ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
P
ada dasarnya cara yang digunakan untuk memperoleh penyelesaian sistem persamaan linear adalah sama yaitu mengubah sistem persamaan linear menjadi matriks yang diperbesar, kemudian mengubah matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris/eselon baris tereduksi menggunakan operasi baris elementer, dan mengubah kembali matriks bentuk eselon baris/eselon baris tereduksi menjadi sistem persamaan linear. Perhatikan kasus-kasus berikut ini. Mencari Penyelesaian dengan Mengubah Matriks Eselon Baris Menjadi Sistem Persamaan Linear
KASUS 1 Misalkan matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear telah direduksi baris menjadi bentuk eselon baris seperti yang diberikan. Maka temukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut. 1 4 3 7 a. 0 1 6 2 , 0 0 1 5 1 1 0 b. 0 1 0 0 0 0 JAWAB : a. Matriks bentuk eselon baris berikut ini 1 4 3 7 0 1 6 2 0 0 1 5 Ubahlah matriks eselon baris tersebut menjadi sistem persamaan linear
Lakukanlah subtitusi terbalik. −3
4
1
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
4
b. Matriks bentuk eselon baris berikut ini 1 1 0 0 1 0 0 0 0 Ubahlah matriks eselon baris tersebut menjadi sistem persamaan linear
Lakukanlah subtitusi terbalik. −3
4
Mencari Penyelesaian dengan Mengubah Matriks Eselon Baris Tereduksi Menjadi Sistem Persamaan Linear
KASUS 2 Misalkan bahwa matriks A adalah matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear yang telah direduksi oleh baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Temukan penyelesaian dari sistem tersebut.
2
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !] 1 0 = 0 1 0 0
0 −1 0 5 1 9
JAWAB : Untuk menemukan penyelesaian dari sistem ubahlah matriks A tersebut menjadi sistem persamaan linear =3
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah =⋯ =⋯ =⋯
Menentukan Jenis Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear
KASUS 3 Misalkan matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear telah direduksi baris menjadi bentuk eselon baris/eselon baris tereduksi seperti yang diberikan. Maka temukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut. 1 0 0 3 2 a. 0 1 0 −1 4 0 0 1 1 2 1 0 0 0 b. 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 7 c. 0 1 0 8 0 0 1 11 JAWAB : a. 1 0 0 3 2 0 1 0 −1 4 0 0 1 1 2 Ubahlah matriks eselon baris tersebut menjadi sistem persamaan linear
3
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
Lakukanlah metode subtitusi.
Misalkan = sehingga diperoleh penyelesaian sistem persamaan linear adalah sebagai berikut. =−
−3 = 4 = −4 b.
1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 Ubahlah matriks tersebut menjadi sistem persamaan linear.
4
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
Kemudian carilah penyelesaian dari sistem tersebut dengan melakukan subtitusi.
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah
c.
1 2 0 7 0 2 4 8 0 0 1 11 Ubahlah matriks tersebut menjadi matriks eselon baris tereduksi.
5
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
Ubahlah matriks eselon baris tereduksi menjadi sistem persamaan linear.
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah
Penarikan Kesimpulan Berdasarkan Kasus 3 pada point c, matriks bentuk eselon baris tereduksi yang seperti apa yang mengindikasikan suatu sistem persamaan linear mempunyai tepat satu penyelesaian?
Berdasarkan Kasus 3 pada point a, matriks bentuk eselon baris tereduksi seperti apa yang mengindikasikan suatu sistem persamaan linear mempunyai banyak penyelesaian?
6
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
Berdasarkan kasus pada point b, matriks bentuk eselon baris tereduksi yang seperti apa yang mengindikasikan suatu sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian?
Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan untuk Memperoleh Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
KASUS 4 Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan eleminasi Gauss dan Gauss-Jordan. + + =6 + 2 + 3 = 14 + 4 + 9 = 36
JAWAB : Buatlah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut.
Eliminasi Gauss 1) Lakukanlah operasi baris sampai diperoleh 1 utama pada setiap baris matriks yang diperbesar tersebut.
7
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
2) Ubahlah matriks yang dihasilkan dari operasi baris tersebut menjadi sistem persamaan linear.
3) Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut dengan metode subtitusi.
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah =
,
=
,
=
Eliminasi Gauss-Jordan 1) Lakukan operasi baris elementer pada matriks yang diperbesar sampai diperoleh pola matriks yang sama pada Kasus 2.
8
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
Ubahlah matriks yang terbentuk dari hasil operasi tersebut menjadi sistem persamaan linear !
2) Ubahlah matriks yang dihasilkan dari operasi baris tersebut menjadi sistem persamaan linear.
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah =⋯ =⋯ =⋯
9
ALJABAR LINEAR
[LATIHAN !]
Coba anda perhatikan dengan seksama proses operasi baris elementer pertama dan kedua. Operasi baris elementer pertama merupakan proses eliminasi Gauss dan yang kedua merupakan proses eleminasi Gauss-Jordan. Matriks bentuk apa yang dihasilkan dari eleminasi Gauss ? (..............................................................................................................................) Matriks bentuk apa yang dihasilkan dari eleminasi Gauss-Jordan? (..............................................................................................................................)
Penarikan Kesimpulan Buatlah kesimpulan tentang perbedaan Eliminasi Gauss dan Eliminasi GaussJordan. Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss-Jordan
10
