-duanya. Kalimat tertutup disebut pernyataan / statement.

Pernyataan Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya. Pernyataan majemuk adalah gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menjadi sebuah kalimat baru. Contoh : 1. Merah Putih adalah bendera negara RI 2. 2 adalah bilangan prima yang genap 3. Surabaya adalah ibukota negara RI 4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap. 5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

Operasi Logika No

Nama Operasi

Perangkai

Simbol

1.

Negasi (Ingkaran)

Tidaklah benar

~

2.

Konjungsi

dan



3.

Disjungsi

atau



4.

Implikasi

Jika ...., maka .....



5.

Biimplikasi

..... Jika dan hanya jika ....



Negasi • Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar. p B S

~p S B

• Contoh : p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia ~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

Operasi Konjungsi Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “dan”. p B B S S

q B S B S

B S S S

Kata lain untuk menyatakan konjugsi: tetapi, walaupun, meskipun.

Operasi Disjungsi Adalah suatu pernyataan yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “atau”. Terdapat 2 macam disjungsi: a) Disjungsi inklusif Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai benar b) Disjungsi eksklusif Bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Tabel Kebenaran disjungsi Inklusif

p B B S S

q B S B S

B B B S

Tabel Kebenaran disjungsi Eksklusif

p B B S S

q B S B S

pq S B B S

Operasi Implikasi Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai perangkai “jika .... maka ...” p B B S S

q B S B S

B S B B

Operasi Biimplikasi Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “ ... jika dan hanya jika ... “ p B B S S

q B S B S

B S S B

Bentuk – bentuk Pernyataan • Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh subtitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponenkomponennya. • Tautologi adalah sebuah pernyatan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. • Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.

Contoh : • Selidikilah apakah pernyataan berikut merupakan kontrasiksi, tautologi, atau kontingensi:

  p  q   q  p  p q ~p B B

S

S

B

B

B S

S

S

B

B

S B

B

B

S

B

S S

B

S

B

B

• Selidikilah apakah pernyataan berikut merupakan kontrasiksi, tautologi, atau kontingensi: 1.  p  q  p 2.  p  q    q  r    r  p  

3.  p  q    p  q

Implikasi Logis dan Ekuivalen Logis Implikasi logis adalah suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi Ekuivalen logis adalah dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama

Contoh Implikasi logis:

Tautologi

• Oleh karena nilai kebenaran p  q sama dengan nilai kebenaran  p  q   q  p  , maka kedua pernyataan tersebut ekuivalen logis:

p  q  p  q   q  p 

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Skema Konvers

Invers

Kontraposisi

Konvers

Invers

Contoh : Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan : “Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah” Konvers: Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar. Invers: Jika binatang itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah. Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

Pengertian Kuantor • Kuantor adalah kata yang apabila dibubuhkan pada kalimat terbuka akan mengubah kalimat tersebut menjadi kalimat tertutup • Terdapat 2 jenis kuantor: – Kuantor Universal, dengan notasi:  – Kuantor Khusus/ Eksistensial, dengan notasi:

• Contoh: kalimat terbuka: x  3  5 x,x  3  5  S x,x  3  5  B



Pernyataan Berkuantor

Negasi Pernyataan Berkuantor • Negasi dari pernyataan berkuantor yaitu: – Negasi dari  x  p(x) adalah:

  x  p(x)   x   p(x) – Negasi dari  x  p(x) adalah:   x  p(x)   x   p(x)

• Contoh: “semua mahasiswa kelas B lulus mata kuliah Kalkulus I” Negasi pernyataan: “ada mahasiswa kelas B yang tidak lulus mata kuliah Kalkulus I”

Penarikan Kesimpulan • Aturan dalam penarikan kesimpulan: 1. Modus Ponens 2. Modus Tollens 3. Modus Silogisme

Bukti Keabsahan Argumen • Membuktikan keabsahan argumen dapat melalui: a) Tabel kebenaran Jika pernyataan merupakan tautologi, maka pernyataan tersebut sah. b) Aturan penyimpulan Menggunakan hukum ponens, tollens, atau silogisme.

Buktikan Keabsahan Dengan tabel kebenaran: (1)p  q (2)  q  p Dengan aturan penyimpulan: (1)  k  l    m  n 

(2)   m  n    o  p  (3)  o  p    q  r   l  k   r  q

Beberapa Ekuivalensi yang penting 1. Hukum Komutatif p q  qp pq  qp 2. Hukum asosiatif p  q  r   q  p  r

p  q  r   q  p  r

3. Hukum Distribusi

p   q  r   p  q  p  r  p   q  r   p  q  p  r  4. Hukum De Morgan

  p  q  p  q   p  q    p  q 5. Implikasi p  q  p  q