LOGIKA. Arum Handini Primandari

LOGIKA Arum Handini Primandari

LOGIKA MATEMATIKA

KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP  Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh:  Apakah kamu tahu pencipta lagu PPAP?  Semoga ujian kalkulusnya berjalan lancar.

 Kalimat tertutup adalah kalimat yang mengandung nilai kebenaran, yaitu bisa bernilai besar atau salah tetapi tidak bisa kedua-duanya. Kalimat tertutup disebut pernyataan / statement.

PERNYATAAN Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya.

Pernyataan majemuk adalah gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menjadi sebuah kalimat baru.

Contoh:

Pernyataan tunggal

Pernyataan Majemuk

• Kelas Kalkulus B dimulai pukul 07:00. • Semua mahasiswa statistika 2016 memiliki akun sosial media. • Jika suatu bilangan habis dibagi dua, maka bilangan itu genap. • Suatu segitiga dikatakan sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

OPERASI LOGIKA No

Nama Operasi

Perangkai

Simbol

1.

Negasi (Ingkaran)

Tidaklah benar

~

2.

Konjungsi

dan



3.

Disjungsi

atau



4.

Implikasi

Jika ...., maka .....



5.

Biimplikasi

..... Jika dan hanya jika ....



NEGASI  Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

p B

~p S

S

B

 Contoh : p : Suicide squad menjadi salah satu film box office di tahun ini.

~ p : Suicide squad bukan menjadi salah satu film box office di tahun ini.

OPERASI KONJUNGSI Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “dan”. p B

q B

B S S

S B S

B S S S

Kata lain untuk menyatakan konjugsi: tetapi, walaupun, meskipun.

OPERASI DISJUNGSI Adalah suatu pernyataan yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “atau”. Terdapat 2 macam disjungsi:

a) Disjungsi inklusif Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai benar b) Disjungsi eksklusif Bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Tabel Kebenaran disjungsi Inklusif

p B

q B

B S S

S B S

B B B S

Tabel Kebenaran disjungsi Eksklusif

p B

q B

B S S

S B S

pq

S B B S

OPERASI IMPLIKASI Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai perangkai “jika .... maka ...” p B

q B

B

B S

S B

S B

S

S

B

OPERASI BIIMPLIKASI Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “ ... jika dan hanya jika ... “

p B B

q B S

B S

S

B

S

S

S

B

BENTUK – BENTUK PERNYATAAN  Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh subtitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.  Tautologi adalah sebuah pernyatan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

 Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.

CONTOH :  Selidikilah apakah pernyataan berikut merupakan kontrasiksi, tautologi, atau kontingensi:  p  q   q  p 

p

q

~p

~p∧ q

q⟹ p

(~𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑞 ⟹ 𝑝)

B

B

S

S

B

B

B

S

S

S

B

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

B

B

LATIHAN 1  Selidikilah apakah pernyataan berikut merupakan kontrasiksi, tautologi, atau kontingensi: 1.  p  q  p 2.  p  q   q  r   r  p  

3.  p

q  p  q

IMPLIKASI LOGIS DAN EKUIVALEN LOGIS Implikasi logis adalah suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi

Ekuivalen logis adalah dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama

CONTOH IMPLIKASI LOGIS:

Tautologi

 Oleh karena nilai kebenaran 𝑝 ⟺ 𝑞 sama dengan nilai kebenaran (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝), maka kedua pernyataan tersebut ekuivalen logis: 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)

KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI  Dari sebuah implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞, dapat disusun: 1. 2. 3.

Konvers Invers Kontraposisi

:𝑞 ⟹𝑝 : ~𝑝 ⟹ ~𝑞 : ~𝑞 ⟹ ~𝑝

 Catatan:  𝐾𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ≡ 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠  𝐼𝑚𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑠𝑖 ≡ 𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖

SKEMA Konvers

𝑞⟹𝑝

𝑝⟹𝑞

Invers

Kontraposisi

~𝑝 ⟹ ~𝑞

Invers

~𝑞 ⟹ ~𝑝 Konvers

CONTOH : Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan : “Jika Ozan Aktif organisasi maka dia berprestasi”

Konvers: Jika Ozan berprestasi maka dia aktif organisasi. Invers: Jika Ozan tidak aktif organisasi maka dia tidak berprestasi. Kontraposisi: Jika Ozan tidak berprestasi maka dia tidak aktif organisasi.

PENGERTIAN KUANTOR  Kuantor adalah kata yang apabila dibubuhkan pada kalimat terbuka akan mengubah kalimat tersebut menjadi kalimat tertutup  Terdapat 2 jenis kuantor:  Kuantor Universal, dengan notasi: ∀  Kuantor Khusus/ Eksistensial, dengan notasi: ∃

 Contoh: kalimat terbuka: 𝑥 2 − 5 > 8  ∀𝑥, 𝑥 2 − 5 > 8 → 𝑆  ∃𝑥, 𝑥 2 − 5 > 8 → 𝐵

PERNYATAAN BERKUANTOR Contoh : 1.

Semua mahasiswi UII berjilbab

2.

Semua mahasiswa UII memproduksi data

3.

Ada mahasiswa yang terlambat kelas Kalkulus B

4.

Tidak ada manusia sekarang yang umurnya mencapai 200th

Untuk membenarkan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proporsinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah ∀𝑥, 𝑀 𝑥 → 𝐹(𝑥)

NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR  Negasi dari pernyataan berkuantor yaitu:  Negasi dari ∀𝑥 𝑝 𝑥 adalah ~ ∀𝑥 𝑝 𝑥 ≡ ∃𝑥 ~𝑝(𝑥)  Negasi dari ∃𝑥 𝑝(𝑥) adalah ~ ∃𝑥 𝑝 𝑥 ≡ ∀𝑥 ~𝑝(𝑥)  Contoh: “semua mahasiswa statistika 2016 mengambil 21 sks di semester pertama” Negasi pernyataan: “ada mahasiswa statistika 2016 yang tidak mengambil 21 sks di semester pertama”

LATIHAN 2 1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan: “Di era Big Data, jika orang memiliki gadget atau terhubung dengan sensor, maka dia berpotensi menghasilkan data” 2. Tentukan negasi dari pernyataan berikut: “Ketika terjadi erupsi Gunung Merapi, semua warga di persekitaran Gunung Merapi dalam radius 15 km mengenakan masker dan mengungsi ke zona aman bencana” 3. Tentukan negasi dari: “Jika Faiz tidak memiliki kuota atau sibuk kuliah, maka dia tidak meng-update status Facebook-nya”

PENARIKAN KESIMPULAN  Aturan dalam penarikan kesimpulan: 1. Modus Ponens 2. Modus Tollens 3. Modus Silogisme

BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN  Membuktikan keabsahan argumen dapat melalui:  Tabel kebenaran  Jika pernyataan merupakan tautologi, maka

pernyataan tersebut sah.

 Aturan penyimpulan  Menggunakan hukum ponens, tollens, atau silogisme.

LATIHAN 3 Buktikan keabsahan berikut: 1. Dengan menggunakan tabel kebenaran:

(1)p  q (2)  p

q

2. Dengan aturan penyimpulan:

(1)  k  l  

m  n  (2)  m n    o  p  (3)  o  p    q  r   l  k   r  q

3. Dengan aturan penyimpulan:

1. 2.

 ~ p ~ q   r r  p   p  q

3. ~p 4. p  ~ r 

~ r ~ p

BEBERAPA EKUIVALENSI YANG PENTING 1. Hukum Komutatif p q  qp pq  qp

2. Hukum asosiatif p  q  r   q  p  r p  q  r   q  p  r

3.

Hukum Distribusi

p   q  r   p  q  p  r  p   q  r   p  q  p  r 

4.

5.

Hukum De Morgan

p  q  p  q 

p

q

p

q

Implikasi

p q pq