Sudaryatno Sudirham
Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu #1
Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org
Teori dan Soal ada di buku
Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1 (pdf) tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.org
Isi Kuliah: 1. Pendahuluan 2. Besaran Listrik dan Peubah Sinyal 3. Model Sinyal 4. Model Piranti 5. Hukum-Hukum Dasar 6. Kaidah-Kaidah Rangkaian 7. Teorema Rangkaian 8. Metoda Analisis 9. Aplikasi Pada Rangkaian Pemroses Energi (Arus Searah) 10. Aplikasi Pada Rangkaian Pemroses Sinyal (Dioda & OpAmp) 11. Analisis Transien Rangkaian Orde-1 12. Analisis Transien Rangkaian Orde-2
Pembahasan Analisis Rangkaian Listrik Mencakup
Analisis di Kawasan Waktu Sinyal Sinus & Bukan Sinus Keadaan Mantap Keadaan Transien
Analisis di Kawasan Fasor
Analisis di Kawasan s (Transf. Laplace)
Sinyal Sinus
Sinyal Sinus & Bukan Sinus
Keadaan Mantap
Keadaan Mantap Keadaan Transien
Banyak kebutuhan manusia, seperti: Sandang Pangan Papan Kesehatan Keamanan Energi Informasi Pendidikan Waktu Senggang dll.
Sajian pelajaran ini terutama terkait pada upaya pemenuhan kebutuhan energi dan informasi
Penyediaan Energi Listrik Energi yang dibutuhkan manusia tersedia di alam, tidak selalu dalam bentuk yang dibutuhkan Energi di alam terkandung dalam berbagai bentuk sumber energi primer: • • • • • • • •
air terjun, batubara, minyak bumi, panas bumi, sinar matahari, angin, gelombang laut, dan lainnya.
sumber energi juga tidak selalu berada di tempat ia dibutuhkan
Diperlukan konversi (pengubahan bentuk) energi. Energi di alam yang biasanya berbentuk non listrik, dikonversikan menjadi energi listrik. Energi listrik dapat dengan lebih mudah • disalurkan • didistribusikan • dikendalikan Di tempat tujuan ia kemudian dikonversikan kembali ke dalam bentuk yang sesuai dengan kebutuhan, energi • • • •
mekanis, panas, cahaya, kimia.
Penyediaan energi listrik dilakukan melalui serangkaian tahapan: Berikut ini kita lihat salah satu contoh, mulai dari pengubahan energi, penyaluran, sampai pendistribusian ke tempat-tempat yang memerlukan
energi listrik ditransmisikan
energi kimia diubah menjadi energi panas
pengguna tegangan tinggi
energi panas diubah menjadi energi mekanis
GENERATOR
BOILER TURBIN
TRANSFORMATOR
energi mekanis diubah menjadi energi listrik
energi listrik diubah menjadi energi listrik pada tegangan yang lebih tinggi
GARDU DISTRIBUSI
pengguna tegangan menengah pengguna tegangan rendah
Penyediaan Informasi • informasi ada dalam berbagai bentuk • tersedia di di berbagai tempat • tidak selalu berada di tempat di mana ia dibutuhkan Berbagai bentuk informasi dikonversikan ke dalam bentuk sinyal listrik Sinyal listrik disalurkan ke tempat ia dibutuhkan Sampai di tempat tujuan sinyal listrik dikonversikan kembali ke dalam bentuk yang dapati ditangkap oleh indera manusia ataupun dimanfaatkan untuk suatu keperluan lain (pengendalian misalnya).
Penyediaan Informasi Jika dalam penyediaan energi kita memerlukan mesin-mesin besar untuk mengubah energi yang tersedia di alam menjadi energi listrik, dalam penyediaan informasi kita memerlukan rangkaian elektronika untuk mengubah informasi menjadi sinyal-sinyal listrik agar dapat dikirimkan dan didistribusikan untuk berbagai keperluan.
Pemrosesan Energi dan Pemrosesan Informasi dilaksanakan dengan memanfaatkan rangkaian listrik
Rangkaian listrik merupakan interkoneksi berbagai piranti yang secara bersama melaksanakan tugas tertentu
Untuk mempelajari perilaku suatu rangkaian listrik kita melakukan analisis rangkaian listrik • • •
Untuk keperluan analisis: rangkaian listrik dipindahkan ke atas kertas dalam bentuk gambar. piranti-piranti dalam rangkaian listrik dinyatakan dengan menggunakan simbol-simbol untuk membedakan dengan piranti yang nyata, simbol ini kita sebut elemen
Gambar rangkaian listrik disebut diagram rangkaian,
+ − Piranti
Perubahan besaran fisis yang terjadi dalam rangkaian kita nyatakan dengan model matematis yang kita sebut model sinyal
Elemen (Simbol Piranti)
Perilaku piranti kita nyatakan dengan model matematis yang kita sebut model piranti
Struktur Dasar Rangkaian Listrik
Struktur suatu rangkaian listrik pada dasarnya terdiri dari tiga bagian, yaitu Sumber Saluran Beban
+ −
Bagian yang aktif memberikan daya (sumber)
Penyalur daya
Bagian yang pasif menyerap daya (beban)
Dalam kenyataan, rangkaian listrik tidaklah sederhana Jaringan listrik perlu dilindungi dari berbagai kejadian tidak normal yang dapat menyebabkan kerusakan piranti. Jaringan perlu sistem proteksi untuk mencegah kerusakan Jaringan listrik juga memerlukan sistem pengendali untuk mengatur aliran energi ke beban.
+ −
Pada jaringan penyalur energi listrik, sumber mengeluarkan daya sesuai dengan permintaan beban. Saluran energi juga menyerap daya. Pada rangkaian penyalur informasi, daya sumber terbatas. Oleh karena itu alih daya ke beban perlu diusahakan semaksimal mungkin. Alih daya ke beban akan maksimal jika tercapai matching (kesesuaian) antara sumber dan beban.
Keadaan transien
+ −
Kondisi operasi rangkaian tidak selalu mantap. Pada waktu-waktu tertentu bisa terjadi keadaan peralihan atau
keadaan transien Misal: pada waktu penutupan saklar
Landasan Untuk Melakukan Analisis Untuk melakukan analisis rangkaian kita memerlukan pengetahuan dasar sebagai pendukung. Pengetahuan dasar yang kita perlukan ada empat kelompok.
Hukum Ohm Hukum Kirchhoff
Hukum-Hukum Rangkaian Kaidah-Kaidah Rangkaian Teorema Rangkaian Metoda-Metoda Analisis
Rangkaian Ekivalen Kaidah Pembagi Tegangan Kaidah Pembagi arus Transformasi Sumber
Metoda Analisis Dasar: Reduksi Rangkaian Unit Output Superposisi Rangkaian Ekivalen Thevenin Rangkaian Ekivalen Norton
Proporsionalitas Superposisi Thevenin Norton Substitusi Milmann Tellegen Alih Daya Maksimum
Metoda Analisis Umum: Metoda Tegangan Simpul Metoda Arus Mesh
Dua besaran fisika yang menjadi besaran dasar dalam kelistrikan adalah Muatan [satuan: coulomb]
Energi [satuan: joule]
Akan tetapi kedua besaran dasar ini tidak dilibatkan langsung dalam pekerjaan analisis Yang dilibatkan langsung dalam pekerjaan analisis adalah arus
tegangan
daya
ketiga besaran ini mudah diukur sehingga sesuai dengan praktik engineering dan akan kita pelajari lebih lanjut
Sinyal Waktu Kontinyu & Sinyal Waktu Diskrit Sinyal listrik pada umumnya merupakan fungsi waktu, t, dan dapat kita bedakan dalam dua macam bentuk sinyal yaitu sinyal waktu kontinyu atau sinyal analog sinyal waktu diskrit
Sinyal waktu diskrit mempunyai nilai hanya pada t tertentu yaitu tn dengan tn mengambil nilai dari satu set bilangan bulat
Sinyal waktu kontinyu mempunyai nilai untuk setiap t dan t sendiri mengambil nilai dari satu set bilangan riil
v(t) Sinyal waktu kontinyu (sinyal analog)
0
t
v(t) Sinyal waktu diskrit
0
t
Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari rangkaian dengan sinyal waktu kontinyu atau sinyal analog, dan rangkaiannya kita sebut rangkaian analog. Rangkaian dengan sinyal diskrit akan kita pelajari tersendiri.
Peubah Sinyal Perubahan besaran fisis yang kita olah dalam analisis rangkaian kita sebut peubah sinyal. Peubah-peubah sinyal dalam analisis rang kaian adalah: • arus • tegangan • daya
Besaran yang dilibatkan langsung dalam pekerjaan analisis disebut peubah sinyal yaitu: arus dengan simbol: i satuan: ampere [ A ] (coulomb/detik)
tegangan dengan simbol: v satuan: volt [ V ] (joule/coulomb)
daya dengan simbol: p satuan: watt [ W ] (joule/detik)
Tiga peubah sinyal ini tetap kita sebut sebagai sinyal, baik untuk rangkaian yang bertugas melakukan pemrosesan energi maupun pemrosesan sinyal.
Arus Simbol: i, Satuan: ampere [ A ]
Arus adalah laju perubahan muatan:
dq i= dt Apabila melalui satu piranti mengalir muatan sebanyak 1 coulomb setiap detiknya, maka arus yang mengalir melalui piranti tersebut adalah 1 ampere 1 ampere = 1 coulomb per detik
Tegangan Simbol: v
Satuan: volt [ V ]
Tegangan adalah energi per satuan muatan:
v=
dw dq
Apabila untuk memindahkan 1 satuan muatan dari satu titik ke titik yang lain diperlukan energi 1 joule, maka beda tegangan antara dua titik tersebut adalah 1 volt 1 volt = 1 joule per coulomb
Daya Simbol: p,
Satuan: watt [ W ]
Daya adalah laju perubahan energi: dw p= dt
Apabila suatu piranti menyerap energi sebesar 1 joule setiap detiknya, maka piranti tersebut menyerap daya 1 watt 1 watt = 1 joule per detik p=
dw dw dq = = vi dt dq dt
Referensi Sinyal Perhitungan-perhitungan dalam analisis bisa menghasilkan bilangan positif ataupun negatif, tergantung dari pemilihan referensi sinyal tegangan diukur antara dua ujung piranti
+
piranti
−
arus melewati piranti
Konvensi Pasif: Referensi tegangan dinyatakan dengan tanda “+” dan “−” di ujung simbol piranti;
+
piranti
−
Arah arus digambarkan masuk ke elemen pada titik yang bertanda “+”.
Referensi tegangan dinyatakan dengan tanda “+” dan “−” di ujung simbol piranti; ujung dengan tanda “+” dianggap memiliki tegangan (potensial) lebih tinggi dibanding ujung yang bertanda “−”. Jika dalam perhitungan diperoleh angka negatif, hal itu berarti tegangan piranti dalam rangkaian sesungguhnya lebih tinggi pada ujung yang bertanda “−”. Referensi arus dinyatakan dengan anak panah. Arah anak panah dianggap menunjukkan arah positif arus. Jika dalam perhitungan diperoleh angka negatif, hal itu berarti arus pada piranti dalam rangkaian sesungguhnya berlawanan dengan arah referensi.
Titik referensi tegangan umum Suatu simpul (titik hubung dua atau lebih piranti) dapat dipilih sebagai titik referensi tegangan umum dan diberi simbol “pentanahan”. Titik ini dianggap memiliki tegangan nol. Tegangan simpul-simpul yang lain dapat dinyatakan relatif terhadap referensi umum ini. referensi arus A
i1
1
i2 B
2 + v1 −
+ v2 −
+ v3 3 − G
referensi tegangan piranti
i3
referensi tegangan umum (ground)
Dengan konvensi pasif ini maka: daya positif berarti piranti menyerap daya daya negatif berarti piranti memberikan daya
(isilah kotak yang kosong) Piranti
v [V]
i [A]
A
12
5
B
24
-3
C
12
D E
72 -4
24
p [W]
96 72
menerima/ memberi daya
Muatan Simbol: q
Satuan: coulomb [ C ] Muatan, yang tidak dilibatkan langsung dalam analisis, diperoleh dari arus
dq Arus i = dt Muatan
q=
t2
∫t
1
idt
Energi Simbol: w Satuan: joule [ J ] Energi, yang tidak dilibatkan langsung dalam analisis, diperoleh dari daya
dw Daya p = dt Energi
w=
t2
∫t
1
pdt
CONTOH: Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan) dan arus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakah daya yang diserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti tersebut selama 8 jam itu?
a). p = vi = 12 × 100 × 10 −3 = 1,2 W
+ v = 12 V −
b).
piranti
p [W] 1,2
i = 100 mA 0
w=
t2
∫t
pdt =
1
∫0
t [ jam ]
8
1,2dt = 1,2t 0 = 1,2(8 − 0) = 9,6 Wh
Ini adalah luas bidang yang dibatasi oleh garis p = 1,2 W, dan t antara 0 dan 8 jam
c). i [mA] 100 0
q=
8
8
8 t2
∫t
1
idt =
8
∫0 100 ×10
t [ jam] −3
Ini adalah luas bidang yang dibatasi oleh garis i = 100 mA , dan t antara 0 dan 8 jam −3
dt = 100 × 10 t
8 0
= 0,1(8 − 0) = 0,8 Ah
CONTOH: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan 200V (konstan). Berapakah besar arus yang mengalir dan berapakah energi yang diserap selama 8 jam ?
+ v = 200 V − piranti
i=
i=? p = 100 W
w=
t2
∫t
1
8
∫0
p 100 = = 0,5 A v 200
8
pdt = 100dt = 100t 0 = 800 Wh = 0,8 kWH
CONTOH: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?
0,05 2 q = ∫ idt = ∫ 0,05tdt = t 0 0 2 5
5
5
= 0
1,25 = 0,625 coulomb 2
CONTOH: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i = 5cos400t A. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Berapakah nilai daya maksimum dan daya minimum ?
a). p = v × i = 220 cos 400t × 5 cos 400t = 1100 cos 2 400t W = 550(1 + cos 800t ) = 550 + 550 cos 800t W
1200 1000 800 600 400 200 0 -200
0
100
200
300
400
500
600
700
b). Nilai daya : pmaksimum = 550 + 550 = 1100 W pminimum = 550 − 550 = 0 W
800
CONTOH: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai v = 220cos400t V dan arus yang mengalir adalah i = 5sin400t A. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Tunjukkan bahwa piranti ini menyerap daya pada suatu selang waktu tertentu dan memberikan daya pada selang waktu yang lain. c). Berapakah daya maksimum yang diserap ? d). Berapa daya maksimum yang diberikan ?
a). p = 220 cos 400t × 5 sin 400t = 1100 sin 400t cos 400t = 550 sin 800t W b). daya merupakan fungsi sinus. Selama setengah perioda daya bernilai posisitif dan selama setengah perioda berikutnya ia bernilai negatif. Jika pada waktu daya bernilai positif mempunyai arti bahwa piranti menyerap daya, maka pada waktu bernilai negatif berarti piranti memberikan daya
c). pmaks
diserap
= 550 W
d). pmaks diberikan = 550 W
Pernyataan Sinyal
Kita mengenal berbagai pernyataan tentang sinyal Sinyal periodik & Sinyal Aperiodik Sinyal Kausal & Non-Kausal Nilai sesaat Amplitudo Nilai amplitudo puncak ke puncak (peak to peak value) Nilai puncak Nilai rata-rata Nilai efektif ( nilai rms ; rms value)
Sinyal kausal, berawal di t = 0 perioda v(t)
v(t) t
0
t
0 aperiodik
periodik
Sinyal non-kausal, berawal di t = − ∞ v(t)
v(t) 0
t
0
t
Perioda dan Amplitudo Sinyal
Selang waktu dimana sinyal akan berulang disebut
Sinyal periodik Sinyal ini berulang secara periodik v(t) setiap selang waktu tertentu
0
perioda
t amplitudo puncak ke puncak
Nilai-Nilai Sinyal Nilai sesaat yaitu nilai sinyal pada saat tertentu
Nilai puncak atau amplitudo maksimum
v(t) t3 0
t1 t2
t Amplitudo minimum
Nilai Rata-Rata Sinyal Definisi:
Vrr
1 = T
∫
t 0 +T
v ( x) dx
t0
Integral sinyal selama satu perioda dibagi perioda CONTOH: v
v
T
T
6V
6V
t
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t
−4V 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 1 2 Vrr = v(t )dt = 6dt 3 0 3 0 1 2 1 = (6t ) 0 = (12 − 0) = 4 V 3 3
∫
∫
Vrr = =
1 3
3 1 2 v(t )dt = 6dt − 6dt 0 2 3 0 3
∫
{
}
∫
∫
1 (6t ) 20 − (6t ) 32 = 4 − 2 = 2 V 3
Nilai efektif (rms) Definisi:
V rms =
1 T
t0 +T
∫ [v(t )]
2
dt
t0
Akar dari integral kuadrat sinyal selama satu perioda yang dibagi oleh perioda CONTOH: nilai efektif dari sinyal pada contoh sebelumnya 62 = 36
62 = 36
(−4)2 = 16
t
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t 2
Vrms =
1 2 6 dt = 3
∫ 0
1 (36t ) 20 = 3
72 V 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vrms =
3 2 1 2 2 6 dt + 4 dt = 3 2 0
∫
∫
1 (72 + 16 ) = 3
88 V 3
CONTOH: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (Vp), tegangan puncakpuncak (Vpp), perioda (T), tegangan rata-rata (Vrr), dan tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut ini.
6V
0
Vp = 6 V
1
;
2
3
4 5
V pp = 6 V
6
;
7 8 t
T = 3s
3 1 1 2 Vrr = 6dt + 0dt = (6 × 2 + 0 ) = 4 V 2 3 0 3
∫
∫
3 2 1 2 2 1 Vrms = 6 dt + 0 dt = (36 × 2 + 0) = 4,9 V 2 3 0 3
∫
∫
CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (Vp), tegangan puncakpuncak (Vpp), perioda (T), tegangan rata-rata (Vrr), dan tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut ini. 6V t
0 −4V 1
Vp = 6 V
;
2
3 4
5
V pp = 10 V
6 7
;
8
9
T = 3s
3 1 2 1 Vrr = 6dt + − 4dt = (6 × 2 − 4 × 1) = 2,66 V 2 3 0 3
∫
Vrms
1 = 3
∫
2 2 3 6 dt + (−4) 2 dt 0 2
∫
∫
=
1 (36 × 2 + 16 × 1) = 5,42 V 3
CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (Vp), tegangan puncak-puncak (Vpp), perioda (T), tegangan rata-rata (Vrr), dan tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut ini v 6V t
0 1
Vp = 6 V
2
3
V pp = 6 V
;
4
;
5
6
7
T = 4s
3 4 1 6×3 1 2 Vrr = 3tdt + (6 − 6(t − 2))dt + 0dt = = 2,25 V 2 3 4 0 4 2
∫
Vrms =
∫
∫
3 4 2 1 2 2 2 9t dt + (6 − 6(t − 2)) dt + 0 dt = 3,0 V 2 3 4 0
∫
∫
∫
CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (Vp), tegangan puncak-puncak (Vpp), perioda, tegangan rata-rata, dan tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan sinus ini v 1
v = sin ωt V
T
00
Vp = 1V ; V pp = 2 V; 2π
4π
ωt
T = 2π ; Vrr = 0 V
-1 Vrms =
1 sin 2 ωtdωt 2π
∫
d sin x cos x = − sin 2 x + cos 2 x dx 1 = sin 2 x + cos 2 x
Vrms = =
1 sin 2 ωtdωt = 2π
∫
d (sin x cos x) = 2 sin 2 x dx dx − d (sin x cos x) ⇒ = sin 2 xdx 2
1−
2π
1 ωt 1 × − sin ωt cos ωt 2π 2 2 0
1 2π 1 1 × − ( 0 − 0) = V 2π 2 2 2
⇒
∫
dx − d (sin x cos x) = sin 2 xdx 2
∫
CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (Vp), tegangan puncak-puncak (Vpp), perioda (T), tegangan rata-rata (Vrr), dan tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut ini v
1
v = sin ωt V
T
Vp = 1V ; Vrr
V pp = 1 V;
ωt
T = 2π ;
1 π 1 1 1 π = sin ωtdωt = × (cos ωt ) 0 = × (−1 + 1) = 2π 0 2π 2π π
∫
Vrms = =
1 π 2 sin ωtdωt = 0 2π
∫
π
1 ωt 1 × − sin ωt cos ωt 2π 2 2 0
1 π 1 1 × − ( 0 − 0) = V 2π 2 2 2
CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (Vp), tegangan puncak-puncak (Vpp), perioda (T), tegangan rata-rata (Vrr), dan tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut ini v 1
v = sin ωt V T =2π
Vp = 1V ; Vrr
V pp = 1 V;
ωt
T = 2π ;
1 2π 1 π 1 1 2 π = sin ωtdωt = sin ωtdωt = × (cos ωt ) 0 = × (−1 + 1) = V 2π 0 π 0 π 2π π
∫
Vrms =
∫
π 1 2π 2 1 π 2 1 ωt 1 sin ωtdωt = 2 × sin ωtdωt = 2 × × − sin ωt cos ωt 2π 0 π 0 π 2 2 0
∫
1 π 1 = 2 × × − ( 0 − 0) = 1 V π 2 2
∫
3. Model Sinyal
Bentuk gelombang sinyal adalah suatu persamaan atau suatu grafik yang menyatakan sinyal sebagai fungsi dari waktu. Ada dua macam bentuk gelombang, yaitu:
Bentuk Gelombang Dasar
Bentuk Gelombang Komposit
Hanya ada 3 macam bentuk gelombang dasar yaitu:
Bentuk gelombang komposit merupakan kombinasi (penjumlahan, pengurangan, perkalian) dari bentuk gelombang dasar.
Anak tangga (step) Eksponensial Sinus
Contoh Bentuk Gelombang Komposit
Tiga Bentuk Gelombang Dasar
v
v
v
1,2
1,2
00
t
t20
0
Anak tangga
00 0
t20
-1,2
-1,2
Sinus teredam
Eksponensial ganda
v
1,2
0 0
20
-1,2
v
v
t
Sinus
0
Deretan pulsa
v
Gelombang persegi
1,2
v
v
0 0
0
Eksponensial
t
t
0
t
20
0
Gigi gergaji
t
0
t
Segi tiga
Bentuk Gelombang Dasar
Fungsi Anak-Tangga ( Fungsi Step ) v
1
0
t VA
v
v = V Au (t ) = 0 untuk t < 0
t
0 VA
v 0
Ts
v = u (t ) = 0 untuk t < 0 = 1 untuk t ≥ 0
= V A untuk t ≥ 0
Amplitudo = 1 Muncul pada t = 0
Amplitudo = VA Muncul pada t = 0
v = V Au (t − Ts ) = 0 untuk t < 0 t
= V A untuk t ≥ Ts Amplitudo = VA Muncul pada t = Ts Atau tergeser positif sebesar Ts
Bentuk Gelombang Eksponensial v VA Amplitudo = VA τ : konstanta waktu
v = [V A e − t / τ ] u (t ) 0.368VA
0
1
2
3
4
5
t /τ
Pada t = τ sinyal sudah menurun sampai 36,8 % VA. Pada t = 5τ sinyal telah menurun sampai 0,00674VA , kurang dari 1% VA. Kita definisikan durasi (lama berlangsungnya) suatu sinyal eksponensial adalah 5τ. Makin besar konstanta waktu, makin lambat sinyal menurun.
Contoh v1 (t ) = 5e −t / 2u (t ) V
10
Konstanta waktu = 2
v [V] 5
v2
v2 (t ) = 10e −t / 2u (t ) V
v3
Konstanta waktu = 2
v1 0
0
5
t [detik]
10
v3 (t ) = 10e −t / 4 u (t ) V Konstanta waktu = 4
Makin besar konstanta waktu, makin lambat gelombang menurun
Gelombang Sinus v T0
VA
VA
0
00
t
- 2
−VA
-2
−V-1,2A
-1,2
( Nilai puncak pertama terjadi pada t = 0 )
Dapat ditulis
v = V A cos[2π t / To − φ] 1 T0
2π dan frekuensi sudut ω 0 = 2 π f 0 = T0
TS
t
v = V A cos[2π(t − Ts ) / To ]
v = VA cos(2π t / To)
Karena frekuensi siklus f 0 =
T0
v 1,2
( Nilai puncak pertama terjadi pada t = TS )
dengan φ = 2 π
maka
Ts (sudut fasa) T0
v = V A cos[ 2 π f 0 t − φ ] atau v = V A cos[ ω 0 t − φ ]
Bentuk Gelombang Komposit
Fungsi Impuls v
Dipandang sebagai terdiri dari dua gelombang anak tangga
0 v
0
A t T1
T2
A
v = Au (t − T1 )
t T1
−A
T2
Muncul pada t = T1
v = − Au (t − T2 ) Muncul pada t = T2
v = Au (t − T1 ) − Au (t − T2 )
Impuls Satuan v Impuls simetris thd sumbu tegak dengan lebar impuls diperkecil namun dipertahankan luas tetap 1
Impuls simetris thd sumbu tegak Luas = 1
0
Lebar impuls terus diperkecil sehingga menjadi impuls satuan dengan definisi:
v δ(t) t 0
t
v = δ( t ) = 0
untuk t ≠ 0
=1
untuk t = 0
Fungsi Ramp v
Amplitudo ramp berubah secara linier Ramp muncul pada t = 0
r(t)
v(t ) = r (t ) = t u (t )
t
0
Kemiringan = 1
Fungsi Ramp Tergeser r r(t) t
ramp berubah secara linier muncul pada t = T0
r (t ) = K (t − T0 ) u (t − T0 )
0 T0 Kemiringan fungsi ramp
Pergeseran sebesar T0
Sinus Teredam
(
)
v = sin(ωt ) V Ae −t / τ u (t ) = VA sinωt e
−t / τ
u (t )
Faktor yang menyebabkan penurunan secara eksponensial
VA
v 0.5
0 0
Fungsi sinus beramplitudo 1 Fungsi eksponensial beramplitudo VA
Maksimum pertama fungsi sinus < VA
-0.5
5
10
15
20 t 25
CONTOH: (bentuk gelombang anak tangga dan kompositnya) v1
a).
v1 = 4 u(t) V
v2
b).
1 2 3 4 5
4V 0
c).
v3 4V 1V 0
0 −3V
t
v3 = 4u(t)−3u(t−2) V
t 1 2 3 4 5
dipandang sebagai tersusun dari dua gelombang anak tangga
t
v2 = −3 u(t−2) V
v3 4V
0
va = 4u(t) V t 1 2 3 4 5 v = −3u(t−2) V b
Dipandang sebagai tersusun dari tiga gelombang anak tangga
d). v4 v = 4u(t)−7u(t−2)+3u(t−5) V 4 4V 0 −3V
t 1 2 3 4 5 6
v4
va = 4u(t) V
4V vc = 3u(t−5) V t 0 1 2 3 4 5 6
−7V
vb = −7u(t−2) V
CONTOH: (fungsi ramp dan kompositnya) a). v1 4V 0
v1 = 2t u(t) V
b).
v2 0
t 1 2 3 4 5 6
t 1 2 3 4 5 6
−4V −2(t−2) u(t−2) V
2tu(t) V
c). v3 4V 0
2tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V
t 1 2 3 4 5 6
Dipandang sebagai tersusun dari dua fungsi ramp
v3 4V 0
t 1 2 3 4 5 6 − 2(t−2) u(t−2) V
CONTOH: (fungsi ramp dan kompositnya) d). v4
v4 4V
4V 0
t 1 2 3 4 5 6
0
2tu(t) V
t 1 2 3 4 5 6 − 2(t−2) u(t−2) V
2tu(t) − 4(t−2)u(t-2) V v5 e). 4V 0
2tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−5)
2tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V
v6 f). 4V
2tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−2)
t 1 2 3 4 5 6
t 1 2 3 4 5 6
CONTOH: sinus teredam 10 10 V5 5
00
v1 v2 t [detik] 0
0
0.1
0.1
0.2 0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
-5-5 -10 -10
sinus v1 = 10 cos(50(t − 0,020) ) u (t ) V − t / 0,1 u (t ) V sinus teredam v2 = 10 cos(50(t − 0,020) ) e
yang dapat diabaikan nilainya pada t > 0,5 detik
Spektrum Sinyal
Suatu sinyal periodik dapat diuraikan atas komponen-komponen penyusunnya. Komponen-komponen penyusun tersebut merupakan sinyal sinus. Kita juga dapat menyatakan sebaliknya, yaitu susunan sinyalsinyal sinus akan membentuk suatu sinyal periodik. Komponen sinus dengan frekuensi paling rendah disebut komponen sinus dasar, sedang komponen sinus dengan frekuensi lebih tinggi disebut komponen-komponen harmonisa. Komponen harmonisa memiliki frekuensi yang merupakan kelipatan bulat dari frekuensi sinus dasar. Jika sinus dasar memiliki frekuensi f0, maka harmonisa ke-3 mempunyai frekuensi 3f0, harmonisa ke-7 memiliki frekuensi 7f0, dst. Berikut ini adalah suatu contoh penjumlahan sinyal sinus yang akhirnya membentuk gelombang persegi.
Contoh : Susunan sinyal sinus yang membentuk Gelombang Persegi
sinus dasar
sin dasar + harmonisa 3 sin dasar + harmonisa 3 + 5
sin dasar + harmonisa 3 + 5 + 7
sin dasar + harmonisa 3 s/d 21
Berikut ini kita akan melihat suatu penjumlahan sinyal sinus yang kemudian kita analisis komponen per komponen.
Sinyal: v = 10 + 30 cos(2πf 0 t ) + 15 sin (2π(2 f 0 )t ) − 7,5 cos(2π(4 f 0 )t ) Uraian:
Frekuensi
0
f0
2 f0
4 f0
Amplitudo (V)
10
30
15
7,5
Sudut fasa
−
0°
−90°
180°
Uraian amplitudo setiap komponen membentuk spektrum amplitudo Uraian sudut fasa setiap komponen membentuk spektrum sudut fasa Kedua spektrum tersebut digambarkan sebagai berikut:
Spektrum Sudut Fasa
40
180
30
90
Sudut Fasa [ o ]
Amplitudo [ V ]
Spektrum Amplitudo
20 10
0 0
1
2
3
4
-90
0 0
1
2
3
4
Frekwensi [ x fo ]
5
-180
Frekwensi [ x fo ]
Dalam spektrum ini, frekuensi sinyal terendah adalah nol, yaitu komponen arus searah Frekuensi komponen sinus terendah adalah f0. Frekuensi komponen sinus tertinggi adalah 4f0.
5
Lebar Pita (band width) Lebar pita adalah selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah Frekuensi tertinggi adalah batas frekuensi dimana amplitudo dari harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi ini dapat diabaikan Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk gelombang yang kita tinjau tidak mengandung komponen searah. Jika mengandung komponen searah maka frekuensi terendah adalah nol
Spektrum sinyal periodik merupakan uraian sinyal menjadi deret Fourier
Deret Fourier Suatu fungsi periodik dapat dinyatakan sebagai:
∑[an cos(2πnf 0t ) + bn sin(2πnf 0t )]
f (t ) = a 0 +
f (t ) = a0 +
atau
Komponen searah
1 a0 = T0
dimana:
2 an = T0 bn =
2 T0
∞
a 2 + b 2 cos(nω t − ϕ ) n 0 n n n =1
∑
Amplitudo komponen sinus T0 / 2
∫−T
0
/2
T0 / 2
∫−T
0
/2
T0 / 2
∫−T
0
/2
bn = tan ϕ n an
Sudut Fasa komponen sinus
f (t )dt f (t ) cos(2πnf 0t )dt f (t ) sin(2πnf 0 t )dt
yang disebut sebagai koefisien Fourier
Jika sinyal simetris terhadap sumbu-y, banyak koefisien Fourier bernilai nol Simetri Genap y (t ) = y (−t ) y(t) A
bn = 0
-T0/2 T0/2
t
y (t ) = a o +
∞
∑ [a n cos(nω0t )] n =1
To
Simetri Ganjil y (t ) = − y (−t ) y(t) A
T0 t
−A
a0 = 0 dan an = 0 y (t ) =
∞
∑ [bn sin(nω0t )]
n =1
Contoh: simetri ganjil - Penyearahan Setengah Gelombang v
a0 = A / π 2A/ π n genap; an = 0 n ganjil 1 − n2 b1 = A / 2 ; bn = 0 n ≠ 1 an =
T0
t
Contoh: simetri genap - Sinyal Segitiga v
a0 = 0
T0
A
8A n ganjil; an = 0 n genap (nπ) 2 bn = 0 untuk semua n an =
t
Contoh: Uraian Penyearahan Setengah Gelombang Koefisien Fourier
Amplitudo
ϕ [rad]
a0
0,318
0,318
a1
0
0,5
1,57
b1
0,5
a2
-0,212
0,212
0
b2
0
a4
-0,042
b4
0
a6
-0,018
b6
0
0,042
0,018
0
Uraian ini dilakukan hanya sampai pada harmonisa ke-6
0
Dan kita mendapatkan spektrum amplitudo sebagai berikut:
A0 = 0,318 V; A1 = 0,5 V; A2 = 0,212 V; A4 = 0,042 V; A6 = 0,018 V
0.6 [V]
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
4
5 6 harmonisa
0.6 [V]
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
4
5 6 harmonisa
Jika dari spektrum yang hanya sampai harmonisa ke-6 ini kita jumlahkan kembali, kita peroleh bentuk gelombang: 1.2 [V] 0.8
v hasil penjumlahan
0.4
Sinus dasar
0 0
90
180
270
[o] 360
Terdapat cacat pada bentuk gelombang hasil penjumlahan
-0.4
Sampai harmonisa ke berapa kita harus menguraikan suatu bentuk gelombang periodik, tergantung seberapa jauh kita dapat menerima adanya cacat yang mungkin terjadi pada penjumlahan kembali spektrum sinyal
4. Model Piranti
Piranti Listrik dikelompokkan ke dalam 2 katagori
Piranti pasif
aktif
menyerap daya
memberi daya
Perilaku suatu piranti dinyatakan oleh karakteristik i-v yang dimilikinya, yaitu hubungan antara arus yang melalui piranti dengan tegangan yang ada di antara terminalnya. tegangan diukur antara dua ujung piranti
i linier
+
piranti arus melewati piranti
−
tidak linier
v
Resistor i batas daerah linier
nyata
model
R v Simbol:
Kurva i terhadap v tidak linier benar namun ada bagian yang sangat mendekati linier, sehingga dapat dianggap linier. Di bagian inilah kita bekerja.
v R = R iR atau iR = G v R 1 R R disebut resistansi dengan G =
G disebut konduktansi
Daya pada R : p R =
vR iR = iR2 R
=
vR2 G
vR2 = R
CONTOH: v R = 40 sin 314t V
Resistor : R = 4 Ω
p R = 400 sin 2 314 t W
i R = 10 sin 314 t A 100 80
V 60 A W 40
pR vR
20
iR
0 -20 -40
0
0.01
0.02
0.03
0.04
t [detik]
-60
Bentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang tegangan
Kapasitor iC C
C simbol
1 dvC/dt t
iC = C
dv C dt
vC = vC (t0 ) +
1 iC dt C
∫
t0
Konstanta proporsionalitas C disebut kapasitansi
Daya pada C : pC = vC iC = CvC
dvC d 1 2 = CvC dt dt 2
Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi. Maka apa yang ada dalam tanda kurung adalah energi
Energi : wC =
1 C vC2 + konstanta 2 Energi awal
CONTOH: Kapasitor : C = 2 µF = 2 ×10 −6 F
dvC = 80000 cos 400t V dt
vC = 200 sin 400t V
iC = 0,16 cos 400 t A pC = 16 sin 800 t W
200
vC
V mA 100 W
iC
0
pC 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t [detik]
-100 -200
Bentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang tegangan namun iC muncul lebih dulu dari vC. Arus 90o mendahului tegangan
Induktor L
diL dt 1/L
simbol
1 vL t
vL = L
diL dt
1 iL = iL (t0 ) + vL dt L
∫
t0
Konstanta proporsionalitas L disebut induktansi
diL d 1 2 Daya pada L : p L = vLiL = LiL = LiL dt dt 2
Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi. Maka apa yang ada dalam tanda kurung adalah energi
Energi : wL =
1 2 Li L + konstanta 2 Energi awal
CONTOH:
Induktor : L = 2,5 H vL = L
vL = 200sin400t Volt
di L 1 → i L = ∫ v L dt = −0,2 cos 400t + iL 0 A dt L
p L = v L i L = −20 sin 800t W
200
V mA W
vL
100
iL pL
0 0 -100
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t
[detik]
-200
Bentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang tegangan namun iL muncul lebih belakang dari vL. Arus 90o di belakang tegangan
Resistansi, kapasitansi, dan induktansi, dalam analisis rangkaian listrik merupakan suatu konstanta proporsionalitas. Secara fisik, mereka merupakan besaran dimensional.
Resistor
Kapasitor
vR = R iR
dv C iC = C dt
Induktor
vL = L
di L dt
konstanta proporsionalitas
Secara Fisik
L R=ρ A resistivitas L: panjang konduktor A: luas penampang
A C =ε d konstanta dielektrik A: luas penampang elektroda d: jarak elektroda
L = kN 2 konstanta N: jumlah lilitan
Induktansi Bersama i1 Dua kumparan terkopel secara magnetik
Induktansi sendiri kumparan-1
v1
L1 = k1 N12
i2 v2
L2 = k 2 N 22
Induktansi sendiri kumparan-2
Terdapat kopling magnetik antar kedua kumparan yang dinyatakan dengan: M Kopling pada M 12 = k12 N1 N 2 M 21 = k 21 N 2 N1 kumparan-1 oleh kumparan-2 Jika medium magnet linier : k12 = k21 = kM
Kopling pada kumparan-2 oleh kumparan-1
M12 = M 21 = kM N1N 2 = M = k L1L2 Persamaan tegangan v1 di kumparan-1
= L1
di1 di ±M 2 dt dt
v 2 = L2
di2 di tegangan ± M 1 Persamaan di kumparan-2 dt dt
Tanda ± tergantung dari apakah fluksi magnet yang ditimbulkan oleh kedua kumparan saling membantu atau saling berlawanan
Kopling magnetik bisa positif (aditif) bisa pula negatif (substraktif) Untuk memperhitungkan kopling magnetik digunakan Konvensi Titik: Arus i yang masuk ke ujung yang bertanda titik di salah satu kumparan, membangkitkan tegangan berpolaritas positif pada ujung kumparan lain yang juga bertanda titik. Besarnya tegangan yang terbangkit adalah M di/dt.
φ1
i1
φ2
i2
φ substraktif
φ aditif i1
φ1 φ 2
i1
i2
i2
v1
v2
i1
i2
v1
v2
v1 = L1
di1 di +M 2 dt dt
v1 = L1
di1 di −M 2 dt dt
v 2 = L2
di2 di +M 1 dt dt
v2 = L2
di2 di −M 1 dt dt
Transformator Ideal i1
i2
v1
v2
Jika kopling magnet terjadi secara sempurna, artinya fluksi magnit melingkupi kedua kumparan tanpa terjadi kebocoran, maka
L1 = k1 N12
L2 = k 2 N 22
M 12 = k12 N1 N 2
M 21 = k 21 N 2 N1
di1 di di di ± M 2 = N1 k M N1 1 ± k M N 2 2 dt dt dt dt di di di di v 2 = L2 2 ± M 1 = ± N 2 ± k M N 2 2 + k M N 1 1 dt dt dt dt v1 = L1
k1 = k2 = k12 = k21 = kM
Jika susut daya adalah nol:
v1 N = ± 1 v2 N2
v1 i1 + v2 i2 = 0
i2 v N =− 1 =m 1 i1 v2 N2
CONTOH: + v1 _
+ v2 50Ω _
N1/N2 = 0,1 v1 = 120sin400t V v2 = ( N 2 / N1 ) v1 = 1200 sin 400 t V i2 = v2 / 50 = 24 sin 400 t A i1 = ( N 2 / N1 ) i2 = 240 sin 400 t A
p L = v2 i2 = 28.8 sin 2 400 t kW.
Saklar i
i simbol
simbol
v
v saklar terbuka i = 0 , v = sembarang
saklar tertutup v = 0 , i = sembarang
Sumber Tegangan Bebas Ideal Sumber tegangan bebas memiliki tegangan yang ditentukan oleh dirinya sendiri, tidak terpengaruh oleh bagian lain dari rangkaian.
v = vs (tertentu) dan
i
i = sesuai kebutuhan
+ Vo Vo
v
Karakteristik i - v sumber tegangan konstan
−
i
Simbol sumber tegangan konstan
vs
+ _
i
Simbol sumber tegangan bervariasi terhadap waktu
Sumber Arus Bebas Ideal Sumber arus bebas memiliki kemampuan memberikan arus yang ditentukan oleh dirinya sendiri, tidak terpengaruh oleh bagian lain dari rangkaian.
i = is (tertentu) dan v = sesuai kebutuhan
i
i
−
Is Is , is v Karakteristik sumber arus ideal
v +
Simbol sumber arus ideal
CONTOH: + −
40V
beban
Sumber Tegangan
5A
beban
Sumber Arus
vbeban = vsumber = 40 V
ibeban = isumber = 5 A
pbeban= 100 W → i = 2,5 A
pbeban= 100 W → v = 20 V
pbeban= 200 W → i = 5 A
pbeban= 200 W → v = 40 A
Tegangan sumber tetap, arus sumber berubah sesuai pembebanan
Arus sumber tetap, tegangan sumber berubah sesuai pembebanan
Sumber Praktis Sumber praktis memiliki karakteristik yang mirip dengan keadaan dalam praktik. Sumber ini digambarkan dengan menggunakan sumber ideal tetapi tegangan ataupun arus sumber tergantung dari besar pembebanan.
i
i vs +_
Rs
+ v −
is
ip − v Rp +
Sumber tegangan praktis terdiri dari sumber ideal vs dan resistansi seri Rs sedangkan tegangan keluarannya adalah v.
Sumber arus praktis terdiri dari sumber ideal is dan resistansi paralel Rp sedangkan tegangan keluarannya adalah v.
vs tertentu, akan tetapi tegangan keluarannya adalah v = vs − iR
is tertentu, akan tetapi arus keluarannya adalah i = is − ip
Sumber Tak-Bebas (Dependent Sources) Sumber tak-bebas memiliki karakteristik yang ditentukan oleh besaran di bagian lain dari rangkaian. Ada empat macam sumber tak-bebas, yaitu:
CCVS
+ _
i1
VCVS r i1
+ v1 _
+ _
µ v1
Sumber tegangan dikendalikan oleh arus
Sumber tegangan dikendalikan oleh tegangan
CCCS
VCCS i1
β i1
Sumber arus dikendalikan oleh arus
+ v1 _
g v1
Sumber arus dikendalikan oleh tegangan
Contoh: Rangkaian dengan sumber tak bebas tanpa umpan balik io
is
vs = 24 V
+ −
60 Ω
is = 0 ,4 A
+ −
500 is
+ vo −
v o = 500 i s = 200 V
po
(vo ) 2 = = 2000 W 20
20 Ω
Sumber tak bebas digunakan untuk memodelkan Penguat Operasional (OP AMP) +VCC vo 8
+VCC : catu daya positif −VCC : catu daya negatif
7
Top 1
6
5
vP = tegangan masukan non-inversi; vN = tegangan masukan inversi; vo = tegangan keluaran;
− +
2
3
4
vN vP −VCC
Model Sumber Tak Bebas OP AMP Diagram rangkaian + iP
Ro
vP + Ri vN + iN
−
+ −
masukan non-inversi
io
µ (vP − vN )
catu daya positif +
+ vo
−
keluaran
masukan inversi catu daya negatif
OP AMP Ideal Suatu OPAMP ideal digambarkan dengan diagram rangkaian yang disederhanakan: masukan non-inversi masukan inversi
v p ip
+ −
vn
vo
keluaran
in
Jika OpAmp dianggap ideal maka terdapat relasi yang mudah pada sisi masukan
vP = vN iP = iN = 0
Contoh: Rangkaian Penyangga (buffer) iP vP vs
+ −
vN
+ −
io
vo
R iN
v P = vs
v N = vo
vP = v N
vo = vs
Contoh: Rangkaian Penguat Non-Inversi iP vP vN vs
+ −
+ − iN umpan balik
vo
v P = vs
R1
vN =
R2
R2 vo R1 + R2
vP = vN ⇒
R2 vo = v s R1 + R 2
R1 + R 2 vo = vs R2
CONTOH: vB = ?
2kΩ + −
5V +−
iB = ?
pB = ?
vo iB 2kΩ + vB 1kΩ −
vN = iB =
v p = vN
RB =1kΩ iP = iN
5 − vN =0= → vN = 5 V 2000
1 1 v o ⇒ v o = 5 V → v o = 15 V 1+ 2 3 vo RB
p B = v B i B = v o i B = i B2 R B
Rangkaian dengan OP AMP yang lain akan kita pelajari dalam pembahasan tentang rangkaian pemroses sinyal
Bahan Kuliah Terbuka Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu #1
Sudaryatno Sudirham
