Ukuran Pemusatan Data Arum Handini P., M.Sc Ayundyah K., M.Si.
Notasi untuk Populasi dan Sampel Notasi: Sample
Populasi
Mean (rata-rata)
x
μ
Variansi
s2
σ2
Simpangan baku
s
σ
Ukuran Pemusatan Data 1. Mean (rata-rata) 2. Median 3. Modus
Mean 1. Mean untuk data tunggal • Mean sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn, dirumuskan: n
x • •
x i 1
i
n
Contoh: The birth weights in pounds of five babies born in a hospital on a certain day are 9.2, 6.4, 10.5, 8.1, and 7.8. The mean birth weight for these data is 9.2 6.4 10.5 8.1 7.8 42 x 8.4 5 5
•
Mean sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn, yang mempunyai frekuensi berturut-turut f1, f2, f3, …, fn, Nilai
Frekuensi
x1
f1
x2
f2
x3
f3
…
…
xn
fn
dirumuskan:
n
x
fx i 1 n
i i
f i 1
i
Latihan: Mean • Loss of calcium is a serious problem for older women. To investigate the amount of loss, a researcher measured the initial amount of bone mineral content in the radius bone of the dominant hand of elderly women and then the amount remaining after one year. The differences, representing the loss of bone mineral content, are given in the following table (courtesy of E. Smith).
2. Estimasi Mean data berkelompok a) Menghitung mean data kelompok dengan metode biasa • Penyajian data berkelompok:
•
Interval/ Selang
Titik Tengah (xi)
Frekuensi (fi)
Limit kelas ke-1
X1
f1
Limit kelas ke-2
X2
f2
…
…
…
Limit kelas ke-n
Xn
fn
Mean dihitung dengan formula: n fi xi x i 1n fi i 1
• Contoh: Interval Kelas
Titik Tengah Kelas (xi)
Frekuensi (fi)
fixi
7–9
8
2
16
10 – 12
11
8
88
13 – 15
14
14
196
16 – 18
17
19
323
19 – 21
20
7
140
Jumlah
50
763
n
x
fx i 1 n
i i
f i 1
i
763 15.26 50
b) Menghitung mean data kelompok dengan metode simpangan rata-rata • Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari: x1: limit bawah kelas pertama x1 xn A xn: limit atas kelas terakhir 2 • Maka rataan hitung dirumuskan: n
x A
fd i 1 n
i i
f i 1
i
di: xi – A xi: nilai tengah masing-masing kelas fi: frekuensi kelas
• Contoh: Interval Kelas
Titik Tengah Kelas (xi)
Deviasi (di)
Frekuensi (fi)
fi di
7–9
8
-6
2
-12
10 – 12
11
-3
8
-24
13 – 15
14
0
14
0
16 – 18
17
3
19
57
19 – 21
20
6
7
42
50
63
Jumlah
Untuk banyak interval kelas ganjil, ‘0’ pasti terletak di kelas yang tengah
n
7 21 A 14 2
x A
fd i 1 n
i i
f i 1
i
63 14 15.26 50
c) Mean berkelompok dengan metode coding • Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari:
x1 xn A 2
x1: limit bawah kelas pertama xn: limit atas kelas terakhir
• Mean dengan metode coding dirumuskan: n
x A p
fc i 1 n
i i
f i 1
i
ci: kode untuk setiap kelas xi: nilai tengah masing-masing kelas fi: frekuensi kelas p: panjang kelas
• Contoh: Interval Kelas
Kode (ci)
Frekuensi (fi)
fi ci
7–9
-2
2
-4
10 – 12
-1
8
-8
13 – 15
0
14
0
16 – 18
1
19
19
19 – 21
2
7
14
50
21 n
7 21 A 14 x A p 2
fc i 1 n
i i
f i 1
i
21 14 3 15.26 50
3. Mean data gabungan • Sample berukuran n1, n2, …, nk diambil dari k populasi, masing-masing memiliki mean x1 , x2 ,..., xk , maka mean gabungan: k
xc
n x i 1 k
i i
n i 1
i
4. Mean terboboti • Terdapat k buah nilai x1, x2, …, xk dengan bobot masingmasing w1, w2, …, wk, maka mean dirumuskan: k
xw
w x i 1 k
w i 1
•
•
i i
i
Contoh: Komponen
Tugas
Quiz
UTS
UAS
Bobot
20%
10%
30%
40%
Nilai
80
75
65
75
Nilai akhir: xw
0.2 80 0.1 75 0.3 65 0.4 75 73 0.2 0.1 0.3 0.4
Median 1. Median data tunggal • Median sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn, adalah nilai tengah dari observasi terurut dari yang terkecil hingga terbesar. • Letak median: – Ukuran data ganjil n 1 Median terletak di data ke2 – Ukuran data genap n n Median terletak diantara data ke- dan data ke- 1 2 2
• Contoh 1 (median): Data 5 bobot bayi ketika lahir: 3.04; 4.20; 3.28; 3.12; 2.56 Diurutkan: 2.56, 3.04, 3.12, 3.28, 4.20 (n = 5) 51 Median terletak pada data ke 3, yaitu 3.12. 2 Data: 3, 15, 46, 64, 126, 623 (n = 6) 6 6 Median terletak pada data ke- 3 dan ke- 1 4, yaitu: 2 2 46 64 55 2
• Contoh 2 (median) Lamanya enam pasien pencangkokan jantung adalah sebagai berikut: 15, 3, 46, 623, 126, dan 64 hari. Data terurut: 3, 15, 46, 64, 126, 623 Median-nya adalah 55, sementara mean-nya 146.2 Perhatikan: jika dilihat dari nilai mean, maka hanya ada 1 pasien yang hidup di atas 146.2 hari. Di sini median menjadi indikator yang lebih baik, yaitu ada 3 pasien yang bertahan hidup lebih dari 55 hari. Contoh ini menunjukkan bahwa median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrem pada sampel. Bagi distribusi yang tidak simetrik, kiranya median akan menjadi ukuran nilai tengah yang lebih bermakna daripada mean
2. Estimasi median data berkelompok • Rumus untuk median data berkelompok (data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi):
1 2 n fk Me b p fme
b: batas bawah kelas median p: panjang kelas n: banyak data fk: frekuensi kumulatif sebelum kelas median fme: frekuensi kelas median
Modus • Modus suatu sampel adalah nilai yang paling banyak muncul atau paling tinggi frekuensinya. • Estimasi modus untuk data berkelompok: d1 Mo b p d d 1 2
• dimana: d1 fmo fmo1 d2 fmo fmo1
b: batas bawah kelas modus p: panjang kelas fmo: frekuensi kelas modus fmo-1: frekuensi kelas sebelum kelas modus fmo+1: frekuensi kelas setelah kelas modus
Persentil • Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama. • Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1, P2, …, P99, yang bersifat 1% dari seluruh data terletak di bawah P1, 2% terletak di bawah P2,…, dan 99% terletak di bawah P99.
• Menghitung persentil ke-p: – Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar. – Tentukan hasil kali: banyak data × proporsi = np. • Jika np bukan bilangan bulat, maka lakukan pembulatan ke atas dan tentukan data pada urutan tersebut. • Jika np adalah bilangan bulat (misalkan: k), hitung rata-rata dari data ke-k dan ke(k+1).
Desil • Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 10 bagian yang sama. • Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D1, D2, …, D9 yang bersifat 10% data berada di bawah D1, 20% di bawah D2, …, dan 90% di bawah D9.
Kuartil 1. Kuartil data tunggal • Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 4 bagian sama besar.
•
Dilambangkan dengan: – – –
•
Q1 (25% data jatuh di bawah nilai Q1) Q2 (50% data jatuh di bawah nilai Q2) Q3 (75% data jatuh di bawah nilai Q3)
Contoh:
2 5 7 7 8 9 9 11 13 15 Q1
Q2 8.5
Q3
• Contoh: Data Pengukuran Tingkat Kebisingan Lalu Lintas (Decibel) 52
55.9 56.7 59.4 60.2
61
62.1 63.8 65.7 67.9
54.4 55.9 56.8 59.4 60.3 61.4 62.6
64
66.2 68.2
54.5 56.2 57.2 59.5 60.5 61.7 62.7 64.6 66.8 68.9
55.7 56.4 57.6 59.8 60.6 61.8 63.1 64.8 55.8 56.4 58.9
60
60.8
62
67
69.4
63.6 64.9 67.1 77.1
• Kuartil ke-1: – letak: 0.25 × 50 = 12.5 (pecahan), maka bulatkan ke atas menjadi 13. Kuartil pertama adalah data ke-13 yaitu 57.2.
• Persentil ke-10: – letak: 0.1 × 50 = 5 (bilangan bulat), sehingga letak persentil ke sepuluh adalah di antara data ke 5 dan 6 yaitu: (55.8 + 55.9)/2 = 55.85
2. Estimasi Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok Rumus menghitung kuartil data berkelompok: Qi: kuartil ke-i, Di: desil ke-i, Pi: persentil ke-i i n f k b: batas bawah kelas kuartil, desil, atau 4 Qi b p persentil p: panjang kelas fQ n: banyak data fk: frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil, i desil, atau persentil. 10 n fk fQ: frekuensi kelas kuartil, fD: frekuensi kelas Di b p desil, fP: frekuensi kelas persentil. fD i n f k 100 Pi b p f P
Latihan 1. Delapan peserta lomba sepeda mencatat waktu tempuh sebagai berikut: 28, 22, 26, 33, 21, 23, 37, 24. Hitunglah mean dan mediannya.
2. Perhatikan tabel banyak anak pada setiap keluarga di Kampung Sejahtera. Banyak anak
Frekuensi
1
2
2
4
3
21
4
18
5
10
6
4
7
1
Tentukan mean dan mediannya.
3. Perhatikan diagram tangkai-daun skor ujian akhir mata kuliah statistika berikut: 2 48
3 4 5 6 7 8 9
155 002 03368 0124479 22355689 004577 0025
Hitunglah: a. Mean b. Median c. Kuartil: Q1, Q2, dan Q3
4. Berdasarkan dari data berikut: Hitung: a) Mean b) Median c) Modus d) Kuartil pertama e) P45
5. Berdasarkan data berikut: Hitung: a) Mean b) Median c) Modus d) Kuartil pertama e) P45
6. Seorang mahasiwa mendapatkan nilai 87.4 untuk mata kuliah Metode Statistika. Nilai yang diperoleh mahasiswa tersebut dan bobot nilai pada mata kuliah Metode Statistika adalah sebagai berikut: Penilaian
Bobot
Nilai
Tugas
20%
88
Quiz
10%
75
UTS
30%
85
UAS
40%
x
Berapakah nilai UAS yang diperoleh mahasiswa tersebut?
Referensi • Bhattacharya, G. K., dan R. A., Johnson, 1997, Statistical Concept and Methods, John Wiley and Sons, New York. • Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika Edisi ke-3, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
