MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER )
KELOMPOK 2 1. UMAR ATTAMIMI (01212043) 2. SITI WASI’ATUL MUFIDA (01212096) 3. DEVI PRATNYA. P. (01212078) 4. POPPY MERLIANA WATI (01112042) 5. GEORGE WASONO (01112061)
UNIVERSITAS NAROTAMA SURABAYA 2012
A. Pendahuluan Fungsi adalah nilai yang menghubungkan variabel bebas dengan variabel terikat. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel adalah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas davariabel terikat. (Variabel bebas : variabel bebas untuk menentukan suatu nilai variabel terikat (y) dan Variabel terikat :variabel yang nilainya tergantung pada variabel-variabel bebas (x) ) Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait d suatu variabel apapun. B. Fungsi Linier Fungsi linier ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan linier adalah : Y = a + bX a = intercept b =gradien / kemiringan intecept a merupakan titik potong antara fungsi linier dengan sumbu y. Gradien b merupakan kemiringan fungsi linier terhadap sumbu x. C. Penggambaran Fungsi Linear
4 macam kemiringan garis lurus
1
Apabila b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas
Kemiringan positif terjadi penurunan satu unit variabel x akan meningkatkan 2 unit variabel y sesuai dengan persamaan diatas. Contoh: penjualan sepatu dalam variabel promosi yang menurunkan harga dengan sistem diskon akan meningkatkan permintaan konsumen dan nilai penjualan. Apabila b bernilai negatif : Y = 10 - 2X maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah
Kemiringan negatif terjadi setiap kenaikan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y sesuai dengan persamaa diatas. Contoh: Perbandingan penjualan jam tangan rolex dengan harga 67.000.000 maka akan terjual 4 unit, dibandingkan dengan jam tangan seiko yang harganya relative lebih terjangkau dibawah rolex misalnya dengan harga 3.000.000 maka permintaan relative lebih banyak daripada rolex, jadi jika ada diskon jam rolex misalnya 20% dari harga semula tidak akan berdampak drastis pada permintaan rolex.
2
Kemiringan garisnya nol, karena x bertambah, y tetap konstan. misalnya gaji pegawai, jika tugas bertambah banyak namun jika jabatannya tetap maka gajinya tetap. Kemiringan garis tak tentu, karena x konstan, Y tak tentu misalnya harga beras naik rata-rata permintaan akan tetap karena kebutuhan pokok. D. Intercept dan Slope Garis Lurus Kemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m, jadi Kemiringan = m =
E. Menentukan Persamaan Garis 1.
Metode Dua Titik
Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2),maka rumus persamaan liniernya adalah:
3
Contoh persamaan garis yang melalui titik (3,2) dan (4,6) Penyelesaian: X1 = 3 , X2 = 4, Y1 = 2, dan Y2 = 6
Y – 2 = 4(X – 3) Y = 4X – 12 + 2 Y = 4X – 10 x = 0 y = -10 ( 0, -10 ) y = 0 x = -2,5 ( 2,5; 0 ) 2.
Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan
Untuk menentukan persamaan garis lurus bila diketahui satu titik dan satu kemiringan. Persamaan garis dapat dicari dengan Y – Y1 = m (X – X1), dengan m menyatakan kemiringan garis. Contoh carilah persamaan garis yang melalui titik (6,4) dan kemiringannya 2/3 Penyelesaian: (x,y) = (6,4) dan m = – 2/3 y - y1 = m (x – x1) y - 4 = -2/3 (x - 6) y = -2/3 x + 4 + 4 y = -2/3 X + 8 x = 0 y = 8 ( 0, 8 ) y = 0 x = 12 (12, 0)
4
F. Hubungan Dua Garis Lurus Apabila dua garis yang mpunyai kemiringan yang berbeda atau sama dan juga titik potong dengan sumbu Y berbeda atau sama, maka bila digambarkan dalam koordinat kartesius XY akan terdapat empat kemungkinan : Berimpit Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. Dengan demikian , garis berimpit dengan garis
akan
, jika
Sejajar Dua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng / gradien dari garis yang lain. Dengan demikian, garis akan sejajar dengan garis
jika
Tegak lurus Dua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis dengan garis
akan tegak lurus
, jika jika
5
Berpotongan Dua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian, garis berpotongan dengan garis
, jika
Contoh persamaan X+ 2Y- 3=0 dan 3X -6Y + 18 =0 X + 2Y – 3 = 0 X=0 2Y = 3 Y = 3/2 =1.5 Y=0 X = 3
( 3; 1,5)
3X – 6Y + 18 = 0 X=0 -6Y + 18=0 Y=3 Y=0 3X + 18 = 0 3X = -18 X = -18/3 X = -6
( -6, 3 )
SISTEM PERSAMAAN LINIER Sistem Persamaan Linier adalah suatu sistem persamaan linier adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum sistem persamaan linier yaitu :
6
a11 x1 a1n x n b1 a 21 x1 a 2 n x n b2 . . . . . . . . . . . a m1 x1 a mn x n bm Keterangan : Unsur
x1......xn
adalah nilai yang tidak diketahui, Sedangkan unsur
adalah bilangan yang diketahui dan
a11.......a1n
b1 adalah bilangan yang tidak bernilai nol atau
bisa juga bernilai nol. Sistem Persamaan Linier ada dua yaitu : 1.
Sistem Persamaan Linier Satu Variable Persamaan linier satu variable dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax+b = c dengan a, b dan c adalah kostanta, a ≠ 0, dan x variable pada suatu himpunan. Contoh : 1.
2x + 5 = 3
2.
1 – 2y = 6
3.
Z + 1 = 2z
Variabel pada persamaan (1) adalah x, pada persamaan (2) adalah y, dan pada persamaan (3) adalah z. Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear satu variabel, karena masing-masing persamaan memiliki satu variabel dan berpangkat satu. Variabel x, y, dan z adalah variabel pada himpunan tertentu yang ditentukan dari masing-masing persamaan tersebut. 2.
Sistem Persamaan Linier Dua Variable Persamaan linier dua variable dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c adalah himpunan bilangan real, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variable. Contoh: 1.
x+5=y
2.
2a – b= 1
3.
3p + 9q = 4
7
Persamaan-persamaan tersebut adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel. Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada persamaan 2a – b = 1 adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3p + 9q = 4 adalah p dan q. Contoh soal penyelesaian persamaan linier dua variable: Misal : x + y = 5 Untuk mencari nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 5 akan lebih mudah dengan membuat tabel seperti berikut : x
0
1
2
3
4
5
y
5
4
3
2
1
0
x, y
(0,5)
(1,4)
(2,3)
(3,2)
(4,1)
(5,0)
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan x + y = 5 adalah {(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)}. Gambar grafik persamaan tersebut dapat dilihat sebagai berikut:
Dari gambar grafik diatas dapat dilihat bahwa titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk garis lurus. Sistem persamaan linier dua variable dapat diselesaikan dengan menggunakan tiga metode yaitu:
8
1. Metode Eliminasi yaitu dengan menghilangkan salah satu variable dari sistem persamaan tersebut. Misal dengan persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 Dengan penyelesaian : 2x + 3y = 6 2x + 3y = 6 x – y = 3 3x – 3 y = 9 + 5x = 15 x=3 2. Metode Subtitusi yaitu dengan terlebih dahulu menatakan variable yang satu ke dalam variable yang lain dari suatu persamaan, kemudian menggantikan variable itu dalam persamaan lainnya. Dari persamaan sebelumnya 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 dengan x = 3 dapat ditemukan y. Misal mengambil salah satu persamaan yaitu x - y = 3 3-y=3 y=0 Contoh penerapan SPL dua variable dalam kehidupan sehari-hari Misal : Poppy membeli 2kg mangga dan 1kg apel, ia harus membayar Rp 15.000,00. adapun iyos membeli 1kg mangga dan 2kg apel dengan harga Rp 18.000,00. Penyelesaian : Misal x = harga 1kg mangga dan y = harga 1kg apel, maka ilustrasi diatas dapat ditulis: Diperoleh persamaan : 2x + y = 15.000 x + 2y = 18.000 Kedua persamaan tersebut dikatakan membentuk sistem persamaan linier dua variable 2x + y = 15.000 x + 2y = 18.000
2x + y = 15.000 2x + 4y = 36.000 -3 y = - 21.000 y = 7.000
2x + y = 15.000 2x + 7.000 = 15.000 2x = 8.000 X = 4.000
9
3. Metode Matriks Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk umum matriks adalah :
a a a 11
a
21
a
m1
A.
12
22
a
m2
a a a 1n
2n
mn
x b x b x b 1
1
2
2
n
m
Determinan Matriks
Suatu pemetaan dari himpunan matriks persegi ke himpunan bilangan real. jika matriks A =
, maka determinan matriks A ditentukan oleh :
B. Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi yang ordonya sama, sehingga AB = BA = I, maka B disebut invers A dan A disebut invers B. jika A = dengan det A = a.d – c ≠ 0, maka inversnya dapat ditulis :
Penerapan matriks : a. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dengan determinan misalkan terdapat sistem persamaan linier: ax + by = p ……. (1) cx + dy = q …….. (2) sistem persamaan di atas diubah ke dalam bentuk matriks sebagai berikut :
(merupakan determinan utama dari koefisien x dan y).
10
(merupakan determinan y, ditentukan dengan menggantikan koefisien variabel y dari determinan utama dengan bilangan ruas kanan . (merupakan determinan x, ditentukan dengan menggantikan koefisien variabel x dari determinan utama dengan bilangan ruas kiri. Sehingga diperoleh : Contoh : sistem persamaan linier 3x -2y = 13 dan x + 4y = -5 Penyelesaian :
b. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dengan invers matriks. Contoh : persamaan linier seperti dia atas 3x – 2y = 13 dan x + 4y = -5 Penyelesaian :
Jadi Hp :
11
