Sudaryatno Sudirham
Studi Mandiri
Diferensiasi
ii
Darpublic
BAB 2 Turunan Fungsi-Fungsi (2) (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit) 2.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi x, v(x) dan w(x) , dan kita hendak mencari turunan terhadap x dari fungsi y = vw . Misalkan nilai x berubah sebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v berubah sebesar ∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikian rupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan y = vw tetap berlaku, yaitu
( y + ∆y ) = (v + ∆v)( w + ∆w) = (vw + v∆w + w∆v + ∆w∆v)
(2.1)
Dari sini kita dapatkan
∆y ( y + ∆y ) − y ( wv + v∆w + w∆v + ∆w∆v) − vw = = ∆x ∆x ∆x ∆w ∆v ∆v∆w =v +w + ∆x ∆x ∆x
(2.2)
Jika ∆x mendekati nol maka demikian pula ∆v dan ∆w, sehingga ∆v∆w ∆x juga mendekati nol. Persamaan (2.2) akan memberikan dy d (vw) dw dv = =v +w dx dx dx dx
(2.3)
Inilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari dua fungsi. Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsi mononom y = 6x 5 yang kita tahu turunannya adalah y ′ = 30x 4 . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian dua fungsi y = vw dengan v = 2x 3 dan w = 3x 2 . Menurut (2.3) turunan dari y menjadi 2-1
y′ =
d (2 x 3 × 3x 2 ) = 2 x 3 × 6 x + 3x 2 × 6 x 2 = 12 x 4 + 18x 4 = 30 x 4 dx
Ternyata sesuai dengan apa yang diharapkan. Bagaimanakah d (uvw) jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kita dx aplikasikan (2.3) secara bertahap seperti berikut. d (uvw) d (uv)( w) dw d (uv) = = (uv) +w dx dx dx dx dw dv du = (uv) + wu +v dx dx dx dw dv du = (uv) + (uw) + (vw) dx dx dx
(2.4)
Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi penguji sebelumnya, yaitu y = 6x 5 yang kita tahu turunannya adalah
y ′ = 30x 4 . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian tiga fungsi y = uvw dengan u = 2 x , v = 3x 2 , dan w = x . Menurut (2.9) turunan dari y adalah
dy d (uvw) = = (2 x 2 × 3x 2 )(1) + (2 x 2 × x)(6 x) dx dx + (3x 2 × x)(4 x) = 6 x 4 + 12 x 4 + 12 x 4 = 30 x 4 Ternyata sesuai dengan yang kita harapkan. 2.2. Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan dy jika y = vn dengan dx v adalah fungsi x, dan n adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi
y1 = v 6 = v 3 × v 2 × v dengan v merupakan fungsi x. aplikasikan formulasi (2.4) akan kita dapatkan
2-2 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
Jika kita
dy1 dv dv 2 dv 3 = (v 3 v 2 ) + (v 3 v ) + (v 2 v ) dx dx dx dx dv dv dv dv 2 dv = v5 + v4 v + v + v3v2 +v dx dx dx dx dx dv dv dv dv dv = v5 + 2v 5 + v5 + v4v +v dx dx dx dx dx dv = 6v 5 dx
Contoh ini memperlihatkan bahwa
dv 6 dv 6 dv dv = = 6v 5 dx dv dx dx yang secara umum dapat kita tulis
dv n dv = nv n −1 dx dx
(2.5)
Contoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara perkalian dan pangkat dua fungsi.
y = ( x 2 + 1) 3 ( x 3 − 1) 2 Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi.
dy d ( x 3 − 1) 2 d ( x 2 + 1) 3 = ( x 2 + 1) 3 + ( x 3 − 1) 2 dx dx dx = ( x 2 + 1) 3 2( x 3 − 1)(3 x 2 ) + ( x 3 − 1) 2 3( x 2 + 1) 2 2 x = 6 x 2 ( x 2 + 1) 3 ( x 3 − 1) + 6 x( x 3 − 1) 2 ( x 2 + 1) 2 = 6 x( x 3 − 1)( x 2 + 1) 2 (2 x 3 + x − 1)
2-3
2.3. Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi v y= w
(2.6)
Tinjauan atas fungsi demikian ini hanya terbatas pada keadaan w ≠ 0 . Kita coba memandang fungsi ini sebagai perkalian dari dua fungsi:
y = vw −1
(2.7)
Kalau kita aplikasikan (2.3) pada (2.7) kita peroleh
dy d v d (vw −1 ) dw −1 dv = =v + w −1 = dx dx w dx dx dx dv dv − v dv 1 dv = −vw −2 + w −1 = + dx dx w 2 dx w dx =
dw 1 dv −v w 2 dx dx w
dw dv −v w d v dx dx = dx w w2
atau
(2.8)
Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasanya merupakan polinom dengan v mempunyai orde lebih rendah dari w. (Pangkat tertinggi peubah x dari v lebih kecil dari pangkat tertinggi peubah x dari w). Contoh: 2 1). y = x − 3 x3
dy x 3 (2 x) − ( x 2 − 3)(3x 2 ) = dx x6 =
2 x 4 − (3 x 4 − 9 x 2 ) x6
2). y = x 2 + 1 x2 2-4 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
=
− x2 + 9 x4
2 dy x 2 × 0 − 1× 2x = 2x + = 2x − 4 dx x3 2 3). y = x + 1 ; dengan x 2 ≠ 1 (agar penyebut tidak nol) x2 −1
dy ( x 2 − 1)2 x − ( x 2 + 1)2 x = dx ( x 2 − 1) 2 =
2x 3 − 2x − 2x 3 − 2x 2
( x − 1)
2
=
− 4x 2
( x − 1) 2
2.4. Fungsi Implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh. Contoh: 1).
x 2 + xy + y 2 = 8 . Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh dy dx dy +y + 2y =0 dx dx dx dy ( x + 2 y) = −2 x − y dx 2x + x
Untuk titik-titik di mana ( x + 2 y ) ≠ 0 kita peroleh turunan
dy 2x + y =− dx x + 2y Untuk suatu titik tertentu, misalnya [1,2], maka
2-5
dy 2+2 =− = −0,8 . dx 1+ 4 Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi y bentuk implisit yang sedang kita hadapi. 2). x 4 + 4 xy 3 − 3 y 4 = 4 . Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh d (4 x) d (3 y 4 ) dy 3 + y3 − =0 dx dx dx dy dy 4 x 3 + 4 x(3 y 2 ) + 4 y 3 − 12 y 3 =0 dx dx dy = −4( x3 + y 3 ) (12 xy 2 − 12 y 3 ) dx 4x 3 + 4x
Di semua titik di mana ( xy 2 − y 3 ) ≠ 0 kita dapat memperoleh turunan dy − ( x3 + y3 ) = dx 3( xy 2 − y3 )
2.5. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat Pada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangkat dari suatu fungsi lain, y = vn , kita syaratkan bahwa n adalah bilangan bulat. Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan sebuah rasio p dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0, serta v adalah n= q fungsi yang bisa diturunkan.
y = v p/q
(2.9)
Fungsi (2.9) dapat kita tuliskan
yq = v p
(2.10)
yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasi terhadap x di kedua ruas (2.10) kita peroleh
dy dv = pv p −1 dx dx 2-6 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi qy q −1
Jika y ≠ 0, kita dapatkan
dy d (v p / q ) pv p −1 dv = = dx dx qy q −1 dx
(2.11)
Akan tetapi dari (2.9) kita lihat bahwa
(
y q −1 = v p / q
)
q −1
= v p −( p / q )
sehingga (2.11) menjadi
dy d (v p / q ) pv p −1 dv = = dx dx qv p −( p / q ) dx p dv = v ( p −1) − p +( p / q) q dx p dv = v ( p / q )−1 q dx
(2.12)
Formulasi (2.12) ini mirip dengan (2.5), hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1. 2.6. Kaidah Rantai Apabila kita mempunyai persamaan x = f (t )
dan
y = f (t )
(2.13)
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk
y = F (x)
(2.14)
Bagaimanakah dy = F ′(x) dari (2.14) ber-relasi dengan dx dy dx = g ′(t ) dan = f ′(t ) ? dt dt Pertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini.
2-7
y = F (x) dapat diturunkan terhadap x dan x = f (t ) dapat diturunkan terhadap t, maka y = F ( f (t ) ) = g (t ) dapat diturunkan terhadap t menjadi dy dy dx = dt dx dt Jika
(2.15)
Relasi ini sudah kita kenal.
2.7. Diferensial dx dan dy Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai
m=
∆y ( y 2 − y1 ) = ∆x ( x 2 − x1 )
kita lihat kasus jika ∆x mendekati nol namun tidak sama dengan nol. Limit ini kita gunakan untuk menyatakan turunan fungsi y(x) terhadap x pada formulasi
dy ∆y = lim = f ′( x) dx ∆x→0 ∆x Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: y = F (x)
(2.16)
Kita ambil definisi sebagai berikut 1.
dx, kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan nyata berapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lain selain x;
2.
dy, kita sebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan
dy = F ' ( x )dx Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai 2-8 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
(2.17)
dy = f ′( x) . dx Perhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkan turunan fungsi y terhadap x. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang relasi ini sebagai suatu rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akan memperoleh relasi (2.17), namun sesungguhnya (2.17) didefinisikan dan bukan berasal dari relasi ini. Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilihat secara geometris seperti terlihat pada Gb.2.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akan berubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”. y y dy dx P P dx dy θ θ x x y
y dy
dx P
P dx
dy θ x
θ x
Gb.2.1. Penjelasan geometris tentang diferensial. dy = tan θ ; dy = (tan θ)dx dx 1. 2.
dy adalah laju perubahan y terhadap perubahan x. dx dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx skala. 2-9
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-2.1. Dalam tabel ini v adalah fungsi x. Tabel-2.1 Turunan Fungsi
Diferensial
1.
dc = 0 ; c = konstan dx
1. dc = 0 ; c = konstan
2.
dcv dv =c dx dx
2. dcv = cdv
3.
d (v + w) dv dw = + dx dx dx
3. d (v + w) = dv + dw
4.
dvw dw dv =v +w dx dx dx
4. d (vw) = vdw + wdv
v d w dv − v dw w dx = dx 5. 2 dx w
v wdv − vdw 5. d = w w2
6.
dv n dv = nv n−1 dx dx
6. dv n = nv n −1 dv
7.
dcx n = cnx n−1 dx
7. d (cx n ) = cnx n−1dx
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1.
Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-2.1), kemudian dikalikan dengan dx.
2.
Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan Tabel-2.1)
Kita ambil suatu contoh: cari dy dari fungsi
y = x 3 − 3x 2 + 5x − 6 2-10 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
Turunan y adalah :
y ′ = 3x 2 − 6 x + 5
sehingga
dy = (3 x 2 − 6 x + 5)dx
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas: dy = d ( x 3 ) + d (−3x 2 ) + d (5 x) + d (−6) = 3x 2 dx − 6 xdx + 5dx = (3x 2 − 6 x + 5)dx
2-11
Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. y = ( x − 1) 3 ( x + 3) 2 ; y = ( x 3 − 2 x) 4 ; y = ( x + 2) 2 ( x 2 + 1) − 3
y=
2x + 1 x2 − 1
; 2
x + 1 y= ; x − 1 2x y= 3x 2 + 1
2 xy + y 2 = x + y; x2 y2 = x2 + y2; x3 + y3 = 1 ; x−y =2 x − 2y
2-12 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
2-13
