Pertemuan 8 – Aljabar Linear & Matriks
1
Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b
dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A-1 b
Contoh Selesaikan sistem persamaan linier berikut menggunakan invers matriks.
2
Dalam bentuk matriks Ax = b maka dari sistem persamaan linier tsb diperoleh:
Invers matriks A (sesuai yg tlh diperoleh pd pertemuan yg
sblmnya) adl:
maka dgn menggunakan invers matriks A dpt diperoleh:
3
Sehingga x1 = 1, x2 = -1, dan x3 = 2 Teorema Jika Ax1 = b1, Ax2 = b2, Ax3 = b3, …, Axk = bk maka x1 = A-1 b1, x2 = A-1 b2, x3= A-1 b3, …, xk = A-1 bk Sejumlah sistem persamaan linier yg spt itu dpt dinyatakan dlm btk matriks augmentasi sbb: [ A | b1 | b2 | … |bk ]
4
Contoh:
Selesaikan dua sistem persamaan linier berikut:
Penyelesaian: Matriks augmentasi yg dpt diperoleh dr soal adl sbb: operasi elementer baris
Brp harga-harga x utk masing-masing sistem persamaan? Coba selesaikan menggunakan invers matriks A! 5
Matriks diagonal adl sebuah matriks bujursangkar dimana
semua elemen selain pd diagonal utama bernilai nol. Secara umum dpt dinyatakan sbg:
Contoh:
6
Invers matriks diagonal Matriks diagonal invertible jika dan hanya jika semua elemen
diagonalnya tidak sama dengan nol, dan jk dmk mk inversnya adl:
Perpangkatan matriks diagonal Perpangkatan matriks diagonal dgn suatu bilangan bulat k didefinisikan sbg:
7
Perkalian dgn matriks diagonal Perkalian dgn matriks diagonal sangat mudah utk dihitung. Ilustrasi:
8
Matriks bujursangkar dimana semua elemen di atas diagonal
utama bernilai nol disebut matriks segitiga bawah.
Matriks bujursangkar dimana semua elemen di bawah diagonal utama bernilai nol disebut matriks segitiga atas.
9
Sifat-sifat matriks segitiga:
Transpose matriks segitiga bawah adl matriks segitiga atas. Dmk
pula sebaliknya.
Hasil kali dgn matriks segitiga atas adl matriks segitiga atas.
Hasil kali dgn matriks segitiga bawah adl matriks segitiga
bawah.
Sebuah matriks segitiga dpt diinverskan jika dan hanya jika semua elemen diagonalnya tdk sama dgn nol.
Invers matriks segitiga atas juga berbentuk matriks segitiga atas.
Invers matriks segitiga bawah juga berbentuk matriks segitiga bawah.
10
Contoh:
11
Sebuah matriks bujursangkar A disebut simetris jika AT = A.
Contoh:
7 3 3 5
1 4 5 4 3 0 5 0 7
d1 0 0
0 d2 0
0 0 d 3
12
Determinan mrpk suatu fungsi yg menghubungkan sebuah
bilangan real dgn matriks bujursangkar. Dalam matriks ukuran 2x2:
maka determinan matriks A dinyatakan sbg: det (A) = ad – bc dan invers matriks A dinyatakan sbg:
13
Jika A adl matriks bujursangkar, maka minor elemen aij
(dinotasikan dgn Mij) adl determinan submatriks yg tertinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari matriks A.
Kofaktor elemen aij (dinotasikan dgn Cij) didefinisikan sbg:
Cij = (-1)i+j Mij Contoh: Temukan minor dan kofaktor dari matriks
14
Untuk elemen a11 maka
Untuk elemen a32 maka
15
Untuk matriks A bujursangkar 3x3, maka determinan dpt
diperoleh menggunakan ekspansi kofaktor sbb:
Secara umum, determinan matriks nxn didefinisikan sbg:
disebut mencari determinan A menggunakan ekspansi kofaktor menurut baris pertama matriks A.
16
Contoh: Temukan determinan matriks berikut dgn ekspansi kofaktor mnrt baris pertama.
Penyelesaian:
Coba temukan determinan menggunakan ekspansi kofaktor menurut baris kedua atau ketiga. Bgmn hasilnya?
17
Secara umum, utk matriks 3x3 maka determinan dpt dicari dgn:
Teorema: Determinan matriks nxn dpt ditentukan menggunakan ekspansi kofaktor mnrt kolom ke j atau ekspansi kofaktor mnrt baris ke i
18
Memilih baris atau kolom Tentukan determinan matriks
Pilihlah kolom kedua sbg dasar ekspansi kofaktornya. Mengapa?
19
Jika A adl matriks nxn dan Cij adl kofaktor elemen aij maka
matriks
disebut matriks kofaktor dari A. Transpose dari matriks ini disebut adjoint matriks A atau dinotasikan sbg adj(A) Soal Latihan:
Temukan adj (A) jika
20
Adjoint matriks dpt digunakan utk mencari invers matriks
(yang invertible)
Quiz (40 Minutes) Temukan invers matriks A menggunakan adjoint matriksnya.
21
Elementary Linear Algebra with Applications 9th Edition, Howard Anton, John Wiley & Sons, 2005.
