Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

1

2

Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011)

Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA.

Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk Perguruan Tinggi, GhaliaIndonesia, Jakarta, 1995. [2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1991. [3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968.


3

4

B


Definisi Vektor Notasi Operasi pada Vektor Interpretasi Vektor Secara Geometris Komponen Vektor Dalil pada Operasi Vektor Vektor Satuan Panjang Vektor Perkalian Vektor

VEKTOR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor: perpindahan, kecepatan dan percepatan. A Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu.


5

6

Penyajian Vektor

Vektor

◦ Geometri: Tanda Panah

◦ Notasi: P atau P

Penjumlahan Vektor R=A+B

A

B



7

8

Cara Poligon

Penjumlahan Vektor

A

B

Cara Jajaran Genjang

B

θ

A

Penjumlahan Vektor

A

B

R=A+B

A R

B


R=A+B

R


9

10

Dua buah vektor dikatakan sama bila memiliki besaran (panjang) dan arah yang sama.

-A

R A

-B

R = A + (-B)


A + (-A) = 0

Vektor - A adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor A, tetapi berlawanan arah, dan bila dijumlahkan akan menghasilkan vektor 0 .

A

SelisihVektor R=A–B

A

B


11

12

-4

Perkalian Vektor dengan Skalar

6 5 4 3 2 1

x2

-1 -2

A

1

U

2

3

4

5

6

2U

2A

x1

-U = -1 . [3 2] = [-3 -2]

2U = 2 . [3 2] = [6 4]

U = [3 2]


Perkalian vektor A dengan skalar m menghasilkan vektor mA.

-2

Interpretasi Vektor Secara Geometris

-3

-U D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011)

13

14

x2

V

2

U

W

3

4

5

Interpretasi Vektor Secara Geometris 5

4

3

2

1 1

A

Komponen Vektor Y

θ Ax

U = [3 2] V = [2 3] W=U+V = [3 2] + [2 3] = [5 5] T = U – V = …. ?


x1

Ay

X

Komponen Vektor A: vektor Ax dan vektor Ay Komponen-komponen sebuah vektor selalu saling tegaklurus. Komponen skalarnya: Ax = A cos θ Ay = A sin θ D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011)

15

16

A Ay

Ay

X

  

Ax2 + Ay2

atau

A =Ax + Ay

Arah komponen vektor tergantung pada arah sumbu-sumbu yang digunakan sebagai acuan.


A θ = tan −1  y  Ax

2. A =

Ada 2 cara menyatakan vektor A 1. A = Ax + Ay

Komponen Vektor (lanjutan)

Y

θ Ax

A

X

Komponen Vektor (lanjutan) Y

θ Ax

A =Ax’ + Ay’


Komponen Vektor (lanjutan) Dua buah vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki komponen yang sama. u [u1 u2 u3] = v [v1 v2 v3], jika u1 = v1, u2 = v2, u3 = v3.

2 x

−1

C

x

y

+ C

(

C

2 y

)


θ = tan

dan

C =

Penjumlahan Vektor Berdasarkan Komponennya C =A+B Cx = Ax + Bx Cy = Ay + By

C

D. L. Crispina ardede (Oktober 2011) D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011)

Contoh: 1. u =[1 2 3] dan v =[2 3 1], u ≠ v . 2. Misalkan [ x-y x+y z-1] = [4 2 3]. Kedua vektor tersebut memenuhi kesamaan bila nilai x = 3, y = -1, z = 4.

17

18

19

20

Penjumlahan Vektor Misalkan vektor U = [3 2] dan V = [2 3] Ux = 3 dan Uy = 2 Vx = 2 dan Vy = 3 Jika W = U + V , maka W dapat dicari dengan cara Wx = Ux + Vx = 3 + 2 = 5 Wy = Uy + Vy = 2 + 3 = 5 ∴ Vektor W = [Wx Wy] = [5 5].

…Contoh


Dalil Pada Operasi Vektor Untuk setiap vektor A = [a1, a2, …, an], B = [b1, b2, …, bn], C = [c1, c2, …, cn] ∈ Rn dan besaran skalar k, m ∈ R (R: himpunan bilangan riil), berlaku 1. A + B = B + A komutatif 2. A + (B + C)= (A + B) + C asosiatif 3. k (A + B) = k A + k B distributif 4. A + 0 = A 5. A + -A = 0 6. (k+m )A = k A + m A 7. (km )A = k(mA) = m(kA) 1A = A D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 8.

R2

21

• • •

Vektor Satuan

A

x z

R3 j i

B

x

Besar dan arah vektor diukur langsung.


B = B x i + B y j + B zk

k

Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah vektor satuan mempunyai magnitudo/ ukuran/panjang yang besarnya sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem koordinat R2 (R3) dinyatakan dengan i dan j (i, j dan k) yang saling y tegaklurus. y

j i

A = A xi + A yj

Panjang Vektor

A=

2

2

( A x ) + (A y )

Misalkan, Vektor A di R2 dinyatakan sebagai A = Ax i + Ay j Panjang Vektor A dihitung dengan cara:

B=


( Bx ) + ( By ) + ( Bz )

Misalkan, Vektor B di R3 dinyatakan sebagai B = Bx i + By j + Bz k , Panjang Vektor B dihitung dengan cara: 2 2 2 22

Perkalian Titik


Misalkan A dan B vektor di dalam Rn . Hasil kali titik dari A dan B adalah A.B = A1B1 + A2B2 +...+ AnBn. dimana A = [A1 A2 ... An], B = [B1 B2 ... Bn]. Dua vektor A dan B dikatakan tegak lurus satu sama lain, jika A.B = 0. Contoh: Diketahui u = [1 -2 3 -4], v = [6 7 1 -2], w = [5 -4 5 7]. u.v = 1.6 + (-2).7 + 3.1 + (-4).(-2) = 3 u.w = ... ... v.w = ... ... Vektor ...... dan ...... saling tegak lurus. 23

Perkalian Titik (Lanjutan) Sifat perkalian titik (dot product) dalam Rn .


Teorema Untuk sembarang vektor u, v, w ∈Rn dan sembarang skalar k ∈ R berlaku 1. (u + v) . w = u.w + v.w 2. (ku) . v = k (u.v) 3. u.v = v.u . 4. u.u ≥ 0 dan u.u = 0 jika dan hanya jika u = 0.

24

Perkalian Titik

…Latihan

1. Jika u = [2 -7 1], v = [-3 0 4], dan w = [0 5 -8], tentukan a). 3u – 4v b). 2u – 3v – 5w. 2. Tentukan x dan y jika [4 y] = x[2 3]. 3. Tentukan x, y, z jika [2 3 4] = x[1 1 1] + y[1 1 0] + z[1 0 0]



1 + 4 + 9 = 14

u12 + u 22 + ... + u n2

u = 12 + (−2) 2 + 33 =

Contoh: u = [1 -2 3]

u = u.u =

Panjang vektor u = [u1 u2 … un ] dinyatakan dengan |u|

Panjang Vektor di Rn

4. Dari soal no. 1, tentukan a). u. v b). u.w 3. u.(v+w)

25

26

27

Jarak pada Rn

(u1 − v1 ) 2 + (u 2 − v 2 ) 2 + ... + (u n − v n ) 2

Misalkan dua vektor pada Rn, u = [u1 u2 … un ] dan v = [v1 v2 … vn ]. Jarak (distance) antara u dan v adalah d (u , v ) =

Contoh: u = [1 -2 4] , v = [3 1 -5] (2) 2 + (−3) 2 + (9) 2

(1 − 3) 2 + (-2 − 1) 2 + (4 − (−5)) 2

= 94

d (u , v ) = =


… Latihan


4. Tentukan harga k sedemikian hingga d(u,v) = 6 dimana u = [2 k 1 -4], v = [3 -1 6 -3]

3. Hitung jarak antara vektor u dan v, jika a). u = [1 7], v = [6 -5] b). u = [3 -5 4], v = [6 2 -1]

2. Tentukan k sedemikian hingga |u| = √39 dimana u = [1 k -2 5].

1. Tentukan panjang vektor |u| jika diketahui a). u = [2 -7] b). u = [3 -12 4]

Panjang Vektor dan Jarak pada Rn

28

29


Field Ruang Vektor di atas Suatu Field Ruang Vektor Bagian Ketergantungan Linier Kombinasi Linier Dimensi dan Basis

RUANG VEKTOR 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Field


Misalkan K sebuah himpunan. Pada K didefinisikan 2 (dua) operasi yang disebut penjumlahan (+) dan perkalian ( . ). K merupakan field bila aksioma-aksioma berikut dipenuhi: 1. K tertutup terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian ( . ) 2. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada K 3. Terdapat identitas penjumlahan yang juga merupakan anggota K 4. Setiap anggota K memiliki invers penjumlahan yang juga anggota K 5. Operasi penjumlahan bersifat komutatif pada K 6. Operasi perkalian bersifat asosiatif pada K 7. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan 8. Operasi perkalian bersifat komutatif pada K 9. Terdapat identitas perkalian yang juga merupakan anggota K 10. Setiap anggota K memiliki invers perkalian yang juga merupakan anggota K 30

Field


(K, +, . ) adalah Field, jika ∀α, β, γ ∈ K dipenuhi: 1. α + β ∈ K dan α . β ∈ K (tertutup) 2. (α + β) + γ = α + (β + γ) (asosiatif) (0 identitas penjumlahan) 3. ∃ 0 ∈ K ∋ α+0 = 0+α = α 4. ∀ α∈K ∃ -α∈ α∈K α∈ ∋ α+-α = -α+α = 0 (-α invers penjumlahan dari α)) (5. α + β = β + α (komutatif) 6. (α.β).γ = α.(β.γ) (asosiatif) 7. α.(β + γ) = α.β + α.γ ; (β + γ).α = β.α + β.γ (distributif) 8. α . β = β . α (komutatif) 9. ∃ 1 ∈ K ∋ α.1 = 1.α = α (1 identitas perkalian) 10. ∀ α ≠ 0 ∈ K ∃ α-1∈K ∋ α.α-1 = α-1.α = 1 (α-1 invers perkalian dari α) 31

Ruang Vektor di Atas Suatu Field Misalkan (K, +, . ) adalah Field dan V himpunan tidak kosong dimana , jika ∀ u, v ∈ V, u + v ∈ V dan ∀ u ∈ V, k ∈ K berlaku ku ∈ V. Himpunan V disebut Ruang Vektor jika berlaku: A1. ∀ u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w) (0: vektor nol)

∀ u ∈ V, ∃ -u ∈ V ∋ u+-u = 0 ∀ u, v ∈ V, u + v = v + u ∀ k ∈ K, ∀ u, v ∈ V, k(u + v) = ku + kv ∀ k, l ∈ K, ∀ u ∈ V, (k + l) u = ku + lu ∀ k, l ∈ K, ∀ u ∈ V, (k l) u = k (l u) ∀ u ∈ V , ∃ 1 ∈ K ∋ 1.u = u D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011)

A2. ∀ u ∈ V, ∃ 0 ∈ V ∋ u+0 = u A3. A4. M1. M2. M3. M4. 32

Ruang Vektor

… Contoh

… Latihan


1. Himpunan semua n-tuple dari elemen-elemen field K, dimana penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai (a1, a2,…, an) + (b1, b2,…, bn) = (a1+b1, a2 + b2,…, an + bn) k (a1, a2,…, an) = (ka1, ka2,…, kan) dimana ai, bi ∈ K, adalah ruang vektor atas field K. 2. Misalkan V himpunan semua matriks (mxn) dimana setiap sel berisi anggota K. V merupakan ruang vektor atas K dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian skalar.

33

Ruang Vektor


1. Tunjukkan bahwa untuk sembarang skalar k dan sembarang vektor U dan V, berlaku k (U – V) = kU – kV 2. Diketahui himpunan pasangan terurut dari bilangan riil V = {(a, b)| a, b ∈R}. Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor atas R di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada V yang didefinisikan sebagai (a, b) + (c, d) = ((a + c), (b+d)) dan k(a,b) = (ka, b) 34

Ruang Vektor

… Latihan



Contoh: V = ruang vektor dari semua matriks (mxn) W = himpunan semua matriks A(a) dimana a = a . W merupakan ruang vektor bagian dari V.

Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor atas field K. W disebut Ruang Vektor Bagian dari V, jika W adalah ruang vektor atas field K, dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar pada V.

Ruang Vektor Bagian

3. Diketahui himpunan pasangan terurut dari bilangan riil V = {(a, b)| a, b ∈R}. Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor atas R di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada V yang didefinisikan sebagai a). (a, b) + (c, d) = (a, b) dan k(a,b) = (ka, kb) b). (a, b) + (c, d) = ((a+c), (b+d)) dan k(a,b) = (k2a, k2b) 35

36

Ketergantungan Linier

… Contoh


Jika λ1= λ2 =…= λm = 0 , maka v1, v2,…, vm dikatakan Bebas Linier.

Misalkan V ruang vektor atas field K. Vektor-vektor v1, v2,…, vm ∈ V dikatakan Bergantung Linier, jika terdapat λ1, λ 2,…, λ m ∈ K yang tidak semua nol, sedemikian hingga λ1 v1 + λ2 v2 + … + λm vm = 0

37


1. Vektor u = [1 1 0], v = [1 3 -1], w = [5 3 -2] bergantung linier, karena 3u + 2 v – w = 0.


2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor berikut bebas linier. u = [6 2 3 4], v = [0 5 -3 1], w = [0 0 7 -2] .

38


… Latihan

1. Selidiki apakah vektor-vektor u dan v berikut bebas linier atau bergantung linier. a). u = [3 4], v = [1 -3] b). u = [2 -3], v = [6 -9] c). u = [4 3 -2], v = [2 -6 7] d). u = [-4 6 -2], v = [2 -3 1]

1 a ). A =  1 1 b). A =  3

1 1 0 1 1 , B =  , C =     1 0 1  0 0 2  1 - 5  3 -1 , C =  , B =     1  - 4 0  2 2 

… Latihan


2. Selidiki apakah matriks-matriks berikut bebas linier.

39



3. Misalkan V ruang vektor dari polinomial berderajat ≤ 3 atas R. (R: himpunan bilangan riil) selidiki apakah u = t3 - 3t2 + 5t + 1 v = t3 - t2 + 8t + 2 w = 2t3 - 4t2 + 9t + 5 bebas linier.

40

Kombinasi Linier Misalkan V sebuah ruang vektor atas field K dan v1, v2,…, vm ∈ V . Sembarang vektor dalam V yang berbentuk λ1 v1 + λ2 v2 + … + λm vm disebut Kombinasi Linier dari vektor-vektor v1, v2,…, vm .

Dengan kata lain,


… Contoh


1. Vektor e1 = [1 0 0], e2 = [0 1 0], e3 = [0 0 1], membangkitkan ruang vektor R3 . ∀ [a b c ]∈ R3 , [a b c ] = a [1 0 0] + b [0 1 0] + c [0 0 1] = a e1 + b e2 + c e3 . ∴ ∀ [a b c ]∈ R3 merupakan kombinasi linier dari ei 2. Selidiki apakah vektor v = [3 9 -4 4] merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor u = [1 -2 0 3] v = [2 3 0 1] w = [2 -1 2 1]

Kombinasi Linier

Vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor v1, v2,…, vm bila terdapat skalar-skalar λ1, λ2, …, λm sedemikian hingga v = λ1 v1 + λ2 v2 + … + λm vm 41

42

Kombinasi Linier

1

… Latihan

1. Nyatakan vektor v = [1 -2 5] sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor u1 = [1 1 1], u2 = [1 2 3], u3 = [2 -1 1] 2. Nyatakan vektor w = [2 -5 3] sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor e1 = [1 -3 2], e2 = [2 -4 -1], e3 = [1 -5 7]. 3. Hitung k sedemikian hingga vektor t = [1 -2 k] merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor v = [3 0 -2] , w = [2 -1 -5] 3

1 1  A =  , B = 1 0 


0 0 0 2    , C =  0 − 1 1 1  

4. Nyatakan matriks P =   sebagai kombinasi linier dari  1 − 1 matriks-matriks

43

Dimensi dan Basis Dimensi Suatu ruang vektor V dikatakan Berdimensi n, jika dapat ditemukan sebuah himpunan n vektor anggota V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n + 1) vektor anggota V selalu bergantung linier. Dengan kata lain, dalam ruang vektor berdimensi n, jumlah maksimum vektor anggota V yang bebas linier adalah n.


Setiap himpunan n buah vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor berdimensi n disebut Basis dari ruang vektor

Basis

44

Dimensi dan Basis

… Contoh

1. Misalkan ruang vektor V dibentuk oleh vektor-vektor p = [1 -2 3 1] dan q = [2 -4 5 2]. Kedua vektor tersebut tidak berkelipatan, berarti keduanya bebas linier. Dengan demikian, dimensi ruang vektor yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut adalah 2.

… Latihan


2. Vektor e1 = [1 0 0], e2 = [0 1 0], e3 = [0 0 1], merupakan basis dari ruang vektor R3 . λ1 [1 0 0] + λ2 [0 1 0] + λ3 [0 0 1] = [0 0 0] λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ2 + λ3 = 0 λ1 = λ2 = λ3 = 0 λ3 = 0 Jelas bahwa e1, e2, e3 bebas linier, dan merupakan basis R3. 45

Dimensi dan Basis

1. Selidiki apakah vektor -vektor e1 = [1 0 0], e2 = [1 1 0], dan e3 = [1 1 1], merupakan basis dari ruang vektor R3 . 2. Selidiki apakah vektor -vektor u = [1 1 2], v = [1 2 5], dan w = [5 3 4], merupakan basis dari ruang vektor R3 .


3. Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh a). a = [1 1 2], b = [1 2 5], c = [5 3 4]. b). a = [1 2 2], b = [2 4 4], c = [1 0 1]. c). a = [1 0 1], b = [3 0 3], c = [2 0 2].

46

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

Recommend Documents