Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2
1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut entri dalam matriks Contoh: 1 2 3 0 , −1 4
2 1
0 −3 ,
− 2 3 0
𝜋 1 2
0
𝑒 0 , 0
1 , 3
4
Ukuran matriks digambarkan sebagai jumlah baris (horizontal) dan jumlah kolom (vertikal). 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
2
Bentuk umum matriks m x n: 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎21 𝐴= ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋯ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛
Dapat juga ditulis dalam bentuk: 𝑎𝑖𝑗
𝑚×𝑛
atau 𝑎𝑖𝑗
Entri-entri pada baris i dan kolom j dari matriks A ditulis juga dengan simbol 𝐴 𝑖𝑗 , dengan demikian: 𝐴 𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
3
Catatan: 1. Jika matriks 𝐴 mempunyai 𝑛 baris dan 𝑛 kolom, maka matriks ini disebut matriks bujur sangkar berorder 𝑛. 2. Perhatikan matriks bujur sangkar berikut: 𝑎11 𝑎21 𝐴= ⋮ 𝑎𝑛1
𝑎12 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛2
⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋯ ⋮ ⋯ 𝑎𝑛𝑛
Maka entri 𝑎11 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 disebut diagonal utama.
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
4
Operasi pada Matriks Definisi: Dua buah matriks didefinisikan sama (setara) jika matriks-matriks ini berukuran sama dan entri-entri yang seletak adalah sama. Jika 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 berukuran sama, maka: 𝐴 = 𝐵 jika dan hanya jika 𝐴 𝑖𝑗 = 𝐵 𝑖𝑗 atau ekivalen dengan 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 untuk semua i dan j. 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
5
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi: Jika A dan B matriks-matriks yang berukuran sama, maka 1. Penjumlahan 𝐴+𝐵 diperoleh dengan menjumlah-kan entri-entri yang seletak. 2. Pengurangan 𝐴– 𝐵 diperoleh dengan mengurang-kan entri-entri yang seletak Jika 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 matriks-matriks berukuran sama, maka : 𝐴 + 𝐵 𝑖𝑗 = 𝐴 𝑖𝑗 + 𝐵 𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝐴−𝐵 1-8-2014
𝑖𝑗
= 𝐴
𝑖𝑗
− 𝐵
Yanita, Matematika Unand
𝑖𝑗
= 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 6
Perkalian skalar dengan matriks Definisi: Jika 𝐴 adalah matriks dan 𝑐 adalah skalar, maka hasil kali 𝑐𝐴 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri di 𝐴 dengan 𝑐. Jika 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , maka 𝑐𝐴
𝑖𝑗
=𝑐 𝐴
𝑖𝑗
= 𝑐𝑎𝑖𝑗
Catatan: Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 matriks-matriks berukuran sama dan 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 adalah skalar, maka bentuk 𝑐1 𝐴1 + 𝑐2 𝐴2 + ⋯ + 𝑐1 𝐴1 disebut sebagai kombinasi linier dari 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 dengan koefisien 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 . 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
7
Perkalian matriks Definisi: Jika 𝐴 matriks berukuran 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 matriks berukuran 𝑟 × 𝑛, maka hasil kali 𝐴𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 , yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut: untuk mendapatkan entri baris ke 𝑖 dan kolom ke 𝑗 dari 𝐴𝐵, keluarkan baris 𝑖 dari matriks 𝐴 dan kolom 𝑗 dari matriks 𝐵. Kalikan entri yang sesuai dari baris dan kolom bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kali dihasilkan.
Yanita, Matematika Unand
1-8-2014
8
Maka:
Dst Atau 𝐴𝐵 𝑖𝑗 = 1-8-2014
𝐴𝐵
11
= 𝑎11 𝑏11 + 𝑎12 𝑏21 + ⋯ + 𝑎1𝑟 𝑏𝑟1
𝑚 𝑖=𝑗 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 Yanita, Matematika Unand
9
Contoh Misalkan:
Maka diperoleh
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
10
Maka entri dari 𝐴𝐵 adalah:
Yanita, Matematika Unand
11 1-8-2014
Partisi Matriks Suatu matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks yang lebih kecil dengan cara menyisipkan aturan horizontal dan vertikal antara baris dan kolom yang dipilih. Contoh:
12 Yanita, Matematika Unand
1-8-2014
Perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris Perkalian ini berguna untuk mencari baris atau kolom tertentu dari hasil kali matrik 𝐴𝐵 tanpa harus menghitung hasil kali seluruhnya. Kolom ke−𝑗 matriks 𝐴𝐵 = 𝐴 [kolom ke−𝑗 matriks 𝐵] (1) Baris ke−𝑖 matriks 𝐴𝐵 = [baris ke−𝑖 matrik 𝐴]𝐵
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
(2)
13
Contoh Misalkan: Kolom kedua matriks 𝐴𝐵 dapat diperoleh dengan menghitung:
Kolom kedua matriks B
1-8-2014
Kolom kedua matriks AB
Yanita, Matematika Unand
14
Contoh Baris pertama matriks 𝐴𝐵 dapat diperoleh dengan menghitung
Baris pertama matriks A
1-8-2014
Baris pertama matriks AB
Yanita, Matematika Unand
15
Secara umum Jika 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 adalah baris-baris matriks 𝐴 dan 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑚 adalah kolom-kolom matiks 𝐵, maka rumus Kolom ke−𝑗 matriks 𝐴𝐵 = 𝐴 [kolom ke−𝑗 matriks 𝐵] (1) Baris ke−𝑖 matriks 𝐴𝐵 = [baris ke−𝑖 matrik 𝐴]𝐵 (2) Menjadi:
(3) AB dihitung kolom dengan kolom
AB dihitung baris dengan baris
Yanita, Matematika Unand
1-8-2014
(4)
16
Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linier Perhatikan matriks berikut: Misalkan: 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑎21 𝑎21 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑥2 𝐴= ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ dan 𝑋 = ⋮ 𝑥𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 maka (5)
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
17
Persamaan (5) menyatakan bahwa hasil kali 𝐴𝑋 adalah suatu kombinasi linier dari matriks kolom 𝐴 dengan koefisien yang berasal dari matriks 𝑋. Contoh: Hasil kali matriks −1 3 2 2 1 1 2 −3 −1 = −9 3 −3 2 1 −2 Dapat ditulis sebagai kombinasi linier −1 3 2 1 2 1 − 1 2 + 3 −3 = −9 −3 2 1 −2 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
18
Hasil kali matriks 1
−1 −9 −3 1 2
3 2 1
2 −3 = −16 −2
−18
35
Dapat ditulis sebagai kombinasi linier: 1 −1 3
1-8-2014
2 −9 1 2
−3 − 3 2 1 −2 = −16
Yanita, Matematika Unand
−18
35
19
Contoh Dari contoh sebelumnya
Matriks-matriks kolom dari 𝐴𝐵 dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari matriks kolom 𝐴 sebagai berikut:
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
20
Transpos dari Matriks Definisi: Jika 𝐴 matriks berukuran 𝑚 × 𝑛, maka transpos dari matriks 𝐴, disimbolkan dengan 𝐴𝑇 adalah matriks yang berukuran 𝑛 × 𝑚 yang entrientrinya berasal dari pertukaran baris-baris dan kolom-kolom di 𝐴, yaitu kolom pertama dari matriks 𝐴𝑇 adalah baris pertama dari 𝐴, kolom kedua dari 𝐴𝑇 adalah baris kedua dari 𝐴, dan seterusnya. Entri dari baris ke 𝑖 dan kolom ke 𝑗 dari 𝐴𝑇 adalah entri baris ke 𝑗 dan kolom ke 𝑖 dari 𝐴, yaitu 𝐴𝑇 𝑖𝑗 = 𝐴 𝑗𝑖 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
21
Jik
𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴= ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
⋯ 𝑎1𝑛 𝑎11 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎12 𝑇 ⋯ ⋮ maka 𝐴 = ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋮ 𝑎2𝑛
⋯ 𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚2 ⋯ ⋮ ⋯ 𝑎𝑛𝑚
Contoh:
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
22
Trace dari Matriks Definisi: Jika 𝐴 matriks bujur sangkar, maka trace dari 𝐴, disimbolkan dengan 𝑡𝑟(𝐴), adalah jumlah entri-entri pada diagonal utama dari 𝐴. Catatan: Trace dari matriks 𝐴 tidak didefinisikan untuk 𝐴 yang tidak bujur sangkar.
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
23
𝑎11 𝑎21 Jika 𝐴 = ⋮ 𝑎𝑛1
𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2
… 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 … ⋮ … 𝑎𝑛𝑛
maka 𝑡𝑟 𝐴 = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 Contoh 9 3 −4 5 4 0 6 𝐴= 1 2 9 3 −2 7 2 1 8 maka 𝑡𝑟 𝐴 = 3 + 0 + 3 + 8 = 14 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
24
1.4 Aturan-aturan Matriks Aritmatika dan Invers Teorema 1.4.1: Asumsikan bahwa ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, aturan-aturan berikut untuk matriks aritmatika berlaku:
Catatan: Hukum komutatif tidak berlaku untuk perkalian matriks. 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
25
Matriks-matriks khusus 1.
Matriks nol
2.
Matrik identitas
3.
Matriks segitiga atas
4.
Matriks segitiga bawah
5.
Matriks diagonal
6.
Matriks simetri (untuk matriks bujur sangkar) 𝐴 = 𝐴𝑇 Yanita, Matematika Unand
26 1-8-2014
Contoh Matriks simetri
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
27
Teorema 1.4.2: Asumsikan
bahwa matriks-matriks berikut sedemikian operasi-operasi yang ditunjukkan dilakukan, aturan-aturan berikut matriks aritmatika berlaku:
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
ukuran hingga dapat untuk
28
Teorema 1.4.3: Jika R adalah matriks eselon baris tereduksi dari matriks A (n x n), maka R mempunyai baris nol atau R adalah matriks identitas. Bukti: Misalkan matriks eselon tereduksi dari matriks A adalah:
Pertimbangkan baris terakhir dari matriks ini. Baris terakhir dari matriks ini berkemungkinan seluruhnya nol atau tidak. Jika tidak, maka baris tidak memuat baris nol, akibatnya setiap baris memiliki leading entri 1. Karena leading 1 yang terjadi semakin jauh ke kanan seperti bergerak turun matriks, maka masing-masing 1 jatuh pada diagonal utama. Karena entri lain pada kolom selain 1 adalah nol, maka haruslah R adalah matriks identitas. Dengan demikian R mempunyai baris nol atau R adalah matriks identitas. 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
29
Invers Matriks Definisi: Jika 𝐴 matriks bujursangkar, dan jika matriks 𝐵 berukuran sama dengan 𝐴, maka dapat dicari sedemikian hingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼. Maka 𝐴 disebut invertibel dan 𝐵 disebut invers dari 𝐴 (atau disimbolkan dengan 𝐴−1 ). Jika 𝐵 tidak dapat didefinisikan , maka dikatakan matriks singular.
Contoh: Matriks 𝐵 =
2 −5 3 5 adalah invers dari 𝐴 = −1 3 1 2
karena 2 −1
dan
3 1
−5 3 3 1 2 5 2 −1
1 5 = 0 2
0 =𝐼 1
1 −5 = 0 3
0 =𝐼 1
Yanita, Matematika Unand
1-8-2014
30
Sifat-Sifat Invers Matriks Teorema 1.4.4: Jika 𝐵 dan 𝐶 keduanya invers dari matriks 𝐴, maka 𝐵 = 𝐶. Bukti: Diketahui 𝐵 dan 𝐶 keduanya invers dari matriks 𝐴. Akan dibuktikan 𝐵 = 𝐶. 𝐵 invers dari 𝐴 berarti 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐼. 𝐶 invers dari 𝐴 berarti 𝐶𝐴 = 𝐴𝐶 = 𝐼. Kemudian perhatikan bahwa (𝐵𝐴)𝐶 = 𝐼𝐶 = 𝐶 dan 𝐵(𝐴𝐶) = 𝐵𝐼 = 𝐵. Dengan demikian 𝐵 = 𝐶. 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
31
𝑎 Teorema 1.4.5: Matriks 𝐴 = 𝑐 invertibel jika 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0. Dan invers dari matriks ini adalah −1
𝐴
=
1 𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑑 −𝑐
−𝑏 = 𝑎
𝑏 𝑑
𝑑 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑐 − 𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏 − 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑎 𝑎𝑑−𝑏𝑐
Bukti: Bukti untuk teorema ini dengan cara buktikan 𝐴𝐴−1 dan 𝐴−1 𝐴. 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
32
Teorema 1.4.6: Jika A dan B matriks yang invertibel berukuran sama, maka 1. 𝐴𝐵 invertibel 2. 𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1 𝐴−1 Bukti: Diketahui 𝐴 dan 𝐵 matriks yang invertibel berukuran sama. Akan dibuktikan 1) dan 2). Perhatikan bahwa 𝐴𝐵 𝐵−1 𝐴−1 = 𝐴 𝐵𝐵−1 𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 = 𝐼 Dan 𝐵−1 𝐴−1 𝐴𝐵 = 𝐵−1 𝐴−1 𝐴 𝐵 = 𝐵 −1 𝐵 = 𝐼 Kemudian perhatikan juga bahwa −1 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 𝐼 dan 𝐴𝐵 −1 𝐴𝐵 = 𝐼 dan Dari persamaan-persamaan ini diperoleh 𝐴𝐵 −1 −1 𝐵 𝐴
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
−1
=
33
Pangkat pada Matriks Definisi: Jika 𝐴 matriks bujur sangkar, maka pangkat bilangan bulat nonnegatif pada 𝐴 adalah 𝐴0 = 𝐼 dan 𝐴𝑛 = 𝐴𝐴 … 𝐴 (𝑛 > 0) sebanyak 𝑛
Jika A invertibel, maka pangkat negatif pada 𝐴 adalah 𝐴−𝑛 = (𝐴−1 )𝑛 = 𝐴−1 𝐴−1 … 𝐴−1 sebanyak 𝑛 1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
34
Teorema 1.4.7: Jika A matriks bujur sangkar dan r, s adalah bilangan bulat, maka 𝐴𝑟 𝐴𝑠 = 𝐴𝑟+𝑠 dan 𝐴𝑟 𝑠 = 𝐴𝑟𝑠 Teorema 1.4.8: Jika 𝐴 matriks invertibel, maka 1. 𝐴−1 invertibel dan 𝐴−1 −1 = 𝐴 . 2. 𝐴𝑛 invertibel dan 𝐴−𝑛 = (𝐴−1 )𝑛 = 𝐴−1 𝐴−1 … 𝐴−1 , sebanyak 𝑛 𝑛 = 0,1,2, … 3. Untuk sebarang skalar tak nol 𝑘 , maka matriks 𝑘𝐴 1 −1 −1 invertibel dan 𝑘𝐴 = 𝐴 𝑘
1-8-2014
Yanita, Matematika Unand
35
Sifat-sifat Transpos Matriks Teorema 1.4.9: Jika ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka:
a.
𝐴𝑇
𝑇
b. c. d.
𝐴+𝐵
=𝐴 𝑇
= 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 ,
𝑘𝐴
𝑇
= 𝑘𝐴𝑇
𝐴𝐵
𝑇
= 𝐵𝑇 𝐴𝑇
Dan 𝐴−𝐵
𝑇
= 𝐴𝑇 − 𝐵𝑇
Teorema 1.4.10: Jika 𝐴 matriks invertibel, maka 𝐴𝑇 juga invertible dan 𝐴𝑇 −1 = 𝐴−1 𝑇 1-8-2014
Selesai 11-8-2014
36