Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26

Aljabar Linier Elementer Kuliah 26

Materi Kuliah  Transformasi Linier Umum  Kernel dan Range

10/11/2014

Yanita, Matematika FMIPA Unand

2

Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan 𝑉 dan 𝑊 adalah ruang vektor dan 𝑇 adalah fungsi dari 𝑉 ke 𝑊, atau 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊. Maka 𝑇 disebut transformasi linier dari 𝑉 ke 𝑊 jika semua vektor 𝒖 dan 𝒗 pada 𝑉dan semua scalar 𝑘, berlaku: a. 𝑇 𝒖 + 𝒗 = 𝑇 𝒖 + 𝑇(𝒗) b. 𝑇 𝑘𝒖 = 𝑘𝑇(𝒖)

Catatan: Jika 𝑉 = 𝑊 maka transformasi linier 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑉 disebut sebagai operator linier pada 𝑉. 10/11/2014


3

Contoh Misalkan 𝑉 dan 𝑊 ruang vector. 1. Fungsi 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 dengan 𝑇 𝒗 = 𝟎 untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 adalah transformasi linier. 2. Fungsi 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑉 dengan 𝑇 𝑣 = 𝑣 untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 adalah transformasi linier (= disebut juga sebagai operator identitas)

10/11/2014


4

Contoh 1. Diketahui bahwa 𝑃𝑛 dan 𝑃𝑛+1 adalah ruang vector. Didefinisikan 𝑇: 𝑃𝑛 ⟶ 𝑃𝑛+1 dengan 𝑇 𝑝 𝑥 = 𝑥𝑝(𝑥) untuk setiap 𝑝(𝑥) ∈ 𝑃𝑛 . Maka 𝑇 adalah transformasi linier. (𝑝 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 . 2. Misalkan 𝑉 ruang hasilkali dalam dan 𝒗0 adalah sebarang vector tetap di 𝑉. Didefinisikan 𝑇: 𝑉 ⟶ ℝ dengan 𝑇 𝒗 = 𝒗, 𝒗0 . Maka 𝑇 adalah transformasi linier. 3. Misalkan 𝑉 = 𝐶(−∞, ∞) adalah ruang vector yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu pada (−∞, ∞) dan 𝑊 = 𝐶′(−∞, ∞) adalah ruang vector yang terdiri dari fungsi-fungsi dengan turunan pertama kontinu pada (−∞, ∞). Didefinisikan 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊dengan 𝑥 𝑇 𝑓 𝑥 = 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Maka 𝑇 adalah transformasi linier. 10/11/2014


5

Sifat-sifat Teorema 8.1.1 Jika 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 adalah transformasi linier, maka: a. 𝑇 𝟎 = 𝟎 b. 𝑇 −𝒗 = −𝑇(𝒗) untuk semua 𝒗 ∈ 𝑉 c. 𝑇 𝑣 − 𝑤 = 𝑇 𝑣 − 𝑇(𝑤) untuk semua 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉. Misalkan 𝒗1 , 𝒗2 , … , 𝒗𝑛 adalah vector-vector pada 𝑉 dan scalar-scalar 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 sebarang, maka d. 𝑇 𝑐1 𝒗1 + 𝑐1 𝒗2 + ⋯ + 𝑐1 𝒗𝑛 = 𝑐1 𝑇 𝒗1 + 𝑐2 𝑇 𝒗2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑇 𝒗𝑛 10/11/2014


6

Transformasi Komposisi Definisi Misalkan 𝑇1 : 𝑈 ⟶ 𝑉 dan 𝑇2 : 𝑉 ⟶ 𝑊 adalah transformasi linier, komposisi 𝑇2 dengan 𝑇1 , dinotasikan dengan 𝑇2 ° 𝑇1 (dibaca 𝑇2 lingkaran 𝑇1 ) adalah fungsi yang didefinisikan dengan 𝑇2 ° 𝑇1 𝒖 = 𝑇2 𝑇1 𝒖 dimana 𝒖 ∈ 𝑈 Catatan: Definisi ini mensyaratkan bahwa domain 𝑇2 (yaitu 𝑉) memuat range 𝑇1 . 10/11/2014


7

Teorema 8.1.2 Jika 𝑇1 : 𝑈 ⟶ 𝑉 dan 𝑇2 : 𝑉 ⟶ 𝑊 adalah transformasi linier, maka 𝑇2 ° 𝑇1 : 𝑈 ⟶ 𝑊 juga merupakan tansformasi linier. Contoh: Misalkan 𝑇1 : 𝑃1 ⟶ 𝑃2 dan 𝑇2 : 𝑃2 ⟶ 𝑃2 adalah transformasi linier yang didefinisikan dengan 𝑇1 𝑝(𝑥) = 𝑥𝑝(𝑥) dan 𝑇2 𝑝(𝑥) = 𝑝(2𝑥 + 4). Maka komposisi 𝑇2 ° 𝑇1 : 𝑃1 ⟶ 𝑃2 diberikan oleh rumus 𝑇2 ° 𝑇1 𝑝 𝑥 = 𝑇2 𝑇1 𝑝(𝑥) = 𝑇2 𝑥𝑝(𝑥) = 2𝑥 + 4 𝑝(2𝑥 + 4)

10/11/2014


8

Transformasi Linier dari

𝑛 ℝ

ke

𝑚 ℝ

Transformasi linier 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 didefinisikan oleh persamaan berbentuk: 𝑤1 = 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑤2 = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑤𝑚 = 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 Atau 𝑥1 𝑤1 𝑥1 𝑥2 𝑤2 𝑥2 𝑇 = untuk setiap ∈ ℝ𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑤𝑚 𝑥𝑛 𝑥𝑛 10/11/2014


persamaan-

(1)

9

Notasi Matriks Untuk Transformasi Linier Untuk persamaan (1), dapat dibuat dalam notasi matriks, yaitu 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑤1 𝑎21 𝑎21 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑤2 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑤𝑚 𝑎𝑚1 𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 Atau 𝒘 = 𝐴𝒙 Matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] disebut matriks standar untuk transformasi linier 𝑇. 𝑇 disebut perkalian dengan 𝐴 Berdasarkan ini, notasi 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 ditulis sebagai 𝑇𝐴 : ℝ𝑛 → ℝ𝑚 , sehingga 𝑇𝐴 𝒙 = 𝐴𝒙 Catatan: Jika 𝑛 = 𝑚 maka disebut operator linier. 10/11/2014


10

Contoh Transformasi linier 𝑇: ℝ4 ⟶ ℝ3 didefinisikan dengan persamaan-persamaan 𝑤1 = 2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 −5𝑥4 𝑤2 = 4𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 (*) 𝑤3 = 5𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3

Atau 𝑇 ℝ4

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4

𝑤1 = 𝑤2 𝑤3

atau 𝑇

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4

2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 −5𝑥4 = 4𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 5𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3

untuk setiap

𝑥1 𝑥2 ∈ 𝑥3 𝑥4

Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut: 𝑤1 2 −3 𝑤2 = 4 1 𝑤3 5 −1 10/11/2014

𝑥1 1 −5 𝑥 2 −3 2 −2 1 1 𝑥 atau 𝑇𝐴 𝒙 = 𝐴𝒙 dengan 𝐴 = 4 3 4 5 −1 0 𝑥4 Yanita, Matematika FMIPA Unand

1 −5 −2 1 4 0 11

Kernel dan Range Definisi Misalkan 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 adalah transformasi linier, maka: a. Himpunan vector-vector pada 𝑉 yang dipetakan oleh 𝑇 ke 𝟎 disebut kernel dari 𝑇. 𝐾𝑒𝑟 𝑇 = 𝒗 ∈ 𝑉 𝑇 𝒗 = 𝟎 b. Himpunan semua vector pada 𝑊 yang merupakan bayangan karena 𝑇 dari setidaknya satu buah vector pada 𝑉disebut range dari 𝑇. 𝑅 𝑇 = 𝑇(𝑣) 𝑣 ∈ 𝑉 . Catatan: Range = Image 10/11/2014


12

Contoh Dengan memperhatikan contoh 1. Fungsi 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 dengan 𝑇 𝒗 = 𝟎 untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 adalah transformasi linier. 2. Fungsi 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑉 dengan 𝑇 𝑣 = 𝑣 untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 adalah transformasi linier (= disebut juga sebagai operator identitas) Maka 1. 𝐾𝑒𝑟 𝑇 = 𝒗 ∈ 𝑉 𝑇 𝒗 = 𝟎 = 𝑉 dan 𝑅 𝑇 = 𝑇(𝑣) 𝑣 ∈ 𝑉 = 𝟎. 2. 𝐾𝑒𝑟 𝑇 = 𝒗 ∈ 𝑉 𝑇 𝒗 = 𝟎 = 𝒗 ∈ 𝑉 𝒗 = 𝟎 = 𝟎 dan 𝑅 𝑇 = 𝑇(𝑣) 𝑣 ∈ 𝑉 = 𝑉 10/11/2014


13

Sifat Teorema 8.2.1 Misalkan 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 adalah transformasi linier , maka: 1. Kernel dari 𝑇 adalah subruang dari 𝑉 2. Range dari 𝑇 adalah subruang dari 𝑊

10/11/2014


14

Definisi Jika 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 adalah transformasi linier, maka • dimensi range dari 𝑇 disebut sebagai rank dari 𝑇 dan dinotasikan dengan rank(𝑇). • Dimensi kernel dari 𝑇 disebut nulitas dari 𝑇 dan dinotasikan dengan nulitas(𝑇).

10/11/2014


15

Contoh Perhatikan Contoh pada slide 11, yaitu 𝑥1 𝑥1 2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 −5𝑥4 𝑥2 𝑥2 𝑇 = 4𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 untuk setiap ∈ ℝ4 𝑥3 𝑥3 5𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 𝑥4 𝑥4 Tentukan rank dan nullitas dari 𝑇𝐴 . Penyelesaian: Diselesaikan dengan cara menyelesaikan rank dan nullitas dari matriks 2 −3 1 −5 𝐴= 4 1 −2 1 5 −1 4 4 10/11/2014


16

Teorema Dimensi untuk Transformasi Linier Teorema 8.2.3 Jika 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 adalah transformasi linier dari suatu ruang vector berdimensi 𝑛 ke suatu ruang vector 𝑊, maka rank 𝑇 + nulitas 𝑇 = 𝑛

10/11/2014


17

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26

Recommend Documents