Percobaan Satu Faktor: Rancangan Acak Lengkap (RAL) Oleh: Arum Handini Primandari, M.Sc

Percobaan Satu Faktor: Rancangan Acak Lengkap (RAL) Oleh: Arum Handini Primandari, M.Sc.

Rancangan Acak Lengkap (RAL) • RAL merupakan rancangan paling sederhana di antara rancangan-rancangan percobaan baku. • Jika kita ingin mempelajari t perlakuan dengan r satuan percobaan untuk setiap perlakuan (menggunakan rt satuan percobaan), maka RAL mengalokasikan t perlakuan secara acak pada rt satuan percobaan. Pola ini disebut dengan pengacakan lengkap. • Penggunaan RAL akan tepat dalam kasus: – Bahan percobaan homogen atau relatif homogen. – Jumlah perlakuan terbatas

Keuntungan RAL • Keuntungan RAL: – – – –

Denah perancangan percobaan lebih mudah Analisis statistika terhadap subyek, sangat sederhana Fleksibel dalam penggunaan jumlah perlakuan dan ulangan Kehilangan informasi relatif sedikit, dalam hal data hilang dibanding rancangan lain

Kekurangan RAL • Rancangan hanya dapat digunakan dengan beberapa perlakuan (yang tidak banyak) serta untuk unit percobaan yang relatif homogen. • Apabila harus melibatkan cukup banyak unit percobaan, maka variabilitas seluruh unit percobaan akan cukup besar. Sehingga tidak disarankan menggunakan RAL karena tidak efisien

Pengacakan dan Denah Rancangan • Misalkan: – Kita memiliki 3 perlakuan yaitu: A, B, C – Setiap perlakuan diulang 5 kali, sehingga kita memiliki 15 unit percobaan.

• Pengacakan dilakukan secara langsung pada 15 unit percobaan. Nomor

• Contoh denah pengacakan: 1; A

2; C

3; C

4; B

5; B

6; C

7; A

8; A

9; A

10; B

11; B

12; C

13; B

14; C

15; A

Perlakuan

Tabulasi Data • Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut: Perlakuan Ulangan

Total Keseluruhan

A

B

C

1

Y11

Y21

Y31

2

Y12

Y22

Y32

3

Y13

Y23

Y33

4

Y14

Y24

Y34

5

Y15

Y25

Y35

Total

Y1

Y2 

Y3 

Y

Rata-rata

Y1

Y2 

Y3 

Y

Model Linier dan Analisis Variansi Untuk RAL • Bentuk umum dari model linier aditif untuk RAL:

Yij  i  ij     i     ij    i  ij

i  1,2,...,t j  1,2,...,ri

Dimana: Yij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j μ: rataan umum τi: pengaruh perlakuan ke-i εij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, ulangan ke-j • Persamaan tersebut disebut juga analisis satu-arah (one-way) atau faktor analisis variansi tunggal (single-factor analisys of variance) karena hanya satu faktor yang diinvestigasi.

• Berdasarkan model untuk RAL, pendugaan terhadap pengaruh perlakuan dengan metode kuadrat terkecil (least square method) ditentukan dengan asumsi bahwa t

 ˆ

i

 0 atau E  i   0

i

diperoleh: ˆ  Y ˆ i  Yi ij  eij  Yij  Yi

Model dalam analisis variansi 1. Model Tetap (Fixed Model) • Dalam model ini, τi bersifat tetap dan galat percobaan iid



ij  N 0, 2



•

Keadaan ini menggambarkan bahwa peneliti hanya dapat mengambil kesimpulan yang berhubungan dengan perlakuan yang dicobakannya.

•

Asumsi model tetap dapat dituliskan:



2   0;Var    ,  ;   N 0,   ij  i ij ij 2

iid



• Hipotesis untuk model tetap:

H0 : 1   2  ...   t (rataan semua perlakuan sama) H1 : minimal ada satu rataan yang tidak sama • atau dapat dituliskan: H0 : 1  2  ...  t  0 H1 : minimal ada satu, i  0(i  1,2,...,t)

• Hipotesis dirumuskan untuk menguji bahwa tidak ada pengaruh perlakuan terhadap respon.

2. Model Acak (Random Model) • Dalam model acak, peneliti akan berhadapan dengan populasi perlakuan. •

Kesimpulan yang ditarik mengenai populasi perlakuan didasarkan atas sejumlah (t buah) perlakuan yang dipilih secara acak

•

Asumsi model acak:



E  i   0;Var  i    ;Var  ij    , ij ; ij  N 0, 2 2 

2

iid



• Hipotesis untuk model acak H0 : 1  2  ...  t  0 (rata-rata yang sesungguhnya dari ke-t buah grup perlakuan sama)

H1 : i  0 (paling sedikit ada rata-rata satu grup perlakuan yang berbeda dengan yang lain)

• Atau H0 : 2  0 (tidak ada keragaman dalam dalam populasi perlakuan)

H1 : 2  0

(ada keragaman dalam populasi perlakuan)

Dekomposisi Jumlah Kuadrat Total • Keragaman total diuraikan sebagai berikut: Yij  Y  Yij  Yi  Yi  Y



 

 Yij  Yi  Yi  Y



• Jika dikuadratkan kedua ruas:

Y  Y  ij



2



   Y  Y   Y

 

  Yij  Yi  Yi  Y  2

ij

i

i

 Y

2

2



 2 Yij  Yi

 Y

i

 Y



• Kemudian jika dijumlahkan untuk semua pengamatan:

  Y t

r

i1 j1

 Y

ij

    Y  Y     Y 2

t

r

ij

i 1 j 1 t

i



r

i1 j1

• karena

  Y r

i1 j1

ij

 Yi

 Y

i

r

i1 j1

  2 Yij  Yi t

t

2

 Y

 Y

i

i

 Y



2





 Y  0

• Sehingga:

  Y t

r

i1 j1

ij

 Y

    Y 2

t

r

i 1 j 1

i

 Y

    Y  Y  2

t

r

i 1 j 1

ij

i

2

• Atau: Jumlah kuadrat total = Jumlah kuadrat perlakuan + Jumlah kuadrat galat

  Y t

r



t

r





t

r





 Y   Yi  Y   Yij  Yi i1 j1 i 1 j 1 i 1 j 1     ij

JKT

2

JKP

2

JKG

2

Perhitungan jumlah kuadrat untuk ulangan sama • FK = Faktor koreksi Y2 FK  tr • JKT = Jumlah kuadrat total t

r



JKT   Yij  Y i1 j1



2

t

r

  Yij2  FK i 1 j 1

• JKP = Jumlah kuadrat perlakuan t r 2 1 t 2 JKP   Yi  Y   Yi  FK r i1 i1 j1 • JKG = Jumlah kuadrat galat



t

r



JKG   Yij  Yi i1 j1





2

 JKT  JKP

Perhitungan jumlah kuadrat untuk ulangan yang tidak sama • FK = Faktor koreksi

FK 

Y2 t

r i1

i

• JKP = Jumlah kuadrat perlakuan t

r



JKP   Yi  Y i1 j1



2

Yi2   FK i 1 ri t

• untuk JKT dan JKG rumusnya sama dengan yang menggunakan ulangan sama.

Tabel Analisis Variansi Sumber Keragaman

Derajat bebas

Jumlah kuadrat (JK)

Kuadrat tengah (KT)

F-hitung

Ulangan sama Perlakuan

t–1

JKP

KTP = JKP/ (t – 1)

Galat

t(r – 1)

JKG

KTG = JKG/ [t(r – 1) ]

Total

tr – 1

JKT

F = KTP/KTG

Ulangan tidak sama Perlakuan Galat Total

t–1

 r  1 r 1 i

i

JKP

KTP = JKP/ (t – 1)

JKG

KTG = JKG/   ri  1

JKT

F = KTP/KTG

Pengujian hipotesis • Statistik Uji: Fhitung  KTP KTG mengikuti sebaran F dengan derajat bebas pembilang sebesar (t – 1) dan derajat bebas penyebut [t(r – 1)]. • Hipotesis ditolak jika: Fhitung  F;db1;db2

penolakan hipotesis nol berimplikasi bahwa perlakuan yang diberikan terhadap unit-unit percobaan memberikan pengaruh yang nyata terhadap respon yang diamati

Koefisien Keragaman (KK) • Koefisien keragaman (KK) atau disebut juga keragaman relatif terhadap besaran data adalah:

ˆ KTG KK   100%   100% Y Y • Nilai KK yang terlalu besar bila dibandingkan dengan nilai biasa diperoleh peneliti, mencerminkan bahwa unit-unit percobaan yang digunakan tidak homogen. • KK merupakan indeks keterandalan yang baik bagi suatu percobaan. Semakin tinggi nilai KK makin rendah keandalan percobaan tsb. • Besarnya KK ideal tergantung pada bidang yang studi yang digeluti. Misal: untuk bidang pertanian dianggap wajar adalah 20% - 25%.

Penerapan RAL Model Tetap dengan Ulangan Sama Terdapat suatu penelitian mengenai kandungan nitrogen dalam miligram dari tanaman ‘Red Clover’ yang disuntik dengan jamur Rhizobium trifolii ditambah gabungan dari lima strain Rhizobium melitoti. Terdapat enam perlakuan, dimana 5 perlakuan merupakan penularan R. Trifolii dengan salah satu strain R. melitoti serta satu perlakuan merupakan gabungan dari semua strain. Penularan dilakukan di rumah kaca, dimana setiap perlakuan dilakukan 5 pot tanaman. Jumlah pot yang disediakan adalah 30 buah dengan tanaman yang serupa. Penyuntikan keenam perlakuan dilakukan secara acak. Percobaan menggunakan Rancangan Acak Lengkap.

Hasil Pengukuran Kandungan Nitrogen (mg) Perlakuan Ulangan 1

2

3

4

5

gabungan

1

19.4

17.7

17

20.7

14.3

17.3

2

32.6

24.8

19.4

21

14.4

19.4

3

27

27.9

9.1

20.5

11.8

19.1

4

32.1

25.2

11.9

18.8

11.6

16.9

5

33

24.3

15.8

18.6

14.2

20.8

Penyelesaian : 1. Model • model yang cocok adalah model tetap. karena hanya terdapat enam perlakuan yang tersedia untuk percobaan ini. Sehingga model liniernya adalah

Yij    i  ij ;i  1,2,...,6; j  1,2,...,5 Dimana : – – – –

Yij: kandungan nitrogen dari tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i. µ: nilai tengah umum (rata – rata populasi) kandungan nitrogen. τi: pengaruh perlakuan ke-I εij: pengaruh galat percobaan pada tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i

2. • • •

Asumsi Komponen-komponen , i , ij bersifat aditif Nilai-nilai i  i  1,2,...,6  tetap,  i  0;E  i   i E ij  0;E ij2  2

 

 

3. Hipotesis H0 : 1  2  ...  6  0 (yang berarti tidak ada pengaruh perlakuan terhadap kandungan nitrogen tanaman). H1 : minimal ada satu, i  0(i  1,2,...,t) (artinya minimal ada satu perlakuan yang mempengaruhi hasil kandungan nitrogen tanaman)

4. 5. 6. 7.

Taraf signifikasi Statistik Uji dan daerah kritis Perhitungan Kesimpulan

Latihan 1:

Latihan 2 Suatu pabrik tekstil memproduksi kain tenun dengan menggunakan peralatan tenun dalam jumlah yang banyak. Pengusaha pabrik menginginkan agar peralatan tsb homogen sehingga kain tenun yang dihasilkan mempunyai kekuatan (daya tahan) yang sama. Untuk mengetahui apakah peralatan tenun yang dimilikinya bersifat homogen dalam menghasilkan kain tenun, maka dilakukan suatu penelitian. Penelitian dilakukan dengan mengambil secara acak empat buah peralatan tenun dari semua peralatan tenun yang ada (katakanlah m buah peralatan tenun yang dimiliki pabrik tsb). Dengan teknik penentuan daya tahan (kekuatan) tertentu serta menggunakan satuan pengukuran tertentu diperoleh hasil pengamatan sbb :

Hasil pengamatan Ulangan

Peralatan Umum 1

2

3

4

1

98

91

96

95

2

97

90

95

96

3

99

93

97

4

96

Model linier aditif ral • Model yang cocok untuk analisis model acak adalah :

Dimana : Yij : nilai kekuatan kain dari mesin ke-i pada pengamatan ke-j. µ : nilai tengah umum (rata – rata populasi) kekuatan kain. τi : pengaruh mesin ke-i terhadap kekuatan kain εij : pengaruh galat percobaan dari mesin ke-i pada pengamatan ke-j

Hipotesis & Perhitungan • Hipotesis yang akan diuji adalah (yang artinya tidak terdapat keragaman kekuatan kain yang dihasilkan oleh peralatan tenun). (yang berarti ada keragaman kekuatan kain yang dihasilkan oleh peralatan tenun) • Tahap Perhitungan !!! • Penarikan Kesimpulan • Koefisien Keragaman (KK)

Referensi • Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung. • Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung. • Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.