Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

06/05/2014 14:00

MA-1223 Aljabar Linear

1

Ruang Hasilkali Dalam (RHD) Sub Pokok Bahasan – Definisi RHD – Himpunan Ortonormal – Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman error dalam berbagai bidang rekayasa.

06/05/2014 14:00


2

Definisi RHD Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan u , v  V maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1.  u , v    v , u 

(Simetris)

2.  u  v , w    u , w    v , w 

(Aditivitas)

3.

untuk suatu kR,  k u , v    u , k v   k  u , v  (Sifat Homogenitas)

4.  u , u   0 , untuk setiap u dan  u, u   0  (Sifat Positifitas) 06/05/2014 14:00

u 0


3

Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor u dinyatakan oleh : u yang didefinisikan oleh :

u   u, u 

1

2

0

Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn ) Misalkan u , v  Rn maka  u , v  u1v1  u 2 v 2  ...  u n v n u 

 u, u 

1

2

0

= (u12 + u22 + …..+un2)½

06/05/2014 14:00


4

Contoh 2 : Misalnya W  R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam  u , v   2u1v1  u 2 v2  3u3v3 , dimana u , v  W Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam Jawab : Misalkan u , v , w  W

 u , v   2u1v1 + u2v2 + 3u3v3 = 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3 (terbukti simetris)   v, u 

06/05/2014 14:00


5

(ii)  u  v , w   <(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>

= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3 = 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3 = 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3   u, w    v, w 

(bersifat aditivitas)

(iii) untuk suatu kR,  k u , v   <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)> = 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3 = k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3  k  u, v    u, k v 

06/05/2014 14:00


(bersifat homogenitas)

6

(iv)  u , u   2u1  u2  3u3 2

2

2

1

Jelas bahwa  u , u  2  0 untuk setiap u dan  u , u   0 hanya jika u  0 Contoh 3 : Periksa apakah  u , v   u1v1  2u2 v2  3u3v3 merupakan hasil kali dalam Jawab : Perhatikan 2 2 2  u , u   2u1  u2  3u3 Pada saat 3u32 > u12 + 2u22 maka

 u, u   0

06/05/2014 14:00

Tidak memenuhi Sifat positivitas


7

Contoh 4 : Diketahui

 u , v  ad  cf

dimana u  ( a , b, c )

dan v  ( d , e, f )

Apakah  u , v  merupakan hasil kali dalam? Jawab : Jelas bahwa Misalkan

 u, u  = ( a2 + c2 )

0

u  (0, 2, 0) diperoleh  u , u  0

Padahal ada u  0 Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi  u , v   ad + cf 06/05/2014 14:00

bukan merupakan hasil kali dalam. MA-1223 Aljabar Linear

8

Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus). Himpunan ortonormal  himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

06/05/2014 14:00


9

Secara Operasional Misalkan, T  c1 , c 2 ,..., c n  pada suatuRHD T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika

 ci , c j   0

untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku

06/05/2014 14:00

ci  1


10

Contoh 5 :  1 1. A       0 ,

 -1   0

   

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.

  1   0   2. B          0  ,  - 1   Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal. 3.

 C   

1 2 1 2

   12    1      2 

Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

06/05/2014 14:00


11

Misalkan S  v1 , v 2 ,..., v n  adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika u adalah sembarang vektor pada V, maka

u  k1v1  k 2 v 2  ...  k n v n Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :

 u , vi    k1v1  k 2 v 2  ...  k n v n , vi   k1  v1, vi  k2  v2 , vi  ... ki  vi , vi  ... kn  vn , vi  Karena S merupakan himpunan ortonormal dan  vi , v j  0 untuk setiap i  j 06/05/2014 14:00

dan

 vi , vi   1 untuk setiap i


12

Sehingga, untuk setiap i berlaku  u , vi  k i

Kombinasi linear u  k1v1  k 2 v 2  ...  k n v n Ditulis menjadi

u  u , v1  v1   u , v 2  v 2  ...  u , v n  v n Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari

1 a     2 pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun   1  1      2 2 v  u   1   dan 1     2 2  

06/05/2014 14:00


13

Jawab : a  k1u  k 2 v a  a , u  u   a , v  v 1 a      2

a

06/05/2014 14:00

1 2

1   ,   2 

u  

1 1

Perhatikan ….. u dan v mrp Basis ortonormal

1 1     2  2  u   ,   v   1   2   2  2

1 2

v


14

Proses Gramm-Schmidt

S   c1 , c 2 ,  c n



B  w1 , w2 , ... , wn 

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

Langkah yang dilakukan 1. w1 

c1 c1

06/05/2014 14:00


15

c2

2. Langkah kedua

w2 c2

q1 w2

w1 p1  proyw1 c2 

w2 

 c2 , w1  w1 w1

2

p1 q1  c 2  p1

 c2 , w1  w1

c 2   c 2 , w1  w1 c 2 ,  c 2 , w1  w 2

06/05/2014 14:00

Vektor satuan searah


q1 16

3. Langkah ketiga

c3

w3 c3

q2

w3

W

p2 w1

w2

p 2  proyW c3  c3 , w1  w1   c3 , w2  w2

w3 

c3   c3 , w1  w1   c3 , w2  w2 c3   c3 , w1  w1   c3 , w2  w2

06/05/2014 14:00


q 2  c3  p 2

Vektor satuan Yang tegak lurus Bidang W

17

Contoh 7 : Diketahui :   0   0 1        B  u1  1, u 2   1 , u 3   0   1  1 1        

B merupakan basis pada RHD Euclides di R3. Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal Jawab : Langkah 1. u1  1, 1, 1 v1   u1 3

06/05/2014 14:00

        

1   3 1   3 1   3


18

Langkah 2 v2 

u 2  proyv1 u 2 u 2  proyv1 u 2

Sementara itu,

u 2  proyv1 u2  u 2  u2 , v1 v1  0, 1, 1   2 1   , ,  3 3

Karena itu, u 2  proy v1 u 2 

sehingga :

06/05/2014 14:00

    v2      

4 9

 19  19 

1  1 2  1   , , 3 3 3 3 1  3

6 3

2   6 1   6  1   6  MA-1223 Aljabar Linear

19

Langkah 3 v3 

u3  proy W u3 u3  proy W u3

Sementara itu, u3  proy W u3  u3  u3 , v1 v1  u3 , v2 v2 1  1 1 1  1  2 1 1         0, 0,1  , , , , 3 3 3 3 6 6 6 6 1 1    0,  ,  2 2 

sehingga :

06/05/2014 14:00

 0    v3    12   1   2  MA-1223 Aljabar Linear

20

Jadi,

  v1, v2 , v3 =   





1 3 1 3 1 3

   2   0    6   ,  16 ,   12    1   1    6   2 

merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclides

06/05/2014 14:00


21

Contoh 8 :

 1   0      Diketahui bidang yang dibangun oleh  0 ,  1   1   1     

merupakan subruang dari RHD Euclides di R3

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

1   u  1 1   pada bidang tersebut.

06/05/2014 14:00


22

Jawab : Diketahui  1 

0     v1   0  , v 2   1  1 1    

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb. Karena

v1 , v2 

Selain membangun subruang pada RHD himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling kelipatan). Langkah awal : Basis tersebut  basis ortonormal. 06/05/2014 14:00


23

v w1  1 v1

1 , 0 ,1 12  02  12 1 , 0 ,1  

2

1   1 ,0 ,    2  2

Perhatikan bahwa : v2 , w1   0 ,1 ,1  1 , 0 , 1    2

00  06/05/2014 14:00

2

1 2

1 2


24

Sehingga:

1  1  1 v2 , w1 w1    ,0 , 2 2 2 1 1   ,0 ,  2 2

1 1 v2  v2 , w1 w1  0 ,1 ,1   , 0 ,  2 2 1  1    ,1 ,  2  2

Akibatnya :  v2  v2 , w1 w1    

06/05/2014 14:00

2

1 1 2   1    2 2



1 1 1 4 4



6 4



1 6 2

2


25

Akhirnya, diperoleh v2  v2 , w1 w1 w2  v2  v2 , w1 w1 1  1   ,1 ,  2 2  1 6 2  1 2 1  =    , , 6 6 6 

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb          06/05/2014 14:00

      

 1   1     6 2  2  0 ,  1   6  1  2     6 

        


26

Proyeksi Orthogonal Vektor

1   u  1 1  

pada bidang tersebut adalah

Pr oy W u  u , w1 w1  u , w2 w2

Perhatikan bahwa : 1   1 ,0 ,   u , w1   1 ,1 ,1  2  2 1 1  0  2 2 2  2  2 06/05/2014 14:00


27

Sementara itu : 1   16     u , w2   1,  26  1  1     6   

06/05/2014 14:00

1 2 1   6 6 6

2 6


28

Dengan demikian, Pr oy W u  u , w1 w1  u , w2 w2  1    1  3   = 0   2   3  1  1       3 

        

06/05/2014 14:00

2 3 2 3 4 3

       


29

Contoh 9 : Diketahui bidang yang dibangun oleh

 1   0       0 , 1    1   1     

merupakan subruang dari RHD Euclides

 1   Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor u   1   1  

pada bidang tersebut.

Jawab Jelas bahwa v1 , v 2  merupakan basis bagi bidang tersebut, karena

v1 dan v 2 saling bebas linear 06/05/2014 14:00


30

Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal. v w1  1 v1

1 , 0 ,1 12  02  12 1 , 0 ,1  

2

1   1 ,0 ,    2  2

06/05/2014 14:00


31

Perhatikan bahwa : 1   1 ,0 ,   v2 , w1   0 ,1 ,1  2  2 1 00 2 1  2

Sehingga: 1  1 1  1 1     , 0 ,  ,0 , v 2 , w1 w1  2 2 2 2 2

akibatnya 1 1 v2  v2 , w1 w1  0 ,1 ,1   , 0 ,  2 2 1  1    ,1 ,  2  2 06/05/2014 14:00


32

Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah:

u

Pr oy W u  u , w1 w1  u , w2 w2

=

 1    3  1     2  0   3  1  1      3  

2   3 2    3 4   3 06/05/2014 14:00


33

v2  v2 , w1 w1 w2  v2  v2 , w1 w1 1  1   ,1 ,  2 2  1 6 2  1 2 1      , , 6 6 6 

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :         

 1   1       6 2    2   0 ,   1   6   2  1       6 

06/05/2014 14:00

         MA-1223 Aljabar Linear

34

Latihan Bab VI 1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan a.  u , v  = u12v1 + u2v22 di R2 b.  u , v  = u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3 c.  u , v  = u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3 2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !

06/05/2014 14:00


35

3. W merupakan subruang RHD euclides di 3 yang dibangun oleh vektor 1  1 0 

    

 1   dan  0    1  

  1   Tentukan proyeksi orthogonal vektor  1   2 pada W  

06/05/2014 14:00


36

Aljabar Linear Elementer

Recommend Documents