ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT
ALJABAR LINIER (I)
1
MATERI ALJABAR LINIER • • • • • • • • •
VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS TRANSFORMASI LINIER NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN TEOREMA GREEN, GAUSS STOKES DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL VEKTOR TEOREMA MENGENAI MEDAN SKALAR ALJABAR LINIER (I)
2
PENDAHULUAN ALJABAR LINIER 1. Matrik, meliputi Definisi, Jenis Matrik, Operasi Matrik, dan Sifat-sifatnya. 2. Vektor di R2 dan R3, meliputi Operasi Vektor dan Sifat-sifatnya, Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang di R3, dan Persamaan Garis dan Bidang di R3. 3. Eliminasi Gauss yang digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier umum, Sistem Persamaan Linier homogen ALJABAR LINIER (I)
3
4.
5.
6. 7. 8. 9.
Invers matrik dengan menggunakan matrik elementer, Pencarian solusi Sistem Persamaan Linier dengan matrik invers, Hasil lebih lanjut matrik invers terhadap Sistem Persamaan Linier. Determinan, meliputi determinan dengan ekspansi kofaktor, Sifatsifat determinan terhadap Operasi Baris Elementer, Matrik Adjoin, Matrik Invers dengan Matrik Adjoin, Aturan Cramer Ruang Vektor, meliputi Ruang n Euclides, Definisi Ruang Vektor, Sub Ruang, Bebas Linier, Membangun, Basis, dan Dimensi Ruang Hasil Kali Dalam, meliputi Definisi, Panjang dan Sudut di Ruang Hasil Kali Dalam, Ortonormalisasi Basis Nilai dan Vektor Eigen, meliputi Persamaan Karakteristik, Diagonalisasi, dan Diagonalisasi secara Ortogonal Transformasi Linier, meliputi Definisi, Kernel, Rank, Koordinat sebagai bentuk Transformasi dari Ruang vektor sebarang ke Rn, Matrik Transformasi ALJABAR LINIER (I)
4
MATRIKS • Definisi: Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. • Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik. • Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) • dilambangkan dengan huruf kecil Contoh:
4 3 A 2 0 1 7
1 3 B 3 1 ALJABAR LINIER (I)
5
Matriks (Lanjutan) • Bentuk umum suatu matriks: a1n a2 n am 2 amn a11 a 21 • Elemen kolom ke-1 = am1 a11 a A 21 am1
a12 a22
• Elemen baris ke-1 =
a11
a12 a1n
Matriks (Lanjutan) • aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j • Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m n. • Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan banyaknya kolom disebut matriks persegi. • Contoh: 1 3 2 A 4 6 7 9 8 1
• Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.
Matriks (Lanjutan) Kesamaan Dua Matriks Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemenelemen yang seletak sama. Jumlah Dua Matriks Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemenelemen yang seletak dijumlahkan: Contoh: 2 1 3 4 1 3 0 5 2 8 2 3
Matriks (Lanjutan) Hasil Kali Matriks dengan Skalar Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemenelemennya dikalikan dengan k. Hasil Kali 2 Matriks Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah matriks r n maka hasil kali A B adalah matriks mxn yang elemenelemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.
Matriks (Lanjutan) • Contoh:
4 1 4 3 1 2 4 0 1 3 1 A B 2 6 0 2 7 5 2
1 2 4 2 6 0
4 1 4 3 0 1 3 1 .12.. ..27. .30.. .13.. ..8. .. 4. 26 12 2 7 5 2
23
•
34
(2 4) + (6 3) + (0 5) = 26
24
JENIS MATRIKS 1. bujursangkar dikenal diagonal utama, yaitu entri-entri yang mempunyai nomor baris=nomor kolom.
pada matrik di atas mempunyai ordo 3, dan ditulis A3, sedangkan entri yang terletak pada diagonal utama adalah: a11, a22, dan a33. ALJABAR LINIER (I)
11
2. Matrik segitiga atas yaitu matrik bujur sangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol
3. Matrik segitiga bawah yaitu matrik bujur sangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol
ALJABAR LINIER (I)
12
4. Matrik diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol.
5. Matrik satuan/ Identitas adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I.
ALJABAR LINIER (I)
13
6. Matrik skalar , yaitu matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol, atau c≠0 . • Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c.
7. Matrik nol yaitu matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5.
ALJABAR LINIER (I)
14
8. Matrik invers,
matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya A-1. Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya,
9. Matrik bujur sangkar Sebuah matrik bujur sangkar disebut Simetri, jika A = AT.
ALJABAR LINIER (I)
15
10. Sebuah matrik bujur sangkar disebut SkewSimetri, jika AT = -A. Contoh: Tentukan a, b, c, sehingga matrik A menjadi matrik skew-simetri, jika
ALJABAR LINIER (I)
16
penyelesaian
ALJABAR LINIER (I)
17
Operasi matrik 1. 2. 3. 4.
Penjumlahan matrik Perkalian dengan skalar Perkalian dua matrik Transpose matrik
ALJABAR LINIER (I)
18
Penjumlahan matrik
ALJABAR LINIER (I)
19
ALJABAR LINIER (I)
20
2. Perkalian skalar
ALJABAR LINIER (I)
21
contoh
ALJABAR LINIER (I)
22
3. Perkalian Dua matrik
ALJABAR LINIER (I)
23
contoh
ALJABAR LINIER (I)
24
ALJABAR LINIER (I)
25
4. Transpose matrik
ALJABAR LINIER (I)
26
5. Trase matrik
ALJABAR LINIER (I)
27
Hitung : 1. A + B 2. AB 3. A+E 4. BC + 3D 5. TRASE A 6. TRASE B 7. 3A 8. 3IA 9. TRASE D ALJABAR LINIER (I)
28
ALJABAR LINIER (I)
29
Sifat – sifat Matriks
SOAL
TENTUKAN: 1. (A+B)T 2. AT+BT 3. (AB)T 4. ATBT 5. BTAT
6. (1/2B)T 7. 1/2BT 8. -2A 9. -2IA 10. A2 11. A3
12. TRASE A 13. TRASE B 14. TRASE (A+B)
ALJABAR LINIER (I)
31
