MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR

ALJABAR LINEAR MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR

7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks. 𝑎11 𝐀= 𝑎 21

𝑎12 𝑎22

Matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom disebut vektor.

Contoh 1. Sistem Linear  Perhatikan sistem persamaan linear (sistem linear) berikut

ini

4𝑥1 + 6𝑥2 + 9𝑥3 = 6 6𝑥1 − 2𝑥3 = 20 5𝑥1 − 8𝑥2 + 𝑥3 = 10

 Matriks koefisien

4 6 9 𝐴 = 6 0 −2 5 −8 1

Contoh 1.  Augmented matrix

4 6 9 6 𝐴 = 6 0 −2 20 5 −8 1 10

Contoh 2. Penjualan Produk  Penjualan tiga produk berbeda dalam satu minggu dapat

ditulis dalam bentuk 𝑀 400 𝐀= 0 100

𝑇

𝑊

𝑇ℎ

330 810 0 120 780 500 0 0 270

𝐹

𝑆

210 470 500 960 430 780

I II III

Notasi Umum  Matriks dinotasikan dengan huruf besar tebal

 Entri umum dalam kurung siku

𝐀 = 𝑎𝑗𝑘

𝑎11 = ⋮ 𝑎1𝑚

⋯ ⋱ ⋯

𝑎1𝑛 ⋮ 𝑎𝑚𝑛

Penjumlahan Matriks Syarat Matriks yang dijumlahkan mempunyai ukuran yang sama Aturan Penjumlahan a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A + (B + C) c) A + 0 = A d) A + (-A) = 0

hukum komutatif hukum asosiatif

Perkalian Matriks dengan Skalar c(A + B) = cA + cB b) (c + k)A = cA + kA c) c(kA) = (ck)A d) 1A = A a)

Nodal Incidence Matrix Aturan

𝑎𝑗𝑘

+1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑘 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑗 = −1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑘 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑘𝑒 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑗 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑘 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑢𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑗

Mesh Incidence Matrix Aturan

𝑚𝑗𝑘

+1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑘 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑚𝑒𝑠ℎ 𝑗 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑎𝑟𝑎ℎ = −1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑘 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑚𝑒𝑠ℎ 𝑗 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑤𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑎ℎ 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑘 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠ℎ 𝑗

7.2 Perkalian Matriks DEFINISI Perkalian Matriks dengan Matriks

Perkalian matriks 𝐂 = 𝐀𝐁 dari matriks 𝐀 = 𝑎𝑗𝑘 yang berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan matriks 𝐁 = 𝑏𝑗𝑘 yang berukuran 𝑟 × 𝑝 terdefinisi jika dan hanya jika 𝑟 = 𝑛 dan matriks 𝐂 = 𝑐𝑗𝑘 berukuran 𝑚 × 𝑝 dengan entrientri 𝑛

𝑐𝑗𝑘 =

𝑎𝑗𝑙 𝑏𝑙𝑘 = 𝑎𝑗1 𝑏1𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑗𝑛 𝑏𝑛𝑘 𝑙=1

𝑗 = 1, ⋯ , 𝑚 𝑘 = 1, ⋯ , p

Aturan Perkalian k𝐀 𝐁 = k 𝐀𝐁 = 𝐀k𝐁 b) 𝐀 𝐁𝐂 = 𝐀𝐁 𝐂 c) 𝐀 + 𝐁 𝐂 = 𝐀𝐂 + 𝐁𝐂 d) 𝐂 𝐀 + 𝐁 = 𝐂𝐀 + 𝐂𝐁 a)

hukum asosiatif hukum distributif hukum distributif

Transposisi DEFINISI Transposisi Matriks

Transposisi dari matriks 𝐀 = 𝑎𝑗𝑘 yang berukuran 𝑚 × 𝑛 adalah matriks 𝐀T = 𝑎𝑘𝑗 dengan baris pertama menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom kedua, dan seterusnya.

Aturan Transposisi T T

a)

𝐀

b)

𝐀 + 𝐁 T = 𝐀T + 𝐁 T c𝐀 T = c𝐀T 𝐀𝐁 T = 𝐁 T 𝐀T

c)

d)

=𝐀

Matriks Khusus Matriks Simetris Matriks persegi yang transposenya sama dengan matriks itu sendiri Matriks Skew Simetris Matriks persegi yang transposenya sama dengan minus matriks itu sendiri Matriks Triangular Matriks Triangular Atas Matriks persegi mempunyai entri-entri taknol pada diagonal utama dan atas diagonal utama

Matriks Triangular Bawah Matriks persegi mempunyai entri-entri taknol pada diagonal utama dan bawah diagonal utama

Matriks Khusus Matriks Diagonal Matriks dengan entri-entri taknol hanya pada diagonal utama Matriks Skalar Matriks diagonal dengan nilai entri-entri diagonalnya sama Matriks Indentitas Matriks skalar dengan entri-entri taknol sama dengan 1.

Contoh 11 Supercomp Ltd memproduksi dua model komputer yaitu PC1086 dan PC1186. Matriks A menunjukkan harga per komputer (dalam ribuan dolar) dan B menunjukkan produksi tahun 2005 (dalam perkalian 10000 unit). Tentukan matriks C yang menunjukkan pada pemegang saham harga per kuarter (dalam juta dolar) untuk bahan baku, pegawai, dan biaya lainlain.

7.3 Sistem Persamaan Linear Eleminasi Gauss Sistem linear m persamaan dalam n variabel 𝑎11 𝑥1 𝑎21 𝑥1 ⋯ 𝑎𝑚1 𝑥1

+ + ⋯ +

 Sistem homogen

 Sistem nonhomogen

⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛

= 𝑏1 = 𝑏2 ⋯ ⋯ = 𝑏𝑚

Sistem Linear Overdetermined Lebih banyak persamaan daripada variabel yang tidak diketahui Determined Jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui Underdetermined Jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah variabel yang tidak diketahui Consistent Mempunyai setidaknya satu solusi Inconsistent Tidak mempunyai solusi

Matriks Matriks koefisien

𝑎11 𝑎21 𝐴= ⋯ 𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑚𝑛

Matriks kolom 𝑥1 . 𝐱= . . 𝑥𝑛

𝑏1 . dan 𝐛 = . . 𝑏𝑚

Matriks yang Diperluas 𝑎11 𝑎21 𝐴= ⋯ 𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1 ⋯ 𝑎2𝑛 . ⋯ ⋯ . ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚

Operasi Dasar Matriks  Menukar dua baris

 Menambahkan hasil perkalian satu baris dengan sebuah

konstanta ke baris yang lain  Mengalikan satu baris dengan konstanta yang taknol

Electrical Network

Node P 𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 Node Q −𝑖1 + 𝑖2 − 𝑖3 = 0 Right loop 10𝑖2 + 25𝑖3 = 90 Left loop 20𝑖1 + 10𝑖2 = 80

7.4 Bebas Linear. Rank Matriks. Ruang Vektor DEFINISI Rank Matriks Rank dari matriks A adalah jumlah maksimum dari vektor baris yang bebas linear dari matriks A. Dinotasikan dengan rank A.

Teorema Teorema 1 Dua matriks dikatakan ekivalen baris jika mempunyai rank yang sama. Teorema 2 Matriks A dan AT mempunyai rank yang sama

7.5 Solusi Sistem Linear Teorema 1 Pandang sistem linear m persamaan dalam n variabel 𝑎11 𝑥1 𝑎21 𝑥1 ⋯ 𝑎𝑚1 𝑥1 (a) (b) (c) (d)

Eksistensi Tunggal Banyak solusi Eliminasi Gauss

+ + ⋯ +

⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛

= = ⋯ =

𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑚

(a) Eksistensi. Sistem persamaan konsisten jika dan hanya

jika matriks koefisien dan matriks yang diperluas mempunyai rank yang sama. (b) Tunggal. Sistem persamaan mempunyai solusi tunggal jika rank A sama dengan n. (c) Banyak solusi. Sistem persamaan mempunyai banyak solusi jika rank A < n. (d) Eliminasi Gauss. Jika solusi sistem persamaan ada, maka solusi dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi Gauss.

7.6 Determinan Determinan orde dua

𝑎11 𝐷 = det 𝐴 = 𝑎 21

𝑎12 𝑎22 (1)

Aturan Cramer Solusi sistem persamaan dua persamaan dengan dua variabel 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 adalah 𝑏1 𝑎12 𝑏 𝑎22 𝑥1 = 2 𝐷 𝑎11 𝑏1 𝑎 𝑏2 𝑥2 = 21 𝐷 dengan 𝐷 ≠ 0

7.8 Invers Matriks Eleminasi Gauss-Jordan DEFINISI Invers Matriks

Invers dari matriks Anxn adalah dinotasikan dengan A-1 adalah matriks berukuran n x n sedemikian sehingga AA-1 = A-1A = I dimana I adalah matriks identitas yang berukuran n x n.

Jika matriks A mempunyai invers, maka A disebut matriks nonsingular. Jika matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks singular. Jika matriks A mempunyai invers, maka inversnya tunggal.

Teorema 1 Eksistensi Invers Invers matriks A yang berukuran nxn ada jika dan hanya jika rank A = n. A nonsingular jika rank A= n. A singular jika rank A < n.

Contoh 1. Invers Matriks dengan Eleminasi Gaus-Jordan Tentukan invers dari matriks

Solusi.

−1 1 2 𝐀 = 3 −1 1 −1 3 4

−1 1 2 1 𝐀 𝐈 = 3 −1 1 0 −1 3 4 0

𝐈 𝐀−𝟏

1 = 0 0

0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 ??? 0 1

Eleminasi Gauss −1 3 −1

1 −1 3

2 1 0 0 −1 1 1 0 1 0 𝑅2 + 3 ∗ 𝑅1 0 2 4 0 0 1 𝑅3 − 𝑅1 0 2

−1 0 0

1 2 1 0 0 −1 2 7 3 1 0 0 2 2 −1 0 1 𝑅3 − 𝑅2 0

2 1 7 3 2 −1

1 2 1 2 7 3 0 −5 −4

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 −1 1

Langkah Gauss-Jordan

−1 0 0

1 2 1 −𝑅1 1 0 0 2 7 3 1 0 0.5 ∗ 𝑅2 0 0 −5 −4 −1 1 −0.2 ∗ 𝑅3 0

1 −1 −2 −1 0 1 3.5 1.5 0 0 1 0.8

0 0.5 0.2

−1 1 0

−2 −1 0 0 3.5 1.5 0.5 0 1 0.8 0.2 −0.2

0 𝑅1 + 2 ∗ 𝑅3 1 −1 0 𝑅2 − 3.5 ∗ 𝑅3 0 1 −0.2 0 0

0 0.6 0.4 0 −1.3 −0.2 1 0.8 0.2

−0.4 0.7 −0.2

Teorema 2. Invers Matriks Invers matriks nonsingular A berukuran n x n adalah 1 T −1 𝐀 = 𝐶𝑗𝑘 det 𝐀

Teorema 3. Hukum Kanselasi Misalkan A, B, dan C matriks-matriks berukuran n x n. Maka a) Jika rank A = n dan AB = AC, maka B = C. b) Jika rank A = n, jika AB = 0 maka B = 0. Jika AB = 0, tetapi A ≠ 0 dan B ≠ 0, maka rank A < n dan rank B < n. c) Jika A singular, maka BA dan AB juga singular.

Kuis 19 Oktober 2012 Materi 1. Nodal 2. Mesh 3. Aplikasi 4. Determinan 5. Aturan Cramer 6. Eliminasi Gauss 7. Invers (Adjoin, Eliminasi Gauss-Jordan) Blog: indahyanti.lecture.ub.ac.id

Teorema 4. Determinan Perkalian Matriks Untuk sebarang matriks n x n A dan B, det (AB) = det (BA) = det A det B