PERMUTASI Merupakan suatu analisis yang mempunyai peranan penting dalam matematika modern, khususnya dalam menentukan banyaknya alternatif yang mungkin terjadi didalam pengambilan keputusan. Yaitu : penyusunan obyek-obyek yang ada ke dalam suatu urutan tertentu. Sifat utama dari permutasi adalah bahwa obyek-obyek yang ada harus dapat dibedakan antara yang satu dengan yang lainnya.
Contoh : 1. Dalam berapa macam carakah suatu peristiwa dapat terjadi? 2. Dalam berapa macam carakah 5 orang dapat duduk berjajar dalam suatu deretan di atas sebuah bangku panjang?
Faktorial Diberi notasi tanda seru (!) Harga dari suatu bilangan yang difaktorialkan diformulasikan sebagai berikut: n! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ( n – 3 ) ……….( n )( n – 1 ))
Contoh: 3! = 1 x 2 x 3 = 6 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
Latihan Soal 1.
2.
Rumus n! nPx = (n–x)! n = banyaknya seluruh obyek x = banyaknya obyek yang dipermutasikan
P(n, x)
x n
P
Syarat • Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol • Jika x < n, disebut permutasi untuk sebagian obyek. • Jika nilai x = n, maka dinamakan permutasi untuk seluurh obyek, rumusnya menjadi: nPx = n!
Contoh 1 Ada 3 orang mahasiswa yang bernama A, B dan C yang akan duduk di sebuah bangku panjang. Ada beberapa cara/urutan yang terjadi jika mereka duduk berjajar? Jawab: X = 3, n = 3 nPx = n! = 3! 3P3 =6
Contoh 2 Jika kita akan menempatkan 6 buah buku yang berbeda dalam sebuah rak buku, maka ada berapa carakah ke 6 buku tersebut dapat disusun? Jawab: X = 6, n = 6 nPx = n! = 6! 6P6
Contoh 3 Sebuah kelompok belajar yang beranggotakan 4 orang mahasiswa yaitu A, B, C dan D akan mengadakan pemilihan terhadap 2 orang anggotanya sebagai pengurus dengan ketua dan wakil ketua. Ada berapa carakah/alternatif dari susunan pengurus yang mungkin dapat dipilih? Jawab: n=4, x=2 nPx = n! : (n-x)! = 4! : (4-2)! 4P2 = 24 : 4 = 12
Contoh 4 Ada suatu perlombaan yang diikuti oleh 15 orang. Panitia lomba menyediakan 3 hadiah masing-masing untuk juara I, II dan III. Berapakah banyaknya susunan urutan juara yang mungkin terjadi? Jawab: n=15, x=3 nPx = n! : (n-x)! = 15! : (15-3)! 15P3 = 2730
Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n
adalah:
P
n ( n1 , n 2 ,...........n k )
n! n1!n2!...nk !
Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKAWAN?
Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4 huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
13! 13.12.11.10.9.8.7.6.5! 13 P( 2 , 4 , 2 ,1,1,1,1,1) 2!4!2!1!1!1!1!1! 1.2.1.2! 64864800
Permutasi keliling/lingkaran • Yaitu permutasi dari sejumlah obyek yang membentuk lingkaran • Merupakan salah satu jenis permutasi yang sifatnya khusus • Jika kita mempunyai sejumlah n obyek yang berbeda, maka obyek-obyek tersebut dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran sebanyak: ( n – 1 ) ! cara
Contoh 5 Suatu keluarga yang terdiri dari 4 orang, yaitu A, B, C dan D akan makan bersama pada sebuah meja makan yang bundar. Berapakah banyaknya urutan/cara 4 orang tersebut dapat diatur mengelilingi meja bundar tersebut? Jawab: n=4 P = (n – 1)! P = (4 – 1)! P = 3! P = 6 cara
Contoh 6 Enam orang anak akan bermain membuat lingkaran dengan cara masing-masing saling bergandengan tangan. Ada berapa carakah susunan yang mungkin terjadi? Jawab: n=6 P = (n – 1)! P = (6 – 1)! P = 5! P = 120 cara
Latihan 1. Dari empat calon pengurus kelas, berapa banyak susunan yang dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara? 2. Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada enam calon. 3. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MAHASISWA”? 4. Petugas perpustakaan akan menyusun tiga buku matematika yang sama, dua buku fisika yang sama, tiga buku biologi yang sama, dan empat buku kimia yang sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?
Tugas • Kerjakan latihan 1 s/d 4 • Jawaban dalam bentuk file dengan nama file : nama saudara_permutasi • Jawaban dikirim lewat email ke alamat :
[email protected] • Jawaban diterima paling lambat hari Kamis tanggal 17 Maret 2016
