Sudaryatno Sudirham
Studi Mandiri
Diferensiasi
ii
Darpublic
BAB 3 Turunan Fungsi-Fungsi (3) (Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial) 3.1. Turunan Fungsi Trigonometri Jika y = sin x maka
dy d sin x sin( x + ∆x) − sin x = = dx dx ∆x sin x cos ∆x + cos x sin ∆x − sin x = ∆x Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu d sin x (3.1) = cos x dx Jika y = cos x maka
dy d cos x cos( x + ∆x) − cos x cos x cos ∆x − sin x sin ∆x − cos x = = = ∆x dx dx ∆x Jik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu d cos x (3.2) = − sin x dx Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
d tan x d sin x cos 2 x − sin x(− sin x) 1 = = sec2 x = = 2 dx dx cos x cos x cos 2 x d cot x d cos x − sin 2 x − cos x(cos x ) −1 = = − csc2 x = = 2 2 dx dx sin x sin x sin x
sin x d sec x d 1 0 − (− sin x) = = = sec x tan x = 2 dx dx cos x cos x cos 2 x d csc x d 1 0 − (cos x) − cos x = = = − csc x cot x = dx dx sin x sin 2 x sin 2 x 3-1
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
y = tan(4 x 2 ) ;
y = 5 sin 2 (3x) ; y = 3 cos 2 x
y = cot(3 x + 6) ; y = sec 4 x − tan 4 x ;
y = sin 3 (2 x) − cos(2 x) y = (csc x + cot x) 2
Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4). 1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Kita akan melihat bentuk arus yang mengalir pada kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10-6 farad ini. Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
iC = C
dvC dt
Arus yang melalui kapasitor adalah
iC = C
dvC d = 2 × 106 × (200 sin 400t ) = 0,160 cos 400t ampere dt dt
Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap kapasitor adalah pC = vC iC = 200 sin 400t × 0,16 cos 400t = 32 cos 400t sin 400t = 16 sin 800t watt Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini. 200
vC iC 100 pC
vC iC
pC
0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t [detik]
-100 -200
Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan
3-2 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor besarnya adalah 90o; jadi arus mendahului tegangan dengan beda fasa sebesar 90o. Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini disebut daya reaktif. 2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus terhadap waktu sebagai iL = −0,2cos400t ampere. Berapakah tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ? Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah di vL = L L dt vL = L
diL d = 2,5 × (− 0,2 cos 400t ) = 2,5 × 0,2 × sin 400t × 400 = 200 sin 400t dt dt
Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.
pL = v LiL = 200 sin 400t × (−0.2 cos 400t ) = −40 sin 400t cos 400t = −20 sin 800t W Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut. vL 200 iL pL 100
vL
iL pL
0 0 -100
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t[detik]
-200
Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90o, artinya arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90o. Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu, yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif. 3-3
3.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi 1) y = sin −1 x
x = sin y ⇒ dx = cos ydy ⇒
1
x
y
1− x
dy 1 = dx cos y
dy 1 = dx 1 − x2
2
2) y = cos −1 x
x = cos y ⇒ dx = − sin ydy ⇒ 1
1 − x2
y x
dy −1 = dx sin y dy −1 = dx 1 − x2
3) y = tan −1 x x = tan y ⇒ dx =
1+ x
2
y 1
x
dy ⇒
dy = cos 2 y dx
x = cot y ⇒ dx = y x
cos 2 y
dy 1 = dx 1 + x 2
4) y = cot −1 x
1+ x2
1
1
dy = − sin 2 y dx dy −1 = dx 1 + x 2
3-4 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
−1 sin 2 y
dy ⇒
5) y = sec −1 x
⇒ x = sec y =
x
x
y 1
6) y = csc −1 x x
x2 − 1
−1
dy cos 2 y x 1 = = × 2 2 dx sin y x x −1 1 = x x2 − 1
x = csc y =
1
y
2
1 0 − (− sin x) ⇒ dx = dy cos y cos 2 y
1 0 − (cos x) ⇒ dx = dy sin y sin 2 y
dy sin 2 y 1 = =− × dx − cos y x2 =
x x2 − 1
−1 x x2 − 1
Soal-Soal 1). Jika α = sin −1 (0.5) carilah cos α , tan α , sec α , dan csc α . 2). Jika α = cos −1 (−0.5) carilah sin α , tan α , sec α , dan csc α . 3). Hitunglah sin −1 (1) − sin −1 (−1) . 4). Hitunglah tan −1 (1) − tan −1 (−1) . 5). Hitunglah sec −1 (2) − sec −1 (−2) .
3.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v = f(x), maka
d (sin v) d (sin v) dv dv = = cos v dx dv dx dx d (cos v) d (cos v) dv dv = = − sin v dx dv dx dx 3-5
d (tan v) d sin v cos2 x + sin 2 x dv dv = sec 2 v = = 2 dx dx cos v dx dx cos x d (cot v) d cos v 2 dv . (Buktikan!). = = − csc v dx dx sin v dx d (sec v) d 1 0 + sin v dv dv = = sec v tan v = 2 dx dx cos v cos v dx dx d (csc v) d 1 dv . (Buktikan!). = = − csc v cot v dx dx sin v dx Jika w = f(x), maka
1 d (sin −1 w) dw . (Buktikan!). = dx 1 − w2 dx d (cos −1 w) 1 dw . (Buktikan!). =− 2 dx dx 1− w 1 dw . (Buktikan!). d (tan −1 w) = dx 1 + w2 dx d (cot −1 w) 1 dw . (Buktikan!). =− dx 1 + w2 dx
d (sec−1 w) 1 dw . (Buktikan!). = dx w w2 − 1 dx d (csc−1 w) 1 dw . (Buktikan!). =− 2 dx w w − 1 dx Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
y = sin −1 (0,5 x) ; 1 x y = tan −1 ; 3 3
y = cos −1(2 x) y = sec−1 4 x
3-6 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
3.4. Turunan Fungsi Logaritmik Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah mengetahui bahwa fungsi f ( x) = ln x didefinisikan melalui suatu integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1) x1 f ( x) = ln x = dt ( x > 0) 1 t
∫
y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.3.1. 6 5 4 y
1/t
lnx
3
ln(x+∆x)−lnx
2 1 0 0
1
2
x
3x
t 4
x+∆x 1/(x+∆x) 1/x Gb.3.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis. Kita lihat pula
ln( x + ∆x) − ln( x) 1 = ∆x ∆x
x + ∆x 1
(3.3) dt t Apa yang berada dalam tanda kurung (3.3) adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika ∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x); dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Pada keadaan batas ini (3.3) akan bernilai (1/x). Jadi d ln x 1 = dx x
∫x
(3.4)
3-7
Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: v = 3x 2 + 4
1 6x d ln v d ln v dv d (3 x 2 + 4) = = = dx dv dx 3x 2 + 4 dx 3x 2 + 4 Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. x y = ln( x 2 + 2 x) ; y = ln ; y = ln(cos x) ; y = ln(ln x) 2 + 2x 3.5. Turunan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial berbentuk
y = ex
(3.5)
Persamaan (3.5) berarti ln y = x ln e = x , dan jika kita lakukan penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkan
d ln y 1 dy = = 1 atau dx y dx
dy = y = ex dx
(3.6)
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunanturunan dari y = e x adalah
y′ = e x y′′ = e x y′′′ = e x dst. Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu fungsi, v = v(x ) . dev de v dv dv = = ev dx dv dx dx
(3.7)
−1 Kita ambil contoh: y = e tan x
−1
−1 dy d tan −1 x e tan x = e tan x = dx dx 1 + x2
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. y = x 2e x ; y =
e x − e−x 2
; y=
e x − e− x x
e +e
3-8 Sudaryatno Sudirham, Diferensiasi
−x
;
y = esin
−1
x
;
y = e1 / x
3-9
