Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

19/09/2014 11:10

MA-1223 Aljabar Linear

1

Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan

– Permutasi dan Determinan Matriks – Determinan dengan OBE – Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi Determinan  Solusi SPL  Optimasi  Model Ekonomi  dan lain-lain. 19/09/2014 11:10


2

Permutasi dan Definisi Determinan Matriks Permutasi  susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan Contoh : Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) Invers dalam Permutasi Jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi

19/09/2014 11:10


3

Permutasi Genap  Jumlah invers adalah bil. genap Permutasi Ganjil  Jumlah invers adalah bil. ganjil Contoh : Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3} (1,2,3)  0 + 0 = 0  genap (1,3,2)  0 + 1 = 1  ganjil (2,1,3)  1 + 0 = 1  ganjil (2,3,1)  1 + 1 = 2  genap (3,1,2)  2 + 0 = 2  genap (3,2,1)  2 + 1 = 3  ganjil

19/09/2014 11:10


4

Definisi Determinan Matriks  a11 a11   a11 a11 A    a  n1 an1

   

a1n   a2 n    ann 

Hasil kali elementer A  hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama. Contoh :  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

a13   a23  a33 

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu: a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31 19/09/2014 11:10


5

Hasil kali elementer bertanda a11 a22 a33 Perhatikan… – a11 a23 a32 Tanda (+/-) muncul sesuai hasil – a12 a21 a33 klasifikasi permutasi indeks kolom, a12 a23 a31 yaitu : jika genap  + (positif) jika ganjil  - (negatif) a13 a21 a32 – a13 a22 a31 Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut. Notasi : Det(A) atau |A|

19/09/2014 11:10


6

Contoh : Tentukan Determinan matriks  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

a13   a23  a33 

Jawab : Menurut definisi : Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 atau a11 a12 a13 a11 a12 A  a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a23 19/09/2014 11:10


7

Contoh : Tentukan determinan matriks 2  1  3   B 1 1 0  2  2 1   

Jawab :

det B  

3

2

1

3

2

1

1

0

1

1

2 2

1

2 2

 (3)(1)(1)  (2)(0)(2)  (1)(1)(2)  (1)(1)(2)  (3)(0)(2)  (2)(1)(1)

 3 0 2 20 2 1 19/09/2014 11:10


8

Menghitung Determinan dengan OBE Perhatikan : a. 1 2   3 det  0 3 b.

1 2 3

Dengan mudah… Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol

0 4 5  24 0 0 6 c.

Det(A) = Hasilkali unsur diagonal?

 1 0 0   det 4 5 0   45 7 8 9  

19/09/2014 11:10

Hitung Det. Matriks Bukan Segitiga???


9

Perlu OBE untuk menentukan determinan suatu matriks yang bukan segitiga. Caranya : Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu : 1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) Contoh :  2 1 A 3  A    1

maka

19/09/2014 11:10

1

  1 1  B    2 1

B

1

1

2

1


 3   A 10

2. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) Contoh :  2 A    1

1  1

 2 B    2

1  2

A 3

dan

maka B

19/09/2014 11:10

2

1

2

2

 2

2

1

1

1

2A 6


11

3.

Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A)

Contoh 3 : 1 3   A    2  6

A  12

Perhatikan

1

3

2 6



1

3

0  12

OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2

 -12

19/09/2014 11:10


12

Contoh 3 : Tentukan determinan matriks berikut : 2 1 0   A1 2 1  0 1 2  

Jawab :

2

1

0

A 1

2

1

0

1

2

1

2

1

 2

1

0

0

1

2

19/09/2014 11:10

pertukaran baris ke - 1 dan ke - 2


13

1

2

1

A   0 -3 -2



0

1

2

1

2

1

0

1

2

 2b1  b2

Pertukaran baris ke - 2 dan ke - 3

0 -3 -2 1

2

1

 0

1

2

0

0

4

= 4 19/09/2014 11:10

3b2  b3

(hasil perkalian semua unsur diagonalnya) MA-1223 Aljabar Linear

14

Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan  a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2 n  A : : :     a a ... a  nn   n1 n 2

Beberapa definisi yang perlu diketahui : • Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh : 2 1 0   A1 2 1  0 1 2   19/09/2014 11:10

1

2

maka M 13 

1 0


1 15

•

Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij Contoh : 2 1 0   A1 2 1  0 1 2  

maka C12   1

2 1

1

0

1

2

= (– 1)3 .2 =–2

19/09/2014 11:10


16

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn Contoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : 2 1 0    A1 2 1  0 1 2    19/09/2014 11:10


17

Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

2

1

0

A 1

2

1

0

1

2

3

det( A) 

 a3 j c3 j j 1

= a31 C31 + a32 C32 + . . . + a3n C3n

 0  1 (1)

3 2

2

0

1

1

 2 (1)

33

2

1

1

2

=0–2+6 =4 19/09/2014 11:10


18

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 2

1

0

A 1

2

1

0

1

2

3

det( A)   ai 3ci 3 i 1

= a13 C13 + a23 C23 + . . . + an3 Cn3

 0  1 (1) 23

2

1

0

1

 2 (1)33

2

1

1

2

=0–2+6 =4 19/09/2014 11:10


19

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka  C11 C12  C22 C C   21    C  n 2 Cn 2

   

C1n   C1n    Cnn 

dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A). adj ( A)  C T 

19/09/2014 11:10

 C11 C21   C12 C22     C  1n C2 n

   

Cn1   Cn1    Cnn 


20

Misalkan A punya invers maka A

1

1  adj ( A) det( A)

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A)  0. Beberapa sifat determinan matriks adalah : 1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka det (A) = det (At) 2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka : det (A) det (B) = det (AB) 3. Jika A mempunyai invers maka : 1 det( A )  det( A) 1

19/09/2014 11:10


21

Contoh : Diketahui 1 0 1   A   1 -1 0   0 2 1   Tentukan matriks adjoin A

Jawab : Perhatikan bahwa c11  (1)

11

1 0 2

1

 1

c12  (1)

1 2

1 0 0 1

1 3 c  (  1 )  1 13

1 1 0

2

c21  2, c22  1, c23  2, c31  1, c32  1, dan c33  1.

19/09/2014 11:10


22

2

Sehingga matriks kofaktor dari A :  -1  C  2  1 

-1 1 1

2   -2 - 1 

Maka matriks Adjoin dari A adalah :  -1  T adj ( A)  C   - 1  2 

19/09/2014 11:10

2 1 -2

1  1 - 1 


23

Latihan Bab 2

1. Tentukan determinan matriks dengan OBE dan ekspansi kofaktor 2 1 1   P   1 2 1  dan 1 1 2  

 3  2 0   Q   0 1 0   4 4 1  

2. Diketahui :  2 1 0   A   3 4 0  0 0 2  

dan

 1 1 3    B   7 1 2 5 0 1  

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB) 19/09/2014 11:10


24

3. Diketahui :

 1 5 k   D   1 0 1   3 k 4   Tentukan k jika det (D) = 29

4. Diketahui matriks 1 0  A  2 1 3 4 

0  0 5 

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai x

19/09/2014 11:10

  det A t B 

det 2 A2  det 5B 


25

Aljabar Linear Elementer

Recommend Documents