FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK TUGAS MATEMATIKA EKONOMI
DISUSUN OLEH : DENY PRASETYA 01212074 IAN ANUGERAH
01212035
M. UMAR A
01212016
ARON GARDIKA
01212140
SAIFUL RAHMAN 01212020
FAKULTAS EKONOMI MANAJEMEN UNIVERSITAS NAROTAMA 2012
1
FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK 1. PENDAHULUAN FUNGSI PERSAMAAN LINIER Fungsi polinomial dengan satu variabel bebas telah didefinisikan dengan bentuk umum:
Y=a0+a1X1+a2X2+...+akXk
(1.1)
Dimana Y adalah variabel terikat (dependent), X adalah menyatakan variabel bebas, dan k adalah bilangan bulat nonnegatif yang merupakan tingkat dari polinomial. Bila persamaan (1.1) di atas nilai k=1, maka fungsinya akan menjadi,
Y= a0+a1X1
(1.2)
Dimana a1 tidak sama dengan nol. Berdasarkan bentuk fungsi polinomial (1.1) di atas, maka fungsi linier dapat dikatakan sebagai turunanan dari fungsi polinomial, apabila k=1 dan a1 ≠ 0. Fungsi linier adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel tersebut. Fungsi ini sering digunakan dalam penerapan ekonomi dan bisnis untuk menjelaskan hubungan-hubungan ekonomi dan bisnis secara linier. Dan fungsi ini merupakan dasar untuk memperlajari fungsi-fungsi lainnya yang lebih rumit dalam penyelesaiannya. Makalah ini akan menyajikan beberapa topik yang berhubungan dengan fungsi linier. Ini mencakup kemiringan (slope) garis dan titik potong sumbu (intercept) dari suatu garis lurus, bentuk standar/umum persamaan linier, dan hubungan dua garis lurus.
2
2. KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU Suatu fungsi linier bila digambarkan dalam bidang Cartesius, maka grafiknya merupakan suatu garis lurus. Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien a1 pada persamaan Y=a0+a1X. Koefisien a1 ini untuk mengukur perubahan nilai variabel terikat (dependent) Y sebagai akibat dari perubahan variabel bebas (independent) X sebesar satu unit. Kemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi,
Kemiringan = m =
atau
(1.3)
Sebagai contoh, Y = 15-2X, kemiringannya adalah -2. Ini berarti untuk setiap kenaikan satu unit variabel X akan menurunkan 2 unit variabel Y. Serupa dengan itu penurunan satu unit dalam variabel X akan meningkatkan 2 unit variabel Y. Secara geometri, kemiringan suatu garis lurus adalah tangent (tg) dari sudut yang dibentuknya terhadap sumbu absis X. Sudut tangent (tg) adalah perbandingan anatara sumbu vertikal Y dengan sumbu horizontal X. Hal ini bisa diperhatikan pada Gambar 1.1
Y
Y
(a) Kemiringan Positif
0 Y
X
0 Y
(c) Kemiringan Nol
0
(b) Kemiringan Negatif
X
X (d) Kemiringan Tak Tentu
0
X
3
Pada Gambar 1.1 (a) garisnya mempunyai kemiringan positif, karena menarik dari kiri ke bawah ke kanan atas sehingga jika X menaik maka Y menaik juga; Gambar 1.1 (b) garis mempunyai kemiringan negatif, karena menurun dari kiri atas ke kanan bawah sehingga jika X menaik maka Y akan menurun; Gambar 1.1 (c) kemiringan garisnya nol, karena X bertambah, Y tetap konstan; Gambar 1.1 (d) kemiringan garis tak tentu, karena X konstan, Y tak tentu. Parameter lainnya dalam fungsi linier Y=a0+a1X adalah konstanta a0, atau yang disebut sebagai titik potong dengan sumbu Y, bila X sama dengan nol. Titik potong sumbu Y (Intercept Y) dari suatu fungsi linier dengan satu variabel bebas adalah sama dengan nilai dari variabel terikat bila nilai dari variabel bebas sama dengan nol. Sebagai contoh persamaan linier Y=152X, maka titik potonbg dengan sumbu Y adalah 15. Hal ini dikarenakan bila X=0, maka Y=15. 3. BENTUK UMUM FUNGSI LINIER Suatu fungsi linier yang mencakup satu variabel bebas dan satu variabel terikat mempunyai bentuk umum,
Y= a0+a1X
(1.4)
di mana a1 tidak sama dengan nol. Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan titik potong (slopeintercept). Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua variabel X dan Y, maka bentuk ini dapat disebut sebagai bentuk eksplisit. Karena variabel bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh tanda sama dengan (=). Untuk fungsi linier bentuk seperti ini nilai kemiringannya adalah a dan nilai potong titik sumbu Y adalah (0,a0). Sebagai contoh, Y = 5 + 3X,
4
maka nilai kemiringannya adalah 3 dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0,5). Akan tetapi, fungsi linier dapat juga berbentuk implisit, yaitu kedua variabel X dan variabel Y berada pada satu ruas (kiri) dan ruas kanan dijadikan nol. Bentuk implisit ini adalah :
AX+BY+C=0 Dimana nilai kemiringannya adalah −
(1.5) dan titik potong dengan sumbu Y
adalah (0,− ). Hal ini dapat dibuktikan dengan langkah-langkah berikut. 1. AX + BY + C = 0 2. BY = -C – AX 3. Y = -
- .X
Sebagai contoh 4X+5Y-20 = 0, maka nilai kemiringannya adalah -
= -0,8
dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 4).
4. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS Untuk menentukan persamaan garis lurus terdapat beberapa metode antara lain : metode dua titik dan dua metode satu titik dan satu kemiringan. METODE DUA TITIK Suatu garis lurus g dapat digambarakan dengan cara menghubungkan dua titik pada bidang Cartesius XY. Tetapi, persamaan garis lurus tersebut tidak dapat diketahui apabila kita tidak mengetahui letak dari dua titik tersebut dalam bidang Cartesius XY. Oleh karena itu, untuk menentukan persamaan garis lurus tersebut, kita harus mengetahui kedua titik terlebih dahulu.
5
Jika kedua titik diketahui, misalnya B(X1,Y1) dan C(X2,Y2), maka kemiringan garisnya dapat diperoleh dengan cara membagi perubahan dalam Y dengan perubahan dalam X, atau kemiringan garis =
.
Apabila terdapat titik lain misalnya A(X,Y) yang terletak pada garis tersebut, maka dapat dinyatakan menjadi, kemiringan garis
. Hal ini
dapat dilihat pada Gambar 1.2
Y
C (X2,Y2) B(X1,Y1) A (X,Y)
0
X
Karena kemiringan garis lurus adalah sama pada setiap titik yang terletak pada garis tersebut, maka dapat dinyatakan dengan rumus berikut.
=
(1.6)
Rumus (1.6) di atas menunjukkan bahwa cara untuk memperoleh persamaan garis lurus dengan menggunakan dua titik yang diketahui adalah dengan mensubstitusikan nilai-nilai X1, X2, Y1 dan Y2 yang telah diketahui pada rumus diatas sehingga akan menghasilkan persamaan Y=a0+a1X atau AX+BY+C=0.
6
Contoh 1.1 Mencari persamaan garis yang melalui titik (3,2) dan (4,6) Penyelesaikan : X1 = 3, X2 = 4, Y1 = 2 dan Y2 = 6 =
=
Y-2 = 4 (X-3) Y
= 4X – 12 + 2
Y
= -10 + 4X
Persamaan garis Y = -10 + 4X ini digrafiknya adalah Gambar 1.3
Y Y=-10+4X 0
-10 (0,-10)
1
2
2,5
3
X
Persamaan garis lurus Y=-10+4X
METODE SATU TITIK DAN SATU KEMIRINGAN Selain metode dua titik untuk menentukan persamaan garis lurus, terdapat metode lain yaitu : metode satu titik dan satu kemiringan. Sebenarnya metode ini bersal dari metode dua titik. Melihat kembali persamaan (1.6)
7
= Apabila (X-X1) dipindahkan ke ruas kanan persamaan maka,
Y-Y1 =
(X-X1)
Sebagaimana telah disebutkan terdahulu bahwa rumus kemiringan garis lurus (1.3) adalah : m=
, maka persamaan diatas akan menjadi
Y-Y1 = m (X-X1)
(1.7)
Rumus (1.7) adalah untuk menentukan persamaan garis lurus bila diketahui satu titik dan satu kemiringan. Contoh 1.2 Mencari persamaan garis yang melalui titik (6,4) dan kemiringannya Penyelesaian : Diketahui (X, Y) = (6,4) dan m= Y-Y1 = m (X-X1) Y-4 = - (X-6) Y
=- X+4+4
Y
= - X + 8 atau = 8 -
X
Persamaan garis Y = 8 - Xgrafiknya adalah Gambar 1.4
8
Y 8 (0,8)
0
Y= 8 - X
12 (12,0) X
Persamaan garis lurus Y= 8 - X
5. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS Sebagaimana telah disebutkan, bahwa setiap garis lurus mempunyai kemiringan dan titik potong. Apabila dua garis yang mempunyai kemiringan yang berbeda-beda atau sama dan juga bila titik potong dengan sumbu Y berbeda-beda atau sama, maka bila digambarkan dalam bidang Cartesius XY akan terdapat kemungkinan : (a) dua garis lurus saling berpotongan, (b) dua garis lurus saling sejajar, (c) dua garis lurus saling berhimpit dan (d) dua garis lurus saling tegak lurus atau membentuk sudut 90o. Gambar 1.5. Pada Gambar 1.5 (a) kedua kemiringan garis, yaitu a1 dan b1 adalah tidak sama atau a1 ≠ b1 dan kedua titik potong sumbu Y, a0 dan b0 tidak sama; Gambar 1.5 (b) kedua kemiringan garis adalah sama (a=b) dan kedua titik potong sumbu Y tidak sama; Gambar 1.5 (c) kedua kemiringan garis adalah sama dan kedua titik potong dengan sumbu Y adalah sama; Gambar 1.5 (d) kedua kemiringan garis adalah tidak sama tetapi nilai perkaliannya menghasilkan -1, dan kedua titik potong dengan sumbu Y tidak sama.
9
Y
Y
a1≠b1
a1=b1
a0≠ b0
0
a0≠b0
X
0
(a) Berpotongan
Y
(b) Sejajar
Y
a1=b1
a1 . b1 = -1
a0=b0
0
X
a0 ≠ b0
X
0
(c) Berhimpit
X (d) Tegak Lurus
Gambar 1.5 Empat Macam Kombinasi Dua Garis Lurus 6. PENDAHULUAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Dalam fungsi persamaan linier di atas telah dijelaskan persamaan linier tunggal yang berbentuk implisit yaitu Y = a0+a1X. Sedangkan dalam pembahasan sistem persamaan linier ini, mengenai dua persamaan linier yang berbentuk imlisit yaitu AX+BY=C, dimana nilai C tersebut dalam penerapan ekonomi dan bisnis sering disebut dengan kendala dari sumber daya. Kebanyakan model ekonomi yang berbentuk matematis mempunyai lebih dari satu kendala dan variabel dalam himpunan persamaannya. Jika setiap kendala dinyatakan sebagai suatu persamaan linier maka himpunan persamaan-persamaan linier ini disebut sebagai sistem persamaan linier. Dengan kata lain, suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan yang tediri atas dua atau lebih persamaan linier. Banyaknya persamaan dan variabel dalam suatu sistem persamaan linier dapat dilihat dalam dimensinya. Jika sistem persamaan linier terdiri
10
atas m persamaan
dan n variabel, maka dapat dinyatakan bahwa
sistem persamaan linier ini adalah sistem m x n. 7. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER : DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL Penyelesaian suatu sistem persamaan linear adalah suatu himpunan nilai yang
memenuhi
secara
serentak
(stimultan)
semua
persamaan-
persamaan dari sistem tersebut. Untuk sistem persamaan linear terdapat tiga kemungkinan yaitu: (1) ada penyelesaain tunggal (unik); (2) tidak ada penyelesaian; atau (3) sejumlah penyelesaian yang tidak terbatas. Gambar 1.6 Tiga Penyelesaian yang Mungkin Untuk Sistem dengan Dua Persamaan dan Dua Variabel. Y
Y Persamaan 1
0
Persamaan 1
X Persamaan 2
Y
0
Persamaan 1
X Persamaan 2
0
X Persamaan 2
Tiga kemungkinan ini dapat diuraikan secara mudah dengan memisalkan suatu sistem dengan dua persamaan dan dua variabel. Suatu sistem dengan dua persamaan dan dua variabel mempunyai penyelesaian tunggal (unik) dapat disajikan secara grafik dengan melihat titik potong dari dua garis (persamaan) tersebut. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 1.6 (a). Selanjutnya, pada kasus tidak ada penyelesaian untuk suatu sistem dengan dua persamaan dan dua variabel ditunjukkan oleh dua garis yang sejajar (paralel) atau tidak ada titik potong. Hal ini dapat dilihat pada gambar 1.6 (b). Situasi dimana terdapat sejumlah penyelesaian yang tidak
11
terbatas untuk suatu sistem persamaan dapat ditunjukkan oleh dua garis yang sama atau saling berimpit. Ini disajikan pada gambar 1.6 (c). Jadi, unyuk suatu persamaan linier, terdapat tiga penyelesaian yang mungkin, yaitu: 1. Suatu sistem persamaan linier mempunyai suatu penyelesaian yang tunggal (unik) adalah suatu sistem persamaan yang konsisten 2. Suatu
sistem
persamaan
linier
tidak
mempunyai
suatu
penyelesaian adalah suatu sistem persamaan yang tidak konsisten 3. Suatu sistem persamaan linier mempunyai sejumlah penyelesaian yang tidak terbatas adalah suatu sistem persamaan yang saling ketergantungan diantara satu dengan lainnya. Untuk memperoleh nilai-nilai penyelesaian dari sistem persamaan linier, dapat digunakan tiga metode, yaitu: (1) metode eliminasi; (2) metode subtitusi; (3) metode matriks (determinan). Tetapi pada saat ini yang dibahas dua metode yaitu: metode eliminasi dan metode subtitusi. METODE ELIMINASI Metode eliminasi ini merupakan salah satu teknik yang digunakan untuk memperoleh penyelesaian dari sistem persamaan linier. Di samping itu, metode ini juga dapat memberikan suatu petunjuk untuk mendeteksi sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian atau sejumlah penyelesaian yang tidak terbatas. Metode eliminasi ini bertujuan untuk menghapus sementara salah satu variabel. Caranya akan ditunjukkan oleh langkah-langkah berikut ini: 1. Pilihlah salah satu variabel yang akan dieliminasi 2. Kalikan kedua persamaan dengan suatu nilai konstanta tertentu bila diperlukan sehingga koefisien darivariabel yang dipilih akan menjadi sama. 3. Jika tanda pada kedua koefisien dari variabel yang dipilih sama maka kedua persamaan dikurangkan. Akan tetapi, bila tanda
12
pada kedua koefisien dari variabel yang dipilih berbeda maka kedua persamaan dijumlahkan. 4. Carilah nilai dari variabel yang tidak tersisa dan subitusikan kembali nilai ini ke dalam persamaan mula-mula untuk menentukan nilai dari varianel yang telah dipilih tersebut. Sebagai nustrasi dari metode eliminasi ini lihatlah contoh berikut ini. Contoh 1.3 Pada hari Minggu Yanita dan Reza pergi ke toko. Yanita membeli dua pensil dan dua buku dengan harga Rp. 14.000. sedangkan Reza membeli satu pensil dan tiga buku yang bermerek sama dengan yang dibeli Yanita, dengan harga Rp. 17.000. Berapa harga sebuah pensil dan sebuah buku? Misal : X=pensil, Y=buku 2X + 2Y = 14.000
(1.8)
X + 3Y = 17.000
(1.9)
Penyelesaian: 1. Variabel yang akan dieliminasi adalah variabel Y. 2. Karena variabel Y yang dipilih, maka persamaan (1.9) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan persamaan (1.8) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi, 2X + 2Y = 14.000 (kalikan dengan 1), maka 2X + 2Y =14.000 X + 3Y = 17.000 (kalikan dengan 2), maka 2X + 6Y = 34.000 3. Karena kedua koefisien dari variabel X tandanya sama, maka harus dikurangkan sehingga menjadi, 2X + 2Y = 14.000 2X + 6Y = 34.000 -4Y = -20.000 Y = 5.000
13
4. Subtitusikan nilai Y = 5.000 ke dalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai X.
Apabila disubtitusikan pada
persamaan (1.9), maka akan menghasilkan 2 X + 2 (5.000) = 14.000 2 x + 10.000
= 14.000
X
= (14.000-10.000)/2
X
=2.000
Jadi, harga sebuah pensil Rp. 2.000 dan harga sebuah buku adalah Rp. 5.000. METODE SUBTITUSI Selain metode eliminasi dalam menyelesaikan sistem persamaan linier. Ada pula metodelain, yaitu metode subtitusi. Untuk memperoleh himpunan penyelesaian dari kedua variabel yang memenuhi kedua persamaan dalam metde subtitusin ikutilah langkah-langkah berikut ini. 1. Pilihlah salah satu variabel dalam satu persamaan, kemudian buatlah koefisien dalam variabel tersebut menjadi 1. 2. Bila persamaan pertama yang dipilih, maka subtitusikanlah persamaan ini ke dalam persamaan kedua. 3. Carilah nilai variabel yang tidak dipilih dengan aturan-aturan matematika 4. Subtitusikan kembali nilai dari variabel yang diperoleh kedalam persamaan mula-mula untuk memperoleh nilai variabel yang dipilih. Untuk dapat lebih memahami metode subtitusi ini, lihat contoh berikut ini, Contoh 1.4 Uang Aprita Rp. 150.000 lebih dari uang Budi. Jika tiga kali uang prita ditambah dua kali uang Budi jumlahnya adalah Rp. 950.000. Tentukan masing-masing besar uang prita dan uang budi. Misal Besar uang APrita = x Besar uang Budi
=Y
14
X = Y + 150.000
(2.0)
3X + 2Y = 950.000
(2.1)
Misalakan variabel X yang dipilih pada persamaan (2.0) maka akan menjadi, 3X + 2Y
= 950.000
3 (Y + 150.000) +2Y= 950.000 3 Y + 450.000 +2Y = 950.000 5Y
= 950.000 – 450.000
5Y
= 500.000
Y
= 100.000
Subtitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan persamaan (2.0), sehingga memperoleh hasil, X
= 100.000 + 150.000
X
= 250.000
Jadi besar uang Aprita adalah Rp. 250.000 dan uang Budi adalah Rp. 100.000 METODE MATRIK / DETERMINAN Determinan dari matriks bujursangkar A berorde n adalah jumlah dari semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks tersebut. Determinan dari suatu matriks A dituliskan det(A) atau |A| = (j1, j2, …….,jn). a1j1, a2j2,……amjn Contoh :
A=
a11
a12
a21
a22
Maka n=2, terdapat 2! = 2*1=2
15
Hasil kalinya sebagai berikut : 1. a11 a22 permutasi (1,2), banyaknya inversi=0 (permutasi genap). Maka (1,2)= +1 jadi +a11 a22 . 2. a21 a12 permutasi (2,1), banyaknya inversi=1 (permutasi ganjil). Maka (2,1)= -1 jadi -a21 a12 3. Maka det(A)=|A|=+a11 a22 -a21 a12
Mencari Determinan
a d
b = ae – db e
Andaikan kita menghadapi dua persamaan dengan dua bilangan : ax + by = e dx + ey = f Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan sebagai berikut : X=
=
=
Y=
=
=
Contoh 1.5 Harga satu barang untuk permintaan 40 unit adalah Rp. 10.000, sedangkan harga satu barang untuk 20 unit adalah Rp. 15.000. maka fungsi permintaan adalah : P = 20.000 – 250Q 8. PERSAMAAN
KETERGANTUNGAN
KETIDAKKONSISTENAN
LINIER
DAN
16
Sebagaimana telah dijelaskan dan diilustrasikan dalam contohcontoh pada yang tadi bahwa kedua persamaan mempunyai penyelesaian yang unik. Akan tetapi, ada kalanya suatu sistem persamaan linier dengan dua persamaan dan dua variabel tidak terdapat penyelesaian (no solution) atau penyelesaian yang jumlahnya tidak terbatas. Apabila kedua persamaan mempunyai kemiringan yang sama, maka gambarnya akan terdapat dua kemungkinan, yaitu : 1. Kedua garis adalah sejajar dan tidak mempunyai titik potong sehingga tidak ada penyelesaian. Kedua persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linier yang tidak konsisten. 2. Kedua garis akan berimpit sehingga penyelesaiannya dalam jumlah yang tidak terbatas. Kedua persamaan ini disebut senagai sistem persamaan linier yang tergantung secara linier. Kedua persamaan yang mempunyai kemiringan yang sama akan ditunjukkan dalam contoh-contoh berikut ini. Contoh 1.5 2X + 3Y = 7
(2.2)
4X + 6Y = 12
(2.3)
Persamaaan (1.8) dan (1.9) kedua-duanya adalah tidak konsisten, karena kedua persamaan ini mempunyai kemiringan yang sama, tetapi berbeda nilai intercept-nya. Jadi, bila digambarkan kedua persamaan ini akan sejajar satu sama lainnya. Contoh 1.6 5X + 2Y = 10
(2.4)
20X + 8Y = 40
(2.5)
Persamaaan (2.4) dan (2.5) kedua-duanya tergantung secara linier, karena kedua persamaan ini mempunyai kemiringan dan nilai intercept yang sama. Jadi, apabila digambarkan kedua persamaan ini akan berimpit satu dengan lainnya.
