Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti
Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut:
Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat “wakil” dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS) dan tanda – (MINUS)? Tanda + (PLUS) pada Pada permutasi (1,2), tidak terjadi inversi (bilangan yang lebih besar mendahului yang lebih kecil). 0 (genap) inversi) Permutasi (2,1) genap tanda permutasi + (plus). Tanda – (MINUS) pada Pada permutasi (2,1) terjadi 1 (ganjil) inversi yaitu 2 mendahului 1. Permutasi (2,1) ganjil tanda permutasi – (minus).
Bagaimana dengan matriks
??
Determinan Determinan matriks 𝐴𝑛×𝑛 = Jumlahan 𝑛! hasil kali elementer bertanda. Bentuk hasil kali elementer bertanda : ±𝑎1𝑗1 𝑎2𝑗2 … 𝑎𝑛𝑗𝑛 + (PLUS) jika (𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑛 ) merupakan permutasi genap - (MINUS) jika (𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑛 ) merupakan permutasi ganjil
Khusus untuk matriks ukuran 3x3 ATURAN SARRUS
Det (A)=
Sifat Determinan • Jika matriks A memuat baris atau kolom nol, maka Det(A)=0. • 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑇 ) • Jika 𝐴𝑛×𝑛 merupakan matriks yang berbentuk diagonal atau segitiga (bawah atau atas) maka 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 … 𝑎𝑛𝑛 , yaitu sama dengan perkalian entri-entri diagonal utamanya.
Determinan dan Operasi Baris Elementer (OBE) Misalkan 𝐴 matriks berukuran nxn. • Jika 𝐴′ adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan baris ke-i dari A dengan skalar 𝑘 ≠ 0 maka 𝐷𝑒𝑡 𝐴′ = 𝑘𝐷𝑒𝑡(𝐴).
• Jika 𝐴′ adalah matriks yang diperoleh dengan cara menukar baris ke-i dengan baris ke-j dari A maka 𝐷𝑒𝑡 𝐴′ = −𝐷𝑒𝑡(𝐴).
OBE ke-3 tidak mengubah determinan !! • Jika 𝐴′ adalah matriks yang diperoleh dengan cara menambahkan k kali baris ke-i dari A pada baris ke-j dari A maka 𝐷𝑒𝑡 𝐴′ = 𝐷𝑒𝑡(𝐴).
Menghitung determinan matriks dengan OBE?? Matriks OBE ke-3 (tidak mengubah determinan) matriks segitiga atas (bawah) Determinan sama dengan perkalian entri-entri diagonal utamanya.
Sifat Determinan • Untuk sebarang matriks-matriks bujursangkar 𝐴𝑛×𝑛 berlaku A invertibel jika dan hanya jika 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0 • Untuk sebarang matriks-matriks bujursangkar 𝐴𝑛×𝑛 dan 𝐵𝑛×𝑛 𝐷𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝐷𝑒𝑡 𝐵 • Jika A invertibel maka 𝐷𝑒𝑡(𝐴−1 )
1 = 𝐷𝑒𝑡(𝐴)
Menghitung determinan matriks dengan Ekspansi Kofaktor Untuk
Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-1 !!
Minor dan kofaktor Misalkan A matriks berukuran nxn. Minor elemen 𝑎𝑖𝑗 , dinotasikan dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan submatriks berukuran (n-1)x(n-1) yang diperoleh dengan cara menghapus baris ke-I dan kolom ke-j dari A. Kofaktor elemen 𝑎𝑖𝑗 , dinotasikan dengan 𝐶𝑖𝑗 didefinisikan sbb: 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗
Example Let
Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Misalkan A matriks bujursangkar. Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara: • Ekspansi sepanjang baris ke-i, 1≤ 𝑖 ≤ 𝑛 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐶𝑖2 + … + 𝑎𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛
• Ekspansi sepanjang kolom ke-j, 1≤ 𝑗 ≤ 𝑛 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐶2𝑗 + … + 𝑎𝑛𝑗 𝐶𝑛𝑗
Menghitung Determinan Matriks (besar) secara Efektif Gunakan kombinasi OBE dan ekspansi kofaktor Kerjakan OBE ke-3 (tidak mengubah determinan) pada matriks Diperoleh matriks dengan baris atau kolom yang memuat nol sebanyak mungkin Misalkan baris ke-i (atau kolom ke-j) memuat nol sebanyak mungkin Hitung determinan dengan ekspansi sepanjang baris ke-i (atau sepanjang kolom ke-j)
Contoh Dengan ekspansi sepanjang baris ke-1
Dengan OBE ke-3
Adjoin Matriks SIFAT : Misalkan A matriks bujursangkar. Perkalian entri-entri baris ke-i dari A dengan kofaktor-kofaktor elemen dari baris ke–i’ : jika 𝑖 = 𝑗 SAMA DENGAN NOL jika 𝑖 ≠ 𝑖′ SAMA DENGAN DET(A)
Jadi, 𝑎𝑖1 𝐶𝑖′1 + 𝑎𝑖2 𝐶𝑖 ′2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛 = Det(A)
jika 𝑖 = 𝑖′
𝑎𝑖1 𝐶𝑖′1 + 𝑎𝑖2 𝐶𝑖 ′2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛 = 0
jika 𝑖 ≠ 𝑖′
dan
Yang dimaksud dengan matriks Kofaktor 𝐴𝑛×𝑛 adalah :
dengan 𝐶𝑖𝑗 merupakan kofaktor elemen 𝑎𝑖𝑗 untuk setiap 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Yang dimaksud dengan matriks ADJOIN 𝐴𝑛×𝑛 adalah :
MENENTUKAN INVERS MATRIKS dengan matriks Adjoin
Misalkan A matriks bujursangkar yang invertibel (yaitu, jika dan hanya jika Det(A)≠ 0). Invers matriks A dapat ditentukan sbb :
𝐴−1
1 = 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐷𝑒𝑡 𝐴
ATURAN CRAMER untuk menentukan solusi SPL Misalkan 𝐴𝑋 = 𝐵 merupakan SPL dengan 𝑛 persamaan dan 𝑛 variabel 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 dengan 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0. Maka solusi SPL tersebut dapat ditentukan dengan Aturan CRAMER sbb :
𝑥1 =
𝐷𝑒𝑡(𝐴1 ) , … , 𝑥𝑖 𝐷𝑒𝑡(𝐴)
=
𝐷𝑒𝑡 𝐴𝑖 𝐷𝑒𝑡 𝐴
, … , 𝑥𝑛 =
𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑛 ) 𝐷𝑒𝑡(𝐴)
dengan matriks 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengganti kolom ke-i dari A dengan matriks kolom B.
