Sudaryatno Sudirham
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik
ii
Darpublic
BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan
y = f (x)
(1.1)
Perhatikan bahwa penulisan y = f (x) bukanlah berarti y sama dengan f kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai. y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-takbebas (y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai yang dimiliki x. Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis
LT = L0 (1 + λT ) dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi. Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturnya. Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.
1-1
1.2. Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut: a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai a<x
b
a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. b). rentang nilai a≤x
b
Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka. c). rentang nilai a≤x≤b Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan a
b
1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri Kurva. Fungsi y = f (x) dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi 0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat 1-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik
menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata. y 3 Q[-2,2]
2 II
P[2,1]
1
I
0 -4
-3
-2
0
-1 III -1 -2
R[-3,-3]
1 IV
2
3 x 4
S[3,-2]
-3
-4 Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku. Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilainya adalah 3,141592654. Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x, memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewati titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titikasal dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga satuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala. Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y, selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1.
1-3
Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai K[xk,yk], dengan xk dan yk berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan S[3,-2]. Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan satu titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan pernyataan fungsi yang divisualisasikannya. Contoh: sebuah fungsi y = 0,5 x
(1.2)
Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1. Tabel-1.1. x y
-1 -0,5
0 0
1 0,5
2 1
3 1,5
4 2
dst. dst.
Fungsi y = 0,5 x yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal [0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah y = 0,5 x . 2,5
y
2
R
1,5
∆y
Q
1
∆x
0,5
P
0 -0,5 0
1
2
3
-1
Gb.1.2. Kurva dari fungsi y = 0,5 x
1-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik
x
4
Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y. Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi y = 0,5 x membentuk kurva dengan persamaan y = 0,5 x di bidang x-y. Dalam contoh ini titiktitik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0,5], Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.
Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan sebagai berikut: Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( x) = f (c) yang kita baca limit f(x) x →c
untuk x menuju c sama dengan f(c).
Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya; lim f ( x) tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan x→c
kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x = 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0 (lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai
y = u ( x),
y = 1 untuk x ≥ 0 y = 0 untuk x < 0
1-5
yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perhatikan Gb.1.3. y
1
y = 1/x -10
-5
0
0
5
x 10
y = 1/x -1
Tak terdefinikan di x = 0. y = u(x)
y 1 0 0
x
Terdefinisikan di x = 0
Gb.1.3. Fungsi y = 1 / x dan y =u(x)
Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a)
jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c)
jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini. Kurva y = 0,3x2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x = 2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap. Kurva y = 0,05x3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x 1-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik
berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti – x dan y diganti – y. Kurva x 2 + y 2 = 9 simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV. 6
y = 0,3x
y
tidak berubah bila x diganti −x
2
3
tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y
0 -6
0
-3
-3
y = 0,05x3
-6
3
x
6
y2 + x 2 = 9 tidak berubah jika x diganti −x x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan y diganti dengan −y
Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.
1.4. Bentuk Implisit Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti y = f ( x) . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit.
x2 + y2 = 1 xy = 1
(1.3)
y2 = x x 2 + xy + y 2 = 8
1-7
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat
x 2 + xy + y 2 = 8 ⇒ y 2 + xy + ( x 2 − 8) = 0 yang akar-akarnya adalah
y1 , y 2 =
− x ± x 2 − 4( x 2 − 8) 2
Nilai y1 dan y2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai
y=
−x ± 2
x 2 − 4( x 2 − 8)
(1.4)
2
yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit ini terlihat pada Gb.1.5. y8
y = f (x ) . Kurva fungsi
4 0 -4
0
-2
2
-4
x
4
-8
Gb.1.5. Kurva
x 2 − 4( x 2 − 8) −x y= ± 2 2
1-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik
1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal. 1). y = 0,5 x 2 . Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0. 8
y
6 4 2 0 -1
0
1
2
3
Gb.1.6. Kurva y = 0,5 x
x 4
2
2). y = + x . Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7. y1,6 1,2 0,8 0,4 0 0
0,5
1
1,5
x 2
Gb.1.7. Kurva y = + x
1-9
3). y = − x . Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva
y = + x . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai baik positif maupun negatif. 0 0,5
0 -0,4
1
1,5
x 2
-0,8 -1,2
y -1,6
Gb.1.8. Kurva y = − x 4). y = log10 x . Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat kembali tentang logaritma. log10 adalah logaritma dengan basis 10; log10a berarti berapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi
y = log10 x berarti 10 y = x
y1 = log10 1 = 0 ; y 2 = log10 1000 = 3 ; y 3 = log10 2 = 0,30103 ;
...dst.
Kurva fungsi y = log10 x terlihat pada Gb.1.9. y 0,8 0,4 0
0
1
2
3
-0,4 -0,8
Gb.1.9. Kurva y = log10 x 1-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik
x 4
5). y = x =
x2 .
Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif. 2
Perhatikanlah bahwa x tidak hanya sama dengan x, melainkan ± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10. y 4 3 2 1 -4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3 x4
Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x2
Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak. 1). Fungsi y = ± x . Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya
x bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal . y 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0 -1 -1,5 -2
0,5
1
1,5
2
2,5
x
3
Gb.1.11. Kurva y = ± x
1-11
2). Fungsi y 2 =
1. x
Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12. 10
y 5 0 0
1
2
x
3
-5 -10
Gb.1.12. Kurva y 2 = 1 / x ⇒ y = ± 1 / x
1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakan sebagai
y = f ( x, t )
(1.5)
Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi (x) dan waktu (t). Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak sebagai
w = f ( x, y , z , u , v )
(1.6)
untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y, z,u,dan v. Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak, misalnya
1-12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik
ρ2 = x 2 + y 2 + z 2
(1.7)
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif dari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai
ρ = + x2 + y2 + z2
(1.8)
1.7. Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar dinyatakan sebagai P(r,θ). Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah
y = r sin θ ; x = r cos θ ; r = x2 + y2 θ = tan −1 ( y / x) Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13. y
rcosθ
P
r rsinθ θ x
Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.
1-13
1.8. Fungsi Parametrik Dalam koordinat sudut-siku fungsi y = f (x) mungkin juga dituliskan sebagai
y = y (t ) x = x(t )
(1.10)
jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.
1.9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan Dalam buku ini kita hanya akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banyak peubah bebas dibahas di buku lain. Kita juga membatasi diri hanya pada bilangan nyata. Bilangan kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks belum dicakup.
1-14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik
1-15
