Darpublic
www.darpublic.com
Matriks dan Sistem Persamaan Linier Konsep Dasar Matriks Matriks. Matrik dalam matematika adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. (Istilah matriks kita jumpai pula dalam bahasan tentang material). Dalam penulisannya matriks dibatasi oleh suatu kurung siku (ataupun dengan kurung biasa) seperti contoh berikut. 2 0 3 1 2 4 ; 2 ; 4 3 2 1
[3
2 4 1 2 4] ; 3 0 2
(1)
Dalam contoh matriks ini, banyaknya baris matriks yang pertama sama dengan banyaknya kolom, dalam hal ini 3, dan disebut matriks bujur sangkar. Yang kedua terdiri dari dua baris dan satu kolom, disebut matriks kolom atau vektor kolom. Yang ketiga terdiri dari satu baris tiga kolom, disebut matriks baris atau vektor baris. Yang keempat adalah matriks persegi panjang dengan dua baris dan tiga kolom. Secara umum suatu matrik terdiri dari m baris dan n kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari m×n elemen-elemen. Elemen-elemen matriks ini dapat berupa bilangan riil maupun kompleks, akan tetapi dalam contoh-contoh selanjutnya kita hanya akan melihat matriks dengan elemen yang berupa bilangan nyata, dan disebut matriks nyata. Secara umum setiap elemen matriks diberi notasi sesuai dengan posisinya dalam matriks. Jika b (b = 1…m) adalah nomer baris dan k (k = 1…n) adalah nomer kolom, maka b dan k digunakan sebagai subscript-ganda elemen matriks. Notasi yang kita gunakan untuk memberi nama matriks adalah huruf besar cetak tebal, sedangkan huruf kecil cetak tebal digunakan sebagai notasi untuk vektor baris ataupun kolom, seperti contoh berikut. 2 0 3 2 4 1 2 A = 1 2 4 ; B = ; a = ; b = [3 2 4] 3 0 2 4 3 2 1
(2)
Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan a11 a A = 21 L a m1
a12 a 22 L am2
L a1n L a 2 n = [abk ] L L L a mn
(3)
Posisi elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama matriks. Banyaknya baris dan kolom merupakan ukuran matrik. Dalam contoh (1), berturut-turut kita mempunyai matriks dengan ukuran 3×3, 2×1, 1×3, dan 2×3. Matriks dengan m = n disebut matriks bujur sangkar, dan kita katakan matriks ini berordo n. Matriks A pada contoh (2) adalah matriks bujur sangkar berordo 3. Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
1/21
Darpublic
www.darpublic.com
Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menghilangkan sebagian baris dan/atau sebagian kolom dari suatu matriks. Sebagai contoh, matriks 2 4 1 3 0 2
B =
mempunyai dua anak matriks 1× 3 , yaitu [2 4 1] , [3 0 2] ; 2
4
1
tiga anak matriks 2× 1, yaitu , , ; 3 0 2 enam anak matriks 1× 1 yaitu [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; enam anak matriks 1×2 yaitu [2 4] , [2 1] , [4 1] , [3 0] , [3 2] , [0 2] ; 2 4
2 1
4 1
tiga anak matriks 2×2 yaitu , , . 3 0 3 2 0 2 Dengan menggunakan pengertian anak matriks ini, kita dapat memandang matriks sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor. Sebagai contoh, matriks 2 0 3 a1 A= 1 2 4 dapat kita pandang sebagai matriks A = a 2 3 2 1 a3
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris a1 = [2 0 3], a 2 = [1 2 4] , a3 = [3 2 1] . Dengan cara pandang ini matriks A mirip bentuknya dengan vektor kolom. Matriks A juga dapat kita pandang sebagai matriks A = [a1 a 2 a3 ] dengan anak-anak 2 matriks a1 = 1 , 3
0 a 2 = 2 , 2
3 a3 = 4 yang berupa vektor-vektor kolom. Dengan cara ini 1
matriks A terlihat seperti vektor baris.
Pengertian-Pengertian dan Operasi-Operasi Matriks Kesamaan Matriks. Dua matriks A dan B disebut sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Kita menuliskan kesamaan ini A = B. 2 4
2 4
Jika A = maka haruslah B = 3 0 . 3 0 Penjumlahan. Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama (banyaknya baris dan banyaknya kolom dari kedua matriks tersebut sama). Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama. 2 4
1 3
3 7
Jika A= dan B= 2 2 , maka C= A + B = 5 2 3 0 Penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifat sebagai berikut Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
2/21
Darpublic
www.darpublic.com a. A + B = B + A b. (A + B ) + C = A + (B + C )
(4)
Matriks Nol. Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol. Matriks Negatif. Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). Operasi penjumlahan yang melibatkan matriks nol dan matriks negatif adalah a). A + 0 = A b). A + (− A) = A − A = 0
(5)
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar. Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali. Kita menuliskan perkalian matriks A dengan bilangan skalar a sebagai aA = Aa. 2 2 1 2 2 1 4 4 2 2 1 3 2 = 1 3 2 2 = 2 6 4 3 2 3 3 2 3 6 4 6
Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut. a. a (A + B ) = aA + aB b.
(a + b )A = aA + bA
(6)
c. a[bA ] = (ab )A Perkalian Matriks dengan Matriks. Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB (dalam urutan perkalian seperti ini) hanya terdefinisikan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB akan berupa matriks yang berukuran m×q yang nilai elemennya pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (hasil kali dot) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B (matriks A dipandang sebagai terdiri dari anak-anak matriks yang berupa vektor baris dan matriks B terdiri dari anak matriks yang berupa vektor kolom). Jadi jika A = [ab ] dan B = [b k ] maka C = AB = [cbk ] = [ab • b k ] Mengalikan matriks A ke matriks B dari sebelah kiri seperti di atas kita sebut menggandaawalkan matriks A ke matriks B. Akan kita lihat bahwa menggandaawalkan A ke B tidak selalu sama dengan menggandaawalkan B ke A; AB ≠ BA. •
Perkalian internal vektor.
Kita ambil contoh vektor baris a = [2 3] dan
4
vektor kolom b = . Banyaknya kolom a adalah 2, sama dengan banyaknya baris 3
b, maka perkalian internal c = a • b dapat kita lakukan, yaitu
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
3/21
Darpublic
www.darpublic.com 4 c = a • b = [2 3] = [2 × 4 + 3 × 3] = [17] . 3
Jika urutan kita balik, banyaknya kolom b adalah 1 sama dengan banyaknya baris a, maka. kita dapat melakukan perkalian 4 4 × 2 4 × 3 8 12 D = b • a = [2 3] = = 3 3 × 2 3 × 3 6 9
Jadi, pembalikan urutan perkalian (seandainya operasi demikian ini dapat dilakukan) akan memberikan hasil yang berbeda. Perkalian matriks tidak komutatif. •
Perkalian matriks dengan vektor. Misalkan
2 1 2 dan b = . A= 3 4 3
Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris b, maka perkalian Ab dapat a
dilakukan. Matriks A kita pandang sebagai A = 1 , yaitu matrik dengan anak a 2 matriks berupa vektor baris a1 = [2 1] dan a 2 = [3 4] . Perkalian C = Ab adalah a • b 2 × 2 + 1× 3 7 a c = Ab = 1 b = 1 = = a 2 a 2 • b 3 × 2 + 4 × 3 18
Jika urutan perkalian dibalik D = bA , perkalian tak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris. •
2 1 4 2 dan B = . 3 4 5 3
Perkalian dua matriks bujur sangkar. Misalkan A =
Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B; oleh karena itu kita dapat a
melakukan perkalian C = AB . Matriks A kita pandang sebagai A = 1 , yaitu a
2
matrik dengan anak matriks berupa vektor baris a1 = [2 1] dan a 2 = [3 4] . Matriks B kita pandang sebagai B = [b1 b 2 ] , yaitu matriks dengan dua anak matriks 4
2
berupa vektor kolom b1 = dan b 2 = . Perkalian C = AB adalah 5 3 a a • b a1 • b 2 C = AB = 1 [b1 b 2 ] = 1 1 a 2 a 2 • b1 a 2 • b 2 2 × 4 + 1 × 5 2 × 2 + 1 × 3 13 7 = = 3 × 4 + 4 × 5 3 × 2 + 4 × 3 32 18
•
2 4 3 dan 1 3 2
Perkalian dua matriks persegi panjang. Misalkan A =
1 2 B = 4 3 . Banyaknya kolom A adalah 3, sama dengan banyaknya baris B. 2 3
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
4/21
Darpublic
www.darpublic.com
Kita dapat melakukan perkalian 1 2 2 4 3 2 × 1 + 4 × 4 + 3 × 2 2 × 2 + 4 × 3 + 3 × 3 25 25 C = AB = 4 3 = = 1 3 2 2 3 1 × 1 + 3 × 4 + 2 × 2 1 × 2 + 3 × 3 + 2 × 3 17 17
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada perhitungan di atas adalah sebagai a1 • b 2 a a a • b A = 1 , B = [b1 b 2 ] , sehingga C = AB = 1 [b1 b 2 ] = 1 1 . a 2 a 2 a 2 • b1 a 2 • b 2
Dalam operasi perkalian matriks, matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris sedangkan matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom. Sifat Perkalian Matriks. Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut. a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
(aA )B = a(AB ) = A(aB ) A (BC ) = (AB )C
(A + B )C = AC + BC
(7)
C(A + B ) = CA + CB
b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku. Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
Matriks-Matriks Khusus Melihat pada nilai-nilai elemen dari matriks, terdapat beberapa bentuk matriks khusus. • Matriks Segitiga. Matriks segitiga ada dua macam yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Perhatikan contoh berikut. 2 0 Matriks segitiga bawah : T1 = − 1 1 3 4 2 − 2 Matriks segitiga atas : T2 = 0 1 0 0
0 0 3 1 3 3
• Matriks Diagonal. Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh : Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
5/21
Darpublic
www.darpublic.com 2 0 0 D = 0 1 0 0 0 0
• Matriks Satuan. Matriks satuan, disebut juga matriks identitas, adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1. Matriks ini dilambangkan dengan I. 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1
Suatu matrik jika dikalikan dengan matriks satuan akan kembali pada matriks asalnya. AI = IA = A
(8)
Putaran Matriks Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks A yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT. T
a11 a12 a a Jika A = 21 22 L L am1 am 2
L a1n L a2n = [abk ] L L L amn
a11 a21 a a maka A T = 12 22 L L a1n a2n
L am1 L am 2 = a pq L L L amn
[ ]
(9)
Perhatikan contoh-contoh berikut ini. • Putaran vektor baris dan vektor kolom. Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. 2 a = [2 4 3] ⇒ a = 4 3 T
;
5 b = 4 ⇒ b T = [5 4 3] 3
• Putaran jumlah dua vektor baris. Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor. Jika a = [2 4 3] dan b = [1 3 2] maka a + b = [3 7 5]
(a + b )
T
3 2 1 = 7 = 4 + 3 = aT + b T . 5 3 2
Secara umum : (a + b )T = aT + b T
(10)
• Putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik.
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
6/21
Darpublic
www.darpublic.com
1 Jika a = [2 4 3] dan b = 3 maka ab = [2 × 1 + 4 × 3 + 3 × 2] 2 2 ⇒ ab = [2 × 1 + 4 × 3 + 3 × 2] = [1 3 2] 4 = b TaT 3 T
2 2 × 1 2 × 3 2 × 2 Jika a = 4 dan b = [1 3 2] maka ab = 4 × 1 4 × 3 4 × 2 3 3 × 1 3 × 3 3 × 2
⇒ (ab )
T
2 × 1 4 × 1 3 × 1 1 = 2 × 3 4 × 3 3 × 3 = 3 [2 4 3] = b TaT 2 × 2 4 × 2 3 × 2 2
Secara umum : •
(ab )T = b T a T
(11)
Putaran matriks persegi panjang. 2 1 2 4 3 T Jika A = maka A = 4 3 1 3 2 3 2
a1 Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dsri vektor baris A = L maka a m
[
]
putarannya adalah A T = a1T L aTm . Di sini terlihat jelas bagaimana baris-baris di A menjadi kolom-kolom di AT. Sebaliknya, jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom A = [a1 a 2 L a m ] maka putarannya akan berbentuk matriks dengan anak-anak matriks berupa vektor baris. • Putaran jumlah matriks. Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. (A + B )T = A T + BT (12) Jika A = [a1 L a m ] dan B = [b1 L b m ] maka A + B = [a1 + b1 L a m + b m ] . Dengan demikian (A + B )T
(a1 + b1 )T a1T + b1T a1T b1T T T = L = L = L + L = A + B . (a + b )T aT + b T a T b T m m m m m m
• Putaran hasil kali matriks. Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.
(AB )T = BT A T Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
(13)
7/21
Darpublic
www.darpublic.com
a1 Jika A = L dan B = [b1 L a m a1 • b1 T demikian maka AB = L a m • b n
bn ]
a1 • b1 L a1 • b n maka AB = L L L . Dengan a m • b n L a m • b n
L a1 • b n b1 L L = L [a1 L a m ] = B T A T L a m • b n b n
• Matriks simetris. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila AT = A . Jika BT = −B dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Karena dalam putaran matriks elemen-elemen diagonal utama tidak berubah nilai, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen-elemen diagonal utamanya bernilai nol.
Sistem Persamaan Linier Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum sistem persamaan linier ini adalah a11 x1 + L + a1n x n = b1 a 21 x1 + L + a 2n x n = b2 . . . . . . . . . . . a m1 x1 + L + a mn x n = bm
(14)
Sistem (14) ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilanganbilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol; jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen. Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1, …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah sebagai berikut. a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? b). Bagaimanakah cara kita untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut? d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi? Memperhatikan sistem persamaan (14) kita dapat melakukan operasi-operasi yang kita sebut operasi baris sebagai berikut. a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
8/21
Darpublic
www.darpublic.com
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut. c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan. Sistem persamaan (14) dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah a11 a12 a 21 a22 L L am1 am 2
atau secara singkat
L a1n x1 b1 L a2n x2 b2 = L L L L L amn xn bm
Ax = b
(15)
(16)
dengan a11 a12 a a22 A = 21 L L am1 am 2
L a1n x1 b1 b L a2 n x2 ; x= ; b = 2 L L L L L amn xn bm
(17)
Dari (17) kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi a11 a12 a a22 ~ A = 21 L L am1 am 2
L a1n L a2 n L L L amn
| b1 | b2 | L | bm
(18)
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier (14) secara lengkap. Operasioperasi baris pada sistem persamaan (14) kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan (18) menjadi sebagai berikut. a). Setiap elemen dari baris yang sama (18) dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama. b). Satu baris dari (18) boleh dijumlahkan ke baris yang lain. c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan. Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Matriks gandengan baru ini kita sebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
9/21
Darpublic
www.darpublic.com
Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini. Bagaimana langkah-langkah ini dilaksanakan, akan kita lihat melalui contoh berikut ini. Misalkan kita mempunyai sistem persamaan linier seperti berikut. x A − xB = 8 − x A + 4 xB − 2 xC = 0
(19)
x A − 3 xB + 5 xC − 2 xD = 8 − x A + 4 xB − 3 xC + 2 xD = 0
Sistem persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks sebagai 0 x A 8 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 x 0 B = dengan matriks gandeng 1 − 3 5 − 2 xC 8 − 1 4 − 3 2 x D 0
0 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 1 −3 5 −2 − 1 4 − 3 2
| 8 | 0 | 8 | 0
Langkah 1 : Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan menghilangkan suku pertama baris-baris berikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah 0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 − 2 5 − 2 0 3 − 3 2
| 8 | 8 | 0 | 8
pivot + baris1 − baris 1 + baris 1
Langkah 2 : Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh dan menghilangkan suku kedua baris-baris berikutnya. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah 0 0 1 − 1 0 3 −2 0 0 0 5 − 4 / 3 − 2 −1 2 0 0
8 | 8 pivot | 16 / 3 + 2/3 baris 2 | 0 − baris 2 |
⇒
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 0 − 1 2
8 | 8 | 16 × 3 | 0
|
Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan menghilangkan suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah: 0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 16 0 0
8 | 8 | 16 pivot | 16 × 11 + baris 3
|
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
(20)
10/21
Darpublic
www.darpublic.com
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan persamaan linier: x A − xB = 8 3xB − 2 xC = 8 11xC − 6 xD = 16 16 xD = 16
yang dengan substitusi mundur akan memberikan: xD = 1 ; xC = 2 ; xB = 4 ; x A = 12 .
Sistem-sistem tertentu, kurang tertentu, dan tertentu berlebihan Sistem persamaan linier yang diambil sebagai contoh untuk melakukan eliminasi Gauss di atas kita sebut sistem tertentu; yaitu sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika banyaknya unsur yang tak diketahui sama dengan banyaknya persamaan dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika banyaknya persamaan lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Jika banyaknya persamaan lebih besar dari banyaknya unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi. Berikut ini akan kita lihat contoh sistem yang memberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi •
Sistem persamaan yang memberikan banyak solusi. Kita lihat persamaan berikut. x A − xB = 8 − x A + 4 xB − 2 xC = 0
(21)
− 3xB + 2 xC = −8
Matriks gandeng dari sistem ini adalah 1 −1 0 | 8 − 1 4 − 2 | 0 0 − 3 2 | − 8
Eliminasi Gauss dari matriks gandeng ini kita lakukan seperti pada contoh di atas, yang akan menghasilkan 1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 ⇒ 0 − 3 2 | − 8
1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 | 8 0 0 0 | 0
(22)
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan : x A − xB = 8 3xB − 2 xC = 8
(23)
0=0
Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan xb = (8 + 2 xc ) / 3 yang kemudian memberikan xa = 8 + (8 + 2 xc ) / 3 . Karena xc tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xa dan xb jika kita menentukan nilai xc lebih dulu.
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
11/21
Darpublic •
www.darpublic.com
Sistem yang tidak memberikan solusi. Kita ambil contoh sistem persamaan berikut. x A − xB = 8 − x A + 4 xB − 2 xC = 0
(24)
− 3xB + 2 xC = −10
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan 1 −1 0 | 8 1 − 1 0 | 8 − 1 4 − 2 | 0 ⇒ 0 3 − 2 | 8 0 − 3 2 | − 10 0 − 3 2 | − 10 1 − 1 0 | 8 ⇒ 0 3 − 2 | 8 0 0 0 | − 2
(25)
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah x A − xB = 8 3xB − 2 xC = 8
(26)
0 = −2
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir (26). Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
Bentuk Eselon Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, seperti matriks pada (20), (22) dan (25) disebut bentuk eselon. Dari (25) misalnya, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah 1 − 1 0 1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 dan 0 3 − 2 | 8 0 0 0 0 0 0 | − 2
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah a11 a12 L L L a1n 0 c 22 L L L c2 n M krr L krn 0 M 0
| | | | | | |
b1 b2′ br′ br′ +1 bm
(27)
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
12/21
Darpublic
www.darpublic.com a11x1 + a12 x2 + LLLL + a1n xn = b1 c22 x2 + LLLL + a2n xn = b2′ M krr xr + L + krn xn = br′ 0 = br′ +1
(28)
M 0 = bm′
dengan a11 ≠ 0, a22 ≠ 0 , krr ≠ 0 , dan r ≤ n. Kita perhatikan (28) ini. a). Jika r = n dan br′ +1 ,K, bm′ sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi. b). Jika r < n dan br′ +1 ,K, bm′ sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi. c). Jika r = n ataupun r < n dan br′ +1 ,K, bm′ tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi. Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika br′ +1 ,K, bm′ sama dengan nol atau tidak ada. Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r = n ; jika r < n akan memberikan banyak solusi. Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan pada (27) ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
Bebas linier dan tak-bebas linier vektor-vektor Misalkan a1 , a 2 , L a m adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk]. Kita tinjau suatu persamaan vektor c1a1 + c2a 2 + L + cm a m = 0
(29)
Jika persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien ( c1 … cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier. Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier. Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan (29) semua koefisien bernilai nol. Jika vektorvektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan (29) (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain; misalnya vektor a1 dapat dinyatakan sebagai a1 = −
c2 c a2 − L − m am = 0 c1 c1
(30)
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol Kita ambil contoh dua vektor baris a1 = [2 3 1 2] dan a 2 = [4 2 6 2]
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
13/21
Darpublic
www.darpublic.com
c1a1 + c2a 2 = c1[2 3 1 2] + c2 [4 2 6 2] = 0 hanya akan terjadi jika c1 = c2 = 0
Ambil vektor ketiga a3 = [4 6 2 4] . Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai a3 = 2a1 = 2[2 3 1 2] = [4 6 2 4] . Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai a3 = 2a1 + 0a 2 = 2 [2 3 1 2] + 0 [4 2 6 2] = [4 6 2 4]
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier. Kita lihat vektor lain yaitu a 4 = [6 7 5 5] . Vektor a4 , a1 dan a2 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a4 sebagai a 4 = 2a1 + 0.5a 2 = 2 [2 3 1 2] + 0.5 [4 2 6 2] = [6 7 5 5]
Rank matriks. Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A. Rank matriks B = 0 adalah nol. Bagaimanakah menentukan rank suatu matriks? Kita mengetahui bahwa operasi baris menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rank matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss. Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi. Kita ambil contoh matriks pada (20), (22) dan (25). •
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (20), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal, adalah 0 0 1 − 1 0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 3 − 2 0 dan 0 0 11 − 6 0 0 11 − 6 0 16 0 16 0 0 0 0
8 | 8 | 16 | 16 |
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4. •
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (22), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0
1 − 1 0 | 8 dan 0 3 − 2 | 8 0 0 0 | 0
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui. •
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (25), yaitu dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
14/21
Darpublic
www.darpublic.com
1 − 1 0 1 − 1 0 | 8 0 3 − 2 dan 0 3 − 2 | 8 0 0 0 0 0 0 | − 2
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi. Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum. Kita melihat bahwa (a) agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya; (b) agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui; (c) jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
Sistem Persamaan Homogen Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari sistem seperti (14) bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk a11x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a21x1 + a22 x2 + L + a2n xn = 0 . . . . . . . . . . . am1x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0
(31)
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah a11 a12 a a22 ~ A = 21 L L am1 am 2
L a1n L a2 n L L L amn
| 0 | 0 | L | 0
( 32)
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan ′ a12 ′ L a1′n a11 0 a ′ L a′ ~ 22 2n A′ = L L L L 0 0 a′mn 0
| 0 | 0 | L | 0
(33)
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuk
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
15/21
Darpublic
www.darpublic.com
′ x1 + a12 ′ x 2 + L + a1′n x n = 0 a11 ′ x 2 + L + a 2′ n x n = 0 a 22
(34)
M a ′mn x n = 0
Dari (34) terlihat bahwa xn = 0 dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika r < n . Kita akan melihat beberapa contoh. •
Sistem persamaan homogen yang hanya memberikan solusi trivial x A − xB = 0 − x A + 4 xB − 2 xC = 0
(35)
x A − 3 xB + 5 xC − 2 xD = 0 − x A + 4 xB − 3 xC + 2 xD = 0
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah 0 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 1 −3 5 −2 − 1 4 − 3 2
| 0 | 0 ⇒ eliminasi Gauss ⇒ | 0 | 0
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 16 0 0
| 0 | 0 | 0 | 0
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi x A − xB = 0 3xB − 2 xC = 0 11xC − 6 xD = 0
⇒ yang akhirnya memberikan xD = xC = xB = x A = 0
(36)
16 xD = 0
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan r = n . •
Sistem persamaan yang memberikan solusi tak trivial x A − xB = 0 − x A + 4 xB − 2 xC = 0
(37)
x A − 3 xB + 5 xC − 2 xD = 0 − x A + 4 xB − 13xC + 6 xD = 0
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah 0 1 −1 0 − 1 4 − 2 0 1 −3 5 −2 − 1 4 − 13 6
| 0 | 0 ⇒eliminasi Gauss ⇒ | 0 | 0
0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 0 0 11 − 6 0 0 0 0
| 0 | 0 | 0 | 0
dan sistem persamaan menjadi
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
16/21
Darpublic
www.darpublic.com x A − xB = 0 3xB − 2 xC = 0
(38)
11xC − 6 xD = 0 0=0
Jika kita mengambil nilai xD = 1 maka akan diperoleh xC =
6 12 12 ; xB = ; x A = . Solusi 11 33 33
12 / 33 12 / 33 yang jika digandaawalkan dengan matriks ini membentuk vektor solusi x1 = 6 / 11 1
koefisiennya akan menghasilkan vektor nol b = 0. 0 12/33 0 1 − 1 0 0 3 − 2 0 12/33 0 = Ax1 = 0 0 11 − 6 6/11 0 0 0 1 0 0 0
(39)
xD = 33
akan diperoleh vektor solusi
Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya
12 12 yang lain, yaitu x 2 = = 33x1 , yang jika digandaawalkan dengan matriks koefisiennya 18 33
juga menghasilkan vektor nol.. Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk (40) x c = cx 1 dengan c adalah skalar sembarang. Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2. 12 / 33 12 12 / 33 12 + = x + 33x = 34x x3 = x1 + x 2 = 1 1 1 6 / 11 18 1 33
(41)
Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai x j = ∑ xc
(42)
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar (40) dan penjumlahan vektor-vektor solusi (42). Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor. Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
17/21
Darpublic
www.darpublic.com
skalar dengan vektor x1 walaupun diperoleh dari penjumlahan vektor sebagaimana terlihat pada (41). Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2. Kita akan melihat kasus yang lain. •
Sistem persamaan dengan vektor solusi berdimensi 2. Kita lihat sistem berikut. x A − xB = 0 − x A + 4 xB − 5 xC + 2 xD = 0
(43)
x A − 4 xB + 5 xC − 2 xD = 0 − x A + 7 xB − 10 xC + 4 xD = 0
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah 0 0 1 −1 − 1 4 −5 2 1 −4 −2 5 − 1 7 − 10 4
| 0 | 0 ⇒ eliminasi Gauss ⇒ | 0 | 0
1 − 1 0 0 3 − 5 0 0 0 0 0 0
0 | 0 2 | 0 0 | 0 0 | 0
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi x A − xB = 0 3 xB − 5 xC + 2 xD = 0 0=0
(44)
0=0
Jika kita memberi nilai xC = 1 dan xD = 0 , kita akan mendapatkan xB = 5 / 3 ; x A = 5/3 . 5 / 3 5 / 3 Vektor x1 = adalah salah satu vektor solusi; jika kita gandaawalkan matriks koe fisien 1 0 dengan vektor ini maka akan diperoleh vektor b = 0 1 − 1 0 0 3 − 5 Ax1 = 0 0 0 0 0 0
0 5 / 3 5 / 3 − 5 / 3 0 2 5 / 3 0 + 5 − 5 + 0 0 = = 0 0 1 0 0 0 0 0
Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan Ak1x1 = 0 , Ak 2 x1 = 0 , dan Ak1x1 + Ak 2 x1 = A ( k1 + k 2 ) x1 = Ac1x1 = 0 . Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka k1x1 , k 2 x1 , ( k1x1 + k 2 x1 ) adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai xC = 1 dan xD = 0 .
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
18/21
Darpublic
www.darpublic.com
Jika xC = 0 dan xD = 1 akan kita peroleh xB = −2 / 3 dan x A = −2 / 3 yang membentuk − 2 / 3 − 2 / 3 . Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektorvektor solusi x 2 = 0 1 vektor solusi yang lain seperti l1x 2 , l2 x 2 , (l1x 2 + l2 x 2 ) .
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah x = kx1 + lx 2
(45)
Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2. Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang mengatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n − r).
Kebalikan matriks dan metoda eliminasi Gauss-Jordan Pengertian tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n × n. Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A−1 sehingga definisi ini memberikan relasi A −1A = I = AA −1
(45)
Jika A berukuran n × n maka A−1 juga berukuran n × n dan demikian pula matriks identitasnya. Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular. Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi jika P = Q. P = IP = ( AQ)P = QAP = Q( AP) = QI = Q
(46)
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu Ax = b
(47)
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan (47), akan kita peroleh A −1Ax = A −1 b → Ix = x = A−1 b (48) Persamaan (48) menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A ada, atau jika matriks A tak singular. Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular. Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
19/21
Darpublic
www.darpublic.com
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A pada (47) adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada (48) dapat kita peroleh jika rank A−1 sama dengan n. Dengan perkataan lain matriks A yang berukuran n × n tak singular jika rank A sama dengan n dan akan singular jika rank A lebih kecil dari n. Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan (47). Jika X adalah kebalikan matriks A maka AX = I
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan A = [A I ] dan kita lakukan eliminasi Gauss ~ pada A sehingga matriks gandengan ini berubah menjadi [U H ] dengan U berbentuk matriks segitiga atas. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada [U H ] dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I. Langkah akhir ini akan menghasilkan [I X ] . Perhatikan contoh berikut. ~
Kita akan mencari kebalikan dari matriks 2 2 1 A = 3 − 2 2 − 2 4 1
Kita bentuk matriks gandengan [A I ]
2 2 | 1 0 0 1 [A I ] = 3 − 2 2 | 0 1 0 − 2 4 1 | 0 0 1
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini 2 | 1 0 0 pivot 1 2 0 − 8 − 4 | − 3 1 0 − 3 × baris 1 0 8 5 | 2 0 1 + 2 × baris 1
⇒
2 | 1 0 0 1 2 0 − 8 − 4 | − 3 1 0 pivot 0 0 1 | − 1 1 1 + baris 2
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan 0 0 −2 − 2 − 2 × baris 3 1 2 2 | 1 1 2 0 | 3 0 1 1 / 2 | 3 / 8 − 1 / 8 0 × (−1 / 8) ⇒ 0 1 0 | 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 − 0.5 × baris3 0 0 1 | − 1 0 0 1 | − 1 1 1 1 1 1 0 0 | 10 / 8 − 6 / 8 − 1 − 2 × baris 2 0 1 0 | 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 0 0 1 | − 1 1 1
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu : A
−1
10 / 8 − 6 / 8 − 1 = 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 − 1 1 1
Hasil ini dapat kita teliti balik dengan menggandaawalkannya dengan matriks A Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
20/21
Darpublic
www.darpublic.com
2 2 10 / 8 − 6 / 8 − 1 1 A A = 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 3 − 2 2 − 1 1 1 − 2 4 1 10 / 8 − 18 / 8 + 2 20 / 8 + 12 / 8 − 4 20 / 8 − 12 / 8 − 1 1 0 0 = 7 / 8 − 15 / 8 + 1 14 / 8 + 10 / 8 − 2 14 / 8 − 10 / 8 − 1 / 2 = 0 1 0 − 1 + 3 − 2 −2−2+4 − 2 + 2 + 1 0 0 1 −1
Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya 2 2 x1 8 1 3 − 2 2 x = 0 2 − 2 4 1 x3 0
vektor solusinya adalah 2 2 x1 1 x = 3 − 2 2 2 x3 − 2 4 1
−1
8 10 / 8 − 6 / 8 − 1 8 10 0 = 7 / 8 − 5 / 8 − 1 / 2 0 = 7 0 − 1 1 1 0 − 8
Kebalikan matriks diagonal. Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh. 0 a11 0 0 L 0 0 0 a nn
−1
0 1 / a11 0 = 0 L 0 0 0 1 / a nn
(49)
Kebalikan dari kebalikan matriks. Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.
(A )
−1 −1
=A
(50)
Kebalikan dari perkalian matriks. Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
(AB )−1 = B −1A −1
(51)
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut I = (AB )(AB )−1
(
)
A −1I = A −1 (AB )(AB )−1 = A −1A B(AB )−1 = IB(AB )−1 A −1 = B(AB )−1
B −1A −1 = B −1B(AB )−1 = I (AB )−1 = (AB )−1
Sudaryatno Sudirham, “Matriks dan Sistem Persamaan Linier”
21/21
