Aljabar Linier & Matriks
1
Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor
orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil
perkalian titik-nya sama dengan nol. Vektor u dan v disebut saling tegak lurus jika: u = o atau v = 0 u=v=o u.v = 0
Notasi utk u tegak lurus dgn v u v 2
Sifat-Sifat Perkalian Titik Jika u, v, dan w adl vektor dlm ruang 2D dan 3D dan k adalah bilangan skalar tertentu, maka: u.v = v.u
u.(v + w) = u.v + u.w k(u.v) = (ku).v = u.(kv) v.v > 0 jika v 0 dan v.v = 0 jika v = 0
3
Proyeksi Orthogonal Dlm berbagai aplikasi, seringkali dibutuhkan utk menguraikan satu
vektor menjadi jumlahan dua vektor. vektor u akan diurai w1 proyeksi u sejajar sumbu a (proj a u)
w2 komponen u yg orthogonal thdp a w2 = u – proj a u
Dengan dmk dpt dinyatakan : u = w1 + w2 4
Jika u dan a adl vektor dlm 2D atau 3D dan a 0 maka proyeksi vektor u sepanjang vektor a ditentukan oleh:
dan komponen u yang ortogonal terhadap vektor a ditentukan oleh:
5
Example Misalkan u = (2, -1, 3) dan a = (4, -1, 2). Temukan komponen vektor u
sejajar a dan komponen vektor u yg orthogonal terhadap a. Penyelesian:
maka proyeksi vektor u sejajar a adalah:
proja u =
6
Dan komponen vektor u yg orthogonal thd a adalah: u – proj a u =
Untuk menentukan panjang komponen vektor u sejajar a dpt diigunakan formula sbb: ||proj a u||
atau dinyatakan
|| proja u ||
| u.a | || a || 7
Jika mrpk sudut yg dibentuk oleh u dan a maka u.a = ||u|| ||a|| cos Shg panjang komponen u sejajar a dpt dinyatakan kembali sbg: ||proj a u|| = ||u|| |cos |
8
Jarak Titik ke Garis Akan ditemukan jarak D antara titik Po(xo, yo) ke garis ax+by+c = 0 Misalkan titik Q(x1, y1) Vektor n = (a, b) dgn titik asal
berimpit dgn titik Q Maka jarak titik P0 ke garis ax+by+c=0 atau D adl proyeksi vektor
QP0
sejajar n sehingga
D= 9
Sehingga
Oleh karena titik Q(x1, y1) terletak pd garis ax + by + c = 0, maka koordinatnya pasti juga memenuhi pers garis tsb, sehingga: ax1 + by1 + c = 0
atau
c = – ax1 – by1
Dan persamaan utk menentukan jarak D menjadi:
10
Example Temukan jarak antara titik (1, -2) dengan garis 3x + 4y – 6 = 0. Contoh aplikasi:
Menemukan garis pemisah antara 2 kelompok data dihitung dari jarak
titik terluar masing-masing kelompok.
11
Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang menghasilkan besaran vektor
Hanya diaplikasikan untuk vektor 3D Definisi:
Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor dalam ruang 3D
maka perkalian silang u x v merupakan besaran vektor yang didefinisikan sebagai: u x v = [(u2.v3 –u3.v2), (u3.v1 –u1.v3), (u1.v2 –u2.v1)]
atau dalam notasi determinan dinyatakan sebagai:
12
Example Temukan u x v jika u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1)
Penyelesaian: Buatlah matriks sbb dari vektor u dan v u1 u2 v v 1 2
u3 1 2 2 v3 3 0 1
Lalu gunakan definisi u x v, yaitu:
13
Teorema Perkalian Silang Jika u, v, dan w merupakan vektor dalam ruang 3D maka: u.(u x v) = 0 u x v orthogonal terhadap u v.(u x v) = 0 u x v orthogonal terhadap v
||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u.v)2 identitas Lagrange u x(v x w) = (u.w)v – (u.v)w (u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u
14
Example Buktikan bahwa u dan v saling tegak lurus terhadap u x v jika
u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1). Penyelesaian: Temukan u x v Gunakan teorema pertama Gunakan teorema kedua
15
Sifat-sifat Perkalian Silang Jika u, v, dan w adalah vektor 3D sebarang dan k adalah skalar maka: u x v = -(v x u) (u + v) x w = (u x w) + (v x w)
u x (v + w) = (u x v) + (u x w) k (u x v) = (ku) x v = u x (kv) ux0=0xu=0
uxu=0
16
Vektor Satuan Standard Misalkan vektor-vektor i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
Vektor-vektor di atas mempunyai panjang 1 satuan dan berimpit
masing-masing pada sumbu koordinat disebut vektor satuan standard dalam ruang 3D.
17
Untuk setiap vektor v = (v1, v2, v3) dalam ruang 3D maka dapat dinyatakan sebagai: v = (v1, v2, v3) = v1 (1, 0, 0) + v2 (0, 1, 0) + v3 (0, 0, 1) = v1 i + v2 j + v3 k Misalnya: v = (2, -3, 4) = 2i -3j + 4k dan evaluasilah bahwa:
18
Perkalian silang antar vektor satuan standard:
shortcut:
- perkalian silang antara 2 vektor yang berturutan dan searah jarum jam, maka hasilnya adalah vektor yang berikutnya - perkalian silang antara 2 vektor yang berturutan dan berlawanan dengan arah jarum jam, maka hasilnya adalah negatif vektor yang berikutnya 19
Bentuk Determinan Perkalian Silang Perkalian silang dapat dinyatakan dalam bentuk determinan sbb:
Misalkan jika u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) maka
20
Interpretasi Geometris Perkalian Silang Jika u dan v adalah vektor dalam ruang 3D maka interpretasi
geometrisnya dapat dicari kembali menggunakan identitas Lagrange sbb:
maka:
Teorema: Jika u dan v adl vektor dlm ruang 3D maka ||uxv|| sama dengan luas area paralelogram yg sisinya u dan v 21
paralelogram
Example:
Tentukan luas area segitiga yg dibentuk oleh titik P1(2,2,0), P2(-1,0,2), dan P3(0,4,3).
22
Scalar Triple Product Jika u, v, dan w adalah vektor dalam ruang 3D maka u.(v x w) disebut
sebagai scalar triple product dari u, v, dan w.
karena
23
Example (Homework) Hitunglah scalar triple product u.(v x w) jika u = 3i – 2j – 5k;
v = i + 4j – 4k; dan w = 3j + 2k Penyelesaian:
Temukan menggunakan ekspansi kofaktor dan operasi antar baris.
24
