RANCANGAN ACAK KELOMPOK TAK LENGKAP (Incomplete Block Design)
Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si Departemen Statistika-FMIPA IPB 2007
Review Rancangan Acak Kelompok • Kita ingin membandingkan t perlakuan • Pengelompokan N = bt unit percobaan kedalam b kelompok berukuran t yang homogen. • Dalam setiap kelompok, kita acak t perlakuan terhadap t unit percobaan. • Kemampuan mendeteksi perbedaan antar perlakuan sangat tergantung pada keragaman dalam blok (within block variability).
Beberapa Komentar • Keragaman dalam blok secara umum meningkat seiring dengan makin besarnya ukuran blok. • Untuk jumlah perlakuan yang besar (t), memungkinkan terjadi tidak mampu menyiapkan ukuran blok (k) yang sama dengan jumlah perlakuan. • Jika ukuran blok (k) lebih kecil dari jumlah perlakuan (k
Beberapa Komentar • Ketika dua perlakuan muncul bersama-sama dalam blok yang sama maka memungkinkan untuk melakukan pendugaan perbedaan pengaruh perlakuan. • Dengan kata lain perbedaan pengaruh perlakuan bersifat dapat diduga (estimable) • Jika dua perlakuan tidak muncul secara bersamasama dalam blok yang sama maka tidak mungkin menduga perbedaan pengaruh perlakuan. • Dengan kata lain perbedaan pengaruh perlakuan bersifat tidak dapat diduga (not be estimable)
Ilustrasi • Perhatikan rancangan kelompok dengan 6 perlakuan dan 6 kelompok berukuran 2, berikut: 1
2
1
4
5
4
2
3
3
5
6
6
• Perbedaan antar perlakuan berikut 1 vs 2, 1 vs 3, 2 vs 3, 4 vs 5, 4 vs 6, 5 vs 6) dapat diduga (estimable). • Perbedaan perlakuan dalam kelompok perlakuan {1,2,3} dengan perlakuan dalam kelompok perlakuan {4,5,6} tidak dapat diduga (not estimable).
Definisi • Dua perlakuan i and i* disebut terhubungkan (connected) jika ada deret dari perlakuan i0 = i, i1, i2, … iM = i* sehingga setiap pasangan perlakuan (ij and ij+1) muncul dalam blok yang sama. • Dalam kasus ini perbedaan perlakuan bersifat estimable. • Rancangan tak lengkap disebut connected jika semua pasangan perlakuan bersifat estimable
Ilustrasi • Perhatikan rancangan kelompok dengan 5 perlakuan dan 5 blok berukuran 2 berikut: 1
2
1
4
1
2
3
3
5
4
• Rancangan kelompok tak lengkap ini bersifat connected. • Semua perbedaan perlakuan bersifat estimable. • Tetapi beberapa perbedaan perlakuan dapat didduga dengan presisi yang lebih tinggi dibandingkan dengan yang lainnya. Kenapa?
Definisi Rancangan tak lengkap disebut Rancangan blok tak lengkap seimbang (Balanced Incomplete Block Design), jika 1. Semua perlakuan muncul dalam r blok • Kondisi ini mengakibatkan setiap perlakuan memiliki presisi yang sama 2. Semua pasangan perlakuan i and i* muncul bersamasama dalam l blok. • Kondisi ini menunjukkan bahwa setiap perbedaan perlakuan dapat diduga dengan presisi yang sama.
Notasi b = Jumlah blok t = Jumlah perlakuan k = Ukuran blok r = Ulangan setiap perlakuan l = Frekuensi munculnya setiap pasangan perlakuan dalam percobaan 1. bk = rt •
Both sides of this equation are found by counting the total number of experimental units in the experiment.
2. r(k-1) = l (t – 1) •
Both sides of this equation are found by counting the total number of experimental units that appear with a specific treatment in the experiment.
Ilustrasi Lay-out BIB Design A Balanced Incomplete Block Design (b = 15, k = 4, t = 6, r = 10, l = 6)
Block 1
4
Block 6
1
2
3
2
1
4
3
2
4 5
6
Block 11
3
4
5
1
3
5
6
5
6
7
1
2
3
6
12
2
3
4
6
3
4
6
8
1
3
4
5
13
1
2
5
6
1
2
3
5
9
2
4
5
6
14
1
3
5
6
1
2
4
6
10
1
2
4
5
15
2
3
4
5
Contoh Kasus Suatu perusahaan pengolah makanan tertarik membandingkan 6 brand baru (A, B, C, D, E and F) produk gandum (cereal) Untuk menjawab tujuan ini dilakukan tahapan penelitian sebagai berikut: • Setiap subjek diminta merasakan dan membandingkan produk tersebut dengan memberi skor antara 0 - 100. • Untuk lebih praktisnya setiap subjek paling banyak membandingkan 4 dari 6 brand dari produk gandum tersebut. • Untuk tujuan ini digunakan b = 15 subjek dengan balanced incomplete block design • Coba Anda buat Lay-out dari rancangan tersebut!!
Analisis Rancangan Tak Lengkap Seimbang (BIB Design) • Model Linier
yij i j ij
• Penguraian Keragaman Total
y..2 JKT y , N ar kb N i 1 j 1
Catatan: nij bernilai 1 jika blok ke-j memuat perlakuan ke-i, dan bernilai 0 jika blok ke-j tidak memuak perlakuan ke-i
2 ij
JKT JKPadj JKB JKG b
JKB j 1
y.2j
y..2 k N a
JKPadj
k Qi2 i 1
la
1 b , Qi yi. nij y. j k j 1
JKG JKT JKB JKPadj
Struktur Tabel Sidik Ragam Rancangan BIB Sumber
Db
JK
KT
F-hitung
Blok
b-1
JKB
KTB
Perlakuan terkoreksi
t-1
JKPadj
KTPadj
KTB/ KTG KTPadj/ KTG
N-bt+1 N-1
JKG
KTG
Galat Total
JKT
Misal data perbandingan antar brand produk gandum pada kasus sebelumnya diperoleh sebagai berikut:
Parameter dari rancangan BIB, yaitu: b = 15, k = 4, t = 6, r = 10, l = 6
Block Totals j
1 2 258 213
Bj
3 4 258 198
5 6 170 245
7 8 225 311
9 10 168 245
11 12 199 247
13 14 228 241
Treat Totals and Estimates of Treatment Effects Treat
Treat Total (Ti)
j(i) Bj/k
Diff = Qi
Treat Effects (i)
(A) (B) (C) (D) (E) (F)
501 600 795 821 571 234
572 578.25 624.5 603.5 595.25 548.5
-71 21.75 170.5 217.5 -24.25 -314.5
-7.89 2.42 18.94 24.17 -2.69 -34.94
j (i ) denotes summation over all blocks j containing treatment i. kQi i lt
treatment i effects.
15 316
G 3522
Anova Table for Incomplete Block Designs Sums of Squares yij2 = 234382 Bj2/k = 213188 Qi2 = 181388.88
Anova Sums of Squares SStotal = yij2 –G2/bk = 27640.6 SSBlocks = Bj2/k – G2/bk = 6446.6 SSTr = k( Qi2 )/lt = 20154.319 SSError = SStotal - SSBlocks - SSTr = 1039.6806
Anova Table for Incomplete Block Designs Source
SS
df
MS
F
Blocks Treat Error
6446.60 20154.32 1039.68
14 5 40
460.47 4030.86 25.99
17.72 155.08
Total
27640.60
59
Uji lanjutan untuk Perbandingan Perlakuan • Kontras – Kontras disusun untuk perbandingan perlakuan terkoreksi – Jumlah kuadrat kontras (JKC) dapat dihitung sebagai berikut:
k ci Qi i 1 JKC a 2 la ci a
i 1
2
Perbandingan Semua Kombinasi Perlakuan (Duncan, Tukey) • Pengaruh Perlakuan diduga sebagai berikut: • Standard Error bagi pengaruh perlakuan adalah:
kQi ˆi la kxKTG SE (ˆi ) la
Alternatif Analisis • Dalam uraian sebelumnya keragaman total diuraikan menjadi jumlah kuadrat perlakuan terkoreksi, jumlah kuadrat blok dan jumlah kuadrat galat • Disisi lain perhatian juga dapat ditujukan pada pengaruh blok, dengan kata lain keragaman total dapat juga diuraikan menjadi jumlah kuadrat perlakuan, jumlah kuadrat blok terkoreski dan jumlah kuadrat galat
Analisis Rancangan Tak Lengkap Seimbang (BIB Design) • Penguraian Keragaman Total Catatan: nij bernilai 1 jika blok ke-j memuat perlakuan ke-i, dan bernilai 0 jika blok ke-j tidak memuak perlakuan ke-i
JKT JKP JKBadj JKG y..2 JKT y , N ar kb N i 1 j 1 2 ij
y..2 JKP y N i 1 a
2 i. b
r Q 2j
1 a JKBadj , Qi y. j nij yi. lb r i 1 JKG JKT JKBadj JKP j 1
Struktur Tabel Sidik Ragam Rancangan BIB Sumber
Db
Blok terkoreksi
b-1
Perlakuan
t-1
Galat Total
JK
KT
JKBadj KTBadj JKP
KTP
N-b-t+1 JKG
KTG
N-1
JKT
F-hitung KTBadj/ KTG KTP/ KTG
Pendugaan Parameter • Intrablock analysis: perbedaan antar blok tidak dianalisis dan semua perbandingan perlakuan dapat ditunjukan sebagai perbandingan antar observasi dalam blok yang sama. Pengaruh blok dapat acak atau tetap • Interblok analysis: Pengaruh blok dianggap acak dengan rata-rata nol dan ragam 2.
Perbedaan Kedua Kajian • Intrablock Analysis
kQi ˆi la k (a 1) 2 V (ˆ i) 2 la b
• Interblock Analysis ˆi
n j 1
ij
y. j kry..
r l k (a 1) 2 ˆ V ( i ) k 2 a(r l )
