BAB III UKURAN PEMUSATAN (RATA-RATA) Salah satu ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data yang penting adalah ukuran pemusatan, yaitu ukuran yang menunjukkan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya. Ukuran pemusatan yang paling banyak digunkan adalah Rata-rata/Rataan, Median, dan Modus.
3.1 Rata-rata Rata-rata dapat disebut juga rataan. Macam rata-rata di antaranya adalah ratarata hitung, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonis. a. Rata-rata Hitung Yang biasanya disebut rata-rata dalam percakapan sehari-hari itu adalah ratarata hitung. Rata-rata hitung populasi dinyatakan dengan lambang dibaca ”mu”, sedangkan rata-rata hitung sampel dinyatakan dengan lambang x (dibaca”x bar” atau ”x garis”) atau y dan lain sebagainya, tergantung lambang yang digunakan untuk menyatakan peubah yang sedang dicari rata-ratanya. Contoh 3.1 Misalnya diketahui data sampel : 10,11,4,8,6,10,7 Rata-rata hitungnya adalah x
10 11 4 8 6 10 7 8 7
Secara lebih umum, dari suatu data sampel x1, x2, x3, …, xn , rata-rata hitungnya adalah
x
x1 x 2 ... x n n
(3.1)
atau ditulis dengan notasi sigma sebagai berikut. n
x x
i
i 1
n
1 n xi n i 1
(3.2)
Rata-rata hitung disebut juga rataan hitung, dan lazim disebut secara singkat sebagai rata-rata atau rerata atau rataan saja.
Statistika-Handout 3
13
Contoh 3.2 Misalnya diketahui data nilai ujian statistika, yang disajikan dalam tabel berikut: Nilai (xi) 4 5 6 7 8 Σ
Frekuensi (fi) 3 18 15 10 4 50 n
fx i
Rata-rata nilai ujian statistika dihitung dengan rumus: x
i 1 n
f
i
(3.3) i
i 1
Untuk itu diperlukan perhitungan pada tabel berikut Nilai (xi) 40 50 60 70 80 Σ
Frekuensi (fi) 3 18 15 10 4 50
f i . xi 120 900 900 700 320 2940
Jadi, diperoleh rata-rata hitungnya adalah 5
fx i
x
i 1 5
i
=
f
2940 = 58,8 50
i
i 1
Contoh 3.3 Misalnya diketahui data nilai ujian statistika yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi sebagai berikut: Nilai 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91– 100 Σ
Statistika-Handout 3
fi 4 3 11 21 33 15 3 90
14
Untuk menentukan rata-rata hitung dari data dalam tabel distribusi frekuensi ini digunakan rumus sebagaimana pada Contoh 3.2 Dalam hal ini, untuk data yang tersusun seperti tabel distribusi frekuensi di atas, digunakan anggapan bahwa setiap kelas memuat skor yang sama besar, yaitu sebesar tanda kelasnya. Jadi, skor-skor dalam tiap kelas diwakili oleh tanda kelasnya atau yang disebut juga sebagai nilai tengah kelas atau titik tengah kelas. Dengan demikian xi. menyatakan tanda kelas tiap kelas interval.
Nilai
fi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91– 100 Σ
4 3 11 21 33 15 3 90
Titik tengah kelas (xi) 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5
f i xi 142 136,5 610,5 1375,5 2491,5 1282,5 286,5 6325
Jadi, diperoleh rata-rata hitungnya sebagai berikut: 7
fx i
x
i 1 7
f
i
=
6325 = 70,3 90
i
i 1
Selain menggunakan rumus di atas, cara lain untuk menghitung rata-rata hitung dari data yang tersusun dalam tabel distribusi frekuensi ialah dengan menggunakan rataan sementara. Cara ini biasanya disebut dengan cara pengkodean atau cara sandi. Langkah-langkah menghitung rata-rata hitung menggunakan rataan sementara adalah sebagai berikut: -
Dalam tabel distribusi frekuensi yang dibuat ditambahkan satu kolom untuk kode dan diberi judul ci.
-
Salah satu titik tengah yang frekuensinya terbesar dipilih, misalnya xs dan diberi kode 0 (nol) pada kolom kode. (Dalam hal ini tidak harus dipilih yang frekuensinya paling besar tetapi boleh memilih kelas interval yang manapun dengan tetap menyesuaikan untuk langkah berikutnya)
Statistika-Handout 3
15
-
Titik tengah-titik tengah yang lebih kecil dari xs berturut-turut diberi kode –1, -2, -3, dan seterusnya. Titik tengah-titik tengah yang lebih besar dari xs diberi kode +1, +2, +3, dan seterusnya. Hal ini diperoleh dari hubungan sebagai berikut: ci
-
xi x s dengan p menyatakan panjang kelas interval. p
Rata-rata hitungnya ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
n f i ci x xs p i 1n fi i 1
(3.4)
Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, dari data pada contoh 3 diperoleh: Nilai
fi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Σ
4 3 11 21 33 15 3 90
Titik tengah kelas (xi) 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5
Kode (ci)
fi.ci
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-16 -9 -22 -21 0 15 6 -47
Dalam hal ini dipilih xs = 75,5 Panjang kelas (p) = 81 – 71 = 10 Jadi,
n f i ci 47 = 75,5 + 10 x xs p i 1n = 75,5 – 5,22 = 70,28 ≈ 70,3 90 fi i 1
b. Rata-rata Ukur Data sampel x1, x2, x3, …, xn, rata- rata ukurnya adalah 1
Ru ( x1 .x 2 .x3. x 4 .....x n ) n
Statistika-Handout 3
(3.5)
16
Rata-rata ukur disebut juga rata-rata geometrik. Untuk bilangan-bilangan bernilai besar, rata-rata ukur sebaiknya dihitung dengan menggunakan logaritma, yaitu: n
log x log Ru
i
i 1
n
maka Ru= ….(dicari dengan daftar logaritma atau kalkulator)
Rata-rata ukur terutama digunakan untuk merata-ratakan data yang rasio suku-suku berurutan kira-kira tetap. Biasanya digunakan pada data yang berupa laju perubahan, pertumbuhan, indeks ekonomi.
Contoh 3.4 Pada bulan Januari 2010 tabungan di Bank mencapai Rp. 1000.000. Jika tabungan tidak ditambah dan tidak dikurangi, sedangkan bunga majemuk yang diterima adalah 1 % per bulan, hitunglah rata-rata uang yang ada di bank selama tiga bulan pertama. Dalam masalah ini x1 = Rp. 1000.000, x2 = Rp. 1000.000 (1,01), x3 = Rp. 1000.000 (1.01)2, sehingga 3
log Ru
3 6
log xi
log(10 .(1, 01)
i 1
i 1
3
i 1
)
3
3
(6 (i 1) log1, 01)
i 1
(6 log1, 01) 6 0, 004321 6, 004321
3
Jadi rata-rata uang yang ada di bank selama tiga bulan pertama adalah Ru = Rp.106,004321 = Rp.1.009.999 Untuk data yang disajikan dalam tabel berikut: Skor x1 x2 . . . xk
Frekuensi f1 f2 . . . fk
Rata-rata ukurnya adalah f1
f2
f3
f4
fk
Ru ( x1 .x 2 .x3. x 4 .....x k )
Statistika-Handout 3
1 n
17
atau k
f log Ru
log xi
i
i 1
maka Ru= …….(dicari dengan daftar logaritma atau kalkulator)
n
Dengan: k menyatakan banyaknya kelas dan n f1 f 2 f 3 f k Untuk menghitung rata-rata ukur dari data yang telah tersusun dalam tabel distribusi frekuensi, juga digunakan rumus: 1 f
f
f
f
f
Ru ( x1 1 .x2 2 .x3. 3 x4 4 .....xk k ) n
(3.6)
atau k
f log x i
log Ru
i 1
n
i
maka Ru=…….(dicari dengan daftar logaritma atau kalkulator)
dengan: xi menyatakan titik tengah kelas/tanda kelas.
c. Rata-rata Harmonis Rata-rata harmonis dari data sampel x1, x2, x3, …, xn, adalah
Rh
n 1 1 1 1 ( ... ) x1 x 2 x 3 xn
Rata-rata harmonis disebut juga rata-rata selaras. Untuk data yang disajikan dalam tabel berikut: Skor x1 x2 . . . xk
Frekuensi f1 f2 . . . fk
Rata-rata harmonisnya dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut: k
n Rh f1 f 2 f 3 fk ( ... ) x1 x 2 x3 xk
Statistika-Handout 3
f i 1 k
i
fi i 1 x i
(3.7)
18
Contoh 3.5 Seseorang menempuh perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak 300 km, pergi pulang. Kecepatan perjalanan dari kota A ke kota B 100 km/jam, sedangkan kecepatan perjalanan dari kota B ke kota A 150 km/jam.
Berapakah rata-rata
kecepatan pergi-pulang? Tentu jawabnya bukan
100 150 km/jam = 125 km/jam 2
Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 3 jam, sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 2 jam sehingga pergi pulang perlu waktu 5 jam, sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang adalah: 600 km/jam = 120 km/jam 5
Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata harmonis diperoleh:
Rh
2 1 1 ( ) 100 150
= 120
Jadi rata-rata kecepatan yang dimaksud 120 km/jam.
Latihan 3 1. Banyaknya jawaban yang salah pada suatu kuis dengan soal benar salah dari 15 siswa yang dipilih secara acak adalah 2, 1, 3, 0, 1, 3, 6, 0, 3, 3, 5, 2, 1, 4, dan 2. Hitunglah rata-rata hitungnya. 2. Tentukan rata-rata hitung, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonis dari data berikut. xi fi
1 5
2 12
3 18
4 10
5 8
6 3
3. Hitunglah rata-rata hitung dari data nilai tes statistika 80 mahasiswa berikut. Nilai Tes 57,1 - 64,0 64,1 - 71,0 71,1 - 78,0 78,1 - 85,0 85,1 - 92,0 92,1 - 99,0 Jumlah
Statistika-Handout 3
Frekuensi 5 14 16 35 7 3 80
19
