Rancangan Percobaan. Arum Handini Primandari, M.Sc

Konsep Dasar Statistika untuk Rancangan Percobaan

Arum Handini Primandari, M.Sc.

Operator Penjumlahan • Operator penjumlahan: n

x i 1

i

 x1  x2  ...  xn

• Sifat: n

 k  nk i 1 n

 kx i 1

n

i

 k  xi i 1

n

n

  a  bx   na  b x i

i 1 n

i 1

n

i

n

 x  y    x   y i 1

i

i

i 1

i

i 1

i

• Operator penjumlahan ganda: n

m

n

 x   x i 1 j 1

ij

1i

i 1

 x2i  ...  x1m 

  x11  x21  ...  xn1    x12  x22  ...  xn2   ...   x1m  x2m  ...  xnm 

• Sifat: n

m

m

n

a)  xij   xij i 1 j 1 n

m

j 1 i 1 n

m

i 1

j 1

b)  xi y j   xi  y j i 1 j 1

n

m

n

m

n

m

c)   xij  yij    xij   yij i 1 j 1

i 1 j 1

2

n n   2 d )   x i    x i  2 x i x j i j  i 1  i 1 n

i 1 j 1

Operator Perkalian • Operator perkalian: n

x i 1

i

 x1  x2  xn

Variabel Acak dan Nilai Harapan • Variabel acak (random variabel):

– Kejadian (event) yang dinyatakan dalam bentuk bilangan nyata. – Fungsi yang menetapkan setiap hasil dari percobaan ke dalam bentuk bilangan nyata.

• Variabel acak: a) b)

Variabel diskrit Variabel kontinu

• Contoh:

– Pengamatan produksi minuman kaleng suatu mesin dalam 1 jam, maka banyaknya produksi: 0, 1, 2, 3, …dst. Variabel acak: produksi minuman kaleng. – Konsumsi beras seseorang dalam 1 bulan berkisar 9 – 10 kg. Variabel acak: konsumsi beras. – Pelambungan koin, nilai 1 untuk huruf dan nilai 0 untuk gambar. Variabel acak: 1 dan 0.

Nilai Harapan • Variabel acak Diskrit: E  X    x   xf (x) x

• Variabel acak kontinu: E  X   x 



 xf (x)dx



• Sifat:

Jika X dan Y adalah variabel acak independent:

a) E (b)  b b) E (aX  b)  aE (x)  b c) E (aX )  a E ( X ) 2

2

2

a) E ( XY )  E ( X )  E (Y ) b) E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )

Variansi • Jika X adalah variabel acak dan E(X) = μ, maka variansi dirumuskan: Var  X    X2  E  X     E  X 2    2 2

• Sifat: a) Var (b)  0 b) Var (aX  b)  a2Var ( X )

Jika X dan Y variabel bebas maka: Var  X  Y   Var  X   Var Y 

Kovarians • Jika X dan Y adalah variabel acak yang masing-masing mempunyai nilai harapan μX dan μY, maka kovarians: Cov  X ,Y   E  X   X Y  Y   E  XY    X Y

• Jika X dan Y variabel independen, maka: a) Cov  X ,Y   0 b) Cov  bX , dY   bdCov  X ,Y 

Koefisien Korelasi • Terdapat hubungan antara variansi dan kovarians dengan koefisien korelasi, yang dinotasikan ρ, yaitu: 

Cov  X ,Y  Var  X Var Y 



Cov  X ,Y   X Y

• ρ mengukur hubungan linier antara dua variabel, nilainya: 1    1

Distribusi Peluang yang Penting 1. Distribusi Normal • Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi normal, jika memiliki fungsi kepadatan peluang:

•

2   x     1 f ( x)  exp    ;   x   2 2   2 

Distribusi normal baku yaitu distribusi normal dengan μ = 0 dan σ2 = 1. Transformasi normal baku: Z

•

X 

Fungsi kepadatan peluang normal baku: f (z) 

1  1  exp   z 2  2  2 

2. Distribusi Chi-Square • Fungsi kepadatan peluang dari variabel acak chi-square, X2, dengan derajat bebas v, adalah: 1 2 2  v 2  1 f    v 2 exp    2    ;0   2   2  v 2 2

• •

Nilai harapan = v, variansi = 2v 2 2 2  ,  ,...,  k dengan derajat bebas v1, v2, Teorema 1: Jika 1 2 k …,vk, maka:  2    i2

i 1

k

memiliki distribusi chi-square dengan derajat bebas: v   vi i 1

• Teorema 2: Jika Z adalah normal baku, dimana Z~N(0,1), maka Z2 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v = 1. • Teorema 3: Jika X1, X2, …, Xk adalah variabel acak normal yang saling bebas dan masing-masing memiliki nilai rata-rata μi dan σ2i, untuk i = 1, 2, …, k, maka: k

 2    xi     2 2

i 1

memiliki distribusi chi-square dengan derajat bebas v = k

Distribusi t-Student • Jika Z merupakan variabel acak normal baku Z~N(0,1) serta χ2 adalah variabel acak chi-square dengan derajat bebas v, maka variabel t didefinisikan sebagai rasio keduanya: Z t 2 v • Fungsi kepadatan peluangnya:  v 1    1  t 2  v 1 2 2  f  t ;v     1   ;   t   v v  v    2 dinyatakan sebagai distribusi t dengan derajat bebas v.

• Nilai harapan E(t) = 0, dengan var(t) = v/(v-2) • Teorema 4: jika x1, x2, …, xn adalah data pengamatan dalam sampel acak berukuran n yang ditarik dari populasi normal, maka rasio: X   t s n akan berdistribusi t-Student dengan derajat bebas (v-1)

Distribusi F (Fisher’s F Distribution) • Jika terdapat dua variabel chi-square yang bebas, dimana χ12 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v1 serta χ22 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v2, maka rasio keduanya: 12 v1 F 2  2 v2 akan berdistribusi F dengan derajat bebas v1 dan v2

• Teorema 5: apabila ada dua sampel acak berukuran n1 dan n2, yang masing-masing dipilih dari dua populasi normal, maka rasio dari:

s s

2 1 2 2

 12   22 

akan memiliki distribusi F dengan derajat bebas v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 1.

Pengujian Hipotesis • Dalam pengujian hipotesis akan dijumpai: Keadaan sesungguhnya dalam populasi

Terima H0 Tolak H0

H0 benar

H0 salah

Tepat

Kesalahan Jenis II (β)

Kesalahan jenis I (α)

Tepat

• Langkah-langkah pengujian hipotesis: 1) 2) 3) 4) 5)

Merumuskan hipotesis Memilih taraf nyata α Menentukan statistik uji Perhitungan Keputusan dan kesimpulan

Uji Hipotesis 1. •

•

Uji hipotesis nilai tengah untuk satu populasi Terdapat 3 bentuk: 1

2

3

H0 :    0 H1 :   0

H0 :    0 H1 :   0

H0 :    0 H1 :   0

Jika variansi populasi diketeahui (σ2) diketahui atau ukuran sampel (n) besar, maka statistik ujinya adalah normal baku:

zhitung •

x  0 x  0   x  n

Jika variansi tidak diketahui maka menggunakan statistik ujinya adalah tstudent

thitung

x  0 x  0   sx s n

2. • •

Uji beda nilai tengah dua populasi Dibedakan menjadi dua kasus: saling bebas dan berpasangan. Kedua kasus tersebut dibedakan oleh metode pengambilan sampelnya. – –

Dua sampel dikatakan saling bebas jika pemilihan unit-unit sampel pertama tidak tergantung pada bagaimana unit-unit sampel kedua dipilih dan sebaliknya. Dua sampel dikatakan berpasangan jika pengambilan unit-unit sampel pertamamemperhatikan bagaimana unit-unit sampel kedua dipilih. Keterkaitan kedua sampel tersebut ditentukan oleh variabel kontrol, misal: lokasi, kemiringan lahan, tingkat pendidikan, kondisi sosial ekonomi, dll.

POPULASI

Populasi

Sampel 1 Sampel 2

Pasangan 1

O11

O12

Pasangan 2

O21

O22

On1

On2

… Pasangan n

Pengambilan sampel bebas

Pengambilan sampel berpasangan

a) •

• 1)

Dua sampel bebas Bentuk hipotesis 1

2

3

H0 : 1  2   0 H1 : 1  2   0

H0 : 1  2   0 H1 : 1  2   0

H0 : 1  2   0 H1 : 1  2   0

Statistik uji: Variansi sama: t hitung

x1  x2    0   S x1  x2 

s x1  x2   sg

1 n1  1 n2 

dengan derajat bebas sebesar n1+n2-2

sg 

 n1  1 s12   n2  1 s22 n1  n2  2

2) Variansi beda t hitung

x1  x2    0  

s x1  x2   sg

S x1  x2 

dengan derajat bebas efektif:

db 

 s12 s22      n1 n2    s 2 2  s 2  2   1   2     n1   n2    n 1  n 1  2  1     

s

2 1

n1  s22 n2 

b) •

•

Dua sampel berpasangan Ukuran sampel berpasangan harus sama yaitu sebesar n. Pasangan

1

2

…

n

Sampel 1 (X)

x1

x2

…

xn

Sampel 2 (Y)

y1

y2

…

yn

D=X–Y

d1

d2

…

dn

Jika dimisalkan beda nilai tengah populasi dinotasikan dengan d  1  2 maka penduga tak bias adalah nilai tengah dari beda dua sampel: n

d

 di i 1

n

sd   di  d   Dengan galat baku: sd  n n

2

 n  1

• Hipotesis 1

2

3

H0 :  d   d 0

H0 :  d   d 0

H0 :  d   d 0

H1 : d  d0

H1 : d  d0

H1 : d  d0

• Statistik Uji: t hitung 

d   d0 sd

n

Latihan 1 Dari suatu populasi normal diambil sampel acak berukuran 15, diperoleh nilai tengah dan variansi sampel adalah 10.366 dan 1.946. Apabila kita mengetahui bahwa data tersebut dibangkitkan dari populasi normal dengan variansi 2. Apakah populasi tersebut masih memiliki nilai tengah 10?

Latihan 2 • Seorang mahasiswa Agromet menemukan suatu alat baru untuk mengukur tingkat curah hujan. Untuk mengetahui efektifitas alat tersebut, kemudian mahasiswa tersebut melakukan uji coba pada 10 lokasi dengan menggunakan alat baru dan sebagai pembanding, tingkat curah hujan juga dicatat menggunakan alat biasa. Tingkat curah hujan (mm) pada ke 10 lokasi tersebut diperoleh sebagai berikut: Lokasi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Lama

110

120

135

101

80

95

70

130

115

120

Baru

105

115

140

110

90

80

75

125

110

125

Latihan 3 • Berdasarkan suatu survei pada rumah tangga, diperoleh hasil bahwa rata-rata pendapatan perkapita (per orang) sebesar Rp 550.000,00/ bulan dengan simpangan baku sebesar Rp 200.000,00. Jika diasumsikan pendapatan perkapita berdistribusi normal dan diperkirakan jumlah penduduk Indonesia 180 juta orang, maka: a) b)

Kira-kira berapa banyak penduduk yang berpendapatan di antara Rp 500.000,00 hingga Rp 600.000,00? Jika ditetapkan batas kemiskinan adalah yang berpendapatan Rp 375.000,00 ke bawah, maka ada berapa banyak penduduk Indonesia yang tergolong miskin?

Referensi • Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung. • Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung. • Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.