Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

13/02/2014 9:17

1

Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan

– Permutasi dan Determinan Matriks – Determinan dengan OBE – Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Beberapa Aplikasi Determinan  Solusi SPL  Optimasi  Model Ekonomi  dan lain-lain. 13/02/2014 9:17

2

Permutasi dan Definisi Determinan Matriks Permutasi  susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan Contoh : Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) Invers dalam Permutasi Jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi

13/02/2014 9:17

3

Permutasi Genap  Jumlah invers adalah bil. genap Permutasi Ganjil  Jumlah invers adalah bil. ganjil Contoh : Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3} (1,2,3)  0 + 0 = 0  genap (1,3,2)  0 + 1 = 1  ganjil (2,1,3)  1 + 0 = 1  ganjil (2,3,1)  1 + 1 = 2  genap (3,1,2)  2 + 0 = 2  genap (3,2,1)  2 + 1 = 3  ganjil Bilangan yang lebih dari 3: 2 dan 12, yang lebih dari 2: 11

13/02/2014 9:17

4

Definisi Determinan Matriks  a11   a11 A   a  n1

a11 a11  an1

 a1n    a2 n       ann 

Hasil kali elementer A  hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama. Contoh :  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

a13   a23  a33 

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu: a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31 Perhatikan angka kedua saja, misal: a12 a23 a31  (2,3,1) 13/02/2014 9:17

5

Hasil kali elementer bertanda a11 a22 a33 Perhatikan… – a11 a23 a32 Tanda (+/-) muncul sesuai hasil – a12 a21 a33 klasifikasi permutasi indeks kolom, a12 a23 a31 yaitu : jika genap  + (positif) jika ganjil  - (negatif) a13 a21 a32 – a13 a22 a31 Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut. Notasi : Det(A) atau |A|

13/02/2014 9:17

6

Contoh : Tentukan Determinan matriks  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

a13   a23  a33 

Jawab : Menurut definisi : Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 atau a11 a12 a13 a11 a12 A  a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a23 13/02/2014 9:17

MA-1223 Aljabar Linear

7

Contoh : Tentukan determinan matriks 2  1  3   B 1 1 0  2  2 1   

Jawab :

2 3 2 1 3 det B   1 1 0 1 1 2 2 1 2 2  (3)(1)(1)  (2)(0)(2)  (1)(1)(2)  (1)(1)(2)  (3)(0)(2)  (2)(1)(1)

 3 0 2 20 2 1 13/02/2014 9:17

8

Menghitung Determinan dengan OBE Perhatikan : a. 1 2   3 det  0 3 b.

c.

1 2 3 0 4 5  24 0 0 6  1 0 0   det 4 5 0   45 7 8 9  

13/02/2014 9:17

Dengan mudah… Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol Det(A) = Hasilkali unsur diagonal?

Hitung Det. Matriks Bukan Segitiga???

9

Perlu OBE untuk menentukan determinan suatu matriks yang bukan segitiga. Caranya : Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga

Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu : 1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) Contoh :  2 1 A 3  A   1

maka

13/02/2014 9:17

1

  1 1  B    2 1

1 B 2

1  3   A 1 10

2.

Jika matriks B berasal dari matriks A dengan mengalikan satu baris dengan konstanta k, maka Det (B) = kDet (A) Contoh :  2 1 A 3  A   dan

1

1

 2 B    2

1  2

maka 2 2 1 B  2 2 2 1

13/02/2014 9:17

1 2A 6 1

11

3.

Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A) Contoh 3 : 1 3   A    2  6

A  12

Perhatikan

1 3 1 3  0  12 2 6

OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2

 -12

13/02/2014 9:17

12

Contoh 3 :

Tentukan determinan matriks berikut : 2 1 0   A1 2 1  0 1 2  

Jawab :

2 1 0 A 1 2 1 0 1 2 1 2 1  2 1 0 0 1 2 13/02/2014 9:17

pertukaran baris ke - 1 dan ke - 2

13

1 2 1 A   0 -3 -2 0 1 2



1 2 1 0 1 2 0 -3 -2

1  0 0

= 4 13/02/2014 9:17

2 1 1 2 0 4

 2b1  b2

Pertukaran baris ke - 2 dan ke - 3

3b2  b3

(hasil perkalian semua unsur diagonalnya) 14

Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan  a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2 n  A : : :     a a ... a  nn   n1 n 2

Beberapa definisi yang perlu diketahui : • Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh : 2 1 0   A1 2 1  0 1 2   13/02/2014 9:17

1

2

maka M 13 

1 0

1 15

•

Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij Contoh : 2 1 0   A1 2 1  0 1 2  

maka C12   1

2 1

1 1

0 2

= (– 1)3 .2 =–2

13/02/2014 9:17

MA-1223 Aljabar Linear

16

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn Contoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : 2 1 0    A1 2 1  0 1 2    13/02/2014 9:17

17

Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

2 1 0 A 1 2 1 0 1 2 3

det( A) 

 a3 j c3 j j 1

= a31 C31 + a32 C32 + . . . + a3n C3n

 0  1 (1)3 2

2 1

0 2 33  2 (1) 1 1

1 2

=0–2+6 =4 13/02/2014 9:17

18

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 2 1 0 A 1 2 1 0 1 2 3

det( A)   ai 3ci 3 i 1

= a13 C13 + a23 C23 + . . . + an3 Cn3

 0  1 (1) 23

2 0

1 2  2 (1)33 1 1

1 2

=0–2+6 =4 13/02/2014 9:17

19

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka  C11 C12  C22 C C   21    C  n 2 Cn 2

 C1n    C1n       Cnn 

dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A). adj ( A)  C T 

13/02/2014 9:17

 C11 C21   C12 C22     C  1n C2 n

 Cn1    Cn1       Cnn 

20

Misalkan A punya invers maka A1 

1 adj ( A) det( A)

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A)  0. Beberapa sifat determinan matriks adalah : 1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka det (A) = det (At) 2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka : det (A) det (B) = det (AB) 3. Jika A mempunyai invers maka : 1 det( A )  det( A) 1

13/02/2014 9:17

21

Contoh : Diketahui 1 0 1   A   1 -1 0   0 2 1   Tentukan matriks adjoin A

Jawab : Perhatikan bahwa c11  (1)

11

1 0  1 2 1

c12  (1)

1 2

1 1 0 1 3 1 c  (  1 ) 2  1 13 0 2 0 1

c21  2, c22  1, c23  2, c31  1, c32  1, dan c33  1.

13/02/2014 9:17

22

Sehingga matriks kofaktor dari A :  -1  C  2  1 

-1 1 1

2   - 2 - 1 

Maka matriks Adjoin dari A adalah :  -1  T adj ( A)  C   - 1  2 

13/02/2014 9:17

2 1 -2

1  1 - 1 

23

Latihan Bab 2

1. Tentukan determinan matriks dengan OBE dan ekspansi kofaktor 2 1 1   P   1 2 1  dan 1 1 2  

 3  2 0   Q   0 1 0   4 4 1  

2. Diketahui :  2 1 0   A   3 4 0  0 0 2  

dan

 1 1 3   B  7 1 2 5 0 1  

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB) 13/02/2014 9:17

24

3. Diketahui :

 1 5 k   D   1 0 1   3 k 4   Tentukan k jika det (D) = 29

4. Diketahui matriks 1 0  A  2 1 3 4 

0  0 5 

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai x

13/02/2014 9:17

  det A t B 

det 2 A2  det 5B 

25