HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI
Himpunan
Jenis-jenis himpunan
Himpunan kosong & semesta
Himpunan berhingga & tak berhingga Himpunan bagian (subset) Himpunan saling lepas Himpunan Kuasa (Power Set) Himpunan Komplemen
Operasi Pada Himpunan
Operasi Gabungan (+) Operasi Selisih (-) Operasi Irisan () Operasi Kartesian
Operasi Komplemen
Cara Menuliskan Himpunan
Enumerasi Simbol Baku Notasi Pembentuk Himpunan Diagram Ven
DEFINISI HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat tertentu.
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota dilambangkan dengan “ϵ”
Anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda.
Contoh: {1, 2, 3} merupakan himpunan, tetapi {1, 1, 3} bukan merupakan himpunan. Kenapa?
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN 1.
Enumerasi Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.
Contoh: a)
C = {Joy, Sadness, Disgust, Fear, Anger}
b)
F = {facebook, Instagram, twitter, path, linkedIn, snapchat}
c)
W = {R, SAS, Tableau, SPSS, Minitab, Matlab}
d)
D = { {} }
2.
Simbol-simbol baku
Simbol baku untuk himpunan antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan asli (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks
3.
Notasi Pembentuk Himpunan Menuliskan syarat keanggotaan himpunan, dengan notasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x} Contoh:
a)
b)
A adalah himpunan bilangan prima lebih kecil dari 15, maka:
{x | x adalah bilangan prima lebih kecil dari 15}, atau
{x | x < 15, x ϵ N}
{x | x adalah himpunan dosen di Prodi Statistika UII}
4.
Diagram Venn
Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topik
pembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk kotak. Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran-lingkaran untuk merepresentasikan himpunan.
Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan. Contoh: Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan huruf vokal dalam bahasa
Indonesia
HIMPUNAN BERHINGGA Jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga (finite set).
Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: |A| atau n(A)
HIMPUNAN KUASA (POWER SET) Himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A). Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau n(P(A)). Rumus kardinal dari P(A) adalah:
n(P(A)) 2
n( A)
HIMPUNAN KOSONG Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong. Dinotasikan sebagai atau {}.
Contoh: a)
A = {x | x adalah bilangan prima genap kurang dari 2}; n(A) = 0
b)
B = {x | x2 < 0, x ϵ N}; n(B) = 0
HIMPUNAN SEMESTA Himpunan semesta (S) disebut juga himpunan universal (U).
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat
dinotasikan a S.
Contoh:
Misalkan U = {Singapore, Zurich, Hong Kong, Geneva, Paris, London, New York}, maka Zurich U.
HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET) Sebuah himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan
hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini dikatakan bahwa B superset dari A
Notasi: 𝐴 ⊆ 𝐵 U
Diagram Venn: A
B
Contoh himpunan bagian:
a) {1,2,3} {1,2,3,4,5} b) {4,5,6} {4,5,6} c) N Z R C
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
1) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). 2) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).
3) Jika A B dan B C, maka A C
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper
subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A. A B berbeda dengan A B i.
A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. Demikian A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2,3} adalah proper subset dari {1,2,3} ii.
A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
HIMPUNAN SALING LEPAS (DISJOINT) Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika hanya jika kedua himpunan
itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.
Notasi: A // B
U A
B
Contoh:
a) A { x | x 2 8 x 12 0} dan B { x | x 2 4 0} tidak saling lepas b) A { x | x 2 8 x 12 0} dan C {1,3,5} saling lepas
OPERASI HIMPUNAN
1.
Irisan (intersection)
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.
Notasi: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵
Contoh:
a)
Jika A = {2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka: 𝐴 ∩ 𝐵 = {2, 4, 6}
b)
Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka: 𝐴 ∩ 𝐵 = {} artinya A // B
2.
Gabungan (Union)
Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya.
Notasi: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵
Contoh:
a)
Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P Q = {a, b, c,d, e, f }
b)
𝐴∪𝜙 =𝐴
3.
Komplemen (complement)
Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A.
Notasi: 𝐴𝑐 = 𝐴ҧ = 𝑥|𝑥 ∈ 𝑈, 𝑥 ∉ 𝐴
Contoh:
a)
Misalkan: U = {1, 2, 3, …, 10} . Jika A = {1, 2, 3, 4}, maka Ac = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.
b)
𝑆 𝑐 = 𝜙 𝑑𝑎𝑛 𝜙 𝑐 = 𝑆
c) d)
𝐴𝑐
𝑐
=𝐴
𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = 𝜙
4.
Selisih
Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B.
Notasi: 𝐴 − 𝐵 = 𝑥| 𝑥 𝜖 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵
Contoh: {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
5.
Perkalian Kartesian (cartesian product)
Cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi: A B (a , b)|a A, b B
Contoh: A B (a ,1),(a ,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)
Misalkan: A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}, maka:
Catatan untuk perkalian kartesian: 1.
Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n(A×B) = n(A).n(B)
2.
Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).
3.
Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
4.
Jika A = atau B = , maka A B = B A =
6.
Beda setangkup (Symmetric Difference)
Notasi: A B A B A B A B B A
Contoh:
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5}, maka: A B {3,4,5,6}
TEOREMA ALJABAR HIMPUNAN Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut: 1. Hukum asosiatif (associative law) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)
2. Hukum komutatif (commutative law) AB=BA AB=BA A B=BA
3. Hukum distributif (distributive law) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
4. Hukum identitas (identity law) A=A AS=A 5. Hukum komplemen (complement law)
A Ac = S A Ac =
6. Hukum idempoten (idempotent law) AA=A AA=A 7. Hukum ikatan (bound law) AS=S A=
8. Hukum penyerapan (absorption law) A (A B) = A A (A B) = A 9. Hukum involusi (involution law) A’’ = A
10. Hukum 0/1(1/0 law) c = S Sc = 11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De Morgan’s laws for sets) (A B)c = Ac Bc
(A B)c = Ac Bc
LATIHAN
REFERENSI kur2003.if.itb.ac.id/file/Himpunan.doc
Diktat Kalkulus: Undip
