DERIVATIVE Arum Handini primandari

DERIVATIVE Arum Handini primandari

INTRODUCTION  Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan)  Calculus dikembangkan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz, dan ilmuwan lainnya; yang pada mulanya berusaha untuk menyelesaikan masalah: 1. Garis singgung (tangent line): mencari garis singgung di titik tertentu pada suatu kurva 2. Luas area: menentukan luas area di bawah suatu kurva

TINGKAT PERUBAHAN (CHANGE OF RATE)

Fungsi linier (garis), antara satu titik dan titik yang lain memiliki tingkat perubahan yang sama, yaitu sebesar m

Kurva, antara satu titik dan titik yang lain memiliki tingkat perubahan yang berbeda, yaitu diberikan oleh kemiringan dari garis singgung pada P(c,f(c))

CONTOH: TINGKAT PERUBAHAN KURVA

Fungsi dari pengaruh penggangguran terhadap inflasi

BERAPAKAH BESAR TINGKAT PERUBAHAN? Berapakah besar tingkat perubahan di titik𝑃(𝑐, 𝑓 𝑐 )?    

lim

ℎ→0

Misalkan diketahui titik: 𝑄(𝑐 + ℎ, 𝑓 𝑐 + ℎ ) Ruas garis PQ disebut garis potong (secant line) Perhatikan: seiring ℎ mendekati 0, garis potong PQ semakin mendakati garis singgung di titik P Sehingga besar tingkat perubahan: 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑦 𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐) = lim 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑥 ℎ→0 ℎ

DERIVATIVE

Fungsi derivative: Fungsi derivative 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi 𝑓′(𝑥) yang dirumuskan: 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ 𝑥 = lim

Proses dari perhitungannya disebut diferensial (turunan). Dikatakan bahwa 𝑓(𝑥) terdiferensial di 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓′(𝑥) ada, yaitu jika limit yang mendefinisikan 𝑓′(𝑥) ada di titik 𝑥 = 𝑐

CONTOH 1: Tentukan diferensial dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 Jawab: 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 ℎ ℎ→0

𝑓 ′ 𝑥 = lim

𝑓′

𝑥 =

𝑥+ℎ 2 −𝑥 2 lim ℎ ℎ→0

=

(𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 )−𝑥 2 lim ℎ ℎ→0

=

2𝑥ℎ+ℎ2 lim ℎ ℎ→0

= lim 2𝑥 + ℎ = 2𝑥 ℎ→0

NOTASI LEIBNIZ Misalkan notasi turunan:

Δ𝑦 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 = lim = lim ℎ→0 Δ𝑥 ℎ→0 ℎ ′

dituliskan

Order yang lebih tinggi: d2y  f ''  x  2 dx d4y (4)  f  x 4 dx

𝑑𝑦 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) = lim = 𝑓′(𝑥) ℎ→0 𝑑𝑥 ℎ

TEKNIK DIFERENSIAL  

𝑑 Diferensial dari suatu konstanta 𝑑𝑥 𝑐 = 0 𝑑 Jika 𝑛 bilangan riil, maka berlaku 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 =

𝑛𝑥 𝑛−1

 Jika 𝑐 adalah konstan dan 𝑓(𝑥) fungsi terdiferensial, maka:

𝑑 𝑑𝑥

𝑐𝑓 𝑥

=

𝑑 𝑐 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)

LATIHAN 1 Tentukan diferensial dari fungsi berikut: 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 9 − 5𝑥 8 + 𝑥 + 12

2. 3. 4. 5.

1

1

𝑓 𝑥 = 4 𝑥8 − 2 𝑥6 − 𝑥 + 2

𝑓 𝑥 = −0.02𝑥 3 + 0.3𝑥 𝑓 𝑢 = 0.07𝑢4 − 1.21𝑢3 − 5.2 1

1

𝑦 = 𝑡 + 𝑡2 −

6. 𝑓 𝑥 =

𝑥3

1 𝑡

+

7. 𝑓 𝑡 = 2 𝑡 3 +

8. 𝑦 = 9. 𝑦 =

1

𝑥3 4 − 𝑡

3 𝑥2 2 − + − 𝑥2 16 𝑥 7 5 + 𝑥 1.2 𝑥 −2.1

+

2 1 3𝑥 2

KEGUNAAN DIFERENSIAL 1.

Kemiringan Kurva Kemiringan suatu kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑐 adalah 𝑚 = 𝑓′(𝑐)

2.

Tingkat perubahan

Tingkat perubahan dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥, ketika 𝑥 = 𝑐 adalah 𝑓′(𝑐)

MENENTUKAN TINGKAT (RATE) PERUBAHAN Kegunaan fungsi derivative, salah satunya, adalah menentukan tingkat (rate) perubahan, contohnya pada gerak linier. Jika posisi obyek yang bergerak pada lintasan linier pada waktu 𝑡 diberikan oleh fungsi 𝑠(𝑡), maka obyek memiliki: 𝑑𝑠 1) Kecepatan 𝑣 𝑡 = 𝑠 ′ 𝑡 = 2) Percepatan 𝑎 𝑡 = 𝑣 ′ 𝑡

𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡

Obyek bergerak maju ketika 𝑣 𝑡 > 0, bergerak mundur ketika 𝑣 𝑡 < 0, dan berhenti (stasioner) ketika 𝑣 𝑡 = 0

RELATIFITAS DAN PERSENTASE PERUBAHAN Tingkat perubahan dari kuantitas 𝑄(𝑥) pada saat 𝑥 diberikan oleh rasio: 𝑄′ 𝑥 Δ= 𝑄 𝑥

Persentase perubahan dari 𝑄(𝑥) pada waktu 𝑥 adalah: 𝑄′ 𝑥 %Δ= ∗ 100% 𝑄 𝑥

TANDA SIGNIFIKAN PADA DERIVATIVE

Jika fungsi 𝑓 terdiferensial pada 𝑥 = 𝑐, maka: 1. 𝑓 naik di 𝑥 = 𝑐, jika 𝑓 ′ 𝑐 > 0 2. 𝑓 turun di 𝑥 = 𝑐, jika 𝑓 ′ 𝑐 < 0 Penggunaan aturan ini adalah ketika menentukan titik stasioner dan sketsa kurva. Titik-titik stasioner 𝑥, yaitu memenuhi 𝑓 ′ 𝑥 = 0

CONTOH 2:

Tentukan titik stasioner dan sketsa dari 𝑔 𝑥 =

𝑥3 3

+ 2𝑥 2 − 21𝑥 + 3

CONTOH Posisi suatu benda bergerak linier diberikan oleh fungsi 𝑠 𝑡 = 𝑡 3 − 6𝑡 2 + 9𝑡 + 5 a)

Tentukan kecepatan obyek tersebut saat 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4

b)

Tentukan total jarak yang ditempuh oleh obyek tersebut antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4

c)

Tentukan percepatan obyek antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4

LATIHAN 2 1.

Pertumbuhan Populasi Diperkirakan bahwa x bulan dari sekarang, populasi dari kota tertentu akan menjadi 3 2

𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 4𝑥 + 5,000. a) Sembilan bulan dari sekarang, berapakah kecepatan pertumbuhan populasi tersebut? b) Berapakah persentase kecepatan pertumbuhan populasi saat 9 bulan dari sekarang?

2.

Polusi udara Studi lingkungan dari suatu daerah mengemukakan bahwa 𝑡 tahun dari sekarang, rata-rata tingkat karbon monoksida di udara akan menjadi 𝑄 𝑡 = 0.05𝑡 2 + 0.1𝑡 + 3.4 ppm. a) Pada 1 tahun mendatang, berapakah kecepatan perubahan tingkat karbon monoksida di udara? b) Berapakah kecepatan perubahan tingkat karbon monoksida tahun ini?

3.

4.

Efisiensi Pekerja Studi efisiensi dari shift pagi pada suatu perusahaan mengindikasikan bahwa rata-rata pekerja yang datang pukul 08:00, akan mengumpulkan sebanyak 𝑓 𝑥 = −𝑥 3 + 6𝑥 2 + 15𝑥 unit pekerjaan, 𝑥 jam kemudian. a) Tentukan fungsi kecepatan pekerja dalam mengumpulkan pekerjaan setelah 𝑥 jam. b) Pada pukul 09:00, berapakah kecepatan pekerja mengumpulkan pekerjaannya? c) Sketsakan grafik keefektifan pekerja tersebut.

ATURAN PENJUMLAHAN  The sum rule: 𝑑 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥

=

𝑑 𝑓 𝑑𝑥

𝑥 +

Then, the difference of derivative:

𝑑 𝑑𝑥

𝑑 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥

=

𝑑 𝑓 𝑑𝑥

𝑥

𝑑 − 𝑑𝑥 𝑔(𝑥)

ATURAN PERKALIAN Aturan perkalian fungsi derivative:

Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi yang terdiferensial pada 𝑥, maka perkalian kedua fungsi tersebut didefinisikan: 𝑓∙𝑔

′

𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)

ATURAN PEMBAGIAN Aturan perkalian fungsi derivative:

Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi yang terdiferensial pada 𝑥 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka pembagian kedua fungsi tersebut didefinisikan: 𝑓 ′ 𝑔

𝑥 =

𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑔 𝑥 2

ATURAN RANTAI

LATIHAN 3 1) 𝐹 𝑥 =

2) 𝐺 𝑥 =

𝑥 2 −1 2𝑥+3 (𝑥 3 −

2𝑥)(2𝑥 + 5) 1

3) Diketahui fungsi 𝐺 𝑥 = (9𝑥 8 − 8𝑥 9 ) 𝑥 + 𝑥 : a) Tentukan 𝐺′(𝑥) b) Tentukan 𝐺′(−1)

4) 𝐹 𝑥 =

1 𝑥 5 −2𝑥+1 2

5) Tentukan nilai 𝐺′(2) dari 𝐺 𝑠 =

3 5𝑠 2 +2

DIFERENSIAL FUNGSI IMPLISIT

LATIHAN 4 1. 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑥𝑦 2. 5𝑥 − 𝑥 2 𝑦 3 = 2y 3. 𝑦 2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑥 2 = 9

4.

𝑥+ 𝑦=1

Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang sudah diberikan:

5. 𝑥 2 = 𝑦 3 di (8, 4) 6. 𝑥 2 − 𝑦 3 = 2𝑥 di (1, −1)

7.

Pertumbuhan tumor suatu tumor dimodelkan, secara kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius tumor saat ini 𝑅 = 0.54 cm dan mempunyai kecepatan tumbuh 0.13 cm per bulan. Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: 4 𝑉 = 𝜋𝑅3 3

APLIKASI DERIVATIVE

LATIHAN Tentukan interval naik dan turun dari kurva berikut 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5

2. 𝑓(𝑡) = 𝑡 3 + 3𝑡 2 + 1 3. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 5 − 5𝑥 3

4.

THE MEAN-VALUE THEORM Jika 𝑓 adalah fungsi terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏) dan kontinu di selang tertutup [𝑎, 𝑏], maka terdapat paling tidak satu bilangan 𝑐 di (𝑎, 𝑏) sedemikian sehingga: 𝑓′

𝑐 =

𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝑏−𝑎

KETERANGAN Perhatikan gambar:

𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎

Nilai dari 𝑏−𝑎 adalah kemiringan dari suatu garis, ℓ, yang melalui titik (𝑎, 𝑓 𝑎 ) dan (𝑏, 𝑓 𝑏 ). Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwa grafik 𝑓 mempunyai paling tidak satu titik (𝑐, 𝑓 𝑐 ) dimana garis singgungnya sejajar dengan garis ℓ.

ROLLE THEORM Andaikan bahwa 𝑓 adalah fungsi yang terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏) dan kontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 . Jika 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏) keduanya bernilai 0, maka terdapat paling tidak satu bilangan 𝑐 sedemikian hingga: 𝑓′ 𝑐 = 0

LATIHAN Tunjukkan bahwa 𝑓 memenuhi kondisi dari teorema Rolle di interval yang diberikan. Tentukan bilangan 𝑐 di dalam interval sedemikian sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 0 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥; [0,1]

2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 8; [−2,2] Tunjukkan bahwa 𝑓 memenuhi kondisi teorema mean-value pada interval yang diberikan. Tentukan nilai 𝑐 yang memenuhi konklusi dari teorema. 3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 ; [1,2] 4. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 4𝑥; [1,4]