LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari
■ Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dapat ditulis:
lim f ( x) L x a
Jika untuk setiap bilangan ε>0 terdapat δ>0 sedemikian sehingga |f(x)-L|<ε bila |x-a|<δ
■ Limit kanan: Mengatakan bahwa: lim+ 𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa bilamana x 𝑥→𝑐 dekat dekat dari kanan c, maka f(x) dekat dengan L. ■ Limit kiri:
Mengatakan bahwa: lim− 𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa bilamana x 𝑥→𝑐 dekat dekat dari kiri c, maka f(x) dekat dengan L. Teorema A: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿 dan lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Suatu fungsi dikatakan memiliki limit jika dan hanya jika nilai dari limit kanan sama dengan nilai dari limit kiri.
Tentukan nilai dari
𝑥 3 −8 lim 𝑥→2 𝑥−2
Penyelesaian: x 1.7 1.8 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.2 2.3
f(x) 10.29 10.84 11.41 11.9401 11.994001 tak terdefinisi 12.006001 12.0601 12.61 13.24 13.89
Limit dari kiri
Limit dari kanan
𝑥 3 −8 lim 𝑥→2− 𝑥−2
= 12 dan
𝑥 3 −8 lim 𝑥→2+ 𝑥−2
= 12
Oleh karena limit kanan dan kirinya sama, maka fungsi tersebut memiliki limit.
Diberikan 𝑓 𝑥 =
𝑥 𝑥
Fungsi 𝑓(𝑥) memiliki dua nilai yaitu: −1, 𝑓 𝑥 =ቊ 1,
𝑥<0 𝑥>0
Tentukan lim 𝑓(𝑥) 𝑥→0
Penyelesaian: lim 𝑓 𝑥 = −1, tetapi lim+ 𝑓 𝑥 = 1
𝑥→0−
𝑥→0
Sehingga dikatakan 𝑓(𝑥) tidak memiliki limit ketika 𝑥 mendekati 0
■ Untuk sebarang konstanta k, maka:
1. lim 𝑘 = 𝑘 𝑥→𝑐
– Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri
2. lim 𝑥 = 𝑐 𝑥→𝑐
– Limit dari 𝑓 𝑥 = 𝑥 ketika 𝑥 mendekati 𝑐 adalah 𝑐
■ Jika 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥) adalah polinomial, maka: – lim 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐) 𝑥→𝑐
–
𝑝 𝑥 𝑥→𝑐 𝑞 𝑥
lim
=
𝑝 𝑐 𝑞 𝑐
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑞(𝑐) ≠ 0
■ Contoh:
1.
𝑥 2 −1 lim 𝑥→1 𝑥 2 −3𝑥+2
■
Penyelesaian: 𝑥2 − 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑥+1 lim 2 = lim = lim = −2 𝑥→1 𝑥 − 3𝑥 + 2 𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 𝑥→1 𝑥 − 2
2.
𝑥−1 𝑥→1 𝑥−1
lim
■
Penyelesaian: 𝑥−1 ( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) 𝑥−1 1 1 lim = lim = lim = lim = 𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥→1 (𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) 𝑥→1 (𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) 𝑥→1 𝑥 + 1 2
1.
lim
𝑥→0
𝑥 𝑥 2 −1 𝑥2
2.
𝑥 2 −𝑥−6 lim 𝑥→−2 𝑥 2 +3𝑥+2
3.
𝑥−2 𝑥→4 𝑥−4
lim
■ Jika nilai dari fungsi 𝑓(𝑥) mendekati suatu bilangan 𝐿 ketika 𝑥 naik tanpa suatu batasan, maka dapat dituliskan: 1. lim 𝑓(𝑥) = 𝐿, sama halnya dengan 𝑥→+∞
2.
lim 𝑓(𝑥) = 𝑀
𝑥→−∞
■ Reciprocal Power Rules (Aturan Pangkat Berbanding Terbalik) – Jika 𝐴 dan 𝑘 adalah konstanta dengan 𝑘 > 0 dan 𝑥 𝑘 berlaku untuk semua 𝑥, maka: ■ ■
𝐴 𝑥→+∞ 𝑥 𝑘 𝐴 lim 𝑥 𝑘 𝑥→−∞
lim
=0 =0
■ Menyelesaikan limit mendekati tak hingga dimana 𝑓 𝑥 = 1. 2.
𝑝 𝑥 𝑞 𝑥
Bagilah baik pembilang maupun penyebut dengan pangkat tertinggi dari 𝑥 𝑘 yang muncul pada penyebut polinomial 𝑞(𝑥) Hitung lim 𝑓(𝑥) menggunakan sifat aljabar limit dan reciprocal power rules 𝑥→∞
■ Tentukan nilai
2𝑥 2 +3𝑥+1 lim 𝑥→+∞ 3𝑥 2 −5𝑥+2
Penyelesaian: Pangkat tertinggi dari penyebut adalah 𝑥 2 , maka bagi pembilang dan penyebut dengan 𝑥 2 untuk mendapatkan: 3 1 2 2 + + 2𝑥 + 3𝑥 + 1 𝑥 𝑥2 2 + 0 + 0 2 lim = lim = = 5 2 𝑥→+∞ 3𝑥 2 − 5𝑥 + 2 𝑥→+∞ 3 − 0 + 0 3 3− + 2 𝑥 𝑥
■ Suatu limit lim 𝑓(𝑥) disebut limit tak hingga jika 𝑓(𝑥) naik atau turun tanpa adanya 𝑥→𝑐 batas 𝑥 → 𝑐, dapat ditulis: – lim 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑥→𝑐
Jika 𝑓(𝑥) naik tanpa batasan seperti 𝑥 → 𝑐 – lim 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑥→𝑐
Jika 𝑓(𝑥) turun tanpa batasan seperti 𝑥 → 𝑐
■ Tentukan
−𝑥 3 +2𝑥+1 lim 𝑥−3 𝑥→+∞
Penyelesaian: Pangkat tertinggi dari penyebut adalah 𝑥, sehingga baik pembilang maupun penyebut dibagi oleh 𝑥, 3 𝑥 2𝑥 1 1 − + + −𝑥 2 + 2 + −𝑥 3 + 2𝑥 + 1 𝑥 𝑥 𝑥 = lim 𝑥 = −∞ lim = lim 𝑥 3 3 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥−3 − 1− 𝑥 𝑥 𝑥
1.
1−3𝑥 3 lim 𝑥→∞ 2𝑥 3 −6𝑥+2
2.
𝑥 2 +𝑥−5 lim 𝑥→∞ 1−2𝑥−𝑥 3
3.
lim
𝑥 2 −7𝑥 5
𝑥→∞ 𝑥 4 −3𝑥−7
1 − 𝑥2, 𝑥 < 1 4. Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 = ቐ 1 , 𝑥>1 𝑥−1
Tentukan:
a. b.
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→1
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→1.5
5.
PENDAPATAN PER KAPITA: Suatu studi mengindikasikan bahwa t tahun dari sekarang, populasi dari negara tertentu akan menjadi 𝑝 = 0.2𝑡 + 1500 ribu orang. Sedemikian sehingga pendapatan kotor negara dalam E juta dollar, akan menjadi: 𝐸 𝑡 = 9𝑡 2 + 0.5𝑡 + 179 a) Ekspresikan pendapatan per kapita dari negara tersebut 𝑃 = 𝐸/𝑝 sebagai suatu fungsi terhadap waktu t. b) Apa yang terjadi pada pendapatan per kapita dalam jangka waktu sangat panjang? (𝑡 → ∞)
6.
KONSENTRASI OBAT: Konsentrasi obat di aliran darah seorang pasien setelah t jam dari suntikan adalah C(t) milligram per millimeter: 0.4 𝐶 𝑡 = 1.2 + 0.013 𝑡 +1 a) Berapakah konsentrasi obat tepat setelah suntikan? (𝑡 = 0) b) Berapa banyak konsentrasi berubah selama jam ke-5? Apakah naik atau turun selama periode waktu tersebut? c) Berapa banyak residual obat, dimana konsentrasi obat tersisa dalam jangka waktu sangat lama? (𝑡 → ∞)
7.
KONTINUITAS
Suatu fungsi 𝑓 kontinu di 𝑐 jika tiga dari kondisi berikut terpenuhi:
1. 𝑓(𝑐) terdefinisi 2. 3.
lim 𝑓 𝑥 ada
𝑥→𝑐
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐
Jika 𝑓(𝑥) tidak kontinu di 𝑐, maka dikatakan 𝑓(𝑥) memiliki diskontinuitas di 𝑐.
■ Tunjukkan bahwa 𝑓 𝑥 =
𝑥+1 𝑥−2
kontinu di 𝑥 = 3
■ Periksa kontinuitas dari: 1
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 b) 𝑓 𝑥 =
𝑥 2 −1 𝑥+1
𝑥 + 1, 𝑥 < 1 2 − 𝑥, 𝑥 ≥ 1
c) 𝑓 𝑥 = ቊ
■ Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di titik yang diberikan: 2𝑥−4
1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥−2, di 𝑥 = 2 2. 𝑓 𝑥 = 3.
𝑥−2 , 𝑥−4
di 𝑥 = 4
𝑥 2 + 1, 𝑥 ≤ 3 𝑓 𝑥 =ቊ di 𝑥 = 3 2𝑥 + 4, 𝑥 > 3
4.
CUACA Misalkan tempereatur udara pada hari tertentu adalah 30℉. Kemudian, temperature yang diakibatkan oleh angin (dalam ℉) dengan kecepatan 𝑣 mph, diberikan dengan rumus berikut: 𝑢𝑛𝑘 0 ≤ 𝑣 ≤ 4 30 𝑊 𝑣 = ቐ1.25𝑣 − 18.67 𝑣 + 62.3 𝑢𝑛𝑘 4 < 𝑣 < 45 𝑢𝑛𝑘 𝑣 ≥ 45 −7 a. Berapakah temperature yang diakibatkan angin dengan 𝑣 = 20 𝑚𝑝ℎ? Ketika 𝑣 = 50 𝑚𝑝ℎ? b. Berapakah kecepatan yang dihasilkan oleh angin dengan temperature 0℉? c. Apakah fungsi 𝑊(𝑣) kontinu di 𝑣 = 4? Bagaimana dengan 𝑣 = 45?
5.
6. Tentukan nilai limit
a) b)
lim+
𝑥→3
𝑥+1−2 𝑥−3
lim 𝑓(𝑥) dan lim+ 𝑓(𝑥)
𝑥→1−
Dimana 𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥→1
1 , 𝑥−1 2
𝑥 < −1
𝑥 + 2𝑥, 𝑥 ≥ −1
LIMIT TRIGONOMETRI
1.
lim sin 𝑥 = sin 𝑐 dan lim cos 𝑥 = cos 𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
2.
sin 𝑥 𝑥→0 𝑥
3.
sin 𝑎𝑥 𝑥→0 𝑎𝑥
lim lim
1−cos 𝑥 𝑥 𝑥→0
= 1 dan lim
=0
1−cos 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑥→0
= 1 dan lim
= 0 untuk 𝑎 ≠ 0
■ sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 ■ ■
sin 𝑥 = tan 𝑥 cos 𝑥 tan2 𝑥 + 1 =
sec 2 𝑥
Aturan kuadran ■ sin
1 𝜋 2
− θ = cos 𝜃
■ sin −𝜃 = − sin 𝜃 ■ cos −𝜃 = cos 𝜃
1.
4𝑥 𝑥→0 cot 3𝑥
2.
𝑥 2 −2𝑥 lim 𝑥→0 sin 3𝑥
3. 4. 5.
lim
lim
1−sec2 2𝑥 𝑥2
𝑥→0
lim𝜋
cos 𝑥 1
𝑥→ 2 𝑥−2𝜋 sin𝑥 𝑥→ 4 𝑥
lim𝜋
