Aljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti

Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang ℜ , ℜ dan ℜ 2

Oleh : Yeni Susanti

3

𝑛

Vektor di Ruang ℜ2, ℜ3 dan ℜ𝑛 Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan sebagai garis berarah atau tanda panah di dalam ruang dimensi 2 (ℜ2 ) atau ruang dimensi 3 (ℜ3 ). Besar vektor digambarkan oleh panjang garis dan arah ditunjukkan oleh arah tanda panah. Ekor vektor disebut sebagai titik inisial (initial point) dan ujung panah disebut sebagai titik terminal (terminal point). Notasi Vektor : u, v, w, x, y, z dst. Notasi Skalar : k, l, m, n, a, b, c dst. Jika vektor titik inisial vektor v adalah A dan titik terminal vektor v adalah B, maka vektor v juga dinotasikan dengan 𝑨𝑩 .

Gambar vektor B v A

v = 𝐴𝐵

Kesamaan dua vektor Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama.

u v

w

Vektor u, v dan w adalah vektor-vektor yang SAMA.

Jumlahan dua vektor Jumlahan vektor v dan vektor w adalah vektor dengan titik inisial sama dengan titik inisial v dan titik terminal sama dengan titik terminal w setelah titik inisial w dihimpitkan dengan titik terminal v. Sifat : v + w = w + v (komutatif)

Negatif Vektor v, atau –v adalah vektor dengan panjang sama dengan panjang vektor v, dan dengan arah yang berlawanan dengan arah vektor v.

Vektor NOL adalah vektor dengan panjang NOL dan dinotasikan dengan 0.

Selisih dua vektor Selisih dua vektor v dan w, didefinisikan sbb :

v - w := v + (-w)

PERKALIAN VEKTOR v DENGAN SKALAR k yang TIDAK NOL menghasilkan vektor dengan panjang sama dengan |k| kali panjang vektor v dan arah sama dengan arah vektor v jika k>0 dan arah berlawanan dengan arah vektor v jika k<0. Jika k=0, kv = 0 (vektor NOL)

Vektor pada Sistem Koordinat Komponen vektor v di ruang dimensi 2, adalah koordinat titik terminal v dengan titik inisial v diposisikan pada titik origin O(0,0). Dalam hal ini, jika koordinat titik terminal v adalah titik A(v1,v2), maka vektor v dapat ditulis dalam bentuk : v = (v1,v2). Dua vektor u = (u1,u2) dan v = (v1,v2) dikatakan SAMA jika dan hanya jika komponen vektor u sama dengan komponen vektor v, yaitu (u1,u2) = (v1,v2) jika dan hanya jika u1 = v1 dan u2 = v2.

• Jumlahan vektor v = (v1,v2) dan w = (w1,w2) adalah vektor dengan dengan komponen (v1+w1, v2+w2). Jadi, v+w = (v1,v2) + (w1,w2) = (v1+w1, v2+w2).

• Perkalian vekor v = (v1,v2) dengan skalar k menghasilkan vektor dengan komponen (kv1,kv2). Jadi, kv = (kv1,kv2).

Vektor di Ruang Dimensi 3 Komponen vektor v di ruang dimensi 3 dinyatakan dalam bentuk v = (v1,v2,v3). Misalkan v = (v1,v2,v3) dan w = (w1,w2,w3), maka • v = w jika dan hanya jika v1 = w1 , v2 = w2 dan v3 = w3 • v+w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3) • kv = (kv1, kv2, kv3)

• Misalkan titik inisial vektor v tidak berada pada titik O(0,0). Jika titik inisial v adalah titik P1(x1,y1,z1) dan titik terminal v adalah titik P2(x2,y2,z2) maka vektor v = 𝑷𝟏𝑷𝟐 = (x2−x1, y2−y1, z2−z1)

Contoh : Vektor v = 𝑃𝑄 dengan P(1,4,-5) dan Q(9,4,3) mempunyai komponen : v=𝑃𝑄=(9-1,4-4,3-(-5))=(8,0,8)

Vektor di Ruang Dimensi n • Komponen vektor v di ruang dimensi n (ℜ𝑛 ) dinyatakan dalam bentuk v = (v1,v2,…,vn). • Misalkan v = (v1,v2,…,vn) dan w = (w1,w2,…,wn), maka • v = w jika dan hanya jika v1 = w1 , v2 = w2 dst. vn = wn • v + w = (v1+w1, v2+w2, …, vn+wn) • kv = (kv1, kv2, …, kvn)

Sifat Aritmatika Vektor Misalkan u, v dan w sebarang vektor di ℜ2 (ℜ3 /ℜ𝑛 ) dan k serta l masing-masing merupakan skalar (dalam hal ini, k dan l bilangan-bilangan real). Maka sifat-sifat berikut berlaku: • u+v = v+u • (u+v)+w = u+(v+w) • u+0 = 0+u • u+(-u) = 0 • k(lu) = (kl)u • k(u+v) = ku+kv • (k+l)u = ku+lu • 1u = u

Sifat komutatif dan assosiatif jumlahan vektor

Norm/Panjang Vektor DEFINISI Misalkan v = (v1,v2,…,vn) vektor di ℜ𝑛 . NORM/Panjang vektor v, dinotasikan dengan ||v|| didefinisikan sbb : ||v|| := 𝒗𝟏𝟐 + 𝒗𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒗𝒏𝟐 Vektor dengan panjang satu satuan disebut sebagai VEKTOR SATUAN.

CONTOH Panjang vektor v = (1,2) di ruang dimensi 2 (ℜ2 ) adalah ||v|| = 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟓. Panjang vektor v = (4,-1,3) di ruang dimensi 3 (ℜ3 ) adalah ||v||= 𝟒𝟐 + (−𝟏)𝟐 +𝟑𝟐 = 𝟐𝟔.

Jarak dua titik Misalkan P(a,b,c) dan Q(d,e,f) merupakan dua titik di ℜ3 . Jarak titik P dan titik Q sama dengan panjang vektor 𝑃𝑄 yaitu sama dengan 𝑃𝑄 = (𝑑 − 𝑎)2 +(𝑒 − 𝑏)2 +(𝑓 − 𝑐)2 .

Secara umum, jika 𝑃(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) dan 𝑄(𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) adalah dua titik di ℜ𝑛 , maka jarak titik P dan Q sama dengan panjang vektor 𝑃𝑄 yaitu sama dengan 𝑃𝑄 = (𝑏1 − 𝑎1)2 +(𝑏2 − 𝑎2)2 + ⋯ + (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛)2 .

Dot Product (Produk Titik) Dot Product dua vektor u dan v di ruang ℜ2 dan ℜ3 , dinotasikan dengan u.v didefinisikan sebagai berikut:

𝒖. 𝒗 ≔ 0

jika 𝒖 = 𝟎 atau 𝒗 = 𝟎

dengan  menyatakan besar sudut yang dibentuk oleh vektorvektor u dan v.

CATATAN : Hasil dot product dua vektor adalah SKALAR.

v=(v1,v2,…,vn) v=(v1,v2,…,vn)

Misalkan 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 dan 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)

Perhatikan bahwa vektor 𝑃𝑄 = 𝒗 − 𝒖 dan

atau Karena Didapat

sehingga

Jadi, sudut dua vektor u dan v di ruang dimensi 2 atau 3, dapat dicari dengan rumus:

𝑐𝑜𝑠θ =

𝒖.𝒗 𝒖 𝒗

.

Contoh : Hitunglah sudut antara diagonal kubus dengan sisi kubus.

Theorems

Orthogonalitas Dua vektor u dan v (di ruang dimensi 2 atau dimensi 3) dikatakan tegak lurus/orthogonal jika u.v = 0. Contoh : Buktikan bahwa vektor tak nol n=(a,b) di ruang ℜ2 tegak lurus garis ax+by+c=0. Jawab: Misalkan P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) berada di garis ax+by+c=0. Maka sehingga

yang berarti

Jadi, n tegak lurus dengan garis ax+by+c=0.

PROPERTIES of the DOT PRODUCT

Definisi dot product dan orthogonalitas di ℜ𝑛 Secara umum, dot product dua vektor u = (u1,u2,…,un) dan v = (v1,v2,…,vn) di ruang dimensi n didefinisikan sbb:

u.v := u1v1+u2v2+…+unvn

Vektor u = (u1,u2,…,un) dan v = (v1,v2,…,vn) dikatakan ORTHOGONAL jika u.v = 0.

Projeksi Orthogonal Problem : Bagaimana mendekomposisi vektor u di ℜ2 (ℜ3 ) menjadi jumlahan dua vektor dengan salah satu vektor (w1) sejajar dengan suatu vektor a dan vektor yang lain (w2) tegak lurus dengan vektor a ?

Vektor w1 disebut projeksi vektor u sepanjang vektor a, dinotasikan dengan 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 . Jadi, 𝒘𝟏 = 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 sehingga diperoleh 𝒘2 = 𝒖 − 𝒘1= 𝒖 − 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 . Lebih lanjut, mudah dimengerti bahwa 𝒘𝟏 = 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 = k𝒂.

Bagaimana mencari 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂𝒖? Untuk mencari 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 cukup dengan mencari k tersebut. Dari 𝒘1 = 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 = ka dan 𝒘2 = 𝒖 − 𝒘1= 𝒖 − 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 serta 𝒖 = 𝒘𝟏 + 𝒘𝟐 didapat 𝒖 = 𝒘𝟏 + 𝒘𝟐= k a + w2 sehingga 𝒂. 𝒖 = 𝒂. 𝑘𝒂 + 𝒘𝟐 = 𝒂. 𝑘𝒂 + 𝒂. 𝒘𝟐 = 𝑘𝒂. 𝒂 + 𝟎 = 𝑘𝒂. 𝒂 = 𝒌 𝒂 𝟐 . Jadi, yang berarti

dan 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 =

k=

𝒂.𝒖 𝒂 𝟐

𝑃𝑟𝑜𝑗𝑎 𝑢 = 𝑘𝒂 = 𝒂.𝒖 𝒂 2

𝒂 =

𝑎.𝑢 𝑎 2

𝒂.𝒖 𝒂 𝟐

a

𝑎 =

𝑎.𝑢 𝑎

.

KOMPONEN dekomposisi vektor u

Komponen dekomposisi vektor u yang sejajar dengan 𝒂.𝒖 vektor a adalah 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 = 𝒌𝒂 = 𝟐 a 𝒂

Komponen dekomposisi vektor u yang tegak lurus vektor a 𝒂.𝒖 adalah 𝒖 − 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒂 𝒖 = 𝒖 − 𝟐 a 𝒂

Aplikasi Projeksi Orthogonal: Mencari Jarak Titik ke Garis Berpa jarak titik P0(x0,y0) ke garis ax+by+c=0 (di ruang ℜ2 ) ?

Jarak D yang dimaksud sama dengan panjang projeksi vektor 𝑄𝑃0 pada vektor n yaitu 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑛 𝑄𝑃0 =

|𝒏.𝑄𝑃0| 𝒏

𝐷 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑛 𝑄𝑃0

|𝒏. 𝑄𝑃0| = 𝒏

dengan 𝑄𝑃0 =(x0-x1,y0-y1) . Karena Q(x1,y1) berada di garis ax+by+c = 0 maka diperoleh ax1+by1+c = 0 atau ax1+by1 = - c sehingga 𝒏. 𝑄𝑃0 = a(x0-x1)+b(y0-y1) = ax0+by0 - (ax1+by1) = ax0+by0 - (-c) = ax0+by0 +c Jadi, 𝐷 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑛 𝑄𝑃0 =

|ax0+by0 +c| 𝑎2 + 𝑏 2