Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7

Aljabar Linier Elementer Kuliah 7

Materi Kuliah  Ekspansi kofaktor  Aturan Cramer

24/8/2014

Yanita, FMIPA Matematika Unand

2

2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika 𝐴 adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri 𝑎𝑖𝑗 dinyatakan sebagai 𝑀𝑖𝑗 dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke−𝑖 dan kolom ke−𝑗 dihilangkan dari 𝐴. Bilangan (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 dinyatakan sebagai 𝐶𝑖𝑗 dan disebut sebagai kofaktor dari entri 𝑎𝑖𝑗 . 𝑀𝑖𝑗 : minor –ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j matriks A.

𝐶𝑖𝑗 : matriks dinamakan kofaktor–ij, yaitu (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 24/8/2014


3

Contoh : Mencari minor pada matriks 3 x 3 𝑎11 Misalkan 𝐴 = 𝑎21 𝑎31

24/8/2014

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33

maka:


4

Contoh : Mencari kofaktor pada matriks 3 x 3 Ingat bahwa: 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 , maka

24/8/2014


5

Contoh: Tentukanlah semua minor dan kofaktor dari matriks: 1 −2 3 𝐴= 6 7 −1 −3 1 4 Penyelesaian:

24/8/2014


6

Ekspansi Kofaktor 𝑎11 𝑎12 𝑎13 Misalkan 𝐴 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 diingat kembali bahwa det ( 𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 −𝑎11 𝑎23 𝑎32 −𝑎12 𝑎21 𝑎33 −𝑎13 𝑎22 𝑎31 Jika disusun kembali, maka diperoleh: det 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 – 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 −𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 −𝑎13 𝑎22 𝑎31 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎22 𝑎31 ) Perhatikan bahwa 𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32 = 𝑀11 𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31 = 𝑀12 dan 𝑎21 𝑎32 − 𝑎22 𝑎31 = 𝑀13 Sehingga diperoleh: det 𝐴 = 𝑎11 𝑀11 + 𝑎12 −𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + 𝑎13 𝐶13 24/8/2014


7

Menentukan determinan matriks 𝑛 × 𝑛 dengan ekspansi kofaktor Teorema 2.4.1: Determinan dari matriks 𝑛 × 𝑛 dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasilkalihasilkali yang diperoleh; dimana untuk setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛: det 𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐶2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐶𝑛𝑗 (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-𝑗) det 𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐶𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛 (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-𝑖) 24/8/2014


8

Contoh 1 −2 3 Tentukan determinan dari matriks 𝐴 = 6 7 −1 −3 1 4 dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke−1 dan sepanjang kolom ke−1. Penyelesaian: det 𝐴 = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + 𝑎13 𝐶13 = 1 29 + −2 −21 + 3 27 = 152 det 𝐴 = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎21 𝐶21 + 𝑎31 𝐶31 = 1 29 + 6 11 + −3 −19 = 152 24/8/2014


9

Adjoint dari Matriks Definisi: Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝐶𝑖𝑗 adalah kofaktor dari 𝑎𝑖𝑗 , maka matriks 𝐶11 𝐶12 … 𝐶1𝑛 𝐶21 𝐶22 … 𝐶2𝑛 ⋮ ⋮ … ⋮ 𝐶𝑛1 𝐶𝑛2 … 𝐶𝑛𝑛 disebut matriks kofaktor dari 𝐴. Transpos dari matriks ini disebut adjoint dari 𝐴 dan disimbolkan dengan adj(𝐴). 24/8/2014


10

Contoh: 1 −2 3 Tentukan matriks kofaktor dari matriks 𝐴 = 6 7 −1 −3 1 4 dan adj(𝐴). Penyelesaian: Kofaktor-kofaktor dari matriks 𝐴 telah diperoleh sebelumnya (lihat slide 6). Maka matriks kofaktor dari 𝐴 adalah 𝐶11 𝐶12 𝐶13 29 −21 27 𝐶21 𝐶22 𝐶23 = 11 13 5 𝐶31 𝐶32 𝐶31 −19 19 −11 dan 29 11 −19 adj 𝐴 = −21 13 19 27 5 −11 24/8/2014


11

Menentukan invers matriks dengan menggunakan adjointnya Teorema 2.4.2: Jika A adalah matriks invertibel, maka 𝐴−1 =

1 det 𝐴

adj(𝐴)

Jadi langkah yang diperlukan mencari invers matriks 𝐴, 𝑛 × 𝑛, dengan adjoint adalah: 1. Tentukan det(𝐴) 2. Tentukan kofaktor 𝑎𝑖𝑗 (𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 ) 3. Tentukan Matriks kofaktor 4. Tentukan adj(𝐴) 24/8/2014


12

Contoh: Tentukan

invers

dari

menggunakan adjointnya.

matriks

1 𝐴= 6 −3

−2 7 1

3 −1 4

dengan

Penyelesaian: Dari contoh sebelumnya telah diperoleh det 𝐴 = 152 29 11 −19 dan adj 𝐴 = −21 13 19 27 5 −11 Maka: 29 11 −19 1 𝐴−1 = −21 13 19 152 27 5 −11 24/8/2014


13

Aturan Cramer dan Penyelesaian SPL Teorema 2.4.3: Jika 𝐴𝒙 = 𝒃 adalah suatu sistem persamaan linier dengan 𝑛 persamaan dan 𝑛 variabel yang tidak diketahui sedemikian sehingga det(𝐴) ≠ 0, maka SPL ini memiliki solusi yang unik (tunggal). Solusinya adalah: det(𝐴1 ) det(𝐴2 ) det(𝐴𝑛 ) 𝑥1 = , 𝑥2 = , …, 𝑥𝑛 = det(𝐴) det(𝐴) det(𝐴) dimana 𝐴𝑗 adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entrientri pada kolom ke−𝑗 dari 𝐴 dengan entri-entri pada matriks : 𝑏1 𝑏2 𝒃= ⋮ 𝑏𝑛 24/8/2014


14

Contoh: Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikut ini: 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1 6𝑥1 + 7𝑥2 − 1𝑥3 = 3 −3𝑥1 + 1𝑥2 + 4𝑥3 = 9 Penyelesaian: 1 −2 3 𝑥1 1 SPL ini mempunyai bentuk: 6 7 −1 𝑥2 = 3 −3 1 4 𝑥3 9 Dengan 1 −2 3 1 𝐴= 6 7 −1 dan 𝒃 = 3 −3 1 4 9

24/8/2014


15

Dan 1 −2 3 1 1 3 1 −2 1 𝐴1 = 3 𝐴2 = 6 3 −1 𝐴3 = 6 7 −1 7 3 9 1 4 −3 9 4 −3 1 9 Dari contoh sebelumnya telah diperoleh det 𝐴 = 152 Kemudian diperoleh det 𝐴1 = −193, det 𝐴2 = 189, det 𝐴3 = 213 (latihan) Maka dengan aturan Cramer, diperoleh:

det(𝐴1 ) 193 det 𝐴2 189 det 𝐴3 213 𝑥1 = =− , 𝑥2 = = , 𝑥3 = = det(𝐴) 152 det 𝐴 152 det 𝐴 152 24/8/2014


16

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7

Recommend Documents