Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

06/05/2014 13:56

MA-1223 Aljabar Linear

1

Beberapa Aplikasi Ruang Eigen  Uji Kestabilan dalam sistem dinamik  Optimasi dengan SVD pada pengolahan Citra  Sistem Transmisi  dan lain-lain. Definisi : Misalkan Anxn matriks matriks bujur sangkar v adalah vektor tak nol di Rn dan λ adalah skalar Rill sehingga memenuhi :

Av   v

maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan v dinamakan vektor eigen dari A

06/05/2014 13:56


2

Contoh :  1 2  1  5  1         5    4 3   2   10   2

Nilai eigen

Vektor eigen

06/05/2014 13:56


3

Perhatikan !!! Av   v Av   v  0 A v  I v  0

 A  I  v  0 Ingat…. v merupakan vektor tak nol Ini Berarti

Persamaan Karakteristik

det  A  I   0

06/05/2014 13:56


4

Contoh : Tentukan nilai eigen dari matriks

 1  A 0  -1 

0 -2   1 2  0 0 

Persamaan Karakteristik det (A – λI) = 0

 1  0  - 1

0 1 0

1-  0 -1

0 1-  0

06/05/2014 13:56

-2 2 0

    

 1  0   0

0 1 0

0 0 1

  0  

-2 2 0 -


5

• Dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-2 (1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0 (1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0 (1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0

Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu : λ = −1, λ = 1, dan λ = 2. Contoh : Tentukan basis ruang eigen dari :

 2  A 1  1  06/05/2014 13:56

1 2 1

1 1 2

    


6

Jawab : Nilai eigen dari A diperoleh saat det  A  I   0  -2 -1 -1



  2

     

(λ (λ (λ (λ (λ (λ

– – – – – –

-1  -2 -1

-1 -1  0  -2

 -2

-1 -1   -2 -1

-1

-1   -2

-1 -1

 -2 -1

0

2){( λ – 2)2 –1} + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0 2){ λ2 – 4 λ + 3} – (λ – 1) – (λ – 1) = 0 2){( λ – 3)( λ – 1 )} – 2 (λ – 1) = 0 1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0 1)( λ2 – 5 λ + 4) = 0 1)2( λ – 4) = 0

06/05/2014 13:56


7

Nilai Eigen dari matriks tersebut adalah 1 dan 4. • Untuk λ = 1  -1   -1  -1 

-1 -1 -1

-1 -1 -1

    

 x   0       y   0   z   0     

Dengan OBE diperoleh  1 1 1

 0 0 0 0 0 0 

maka

 x  s t      y   s   z  t     

0  0 0 

  1   1      1  s 0 t 0 1    

dimana s, t adalah parameter 06/05/2014 13:56


8

Jadi Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =1 adalah     

  1   1      1 ,  0  0 1    

    

Ingat bahwa…

Vektor eigen merupakan kelipatan dari unsur basis tersebut

06/05/2014 13:56


9

• Untuk λ = 4  2 -1  2  -1  -1 -1 

-1 -1 2

    

 x   0       y  0   z   0     

Dengan OBE diperoleh maka

 x     y   z   

 1      1 s  1   

1 0 1  0 1 1 0 0 0 

0  0 0 

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =4 adalah 1     1  1    

06/05/2014 13:56


10

Diagonalisasi Definisi : Suatu matriks persegi Anxn dikatakan dapat didiagonalkan (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang mempunyai invers

(Jadi kolom-kolomnya harus bebas linier) sehingga P–1AP merupakan matriks diagonal.

Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan (pendiagonal) dari A. Vektor-vektor kolom dari matriks P adalah vektor-vektor eigen dari

A.

06/05/2014 13:56


11

Contoh : Tentukan matriks yang mendiagonalkan 1 0 0   A  0 1 1 0 1 1  

Jawab : Persamaan karakteristik dari matriks A adalah : .I  A  0 atau   det    06/05/2014 13:56

  0 0  1 0 0       0  0   0 1 1   0  0 0   0 1 1      MA-1223 Aljabar Linear

12

   1  det  0  0 

0   1 1

0   1   0   1

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor : Pilih Baris I

det .I  A  a11c11  a12c12  a13c13    1     2  0  0    1     2 Sehingga diperoleh nilai eigen

  0 ;  1 ;   2 06/05/2014 13:56


13

Untuk   0 Dengan OBE maka 1 1 0 0  1 0 0  .I  A ~  0  1  1 ~  0 1 1  ~  0  0  1  1  0  1  1 0     

 x1   0       x2    1  t  x    1  3  

0 0  1 1 0 0 

, dimana t adalah parameter tak nol

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   0 adalah 0   P1   1    1  

06/05/2014 13:56


14

Untuk   1 Dengan OBE maka

.I  A ~

0 0 0   0 0 0 0 1 0        0 0  1 ~  0 0 1  ~  0 0 1  0 1 0   0 1 0 0 0 0      

 x1   1       x2    0  t , dimana  x   0  3  

t adalah parameter tak nol

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   1 adalah 1   P2   0  0  

06/05/2014 13:56


15

Untuk

2

Dengan OBE maka 1 0 0  1 0 0      .I  A ~  0 1  1 ~  0 1  1 0 1 1  0 0 0     

 x1   0       x2    1  t  x  1  3  

, dimana t adalah parameter tak nol

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   2 adalah 0   P3   1  1  

06/05/2014 13:56


16

Perhatikan k1 P1  k 2 P2  k 3 P3  0  0 1 0   k1   0        1 0 1   k2    0   1 0 1   k   0    3  

Dengan OBE  0 1 0  1 0 1 1 0 1  1 0 1 1 0 0            1 0 1 ~  0 1 0 ~  0 1 0 ~  0 1 0 ~  0 1 0  1 0 1  1 0 1  0 0 2           0 0 1   0 0 1 

Jadi

P , P , P  1

2

3

merupakan himpunan yang bebas linear 06/05/2014 13:56


17

Jadi, Matriks yang mendiagonalkan A adalah :  0 1 0   P   1 0 1  1 0 1  

0 0 0   1 Matriks diagonal yang dihasilkan adalah : D  P AP   0 1 0   0 0 2  

Hal yang perlu diperhatikan, matriks

1 0 0   P  0 1 1  0 1 1   

Juga mendiagonalkan A. Tapi matriks diagonal yang terbentuk adalah : 1 0 0   1 D  P AP   0 0 0   0 0 2   06/05/2014 13:56


18

Bnxn dikatakan matriks ortogonal jika B–1 = Bt Pernyataan berikut adalah ekivalen : • Bnxn adalah matriks ortogonal. • Vektor-vektor baris dari B membentuk himpunan ortonormal di Rn dalam RHD Euclides. • Vektor-vektor kolom dari B membentuk himpunan ortonormal di Rn dalam RHD Euclides. Misalkan P merupakan matriks ortogonal maka berlaku : • P tP = I 

Px  x , untuk setiap x di Rn

06/05/2014 13:56


19

Contoh : Berikut adalah contoh matriks ortogonal :

 12 A 1   2  1  2 B 0  1  2

1 2 1 2

   

0  12  1 0  1   0 2 

Terlihat bahwa setiap vektor baris/kolom merupakan vektor satuan Dan HkD antar vektor tersebut adalah nol 06/05/2014 13:56


20

Perhatikan bahwa :

At A  I 2 x 2 dan Bt B  I 3x 3 Sementara itu,

 12  1   2

1 2 1 2

 8     6  



 142   2     2



196 4  2 2

 100

8    6 06/05/2014 13:56


21

Definisi : Suatu matriks Anxn dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal jika terdapat matriks ortogonal P sedemikian hingga P–1AP (=PtAP) merupakan matriks diagonal.

06/05/2014 13:56


22

Perhatikan bahwa :

D = P–1AP atau A =PDP–1 Misalkan P merupakan matriks ortogonal, maka A = PDPt Sehingga diperoleh hubungan At = (PDPt)t = (Pt )t DtPt = PDPt =A A dapat didiagonalkan secara ortogonal jika dan hanya jika A matriks simetri

06/05/2014 13:56


23

Misal Anxn, cara menentukan matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A : • Tentukan nilai eigen • Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen yang diperoleh • Ubah setiap basis pada (b) menjadi basis ruang eigen yang ortonormal. • Bentuk matriks P dimana vektor-vektor kolomnya berupa basis ruang eigen yang ortonormal. Contoh : Tentukan matriks yang mendiagonalkan secara ortogonal matriks 1 0 0   A  0 1 1 0 1 1  

06/05/2014 13:56


24

Jawab : Basis ruang eigen : • Untuk   0 adalah  0     1   1  

• Untuk   1 adalah  1     0   0   

 0   1   2    1  2    1     0   0   

• Untuk   2 adalah  0     1   1    06/05/2014 13:56

 0   1   2   1   2  MA-1223 Aljabar Linear

25

Dengan demikian, secara berurutan basis ruang eigen yang ortonormal matriks tersebut  0   1   2    1  2  

 0   1         dan  1   2   0   1   0   2   

Sehingga, matriks ortogonal yang mendiagonalkan A adalah :  0 1  P 1 2 0  1 0 2  ,

06/05/2014 13:56

0   1 2  1 2


26

Ingat Kembali Pers. Diferensial dy (t )  a y (t ) dt

y(t )  ce at

Misalkan sekumpulan PD orde 1 ditulis : dr1 (t )  2 r1 (t ) dt dr2 (t )  3 r2 (t ) dt dr3 (t )  r3 (t ) dt

 r1 '   2 0 0   r1         r2 '    0  3 0   r2   r '  0 0 1  r   3    3

Solusi sistem PD tersebut adalah : 2t  r1   c1e     3t  r  2    c2 e   r   c et   3   3 

06/05/2014 13:56


27

Sistem persamaan diferensial tidak selalu memberikan matriks koefisien yang berbentuk matriks diagonal. Bentuk Umum SPD orde 1 :  x1 '   a11 a12     x2 '   a21 a22           x '  a  n   n1 an 2

 an1   x1      an 2   x2          ann   xn 

Langkah-langkah menyelesaikan SPD orde 1 linear : • Menentukan matriks P yang mendiagonalkan A. • Tulis SPD dummy dalam bentuk U '  DU 1 dimana D  P AP • Tentukan solusi SPD dummy U '  DU • Solusi SPD adalah X  PU 06/05/2014 13:56


28

Contoh 6 : Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial dx1  4 x1  2 x2 dt dx2  x1  x2 dt

Jawab : Tulis SPD dalam bentuk :  x1 '   4  2   x1          x2 '   1 1   x2 

Dengan PK

 4 1

2 0  1

Nilai eigen dari matriks koefisien,  = 2 dan  = 3 06/05/2014 13:56


29

• BRE yang bersesuaian dengan  = 3 • BRE yang bersesuaian dengan  = 2 Sehingga diperoleh Karena

 2     1  1   1

 2 1  P    1 1

 3 0  D  P AP    0 2 1

maka SPD dummy berbentuk :  u1 '   3 0   u1          u2 '   0 2   u2 

Solusi SPD dummy adalah 2t u1  c1e3t dan u2  c2e

06/05/2014 13:56


30

Solusi dari SPD X  PU

 x1   2 1  c1e3t        2t   x2   1 1  c2e 

atau

x1  2c1e3t  c2e2t

x2  c1e3t  c2e2t

06/05/2014 13:56


31

Contoh 8.9 : Tentukan solusi dari masalah nilai awal

dp  2 pt   q(t ) dt dq  pt   2q(t ) dt dengan kondisi awal .

p0  1 dan

06/05/2014 13:56

q0  3


32

Jawab : 2 1  Kita peroleh A  

1 2

Persamaan Karakteristiknya adalah det  .I  A  0 

0

  2 1

1   2



0    2  2  1



0  2  4  4  1



0  2  4  3



0    1  3





diperoleh   1 ;   3 06/05/2014 13:56 Akhirnya diperoleh


33

Untuk   1   1  1  1 1   ~   .I  A ~    1  1  0 0 

x1  x 2  0 x1   x 2 x2  t

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   1 adalah vektor tak nol yang berbentuk

 x1    1      t , dimana t merupakan parameter.  x2   1  Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan   1 adalah

  1 P1    1

06/05/2014 13:56


34

Untuk   3  1  1  1  1  ~   .I  A ~   1 1  0 0 

x1  x 2  0 x1  x 2 x2  t

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   3 adalah vektor tak nol yang berbentuk  x1   1       t ,  x2   1 

dimana t merupakan parameter

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan   3 adalah  P2   

06/05/2014 13:56

1  1


35

Sehingga Solusi Umum SPD U’ = D U adalah  et  U    e3t   

Dengan demikian solusi SPD kita adalah : X  PU

atau  p    1 1  c1et        3t   q   1 1  c2e 

sehingga

p  c1et  c2e3t q  c1et  c2e3t 06/05/2014 13:56


36

Untuk t  0

p0  1 dan q0  3 sehingga

 1    C1  C 2       C  C  3  1 2 

Dengan Eliminasi didapat

C1  1 ; C2  2

Jadi solusi masalah nilai awal tersebut adalah

p(t )  2e3t  et

q(t )  2e3t  et

06/05/2014 13:56


37

Latihan Bab 8  1 0 3   1. Tentukan basis ruang eigen dari A   0 2 0  2.

Diketahui :

 3  2 0   B 0 1 0   4 4 1  

 1 0 3  

Apakah B matriks dapat didiagonalkan? Jelaskan! 3. Suatu Matriks A2x2 memiliki basis ruang eigen : • λ=–3 1     3 

•

λ= 1

  1    2 

Tentukan matriks A ! 06/05/2014 13:56


38

4. Tentukan solusi dari masalah nilai awal :

dp  p(t )  3q(t ) dt dq  4 p(t )  5q(t ) dt dengan kondisi awal p(0)  2 dan q '(0)  1

06/05/2014 13:56


39

Aljabar Linear Elementer

Recommend Documents