UKURAN PEMUSATAN DATA

Malim Muhammad, M.Sc.

UKURAN PEMUSATAN DATA

JURUSAN AGROTEKNOLOGI FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

DEFINISI UKURAN PEMUSATAN DATA Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok) Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan

Ukuran pemusatan data meliputi : 1. Rata-rata (average) a) Rata-rata hitung (arithmetic mean) b) Rata-rata ukur (geometric mean) c) Rata-rata harmonis (harmonic mean) 2. Median 3. Modus

1A. RATA-RATA HITUNG Dirumuskan :  Rata-rata hitung = jumlah semua nilai data banyaknya nilai data  Bila data merupakan pengamatan dari n sampel, n maka: Xi X   X1  X 2  X 3  ...  X n i1 atau X  X  n

n

n

 Bila data merupakan pengamatan dari N populasi, katakanlah masing-masing nilai data mengulang dengan frekuensi tertentu, maka: f1 X1  f 2 X 2  f3 X 3  ...  fn X n fX  X atau X  f1  f 2  f3  ...  f n f

CONTINUE..

Contoh 1 (pengamatan dari n sampel): Nilai ujian statistik 5 mahasiswa pertanian adalah 80, 60, 75, 70, 65, maka nilai rata-rata hitungnya adalah? Solusi :

X1  X 2  X3  ...  X n 80  60  75  70  65 X   70 n 5

Contoh 2 (pengamatan dari N populasi): Nilai ujian statistika 15 mahasiswa adalah sebagai berikut : 2 mahasiswa mendapat nilai 95, 4 mahasiswa dengan nilai 80, 5 mahasiswa mendapat nilai 65, 3 mahasiswa dengan nilai 60 dan 1 mahasiswa mendapat nilai 50, maka nilai rata-rata hitungnya adalah? Solusi :

f1 X 1  f 2 X 2  f3 X 3  ...  f n X n X f1  f 2  f3  ...  f n (2 x95)  (4 x80)  (5 x65)  (3x60)  (1x50) 1065    71 2  4  5  3 1 15

Contoh 3 (data kelompok distribusi frekuensi) Misalkan peneliti melakukan penelitian terhadap tinggi pohon pinus (dalam cm) dari 40 batang pohon yang disajikan pada tabel distribusi frekuensi berikut, maka tentukanlah nilai rata-rata hitungnya! Solusi :

Kelas (Tinggi)

Nilai Tengah (X)

Frekuensi (f)

fX

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174

116 125 134 143 152 161 170

4 5 8 12 5 4 2

464 625 1072 1716 760 644 340

 f  40 fX  X f

5621   140,525 40

 fX  5621

Contoh 4 (data kelompok distribusi frekuensi menggunakan kode (U)) Rumus :

  fU   X  X0  c   f   

Dimana x adalah nilai tengah kelas yang berhimpit dengan nilai U (0), c adalah lebar kelas, U adalah kode kelas Berdasarkan data dari contoh soal no 3 dengan menggunakan rumus diatas maka tentukanlah nilai ratarata hitungnya!

CONTINUE.. Solusi : Kelas

Nilai Tengah (X)

U

Frekuensi (f)

fU

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174

116 125 134 143 152 161 170

-3 -2 -1 0 1 2 3

4 5 8 12 5 4 2

-12 -10 -8 0 5 8 6

  fU   X  X 0  c  f      11  X  143  9   143  2,475  140,525  40 

 f  40

 fU  11

1B. RATA-RATA UKUR

Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, banyaknya nilai data satu sama lain saling berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau hampir tetap. Biasa digunakan untuk mengetahui persentase perubahan sepanjang waktu, misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga, dan pendapatan nasional.

Dirumuskan : Untuk data sampel : Gn

x . x . x ... x 1

2

3

n

 log X   atau logG  log  n  

  log X atau G  anti log n  Untuk data berkelompok :   f log X G  anti log  f 

   

   

Contoh 5(untuk data sampel ) Tentukanlah rata-rata ukur dari 2,4,8! Solusi :

log 2  0,3010 log 4  0,6021 log 8  0,9031  log 2  log 4  log 8  G  anti log  3    0,3010  0,6021  0,9031  G  anti log  3    1,8062  G  anti log   3  G  anti log(0,6021) G  4,0

Contoh 6 (untuk data kelompok):  Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah rata-rata ukur dari data tersebut! Kelas (Modal)

Nilai Tengah (X)

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174

116 125 134 143 152 161 170

  f log X G  anti log  f 

Frekuensi (f)



4 5 8 12 5 4 2 f  40

log X

f log X

2,064 2,097 2,127 2,155 2,182 2,207 2,230

8,256 10,485 17,016 25,860 10,910 8,828 4,460 f log X  85,815



   anti log 85,815   anti log(2,145)  139,757   40  

1C. RATA-RATA HARMONIS Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, data dalam bentuk pecahan atau desimal Dirumuskan : Untuk data sampel:   n  RH   1   X  

     

Untuk data berkelompok :   f   RH    f    X

     

Contoh 7(untuk data sampel): Tentukanlah rata-rata harmonis dari 2,4,8!   n  RH   1    X

        3 3       3,43   1  1 1   7         2 4 8   8 

Tentukanlah rata-rata harmonis dari 1/3,2/5,3/7,4/9!   n  RH   1    X

       4  4     0,397  0,40    3  5  7  9   10,08     2 3 4  

Contoh 8(untuk data kelompok):  Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah rata-rata harmonisnya! Kelas (Modal)

Nilai Tengah (X)

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174

116 125 134 143 152 161 170

RH

Frekuensi (f)



4 5 8 12 5 4 2 f  40

    f 40      138 ,889    0 , 288  f     X  

f/X 0,034 0,040 0,060 0,084 0,033 0,025 0,012  f    X   85,815

2. MEDIAN Median adalah nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan Dirumuskan :  Untuk data sampel : Median data ganjil = nilai yang paling tengah Median data genap = rata-rata dari dua nilai tengah  Untuk data berkelompok : n   F    Med  L0  c 2  f     

Med  median L0

 batas bawah kelas modus

c n

 lebar kelas  banyak data

F

= jumlah frekuensi sebelum kelas median

f

 banyak frekuensi kelas median

CONTINUE..

Contoh 9: Median dari data 3,4,4,5,6,8,8,9,10 adalah? Nilai ke-5, yaitu 6 Himpunan bilangan 11,12,5,7,9,5,18,15, memiliki median? Bilangan terurut : 5,5,7,9,11,12,15,18 Mediannya adalah 1  nilai ke 4  nilai ke 5 2 1  9 11  10 2

CONTINUE..

Contoh 10: Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah median dari data tersebut! Kelas (Modal) 112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174

Frekuensi (f) 4 5 8 12 5 4 2  f  40

n 40 Median terletak pada nilai ke atau ke , 2 2 yaitu nilai ke 20 Pada kelas 139  147, maka L 0  138,5

f  12

F  4  5  8  17

c  147,5  138,5  9  20  17  Med  138 ,5  9   140 ,75  12 

3. MODUS Modus menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul. Dirumuskan :  Untuk data sampel : Modus = nilai yang paling sering muncul  Untuk data berkelompok : Mod  modus L0  batas bawah kelas modus  b1  c  lebar kelas  Mod  L0  c b1  selisih antara frekuensi kelas modus dengan  b1  b2  frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus b2

 selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus

CONTINUE..

Contoh 11: Modus dari data 3,4,4,5,6,8,8,8,9 adalah? Mod = 8 Himpunan bilangan 3,4,4,6,8,8,9,10, memiliki modus? Memiliki 2 modus yaitu Mod = 4 dan Mod = 8 Data 3,4,5,6,8,9,10 memiliki modus? Tidak mempunyai modus Data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus? Tidak mempunyai modus

CONTINUE.. Contoh 12:  Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah modus dari data tersebut! Kelas (Modal)

Frekuensi (f)

112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174

4 5 8 12 5 4 2

f

 40

Modus terletak pada kelas 139  147, dengan frekuensi terbesar 12, maka L0  138,5 c  147 ,5  138,5  9 b1  12  8  4 b2  12  5  7  4  Mod  138,5  9   141,77 47

TUGAS Perhatikan nilai ujian statistika untuk 80 orang mahasiswa berikut: 79 49 48 74 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86 90 35 83 73 74 43 86 88 92 93 76 71 90 72 67 75 80 91 61 72 97 91 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77 63 60 83 82 60 67 89 63 76 63 88 70 66 88 79 75

Hitunglah: A.

Rata-rata hitung, Rata-rata ukur & Rata-rata harmonis

B.

Median & modus (untuk data terkelompok) Dikumpul via email : [email protected] Paling lambat :Senin, 25 Mei 2015 Pukul 03.00 Keterlambatan pengumpulan tidak akan dinilai

Terima kasih