Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

06/05/2014 13:56

MA-1223 Aljabar Linear

1

VII

Transformasi Linear

Sub pokok Bahasan • Definisi Transformasi Linear • Matriks Transformasi • Kernel dan Jangkauan

Beberapa Aplikasi Transformasi Linear • Grafika Komputer • Penyederhanaan Model Matematis • dan lain lain

06/05/2014 13:56


2

Transformasi Linear Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap a , b  V dan   R berlaku : 1. T a  b   T a   T b 

2. T  a    T a  Jika V = W maka T dinamakan operator linear

06/05/2014 13:56


3

Contoh : Tunjukan bahwa T : R2  R3, dimana  x  T    y 

 x  y    x   y   

Rumus Transformasi

merupakan tranformasi linear. Jawab : Ambil unsur sembarang di R2, Misalkan  v1   u1  2   v   R   u   , v  u  2  2

(i) Akan ditunjukan bahwa

T u  v   T u   T v  06/05/2014 13:56


4

 u1   v1  T u  v   T       u2   v2   u1  v1   u2  v2      u1  v1     u 2  v2    u1  v1   u2  v2      u1  v1    u  v 2 2    u1  u2   v1  v2         u1     v1   u   v   2   2 

Terbukti bahwa T u  v   Τ u   Τ v  06/05/2014 13:56


5

2 (ii) Ambil unsur sembarang u  R dan   R

 u  u    1   u2   u1  u2       u1   u  2     u1  u 2        u1     u   2  

 u1  u 2        u1   u  2  

 α Τ u  Jadi, T merupakan transformasi linear. 06/05/2014 13:56


6

Contoh 2 : Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuk setiap A  M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier. Jawab :  a1 Misalkan A    a3

a2    M 2 x 2 a4 

maka untuk setiap  R berlaku   a1  a2  det det (A) =   a3  a4

  

  2a1a2  a3a4    2det( A) 06/05/2014 13:56


7

Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A) Jadi T bukan transformasi linier. Contoh 3 : Diketahui T : P2 (Polinom orde-2)  R2, dimana  a  b 2  T (a  bx  cx )   a  c a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan T (1  x  x 2 ) Jawab : a.(i) Ambil unsur sembarang P2, u  u1  u2 x  u3 x 2 06/05/2014 13:56

v  v1  v2 x  v3 x 2 MA-1223 Aljabar Linear

8

Sehingga

u  v  u1  v1   u2  v2  x  u3  v3 x2 Perhatikan bahwa



T u  v   T u1  v1   u2  v2  x  u3  v3 x2



 u1  v1   u2  v2      u1  v1   u3  v3    u1  u2   v1  v2      u1  u3   v1  v3   u  u  v  v    1 2    1 2   u1  u3   v1  v3 







 T u1  u2 x  u3 x 2  T v1  v2 x  v3 x 2

06/05/2014 13:56




9

Ambil unsur sembarang P2, u  u1  u2 x  u3 x 2 dan   R, sehingga



T  u   T  u1  u2 x  u3 x 2



 u1  u2      u1  u3    u1  u2       u1  u3 

 u1  u2       u1  u3 



  T u1  u2 x  u3 x 2



Jadi, T merupakan transformasi linear 06/05/2014 13:56


10

1  1  0  b. T (1  x  x 2 )       1  1

 0 

Suatu transformasi linear T : V  W dapat direpresentasikan dalam bentuk : T  u   Au untuk setiap u  V.  A dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh : Misalkan, suatu transformasi linear T : R2  R3 didefinisikan oleh :  x  y   x        x   y   y    06/05/2014 13:56


11

Jawab : Perhatikan bahwa  x     y 

 x  y   1 1       x    x     1 0     y   0   y 1    

Jadi matriks transformasi untuk T : R2  R3 adalah  1 1    A   1 0   0 1   

Jika T : Rn  Rm merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah m x n

06/05/2014 13:56


12

Misalkan

  v1 ,v2   : R 2  R3 dimana

basis bagi ruang vektor R 2 dan merupakan transformasi linear

vi   ui  untuk setiap i = 1,2.

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara : Tulis : T v1   v1  u1

T v 2   v 2  u 2

Sehingga Jadi

3 x 2 v1 v2 2 x 2  u1 u2 3 x 2



v1

v2  basis bagi V

maka ia punya invers



  u1 u2  v1 v 2 1 06/05/2014 13:56


13

Contoh 3 : Misalkan  1 0  0         v1   1 , v2   1 , v3   0    1   1  1         

adalah basis bagi R3

 : R 3  P1 Transformasi linear didefinisikan

T vi   Avi  pi

untuk setiap i = 1,2,3.

Jika p1  1  x; p2  1; p3  2 x  1  Tentukan :   Matrix transformasi dan   1  2  06/05/2014 13:56


14

Jawab : Definisikan : p1  1  xB

Karena vi  pi ,

1 1  0       ; p2  1B   ; p3  2 xB      1  0  2

i  1,2,3

Maka 0 0  1    1 1 0   1 1 0      1  1 1   1 0 2  

atau 0 0 1   1 1 0     1 0 1    1 0 2   1  1 1   06/05/2014 13:56

1


15

invers matriks dicari dengan OBE : 1 0 0  1 1 0  1 1 1 

1 0 0 1 0 0   0 1 0 ~ 0 1 0  0 1 1 0 0 1   1 0 0  ~ 0 1 0 0 0 1 

Sehingga

1 0 0  1 1 0  1 0 1  1 0 0  1 1 0 0 1 1 

 1 0 0   0 1 0  1 1 0     1 1 0         1 0 2   0 1 1   1 2 2   

Jadi matriks transformasi T adalah  0

1 0    1 2 2

06/05/2014 13:56


16

Sementara itu,  1  1       1    1 2  2     

ingat bahwa

jadi

1  0 1 0      1     1 2 2  2      1    1

 1      1  x  1   B

 1      1   1  x   2   

06/05/2014 13:56


17

Contoh 4 : Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

1  x,

 x  x2 , 1  x  x2



Jika T : P2  R3 adalah transformasi linear dimana  0   T  1  x   1   2  



T  x  x2



1     2  0  



T 1  x  x2



 2    1  0  

Tentukan



T 1  x  x2



Gunakan Definisi Membangun

.

06/05/2014 13:56


18

Jawab : Perhatikan bahwa himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2 maka polinom tersebut ditulis nejadi :







1  x  x 2  k1 1  x   k2  x  x 2  k3 1  x  x 2



Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL

k1  k3  1 k1  k2  k3  1 k 2  k3  1 dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1. 06/05/2014 13:56


19

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :



 

1  x  x 2  0 1  x   2  x  x 2  1 1  x  x 2



atau









 

T 1  x  x 2  T 0 1  x   2  x  x 2  1 1  x  x 2



Karena transformasi T bersifat linear maka :







 

T 1  x  x2  0T 1  x  2T  x  x2  T 1  x  x2



 1  2  4        2  2   1   5  0  0       0

06/05/2014 13:56


20

Kernel dan Jangkauan Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W dinamakan kernel T notasi ker ( T ). atau Ker (T )   u V | T u   0

Contoh 5 : Trans. Linear T : P2  R2

 a  b  T (a  bx  cx )   a  c 1  1  0  2     Perhatikan bahwa T (1  x  x )   2

1  1

 0 

maka 1  x  x 2  Ker (T ) 06/05/2014 13:56


21

Sementara itu, 1  2 x  x 2  Ker (T )   1 karena T (1  2 x  x )     0 1 2

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema : Jika T : V  W adalah transformasi linear maka Ker (T) merupakan subruang dari V Bukti : Ambil a , b  Ker (T ) sembarang dan Riil 06/05/2014 13:56


22

1.

Karena setiap a  Ker (T ) artinya setiap a  V sehingga T a   0 maka Ker(T)  V

2.

Perhatikan bahwa 0  Ker (T ) artinya setiap T 0  A 0  0 oleh karena itu Ker(T) ≠ { }



3. Karena a , b  Ker (T ) dan Ker(T)  V Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku a  b V

akibatnya

Jadi





T a  b  T a  Tb  0  0  0

a  b  ker T 

06/05/2014 13:56


23

4. Karena a  Ker (T ) maka a V

karena V adalah ruang vektor maka untuk setiap   Riil berlaku :

T  a    T a    0  0

Jadi,

 a  Ker (T )

Dengan demikian, terbukti bahwa Jika T : V  W adalah transformasi linear maka Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V Karena Ker(T ) merupakan subruang  Basis Ker(T). 06/05/2014 13:56


24

Contoh 6 : Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan  a    T  b  =(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2  c 

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T) Jawab : Perhatikan bahwa :  a    T  b   a  b   2a  c x  2a  b  c x 2  0  c 

06/05/2014 13:56


25

Ini memberikan a b  0     2 a  c    0  2a  b  c   0     

sehingga   a   a  b     T  b   2a  c     c   2a  b  c   

1 1 0  a      0 2  1  b  2 1 1  c     

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah 1 1 0    A   0 2  1 2 1 1    06/05/2014 13:56


26

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut : 1 1 0   0 2 1 2 1 1 

0  0 ~ 0 

 1 1 0 0   1 0 1/ 2 0      0 2 1 0  ~  0 1 1/ 2 0   0 1 1 0   0 0 1/ 2 0     

1 0 0  ~ 0 1 0 0 0 1 

0 0 0

    

Dengan demikian, Basis ker(T) = { } dan nulitasnya adalah nol.

06/05/2014 13:56


27

Perhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :  1   1   0         0 ,  2 ,   1  2   1   1       

    

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

1  2x2

, 1  2x  x2

,  x  x2



sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3

06/05/2014 13:56


28

Contoh 7 : Diketahui transformasi linear T : R4  R3 didefinisikan oleh :  a  ab       b    T    c  2d   c      a  b  c  2d   d  Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya

06/05/2014 13:56


29

Jawab :  a  ab       b   T    c  2d   c       a  b  c  2d   d 

Jadi

a  1 1 0 0     b    0 0 1  2   1 1 1  2   c    d   

1 1 0 0    A   0 0 1  2  1 1 1  2   06/05/2014 13:56


30

Basis Ker(T) dan Nulitasnya? Ker(T) adalah ruang solusi dari a   b T v   Av   0, v     R 4 c   d    Dengan OBE  1 1 0 0  1 1 0 0      A ~  0 0 1  2 ~  0 0 1  2  1 1 1  2   0 0 0 0     

06/05/2014 13:56


31

Ker(T) = ruang solusi dari Av  0 yaitu

 a     b     c    d   

 a  1         b    1  s   c  0       d   0       

 0    0   t , s , t  0  1    1   2 

Jadi Basis Ker(T) adalah  1      1   0     0  

 0     0  , 1     1   2 

Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2 06/05/2014 13:56


32

Latihan 1. Suatu transformasi T : 3  2

didefinisikan oleh

a    a  2b   T  b    c  a  c   

Periksa apakah T merupakan transformasi linear 2. Jika suatu transformansi T : P1  P2 diberikan oleh :

T 2  x  4  x  x2 dan

T 1  3x  7  2 x  2 x2

Tentukan T 3  x

06/05/2014 13:56


33

(Untuk no. 3 – 5) Suatu transformasi linear, T :R2R3 Yang diilustrasikan sebagai berikut :  3  1        1 T    2   1   

dan

 T  

 1  3       2  5     1 

3. Tentukan matriks transformasi dari T !  1  4. Tentukan hasil transformasi, T    3  5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !

06/05/2014 13:56


34

6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :  1  2  1 1  A   1 2 3  1  1 2 2  1

7. Misalkan T : 3  2 didefinisikan oleh a    a  2b   T  b    c  a  c   

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T) beserta dimensinya !

06/05/2014 13:56


35

Aljabar Linear Elementer

Recommend Documents