Percobaan Satu Faktor: Rancangan Acak Kelompok Lengkap (Randomized Block Design) Arum H. Primandari, M.Sc.
Latar belakang • Rancangan Acak kelompok adalah suatu rancangan acak yang dilakukan dengan mengelompokkan satuan percobaan ke dalam grup-grup yang homogen yang dinamakan kelompok dan kemudian menentukan perlakuan secara acak di dalam masingmasing kelompok. • Melalui pengelompokkan yang tepat atau efektif, maka rancangan ini dapat mengurangi galat percobaan yang mana dengan adanya pengelompokkan, maka dapat membuat keragaman satuan-satuan percobaan di dalam masing-masing kelompok sekecil mungkin sedangkan perbedaan antar kelompok sebesar mungkin
Perhatikan kasus berikut • Ingin mengetahui pengaruh jenis obat terhadap kecepatan penyembuhan Faktor : jenis obat • Apakah ada faktor lain yang mempengaruhi kecepatan penyembuhan selain jenis obat? Mungkin saja: umur pasien, jenis kelamin (Bila umur pasien sama atau jenis kelamin sama maka gunakan saja RAL) • Bila faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhi keragaman respon (selain faktor yang diteliti) tidak dapat diseragamkan (dikendalikan) oleh peneliti, maka RAL tidak dapat diterapkan.
Mengapa RAKL? • Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber keragaman • Mengatasi kesulitan dalam mempersiapkan unit percobaan dalam jumlah besar • Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan dari unit-unit percobaan yang relatif homogen sedangkan keragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi
Ciri – ciri RAKL • Pada satuan percobaan/media/bahan percobaan terdapat faktor yang tidak seragam (heterogen) • Terdapat 2 sumber keragaman yaitu perlakuan dan kelompok (plus galat percobaan) • Keragaman respons disebabkan oleh Perlakuan, Kelompok dan Galat
Keuntungan / kelebihan RAK • Lebih efisien dan akurat dibandingkan dengan RAL - Pengelompokan yang efektif akan menurunkan jumlah kuadrat galat, sehingga akan meningkatkan tingkat ketepatan atau bisa mengurangi jumlah ulangan • Lebih fleksibel dalam hal jumlah perlakuan, jumlah ulangan/kelompok • Penarikan kesimpulan lebih luas, karena kita juga bisa melihat perbedaan antar kelompok
Kekurangan RAK • Memerlukan asumsi tambahan untuk beberapa uji hipotesis • Interaksi antara kelompok dan perlakuan sangat sulit • Peningkatan ketepatan pengelompokan akan menurun dengan semakin meningkatnya jumlah satuan percobaan dalam kelompok • Derajat bebas kelompok akan menurunkan derajat bebas galat, sehingga sensifitasnya akan menurun terutama apabila jumlah perlakuannya sedikit atau keragaman dalam satuan percobaan kecil (homogen) • Jika ada data yang hilang memerlukan perhitungan yang rumit
Pengacakan dan bagan percobaan • Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) dan setiap perlakuan diulang dalam 3 kelompok. • Ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok • Total unit percobaan ada 6 × 3 = 18 unit percobaan • Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok • Salah satu bagan percobaan :
P1 P3 P2 P4 P6 P5 Kelompok 1 P3 P5 P6 P4 P1 P2 Kelompok 2 P1 P5 P3 P4 P2 P6 Kelompok 3
Tabulasi Data • Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut: Perlakuan A
B
C
Total Kelompok
1
Y11
Y21
Y31
Y1
2
Y12
Y22
Y32
Y2
3
Y13
Y23
Y33
Y2
Total
Y1
Y2
Y3
Y
Rata-rata
Y1
Y2
Y3
Y
Kelompok
Model linier aditif RAKL i 1,2,...,t j 1,2,...,r
Model linier aditif dari RAKL yaitu:
Yij i j ij
Dimana: ij N 0, 2 Yij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j μ: rataan umum τi: pengaruh perlakuan ke-i ßj: pengaruh kelompok ke-j εij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, kelompok ke-j iid
t
Asumsi untuk model tetap adalah
r
0 dan i1
i
Asumsi untuk model acak adalah i N 0, iid
j1
2
j
0
dan N 0, iid
j
2
Hipotesis model tetap • Hipotesis pengaruh perlakuan H0 : 1 2 ... t 0 Perlakuan tidak berpengaruh terhadap
H1 : i 0,(i 1,2,...,t)
respon yang diamati
• Hipotesis pengaruh kelompok Kelompok tidak berpengaruh terhadap H0 : 1 2 ... r 0
H1 : j 0,( j 1,2,...,r)
respon yang diamati
Hipotesis model acak • Hipotesis pengaruh perlakuan Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap H0 : 2 0 respon yang diamati
H1 : 2 0
Keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respon yang diamati
• Hipotesis pengaruh kelompok Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap H0 : 2 0 respon yang diamati
H1 : 2 0
Keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respon yang diamati
Perhitungan analisis variansi Y2 FK tr t
r
JKT Yij2 FK i1 j1
Yi2 JKP FK i1 r t
r
Y2j
j1
t
JKK
FK
JKG JKT JKP JKK
Tabel analisis variansi SV
db
JK
KT
Fhitung
Perlakuan
t-1
JKP
KTP
KTP/KTG
Kelompok
r-1
JKK
KTK
KTK/KTG
Galat
(t-1)(r-1)
JKG
KTG
Total
tr-1
JKT
Kriteria keputusan : 1. H0 ditolak jika: (untuk perlakuan)
Fhitung F ,t1,(t1)(r1)
2. H0 ditolak jika: (untuk kelompok) Fhitung F ,r1,(t1)(r1)
Efisiensi relatif (ER) dari RAK terhadap RAL • Ukuran kebaikan RAK dengan RAL dbb 1 dbr 3 ˆ r2 ER 2 dbb 3 dbr 1 ˆ b
• Ragam galat dari RAK dan RAL diduga dengaan rumus: ˆ b2 KTG ˆ
2 r
r 1KTK r t 1KTG
tr 1 • Nilai ER = 2, maka untuk memperoleh sensitifitas RAL sama dengan RAK maka ulangan yang digunakan dengan RAL harus 2 kali dari ulangan (kelompok) RAK.
Contoh penerapan Dalam suatu percobaan di bidang peternakan terdapat suatu pengaruh tentang berbagai campuran ransum (makanan), katakanlah campuran A, B, C, D terhadap pertambahan bobot badan selama masa percobaan (diukur dalam kg). Hewan percobaan yang digunakan adalah domba jantan yang terdiri dari umur yang berbeda. Karena berbeda umur, maka dilakukan pengelompokkan dan terdapat empat kelompok berdasarkan tingkat umur domba tersebut.
Data pertambahan bobot badan (kg)dari 16 domba jantan yang memperoleh makanan yang berbeda Perlakuan
Kelompok umur
A
B
C
D
1
2
5
8
6
2
3
4
7
5
3
3
5
10
5
4
5
5
9
2
Penyelesaian 1. Model
Yij i j ij ;i 1,2,3,4; j 1,2,3,4 Dimana : Yij: pertambahan bobot badan dari domba ke-j yang memperoleh campuran makanan ke-i μ: nilai tengah umum (rata – rata) pertambahan bobot badan τi: pengaruh perlakuan makanan ke-i βj: pengaruh kelompok domba (kelompok umur) ke-j
εij: pengaruh galat percobaan pada domba ke-j yang memperoleh perlakuan makanan ke-i
2. Asumsi • Komponen-komponen µ, τi, βj, dan εij bersifat aditif • Nilai-nilai τi (i= 1,2,3,4) tetap, i 0 dan E i i i
• Nilai-nilai βj (j = 1,2,3,4) tetap, j 0 dan E j j j
• εij timbul secara acak, menyebar normal dengan nilai tengah sama dengan nol dan ragam σ².
3. Hipotesis
H0 : 1 2 3 4 0 H1 : i 0,(i 1,2,3,4) H0 : 1 2 ... r 0 H1 : j 0,( j 1,2,...,r)
Yang berarti tidak ada pengaruh perlakuan makanan terhadap pertambahan bobot badan domba jantan.
Yang berarti tidak ada pengaruh kelompok umur terhadap pertambahan bobot badan domba jantan.
4. 5. 6. 7.
Taraf signifikasi Statistik uji (Kriteria keputusan) Perhitungan – –
perhitungan FK, JKP, JKK, JKT, dan JKG tabel analisis variansi
8. Kesimpulan Hitung pula: 1. Koefisien Keragaman (KK) 2. Sensifitas RAK terhadap RAL (ER)
Data Hilang dalam RAK • Terkadang data dalam satuan percobaan tertentu hilang atau tidak dapat dipergunakan, misalkan pada kasus percobaan pemberian ransum pada domba jantan, ada domba yang sakit atau mati. • Suatu metode yang dikemukakan oleh Yates (1933) memungkinkan kita untuk menduga data yang hilang tersebut. • Suatu dugaan terhadap data yang hilang tidak akan memberikan tambahan informasi kepada peneliti, tetapi hanya sebagai fasilitas untuk analisis dari data yang tersisa tersebut.
Kehilangan Data tunggal (Single value) • Untuk data tunggal dalam RAK yang hilang, maka dugaannya dihitung dengan formula: rB tT G Y r 1 t 1 Dimana: r dan t: jumlah kelompok dan perlakuan B dan T: total nilai pengamatan dalam kelompok dan perlakuan yang kehilangan satuan percobaannya. G: total seluruh nilai pengamatan. • Kemudian nilai dugaan tersebut dimasukkan dalam tabel pengamatan dan dilakukan analisis variansi.
• Nilai dugaan yang digunakan harus sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat galat dalam analisis variansi menjadi minimum. Jumlah kuadrat perlakuan akan berbias ke atas sebesar: B t 1 Y Bias
2
t t 1
• Contoh Perlakuan
Kelompok umur
A
B
C
D
Total kelompok
1
2
5
8
6
21
2
3
4
7
5
19
3
3
-
10
5
18
4
5
5
9
2
21
Total perlakuan
13
14
34
18
79
rB tT G 4 18 4 14 79 Y 5.4 (4 1)(4 1) r 1 t 1
• Nilai dugaan 5.4 ini kemudian dicoba sebagai suatu nilai pengamatan untuk analisis variansi. Dengan demikian total kelompok ketiga yang tadinya 18 menjadi 23.4 dan total perlakuan B menjadi 19.4 dan total keseluruhan 84.4. • Biasnya:
B t 1 Y
2
Bias
t t 1
18 (4 1)5.4
2
4(4 1)
0.27
• Dengan demikian penduga tak bias bagi JKP yaitu: JKP (hasil perhitungan) – bias
• Hasil analisis variansi dengan data hilang SV
db
JK
KT
Kelompok
3
2.43
0.81
Perlakuan
3
61.13+
20.38
Galat
9–1=8
17.39
2.17
Total
15 – 1 = 14
80.95
F 9.39
• Keterangan: +bias = 0.27 sehingga JKP tak bias = 61.13 – 0.27 = 60.86 • Analisis variansi alternatif SV
db
JK
KT
Kelompok
3
2.43
0.81
Perlakuan
3
60.86
20.38
Galat
8
17.39
2.17
Total
14
80.65
F 9.35
Kehilangan Data Lebih dari Satu • Data Pertambahan Bobot Badan (kg) dari Domba Jantan yang Memperoleh Makanan Berbeda Perlakuan
Kelompok umur
A
B
C
D
Total kelompok
1
2
5
8
6
21
2
3
4
7
h1
14
3
3
h2
10
5
18
4
5
5
9
2
21
Total perlakuan
13
14
34
13
74
• Prosedur pendugaan dilakukan dengan cara iterasi.
• Prosedur iterasinya: 1. Pendugaan h1 melalui: h1
Yi Y j 2
13 3 14 3 4.5 2
2. Pendugaan h2 (iterasi pertama) dengan menggunakan rumus hilang data tunggal sebelumnya. rB tT G 4 18 4 14 (74 4.5) h2 5.5 (4 1)(4 1) r 1 t 1
3. Pendugaan h1 (iterasi pertama) dengan rumus sama. rB tT G 4 14 4 13 (74 5.5) h1 3.2 (4 1)(4 1) r 1 t 1 4. Pendugaan h2 (iterasi kedua) dengan cara sama. rB tT G 4 18 4 14 (74 3.2) h2 5.6 (4 1)(4 1) r 1 t 1
5. Pendugaan h1 (iterasi kedua) rB tT G 4 14 4 13 (74 5.6) h1 3.2 (4 1)(4 1) r 1 t 1 6. Pendugaan h2 (iterasi kedua) rB tT G 4 18 4 14 (74 3.2) h2 5.6 (4 1)(4 1) r 1 t 1 •
Dari proses iterasi terlihat bahwa nilai h1 dan h2 telah konstan di nilai h1 = 3.2 dan h2 = 5.6
• Datanya menjadi: Perlakuan
Kelompok umur
A
B
C
D
Total kelompok
1
2
5
8
6
21
2
3
4
7
3.2
17.2
3
3
5.6
10
5
23.6
4
5
5
9
2
21
Total perlakuan
13
19.6
34
16.2
82.8
• Besarnya bias untuk dua data hilang
B t 1 Y B t 1 Y Bias 2
1
1
2
2
t t 1
2
• Tabel analisis variansi SV
db
JK
KT
Kelompok
3
5.21
1.74
Perlakuan
3
64.41
21.47
Galat
9–2=7
15.49
2.21
Total
15 – 2 = 13
85.11
9.71
14 (4 1)3.2 18 (4 1)5.6 2
Bias
F
4(4 1)
2
1.73
• Tabel analisis variansi alternatif SV
db
JK
KT
Kelompok
3
5.21
1.74
Perlakuan
3
62.68
20.89
Galat
7
15.49
2.21
Total
13
83.38
F 9.49
Referensi • Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung. • Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung. • Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.
Thank You
