Ukuran Pemusatan Data Atina Ahdika, S.Si., M.Si.
Universitas Islam Indonesia
Ukuran Pemusatan Data 1. Mean (rata-rata) 2. Median (nilai tengah) 3. Modus
Mean 1. Rata-rata Hitung Misalkan terdapat 𝑁 observasi, yaitu 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑁 , maka kita dapat menghitung: a. Rata-rata sebenarnya (populasi) 𝑵
𝟏 𝟏 𝝁= 𝑿𝒊 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝑵 𝑵 𝑵 𝒊<𝟏 b. Rata-rata perkiraan (sampel) 𝒏 𝟏 𝟏 𝑿= 𝑿𝒊 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏 𝒏 𝒏 𝒊<𝟏 𝑛: banyaknya sampel 𝑛<𝑁
Contoh: Berikut adalah data banyaknya penderita gizi buruk di suatu negara selama 10 tahun: 𝑋1 = 145 𝑋6 = 145 𝑋2 = 150 𝑋7 = 130 𝑋3 = 110 𝑋8 = 120 𝑋4 = 135 𝑋9 = 115 𝑋5 = 125 𝑋10 = 135 a. Hitung rata-rata banyaknya penderita gizi buruk sebenarnya. b. Ambil sampel sebanyak 𝑛 = 5, misalnya setelah diambil sampelnya diperoleh: 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋5 , 𝑋7 , 𝑋10 . Hitung rata-rata perkiraan banyaknya penderita gizi buruk per tahun.
a. Rata-rata sebenarnya (populasi):
1 𝜇= 10
𝑛
𝑖<1
1 𝑋𝑖 = 1310 = 131 10
b. Rata-rata perkiraan (sampel): 1 𝑋= 𝑛
𝑛
𝑖<1
1 𝑋𝑖 = 150 + 110 + 125 + 130 + 135 = 130 5
Note: Ternyata rata-rata sebenarnya.
perkiraan
sangat
mendekati
rata-rata
2. Rata-rata Hitung Data Berkelompok a. Data dari Tabel Biasa Data (𝑿𝒊 )
Frekuensi (𝒇𝒊 )
𝑋1
𝑓1
𝑋2
𝑓2
⋮
⋮
𝑋𝑘
𝑓𝑘
Maka rata-ratanya adalah 𝑿= Karena
𝑘 𝑖<1 𝑓𝑖
𝒌 𝒊<𝟏 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝒌 𝒊<𝟏 𝒇𝒊
= 𝑛, maka: 𝟏 𝑿= 𝒏
𝒌
𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝒊<𝟏
Contoh: Tabel bobot koper penumpang maskapai penerbangan ABC Bobot (kg)
Frekuensi (𝒇𝒊 )
7
2
8
8
9
14
10
19
11
7
Total
50
Rata-rata bobot koper adalah 𝒌 𝟏𝟒 + 𝟔𝟒 + 𝟏𝟐𝟔 + 𝟏𝟗𝟎 + 𝟕𝟕 𝟒𝟕𝟏 𝒊<𝟏 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑋= 𝒌 = = = 𝟗. 𝟒𝟐 𝟓𝟎 𝟓𝟎 𝒊<𝟏 𝒇𝒊 Jadi, rata-rata bobot koper adalah 9.42 kg
b. Data dari Tabel Distribusi Frekuensi Data 𝑿𝒊
Nilai Tengah (𝑴𝒊 )
Frekuensi (𝒇𝒊 )
𝑋1
𝑀1
𝑓1
𝑋2
𝑀2
𝑓2
⋮
⋮
⋮
𝑋𝑘
𝑀𝑘
𝑓𝑘
Maka rata-ratanya adalah: 𝑿=
𝒌 𝒊<𝟏 𝑴𝒊 𝒇𝒊 𝒌 𝒊<𝟏 𝒇𝒊
Dengan 𝑀𝑖 : nilai tengah kelas interval ke-𝑖
Contoh: Tabel distribusi frekuensi berat badan 100 mahasiswa prodi HI UII Berat Badan (kg)
Titik Tengah (𝑴𝒊 )
Frekuensi (𝒇𝒊 )
60 – 62
61
5
63 – 65
64
18
66 – 68
67
42
69 – 71
70
27
72 – 74
73
8
Total
100
Rata-rata berat badan mahasiswa adalah 𝒌 𝟑𝟎𝟓 + 𝟏𝟏𝟓𝟐 + 𝟐𝟖𝟏𝟒 + 𝟏𝟖𝟗𝟎 + 𝟓𝟖𝟒 𝒊<𝟏 𝑴𝒊 𝒇𝒊 𝑿= = 𝒌 𝟏𝟎𝟎 𝒊<𝟏 𝒇𝒊 𝟔𝟕𝟒𝟓 = = 𝟔𝟕. 𝟒𝟓 𝟏𝟎𝟎
3. Rata-rata Hitung Tertimbang Jika terdapat 𝑘 data 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 dengan bobot/timbangan masing-masing 𝑊1 , 𝑊2 , … , 𝑊𝑘 , maka rata-ratanya dapat dihitung dengan 𝑿=
𝒌 𝒊<𝟏 𝑿𝒊 𝑾𝒊 𝒌 𝒊<𝟏 𝑾𝒊
Contoh: Seorang mahasiswa FE UII mendapatkan nilai pada ujian-ujian berikut: • Metode Riset (3 kredit) : 82 • Akuntansi (5 kredit) : 86 • Teori Ekonomi (3 kredit) : 90 • Bahasa Inggris (1 kredit) : 70 Maka rata-rata nilai hasil ujian mahasiswa tersebut adalah
𝑿=
𝒌 𝒊<𝟏 𝑿𝒊 𝑾𝒊 𝒌 𝒊<𝟏 𝑾𝒊
3 82 + 5 86 + 3 90 + 1(70) = = 84.67 3+5+3+1
Jadi, rata-rata nilai ujian tersebut adalah 84.67
Median 1. Median Data Tunggal Apabila ada sekelompok nilai sebanyak 𝑛 diurutkan mulai dari yang terkecil 𝑋1 sampai dengan yang terbesar 𝑋𝑛 , maka nilai yang ada di tengah disebut Median (Med). • Untuk 𝒏 Ganjil 𝑚𝑒𝑑 = 𝑋𝑛:1 2
• Untuk 𝒏 Genap
1 𝑚𝑒𝑑 = 𝑋𝑛 + 𝑋𝑛:1 2 2 2
Contoh: • 𝑛 Ganjil Data nilai ujian Pengantar Proses Stokastik 9 mahasiswa FMIPA UII adalah 90, 70, 60, 75, 65, 80, 40, 45, 50. Tentukan median dari nilainilai tersebut. Setelah diurutkan: 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90 𝑚𝑒𝑑 = 𝑋𝑛:1 = 𝑋9:1 = 𝑋5 = 65 2
2
• 𝑛 Genap Data uang saku 8 mahasiswa (dalam ribuan rupiah) adalah 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90. Hitung mediannya. Setelah diurutkan: 20, 45, 50, 60, 75, 80, 85, 90 1 1 𝑚𝑒𝑑 = 𝑋𝑛 + 𝑋𝑛:1 = 𝑋8 + 𝑋8 2 2 2 2 2 2:1 1 1 = 𝑋4 + 𝑋5 = 60 + 75 = 67.5 2 2
2. Median Data Berkelompok Untuk data berkelompok, nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya adalah sebagai berikut: 𝑛 − 𝑓𝑖 0 2 𝑚𝑒𝑑 = 𝐿0 + 𝑝 𝑓𝑚 Dengan 𝐿0 : tepi bawah kelas median 𝑝 : panjang kelas 𝑛 : banyaknya data 𝑓𝑖 0 : frekuensi kumulatif sebelum kelas median 𝑓𝑚 : frekuensi kelas median
Contoh: Dengan menggunakan rumus interpolasi, hitung nilai median dari data berikut: Kelas
Frekuensi (𝒇𝒊 )
30 – 39
4
40 – 49
6
50 – 59
8
60 – 69
12
70 – 79
9
80 – 89
7
90 – 99
4
Total
50
Langkah-langkah menghitung median dengan rumus interpolasi: • Tentukan setengah dari observasi 𝑛 2
• • • • •
=
50 2
= 25
Berarti kelas median ada di daerah data ke-25 Tentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas median 𝑓𝑖 0 = 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 = 4 + 6 + 8 = 18 Tentukan tepi bawah kelas median 𝐿0 = 59.5 Tentukan panjang kelas 𝑝 = 69.5 − 59.5 = 10 Tentukan frekuensi kelas median 𝑓𝑚 = 12 Hitung median dengan rumus interpolasi 𝑛 − 2 𝑚𝑒𝑑 = 𝐿0 + 𝑝
𝑓𝑖 𝑓𝑚
0
25 − 18 = 59.5 + 10 = 65.33 12
Modus 1. Modus Data Tunggal Modus dari suatu data tunggal merupakan nilai/data yang memiliki frekuensi tertinggi. Contoh: Berapa modus dari data berikut? 2 2 5 7 9 9 9 10 10 11 12 18 Maka modus data tersebut adalah data dengan frekuensi terbanyak yaitu 𝑚𝑜𝑑 = 9
2. Modus Data Berkelompok Untuk data yang sudah disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, maka penentuan modusnya menggunakan rumus berikut: 𝑑1 𝑚𝑜𝑑 = 𝐿0 + 𝑝 𝑑1 + 𝑑2
Di mana 𝑑1 = 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑚𝑜;1 𝑑2 = 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑚𝑜:1 Dengan 𝐿0 𝑝 𝑓𝑚𝑜 𝑓𝑚𝑜;1 𝑓𝑚𝑜:1
: tepi bawah kelas modus : panjang kelas : frekuensi kelas modus : frekuensi kelas sebelum kelas modus : frekuensi kelas setelah kelas modus
Contoh: Dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut, carilah modusnya. Kelas
Frekuensi (𝒇𝒊 )
50.00 – 59.99
8
60.00 – 69.99
10
70.00 – 79.99
16
80.00 – 89.99
14
90.00 – 99.99
10
100.00 – 109.99
5
110.00 – 119.99
2
Total
65
Langkah-langkah mencari modus data berkelompok: • Tentukan kelas dengan frekuensi terbesar; kelas ke-3 • Tentukan tepi bawah kelas modus 1 𝐿0 = 69.99 + 70.00 = 69.995 2 • Tentukan panjang kelas 𝑝 = 79.995 − 69.995 = 10 • Tentukan frekuensi kelas modus 𝑓𝑚𝑜 = 16 • Tentukan frekuensi kelas sebelum kelas modus dan 𝑑1 𝑓𝑚𝑜;1 = 10 𝑑1 = 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑚𝑜;1 = 16 − 10 = 6 • Tentukan frekuensi kelas setelah kelas modus dan 𝑑2 𝑓𝑚𝑜:1 = 14 𝑑2 = 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑚𝑜:1 = 16 − 14 = 2 • Tentukan modus dengan rumus 𝑑1 6 𝑚𝑜𝑑 = 𝐿0 + 𝑝 = 69.995 + 10 = 77.5 𝑑1 + 𝑑2 6+2
Berikut adalah tabel distribusi frekuensi dari data konsumsi beras selama satu bulan bagi 74 rumah tangga: Konsumsi Beras (kg)
Banyaknya Keluarga
5 – 24
4
25 – 44
6
45 – 64
14
65 – 84
22
85 – 104
14
105 – 124
5
125 – 144
7
145 – 164
2
Total
74
Tentukan mean (rata-rata), median, serta modusnya. Gunakan rumus yang sesuai.
Daftar Pustaka • Bhattacharya, G.K., dan R.A., Johnson, 1997, Statistical Concept and Methods, John Wiley and Sons, New York. • Supranto, J., 2008, Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 1, Erlangga, Jakarta. • Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika Edisi ke-3, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
