UKURAN PEMUSATAN DATA
Oleh : Firmansyah, S.Kom
MODUL
3
A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Tema :
Ukuran Pemusatan Data
2. Fokus : Pembahasan Materi Pokok
1. Arti dan manfaat ukuran pemusatan data 2. Rata-rata hitung, median dan modus 3. Kuartil, desil dan persentil
3. Tujuan : Kegiatan Pembelajaran
1. Mahasiswa mampu memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran pemusatan data. 2. Mahasiswa mampu menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan data. 3. Mahasiswa mampu menghitung beberapa ukuran pemusatan data. 4. Mahasiswa mampu mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan data.
Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok) Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan.
Ukuran Pemusatan Data Lanjutan . . . Ukuran pemusatan data meliputi:
Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean Modus Median Kuartil, Desil dan Persentil
Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data : Ungrouped Data Data yang belum dikelompokkan) Grouped Data Data yang telah dikelompokkan Tabel Distribusi Frekuensi
Contoh Ungrouped Data Contoh Grouped Data Data Nilai Statistika 10 Data Nilai Statistika orang mahasiswa 100 orang mahasiswa 78 62 34 57 89
67 55 75 73 56
UKURAN PEMUSATAN Rata-Rata Hitung Notasi : – μ : rata-rata hitung populasi – x : rata-rata hitung sampel
Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data μ : rata-rata hitung populasi N : ukuran Populasi x : rata-rata hitung sampel n : ukuran Sampel xi : data ke-i
CONTOH 1 Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900 Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A? Rata-Rata Populasi atau Sampel ? Jawab : (850 1100 1150 1250 750 900) 6 6000 6 1000
CONTOH 2 Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa : 13.5 12.5 13 12 11.5 12.5 Jawab :
(13,5 12,5 13 12 11,5 12,5) x 6 75 x 6 x 12,5
Rata-Rata untuk Grouped Data Nilainya merupakan pendekatan. Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel
x : rata-rata hitung sampel n : ukuran Sampel fi : frekuensi di kelas ke-i xi : Titik Tengah Kelas ke-i
CONTOH 3 Kelas
Titik Tengah Kelas (xi)
Frekuensi (fi)
fi.xi
16 – 23
19,5
10
195
24 – 31
27,5
17
467,5
32 – 39
35,5
7
248,5
40 – 47
43,5
10
435
48 – 55
51,5
3
154,5
56 – 63
59,5
3
178,5
50
1679
Jumlah (∑)
Perhatikan tabel diatas. Tentukan rata-rata hitungnya! 1679 x Jawab : 50 x 33,58
METODE CODING • Metode Coding Metode ini untuk mempermudah perhitungan, dengan penyederhanaan angka
M = Titik Tengah Kelas yang diberi kode 0 (ui=0) ui = Kode i (c) = Interval Kelas
PERHITUNGAN DENGAN METODE CODING Langkah : 1. Buat kolom, beri judul "ui“
2. Pilih salah satu kelas (sembarang), beri angka 0 pada kolom ui,(biasanya dipilih kelas dengan frekuensi tertinggi) 3. Isi kolom Ui diatas 0 dengan –1, -2, -3, dst, dan dibawah 0 dengan angka 1, 2, 3, dst. 4. Buat kolom fi * ui , isi dengan hasil perkalian antara frekuensi kelas dengan kode
CONTOH 4 Tabel data file (dalam Kb)
Jawab : x 27,5 8 38
50
x 27,5 6,08 x 33,58
MODUS Nilai yang paling sering muncul Nilai yang frekuensinya paling tinggi Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) Contoh Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 Tidak Ada Modus Bisa terjadi data tanpa modus Contoh Umur Mahasiswa (th) : 19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17 Modus : 18 dan 19
MODUS UNTUK UNGROUPED DATA Modus untuk Ungrouped Data Contoh : Sumbangan PMI warga Depok (Rp) 7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000
MODUS UNTUK GROUPED DATA Modus untuk Grouped Data Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi
TBB d1
= Tepi Batas Bawah = Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya d2 = Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sesudahnya i = interval kelas Kelas Modus = kelas dengan frekuensi paling tinggi
MODUS UNTUK GROUPED DATA Kelas
Frekuensi
16 – 23
10
24 – 31
17
32 – 39
7
40 – 47
10
48 – 55
3
56 – 63
3
Jumlah (∑)
50
Kelas Modus = kelas ke-2 =24-31 23+24 TBB Kelas Modus = = 23,5 2 i=8 frek, kelas modus = f2 = 17 frek, kelas sebelum kelas modus = f1 = 10 frek, kelas sesudah kelas modus = f3 = 7 d1 = 17-10 = 7 d2 = 17-7 = 10
Jawab :
7 Modus 23,5 8 7 10 23,5 3,29 26,79 27
MEDIAN Median Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar MEDIAN untuk Ungrouped Data Letak Median Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir n : banyak data
CONTOH 5 : 1. Tinggi Badan 5 mahasiswa (centimeter) : 175 178 160 173 178 Sorted : 160 173 175 178 178 n=5 Letak Median = (5+1) / 2 = 3 Median = Data ke-3 = 175 2. Tinggi Badan 6 mahasiswa (centimeter) : 175 178 160 173 178 180 Sorted : 160 173 175 178 178 180 n=6 Letak Median = (6+1) / 2 = 3,5 Median = (Data ke-3 + Data ke-4) / 2 = (175+178)/2 = 176.5
MEDIAN untuk Grouped Data
Kelas Median : Kelas di mana Median berada Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
di mana : TBB : Tepi Batas Bawah i : interval kelas fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median f M : Frekuensi kelas Median
MEDIAN UNTUK GROUPED DATA Kelas
Frekuensi
16 – 23
10
24 – 31
17
32 – 39
7
40 – 47
10
48 – 55
3
56 – 63
3
Jumlah (∑)
50
𝑛
50
Letak median = = = 25 2 2 Median = data ke-25 terletak dikelas 24-31 Kelas Median = kelas ke-2 =24-31 23+24
TBB Kelas Median = = 23,5 2 i =8 f M =17 Frek kumulatif sebelum kelas median= 10
Jawab :
50 10 Median 23,5 8 2 17 23,5 8 * 0,8823 23,5 7,0588 30,5588 30,6
KUARTIL Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar
Kuartil Untuk Ungrouped Data
CONTOH SOAL Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.
PENYELESAIAN • Pertama-tama data diurutkan dahulu : X1=30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50, X6=55, X7=60, X8=65, X9=70, X10=80, X11=85, X12=95, X13=100.
• Q1 = t(n + 1) 4 = 1(13 + 1) 4 = 3½ Nilai yang ke-3½, berarti rata-rata dari X3 dan X4 (40+45)/ 2 = 42.5
Q2 = t(n + 1) 4 = 2(13 + 1) 4 = 7, nilai X7 = 60
Q3 = t(n + 1) 4 = 3(13 + 1) 4 = 10 ½, berarti rata-rata dari X10 dan X11
nilai Q3 = ½ (X10 + X11) = ½ (80 + 85) = 82,5
Kuartil Untuk Grouped Data
Kuartil ke-q=
TBB Kelas Kuartil ke-q + i
𝑞𝑛 −𝑓𝑘𝑚 4
𝑓𝑄
Dimana : q : 1, 2 dan 3 TBB : Tepi Batas Bawah i : interval kelas fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Kuartil fQ : Frekuensi kelas Kuartil ke-q
Contoh Kuartil Untuk Grouped Data Kelas
Frekuensi
Frek kumulatif
16 – 23
10
10
24 – 31
17
27
32 – 39
7
34
40 – 47
10
44
48 – 55
3
47
56 – 63
3
50
Jumlah (∑)
50
------
3𝑛
3∗50
Letak kuartil ke-3 = 4 = 4 = 37,5 Kuartil ke-3 = data ke-37,5 terletak dikelas 40-47 Kelas Kuartil ke-3 = 40-47 TBB Kelas kuartil ke -3 = 39,5 i =8 f Q =10 Frek kumulatif sebelum kelas kuartil = 34
Jawab :
3 * 50 34 4 Q3 39,5 8 10 37,5 34 39,5 8 10 3,5 39,5 8 * 10 39,5 2,8 42,3
DESIL Desil Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar.
Desil ke-d =
TBB Kelas Desil ke-d + i
𝑑𝑛 −𝑓𝑘𝑚 10
𝑓𝐷
Dimana : d : 1, 2, 3 . . . 9 TBB : Tepi Batas Bawah i : interval kelas fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Desil fD : Frekuensi kelas Desil ke-d
Contoh Soal Desil Kelas
Frekuensi
Frek kumulatif
16 – 23
10
10
24 – 31
17
27
32 – 39
7
34
40 – 47
10
44
48 – 55
3
47
56 – 63
3
50
Jumlah (∑)
50
------
9𝑛
9∗50
Letak Desil ke-9 = 10 = 10 = 45 Desil ke-9 = data ke-45 terletak dikelas 48-55 Kelas Desil ke-9 = 48-55 TBB Kelas desil ke -9 = 47,5 i =8 fD=3 Frek kumulatif sebelum kelas desil = 44
Jawab :
9 * 50 44 10 D9 47,5 8 3 45 44 47,5 8 3 1 47,5 8 * 3 47,5 2,66 50,16
PERSENTIL Persentil Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar
Persentil ke-p =
TBB Kelas Persentil ke-p + i
𝑝𝑛 −𝑓𝑘𝑚 100
𝑓𝑃
Dimana : p : 1, 2, 3 . . . 99 TBB : Tepi Batas Bawah i : interval kelas fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Persentil fP : Frekuensi kelas Persentil ke-p
Contoh Soal Persentil Kelas
Frekuensi
Frek kumulatif
16 – 23
10
10
24 – 31
17
27
32 – 39
7
34
40 – 47
10
44
48 – 55
3
47
56 – 63
3
50
Jumlah (∑)
50
------
56𝑛
Letak Persentil ke-56 = 100 = Persentil ke-56 = data ke-28 terletak dikelas 32-39 Kelas Persentil ke-56 = 32-39
56∗50 100
= 28
TBB Kelas persentil ke -56 = 31,5 i =8 fP=7 Frek kumulatif sebelum kelas persentil = 27
Jawab :
56 * 50 27 100 P56 31,5 8 7 28 27 31,5 8 7 1 31,5 8 * 7 31,5 1,14 32,64
soal Dari data berikut : 38 67 85 95 96 76 125 150 158 120 38 36 47 49 89 70 120 80 85 93 43 120 70 67 91 111 25 74 50 100 Buatlah: Tabel Distribusi Frekuensi Hitung mean, median, modus (data berkelompok) Hitung Q3, D7, P82 (data berkelompok)
